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衢州市2013年4月高三年级教学质量检测试卷数学(理科)


衢州市 2013 年 4 月高三教学质量检测试卷 数学(理科)
选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. 设全集 U ? R, A ? { x | x ? 1}, B ? { x | x ? 2} ,则 (CU A) ? B ? A. { x | x ? 1}
2

B.

{ x | x ? 1或x ? 2}

C. ?

D. { x | x ? 2}

(1 ? i ) 等于 1? i A. ?1 ? i B. 1 ? i C. 1 ? i D. ?1 ? i 3.设 l , m , n 为不重合的三条直线, m , n ? ? , 则“ l ? ? ”是“ l ? m 且 l ? n ”的
2.复数 A.充要条件 A. [ 2 ? 1, ??) B.充分不必要条件
2 2

C.必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

4.设实数 x , y 满足 x ? ( y ? 1) ? 1 ,若 x ? y ? c ? 0 恒成立,则 c 的取值范围是 B. (??, 2 ? 1] C. [ 2 ? 1, ??) D. (??, 2 ? 1] ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? 5.已知向量 m, n 满足:对任意 ? ? R ,恒有 2 | m ? ? (m ? n) |?| m ? n | ,则 ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? A. | m |?| n ? m | B. | m |?| n | C. | m |?| n ? m | D. | m |? 2 | n | 6.用 1、 2、3 三个数组成四位数,要求三个数字都要出现,且相同的数字不相邻,这样的四位数 共有 A.24 个 B.18 个 C.15 个 D.12 个

7.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S15 ? 0, S16 ? 0 ,则 项为 A.

S S1 S2 S3 , , ,?, n 中最大的 a1 a2 a3 an
D.

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S8 a8

S9 a9

8.若抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点是 F , 准线是 l ,M ( 4, m ) 是抛物线上的一个点, 则经过点 F 、 M 且 与 l 相切的圆共有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D. 4 个 9.已知 f ( x ) ?

1 ? 4 ,若 f (lg log3 10) ? m ,则 f (lg lg 3) 的值是 1? 2x

A. 9 ? m B. 9 ? m C. 8 ? m D. 8 ? m b 10.已知 a , b, c , d 是偶数, 0 ? a ? b ? c ? d , d ? a ? 90, a, b, c 成等差数列, , c, d 成等比数列, 且 则 a ? b ? c ? d 的值为 A. 384 B. 324 C. 284 D. 194

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.一个几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则该 几何体的体积是 12.如果 (3 x ?
2

cm 3 .

2 n ) 的展开式中含有常数项,则正整数 x3
.

n 的最小值为

1

13.执行如右的程序框图,则输出的 T 的值是 14.设 ? 为锐角,若 cos(? ?

.

4 ? ,则 sin( 2? ? ) 的值为 . 3 5 6 3 2 15.已知方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个实数根可分别作为一椭 b 圆、一双曲线、一抛物线的离心率,那么 的取值范围是 . a 16.已知 M 是正方体 A1 B1C1 D1 ? ABCD 的棱 C1 D1 的中点, O 是 BD1 的中点,且 OM / / 平面 ? ,平面 ? 过点 B 且异于平面 B1 BCC1 . 若点 P ? ? ,且 P 在正方形 B1BCC1 内部及边界上,记 ? 为 A1 P )?
与平面 B1 BCC1 . 所成的角,则 tan ? 的最大值为 17.已知函数 f ( x ) ? x[sin(? x ) ? cos(? x ) ? 2]( .

?

5 9 ? x ? ) ,则 4 4

f ( x ) 的最大值为

.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答应写出文字说明,证明给出或演算步骤. 18. ( 本 题 满 分 14 分 ) 在 ? ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 为 a, b, c , 且 满 足

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? (2a ? c) B?A B C ? C .. C A ? c B

(I)求角 B 的大小; (II)若 | BA ? BC |?

??? ???? ?

6 , 求 ?ABC 面积的最大值.

19.(本题满分 14 分)把 10 个红球和 8 个黄球混合后装入甲、乙两个袋,每袋 9 个.若从甲袋中 任意摸出两个球,两个都是红球的概率为 p1 ;从乙袋中任意摸出两个球,两个都是红球的概 率为 p2 ,且

p1 5 ? . p2 2

(I)求乙袋中有红球、黄球各几个? (II)从甲袋中任意取出三个球,记红球个数为 X ,求 X 的分布列与期望.

2

20.(本题满分 14 分)如图,已知斜三棱柱 ABC ? A B1C1 , ?BCA ? 90? , AC ? BC ? AA1 , A1 1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D. (I)求证: AC1 ? 平面A1BC ; (II)求二面角 B ? AC1 ? C 余弦值的大小.

x2 2 21.(本题满分 15 分)已知椭圆 2 ? y ? 1 的右焦点为 F2 (c, 0)(c ? 1 ? a) , 若以 F2 为圆心, a 过点 Q(1, 0) 作圆 F2 ,过椭圆上一点 P 作此圆的切线,切点为 T ,且 | PT | 的最小值不小于

3 (a ? c ) . 2
(I)求椭圆长轴长的取值范围; (II)过点 Q 作斜率为 k ( k ? 0) 的直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点,若 OA ? OB ,求直线 l 被 圆 F2 截得的弦长 s 的最大值.

