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第二节 求导法则与初等函数求导(11级)


第二节 函数求导法则
直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和 困难的. 利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法 则, 就能比较方便地求出初等函数的导数.

一、函数和、差、积、商的求导法则
二、反函数求导法则

三、复合函数的求导法则
四、初等函数的导数

一、函数和、差、积、商的求导法则 定理1 设函数 u = u (x) 及 v = v (x) 都在点 x 处 可导, 那么 它们的和、差、积、商在x 处也可导, 且

(1)[u (x) ? v (x)]? = u (x)? ? v (x)?; (2)[u (x) v (x)]? = u (x)? v (x) + u (x) v (x)?
? u ( x) ?? u ?( x)v( x) ? u ( x )v?( x ) . 【v (x) ? 0】 (3)? ? ? 2 v ( x) ? v( x) ?

乘积求导法则可简单地表示为 (uv)? = u?v + uv?.

(2) (u v)? ? u?v ? u v? 证: 设 f ( x) ? u ( x)v( x) , 则有
f ?( x) ? lim
h ?0

f ( x ? h) ? f ( x ) u ( x ? h )v ( x ? h ) ? u ( x )v ( x ) ? lim h ?0 h h

?u ( x ? h) ? u (x) v( x ? h) ? u (x) v( x ? h) ? v( x) ? ? lim ? ? h ?0 ? h h ?

? u ?( x)v( x) ? u ( x)v?( x)

故结论成立.

推论1 法则(1)可推广到任意有限项的情形.

例如, (u ? v ? w)? ? u ? ? v? ? w?
推论2 设 u (x) 在点 x 处可导, C 为常数, 则 (C?u)? = Cu?. 推论3 设 u = u (x), v = v (x), w = w (x) 在点 x 处均 可导, 则 (uvw)? = u?vw + uv?w + uvw?.

例1 y = e x(sinx + cosx) – ln3, 求 y?. 解 y ? = (e x(sinx + cosx)) ? + (ln3)? = (e x)?(sinx + cosx) + e x (sinx + cosx)? = e x (sinx + cosx) + e x (cosx - sinx) = 2excosx.

例2 y = tanx, 求 y?.

? sin x ?? 解 y? ? (tan x)? ? ? ? ? cos x ?
(sin x)? cos x ? sin x(cos x) ? ? cos 2 x
cos2 x ? sin 2 x 1 ? ? ? sec2 x. cos2 x cos 2 x

即 (tanx)? = sec 2x. 这就是正切函数的求导公式. 类似地可求余切函数的求导公式 (cotx)? = ? csc 2x.

例3 y = secx, 求 y?.

? 1 ?? ?(cos x)? 解 y? ? (sec x)? ? ? ? ? cosx ? cos 2 x ?
sin x ? ? sec x tan x, 2 cos x
即 (secx)? = secxtanx. 这就是正割函数的求导公式. 类似地可求余割函数的求导公式 (cscx)? = ?cscxcotx.

二、反函数的求导公式 定理2 设函数 x ? ? ( y ) 在区间 I y 上单调、 可导, 且? ?( y) ? 0 , 则它的反函数 y = f (x) 在对 应区间 I x 上也单调、可导, 且

1 f ?( x) ? ? ?( y )
简言之,即反函数的导数等于直接函数导数(不等 于零)的倒数.

例4. 求函数 解: 则

的导数.

,则

类似可求得

例5. 求函数

的导数。

解:

为函数

的反函数。

类似可求得

小结:

三、复合函数求导法则
定理3. 可导 在点 x 可导, 复合函数 在点 在点 x 可导, 且

dy dy dy du ? f ?(u ) ? g ?( x) 或 ? ? . dx dx du dx
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)

例6 解

求函数 y ? ln sin x 的导数.
? y ? ln u, u ? sin x .

dy dy du 1 cos x ? ? ? ? ? cos x ? ? cot x dx du dx u sin x

例7 求函数 y ? ( x 2 ? 1)10 的导数 .


? y ? u , u ? x ? 1.
10 2

dy dy du ? ? ? ? 10u 9 ? 2 x ? 20 x( x 2 ? 1) 9 . dx du dx

推广:此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如, 则复合函数y=f(g(h(x)))对x的导数为
d y d y d u dv ? ? ? d x d u dv d x

y

u
v

? f ?(u ) ? g ?(v) ? h?( x)

x

关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.

例9. 求函数 y ? e
u

sin

1 x

的导数.