3

22.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? a ln x ? x 2 (a ? R). (I)若函数 f ( x ) 在 (1, ?? ) 上是增函数,求 a 的取值范围; (II)求函数 f ( x ) 在 [1, e ] 上的最大值及相应的 x 的值; (III)若存在 x ? [1, ??) ,使得 f ( x ) ? (a ? 2) x 成立,求实数 a 的取值范围.

4

衢州市 2013 年 4 月高三教学质量检测试卷 数学(理科)参考答案
一、选择题(10×5′=50′) 1.C 2.A 3.B 4.A 二、填空题(7×4′=28′) 5.B 6. B 7.C 8.D 9.A 10.D

11.

16? ? 8 3

12. 5

13. 81

14. ?

7 25

15. ? ?2, ? ?

? ?

1? 2?

16. 2

17.

9 2

三、解答题(72′) 18.解 : (I)条件可化为 ? (2a ? c) cos B ? b cosC 根据正弦定理有 (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC ∴ 2 sin A cos B ? sin(C ? B) ,即 2 sin A cos B ? sin A 因为
sin ? 0 A ,所以 cos B ?

1 ? ,即 B ? .?????????????7 分 2 3
??? ? | CA ? | 6,即
b2 ? 6 ,

(II)因为

??? ??? ? ? | B A? B C ? |

6所以

根据余弦定理
2

b2 ? a 2 ? c 2 ? a c o s , 2 c B
2

可得 6 ? a ? c ? ac
2

?????????????9 分
2

有基本不等式可知 6= a ? c ? ac ? 2ac ? ac ? ac 即

ac ? 6 ?????????????11 分

故△ABC 的面积 S ?

1 3 3 3 ac sin B ? ac ? 2 4 2

即当 a =c= 6 时,

△ABC 的面积的最大值为

3 3 .?????????????14 分 2
2 C10?m C2 , p2 ? m , C92 C92

19. 解: (1)设乙袋中有红球 m 个,则 p1 ?

2 p1 C10?m ?10 ? m?? 9 ? m? 5 ? ? 2 ? ? ,化简得: m2 ? 11m ? 60 ? 0 ,解得 m ? 4 p2 Cm m ? m ? 1? 2

? 乙袋中有红球 4 个,黄球 5 个. ?????????????7 分
(2)甲袋中有红球 6 个,黄球 3 个.

5

P ? X ? 0? ? P ? X ? 3? ?
X
P
0

3 C3 C1C 2 18 3 C 2C1 45 15 1 , ? , P ? X ? 1? ? 6 3 3 ? ? , P ? X ? 2? ? 6 3 3 ? ? 3 C9 84 C9 84 14 C9 84 28 3 0 C6 C3 20 5 ? ? 3 C9 84 21

1

2

3

1 84

3 14

15 28

5 21

0 ? 1 8 9? 6 0 ? 0 ? 2 ???14 分 84 20. 解:(I)如图,取 AB 的中点 E ,则 DE // BC ,因为 BC ? AC , EX ?
所以 DE ? AC ,又 A1D ? 平面 ABC , 以 DE, DC, DA 为 x, y, z 轴建立空间坐标系, 1 设 AC ? BC ? AA ? 2 1 则 A ? 0, ?1,0? , C ? 0,1,0? , B ? 2,1,0? , , A1 ( 0 , 0 , 3 )C1 (0,2, 3) ,

???? ? ???? ???? AC1 ? ( 0 , 3 , ,)BA1 ? (?2, ?1, 3) , AC ? (0,1, ? 3) 3 1 ???? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ,得 AC ? CB ? 0 , BA ? AC1 ? 0 ,因此 AC ? CB , CB ? ? 2 , 0 ,?0 1 1 1
BA1 ? AC1 ,从而 AC1 ? 平面 A1BC ;?????????????7 分
(II)? A D ? 面ABC, 面A ACC1 ? 面ABC ? 1 1

? (,0) 又BC ? AC, BC ? 面A1 ACC1 ?面A C C的一个法向量 n ? 1 0, ? 1
再设平 面AC1B 的法向量为 m ? ? x, y, z ? , AB ? 2,2, AC1 ? , ( 0), (0,3,3)

??

??? ?

???? ?

?? ??? ? ?? ? m ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0 ? 所以? ? ?? ???? ,设 z ? 1 ,则 m ? , (-1,1,- 3) ? ?m ? AC1 ? 3 y ? 3z ? 0 ? ?? ? ?? ? m?n 5 故 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? ,根据法向量的方向, 5 m?n
可知二面角 A ? A B ? C 的余弦值大小为 1

5 ?????????????14 分 5

6

21. 解:由题意:圆半径 r ? 1 ? c , PT ?

PF2 ? ?1 ? c ?
2

2

∴ 当且仅当 | PF2 | 取得最小值时 | PT | 取得最小值,而 | PF2 |min ? a ? c ,

?

1? c 1 3 ? ? a ? c ? 2 ,又 a 2 ? c 2 ? 1 且 ?a ? c? ? 0 ? a?c 2 2 5 5 c ? 1 ,故 ? a ? 2 ,从而椭圆长轴长 ? 2a ? 2 2 ;??????6 分 4 2 x2 2 (2)设直线的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入 2 ? y ? 1 a 得 (a2k 2 ? 1) x2 ? 2a2k 2 x ? a2k 2 ? a2 ? 0 ,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? a ? c ? ? ?1 ? c ?
2

2

?

则有 x1 ? x2 ?

2a 2 k 2 a2k 2 ? a2 , x1 x2 ? 2 2 , a2k 2 ? 1 a k ?1

代入直线方程得 y1 y2 ? k 2 [ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ?

k 2 (1 ? a 2 ) ,又 OA ? OB a2k 2 ? 1

k 2 ? a2 ? 0? k ? a, ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 2 2 ,直线的方程为 ax ? y ? a ? 0 , a k ?1 | ac ? a | 圆心 F2 (c, 0) 到直线 l 的距离 d ? ,半径 r ? 1 ? c a2 ? 1
∴ s ? 2 (1 ? c) 2 ?

a 2 (1 ? c)2 2(1 ? c) , ? a2 ? 1 c2 ? 2
2

设 1 ? c ? t ,则∵ ? a ?

5 4

3 1 1 1 3 2 1 1 1 2 ? ≤ c ? 1, t ? 1 ? c ? (0, ] ,∴ ? ? ?1 ? 3( ? )2 ? 2 4 4 s 2 t t 2 t 3 3 1 1 41 当 t ? 时, 取最小值为 , 4 s 2 3 5 2 41 即 c ? , a ? 时, s 取最大值为 .???????????15 分 4 4 41 a ? 2 x2 ? 0 在x??1, ??? 上恒成立 22.解: (1) f ?( x) ? x

? a ? ?2 x 2 在x??1, ??? 上恒成立
? a ? ?2 ??????????????????4 分
(2) f ?( x) ?

2x 2 ? a ( x ? 0) ,当 x ?[1, e] , 2x 2 ? a ?[a ? 2, a ? 2e 2 ] . x 若 a ? ?2 , f ?(x ) 在 [1, e] 上非负(仅当 a ? ?2 ,x=1 时, f ?( x) ? 0 ) ,
2 故函数 f (x) 在 [1, e] 上是增函数,此时 ? f ( x)?max ? f (e) ? a ? e .

若 ? 2e 2 ? a ? ?2 ,当 x ?

?a 时, f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2

?a 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 2

7

是减函数; 当

?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 是增函数. 2
2

故 ? f ( x)?max

? 1 (?2e2 ? a ? 1 ? e2 ) ? max ? f (1), f (e)? ? max ?1, a ? e ? ? ? 2 2 ?a ? e (1 ? e ? a ? ?2)
[1, e] 上是减函数,此时 ? f ( x)?max ? f (1) ? 1 .
2

若 a ? ?2e 2 , f ?(x ) 在 [1, e] 上非正(仅当 a ? ?2e 2 ,x=e 时, f ?( x) ? 0 ) , 故函数 f (x) 在

综上可知,当 a ? ?2 时, f (x) 的最大值为 a ? e ,相应的 x 值为 e; 当 ?2e ? a ? 1 ? e
2 2

时, f (x) 的最大值为 1,相应的 x 值为 1;
2

当 1 ? e ? a ? ?2 时, f (x) 的最大值为 a ? e ,相应的 x 值为 e;
2

当 a ? ?2e 2 时, f (x) 的最大值为 1,相应的 x 值为 1.?????10 分 (3)不等式 f ( x) ? (a ? 2) x , 可化为 a( x ? ln x) ? x 2 ? 2 x . ∵ x ??1, ?? ? , ∴ ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 , 因而 a ?

x 2 ? 2x ( x ??1, ?? ? ) x ? ln x
x 2 ? 2x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) ( x ?[1, e] ) ,又 g ?( x) ? , x ? ln x ( x ? ln x) 2

令 g ( x) ?

当 x ??1, ?? ? 时, 令h( x) ? x ? 2 ? 2ln x 则h?( x) ? 在 ?1, 2 ? 上, h?( x) ? 0 ,此时 f (x) 是减函数; 在 ? 2,??? 上, h?( x) ? 0 ,此时 f (x) 是增函数;

x?2 x

??h( x)?min ? h(2) ? 4 ? 2ln 2 ? 0
? h( x) ? x ? 2 ? 2 ln x ? 0 ,
从而 g ?( x) ? 0 (仅当 x=1 时取等号) ,所以 g (x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数, 故 g (x) 的最小值为 g (1) ? ?1 ,所以 a 的取值范围是 [?1,??) .??????15 分

8


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