1 解 y ? e , u ? sin v, v ? x dy dy du dv u ? 1? ? ? ? ? e ? cosv ? ? ? 2 ? dx du dv dx ? x ?
1 ?? 2e x
sin 1 x

1 ? cos . x

熟练之后, 计算时可以不写出中间变量, 而直接

写出结果.
如 求函数 y ? ( x 2 ? 1)10 的导数 .
dy ? 10( x 2 ? 1) 9 ? ( x 2 ? 1)? ? 10( x 2 ? 1) 9 ? 2 x ? 20 x( x 2 ? 1) 9 . dx

又如 y ? e
解 y ? ? (e
sin 1 x

sin

1 x

, 求 y?.
sin 1 x

)? ? e

1 sin 1 1 1 ? ? e x ? cos ? ( )? ? (sin ) x x x

1 ?? 2 e x

sin

1 x

1 ? cos . x

例10 y ? 1 ? 2 x , 求 y?.
3 2
2 ? ?4 x 1 2 2 3 . 解 y? ? [(1 ? 2 x ) ]? ? (1 ? 2 x ) ? (1 ? 2 x )? ? 3 3 3 (1 ? 2 x 2 )2 1 2 3

例11 y = lncos(e x), 求 y?.

1 解 y? ? ? [cos(e x )]? cos(e x )

1 ? ? [? sin(e x )] ? (e x )? ? ?e x ? tan(e x ). x cos(e )

例12 设 解:

例13 设
解: 设

其中函数 f (u ) 可导,求

y?.

四、初等函数的导数
1. 基本导数公式 (1) (C)? = 0; (2) (x ?)? = ?x ? -1; (3) (sinx)? = cosx; (4) (cosx)? = sinx; (5) (tanx)? = sec2x; (6) (cotx)? = - csc2x; (7) (secx)? = secx tanx; (8) (cscx)? = - cscxcotx; (9) (e x)? = e x; (10) (a x)? = a x lna;

1 ?? ; (11) (ln x) x 1 (12) (log a x)? ? ; x ln a 1 (13) (arcsin x)? ? ; 1 ? x2 1 (14) (arccos x)? ? ? ; 1 ? x2 1 ?? (15) (arctan x) ; 2 1? x 1 ??? (16) (arc cot x) . 2 1? x

2. 函数的和、差、积、商的求导法则
设 u = u(x), v = v(x) 均可导, 则

(1) (u ? v)? = u? ? v?;
(2) (uv)? = u?v + uv?; (3) (C?u)? = Cu?;

u ?? u?v ? uv? ? (4) ? ? ? . 2 v ?v?

3. 复合函数的求导法则 设 y = f (u), u = g (x), 且 f (u), g (x) 均可导, 则
复合函数 y = f (g(x))的导数为

dy dy dy du ? f ?(u ) ? g ?( x) 或 ? ? . dx dx du dx
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全 解决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数.

例14. y ?

x ? 1 ? x ?1 求 ? , y . x ?1 ? x ?1

先化简后求导

2x ? 2 x2 ?1 2 ? x ? x ?1 解: ? y ? 2 1 x ? y? ? 1? ? (2 x) ? 1 ? 2 2 2 x ?1 x ?1

例15. y ? e
解: y? ? e

sin x 2

arctan x 2 ? 1 , 求 y ? .
x ?1 ? e
2 sin x 2

?

sin x 2

? arctan
?
2

?arctan

x ?1
2

?

?

y? ? ( e

sin x 2

) arctan x 2 ? 1 ? cos x ? 2 x
?e
sin x 2

1 1 ( 2? ? 2x ) 2 x 2 x ?1

? 2 x cos x e
?

2 sin x 2

arctan x 2 ? 1

1 x x ?1
2

e

sin x 2

作业
P84 2 (1),(3),(8),(14)(16),(17),(18), 3 (3) 4 (1),(5),(8),(13), (14),

内容小结
? u ? u? 注意: 1) (uv)? ? u ?v?, ? ? ? ? ? v ? v? 2)分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.
3)反函数的求导法则:注意成立条件; 4)复合函数的求导法则:注意函数的复合过 程,合理分解正确使用链式法法则;

求导公式及求导法则

y ? sin 3 (5 x ) ? 1, 求 y?. 例13
1 ? 1 解 y? ? {[sin 3 (5 x) ? 1] }? ? [sin 3 (5 x) ? 1] 2 [sin 3 (5 x) ? 1]? 2 1 ? ? 3sin 2 (5x ) ? [sin(5x )]? 2 sin3 (5x ) ? 1 1 2

?

1 2 sin3 (5x) ? 1

? 3sin 2 (5x) ? cos(5x ) ? (5x )?

?

15sin 2 (5x ) ? cos(5x ) 2 sin 3 (5x ) ? 1

.

例17 解

求函数 y ? x ? x ? x 的导数.

y? ?
?
?

1 2 x? x? x
1 2 x? x? x
1 2 x? x? x

( x ? x ? x )?
(1 ?
(1 ?

1 2 x? x
1 2 x? x

( x ? x )?)
1 2 x

(1 ?

))

?

4 x2 ? x x ? 2 x ?1 8 x ? x ? x ? x2 ? x x

.

例21 求函数 y ? f n [? n (sin x n )] 的导数. 解

y? ? nf n?1[? n (sin x n )]? f ?[? n (sin x n )] n ?1 n ?(sin x n )? cos x n ? nxn?1 ? n? (sin x ) ? ?
3 n ?1 n

? n ?x

cos x ? f
n n

n ?1

[? (sin x )]? ?
n n n

n ?1

(sin x )

n

? f ?[? (sin x )]? ? ?(sin x )

证(3) 当 x 取增量 ?x 时, 函数 u (x), v (x) 分别

u ( x) 取得增量 ?u, ?v, 函数 y ? 也取得增量 v( x) u ? ?u u v?u ? u?v ?y ? ? ? , v ? ?v v v(v ? ?v)
故 ?u ?v v? ?u ?y ?x y? ? lim ? lim ?x ?x ? 0 ?x ?x ? 0 v(v ? ?v)

u ?v ? uv? . 除法求导法则可简单地表示为 ? ? ? 2 v ?v?

u?( x)v( x) ? u ( x)v?( x) ? . 2 v ( x) ? u ??

例9. 求函数 解: 则

的导数。

特别当

时,

三、复合函数的求导法则

定理3 设函数 u = g (x) 在点 x 处可导, 函数
y = f (u) 在点 u = g (x) 处可导, 则复合函数 y = f (g(x))

在点 x 处可导, 且其导数为

dy dy dy du ? f ?(u ) ? g ?( x) 或 ? ? . dx dx du dx

证 设 x 取增量 ?x, 则 u 取得相应的增量 ?u, 从而 y 取得相应的增量 ?y , 即 ?u = g(x + ?x) ? g(x),
?y ?y ?u ? ? . ?y = f (u + ?u) ? f (u). 当 ?u ? 0时, 有 ? x ? u ?x

因为 u = g (x) 可导, 则必连续, 所以 ?x ? 0 时, ?u ? 0, 因此
?y ?y ?u dy lim ? lim ? lim , 即 ? f ?(u) ? g ?( x). ?x ?0 ?x ?u ? 0 ?u ?x? 0 ?x dx

当 ?u = 0时, 可以证明上述公式仍然成立.

公式表明, 复合函数的导数等于复合函数对
中间变量的导数乘以中间变量对自身变量的导数. 设 y = f (u), u = g (v), v = h(x)都是可导函数, 则复

合函数 y = f (g(h(x))) 对 x 的导数为

dy dy dy du dv ? f ?(u ) ? g ?(v) ? h( x) 或 ? ? ? . dx dx du dv dx

例16 设 x > 0, 证明幂函数的导数公式 (x ?)? =?x ?-1. 证

例1 y = x 4 + sinx – ln3, 求 y ?. 解 y ? = (x 4)? + (sinx)? + (ln3)?

= 4x 3 + cosx .
例2 y = e x(sinx + cosx), 求 y?. 解 y ? = (e x)?(sinx + cosx) + e x (sinx + cosx)? = e x (sinx + cosx) + e x (cosx - sinx) = 2e xcosx.

cos 2 x ?? ? , 求 f ? ? ?. 例3 f ( x) ? cos x ? sin x ?2?
解 cos 2 x ? sin 2 x f ( x) ? ? cos x ? sin x cos x ? sin x

f ?( x) ? ? sin x ? cos x,

?? ? ?? ? ?? ? f ? ? ? ? ? sin ? ? ? cos ? ? ? ?1. ?2? ?2? ?2?

例4 y = 2sinxcosx?lnx, 求 y?.
解 y? ? 2[(sin x)? cos x ln x ? sin x(cos x)?ln x ? sin x cos x(ln x) ?]
1 ? 2[cos x ln x ? sin x ln x ? sin x cos x ] x sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ln x ? . x
2 2

例8

2x y ? cos , 求 y?. 2 1? x

2x dy ,而 ? ? sin u , 解 设 u? 2 1? x du

du 2(1 ? x 2 ) ? 2 x ? 2 x 2(1 ? x 2 ) ? ? , 2 2 2 2 dx (1 ? x ) (1 ? x )
dy 2(1 ? x 2 ) 2(1 ? x 2 ) 2x ? ? sin u ? ?? ? sin . 2 2 2 2 2 dx (1 ? x ) (1 ? x ) 1? x

证 任取 x ? I x , 给 x 以增量, 由 y = f (x) 的

单调性可知 ?y = f (x + ?x) - f (x) ? 0, 于是
?y 1 ? ?x ?x ?y

lim 因为 y = f (x)连续, 故 ?x ?0 ?y ? 0, 又 ? ?( y) ? 0 ,从而

1 ?y 1 ? f ?( x) ? lim ? lim ? x ? 0 ?x ?y ? 0 ? x ? ?( y ) ?y


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