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成都7中15届高二理科数学上期半期考试试卷


成都七中 2013-2014 学年度(上)期中考试试题 高 二 数 学(理科)
(命题人:廖学军 审题人:滕召波) 考试说明: (1)考试时间:120 分钟,试卷满分:150 分; (2)请将选择题答案涂在答题卡上,将非选择题答在答题卡相应位置上.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
参考公式:
4 3 p R .其中 R 表示球的

半径. 3 一、选择题:(本大题有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 下列命题正确的是( ) A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱. B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱. C.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的 几何体叫棱柱. D.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台. 2. 下列命题中正确的个数是( ) (1) 角的水平放置的直观图一定是角. (2) 相等的角在直观图中仍然相等. (3) 相等的线段在直观图中仍然相等. (4) 若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行. A.1 B.2 C.3 D.4 3. 若直线 a 不平行于平面?,则下列结论成立的是( ) A.?内的所有直线都与直线 a 异面. B.?内不存在与 a 平行的直线. C. ? 内的直线都与 a 相交. D.直线 a 与平面 ? 有 公共点. 4. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几 何体的表面积为() 3 3 5 A. π B.π + 3C. π + 3D. π + 3 2 2 2 5. 如图,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点, D 是 EF 的中点,现在沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个 四面体,使 G1,G2,G3 三点重合,重合后的点记为 G,则在四面体 S -EFG 中必有() A.SG⊥△EFG 所在平面 B.SD⊥△EFG 所在平面 C.GF⊥△SEF 所在平面 D.GD⊥△SEF 所在平面 6.已知两个平面垂直,下列命题: (1) 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意直线. (2) 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. (3) 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. (4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是( )

球的表面积公式: S = 4p R2 ;球的体积公式: V =

1

A.3 B.2 C.1 D.0 7.如图给出的是计算 1+++…+的值的一个程序框图,则图中执行框内① 开始 处和判断框中的②处应填的语句是( ) A.n=n+2,i=15 B.n=n+2,i>15 s=0,n=1,i=1 C.n=n+1,i=15 D.n=n+1,i>15 1 8.已知直角三角形 ABC,其三边分为 a、b、c(a>b>c).分别以三角形的 a 边, s=s+n b 边,c 边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体, 其表面积和体积分别为 S1,S2,S3 和 V1,V2,V3.则它们的关系为() ① A.S1>S2>S3, V1>V2>V3 B.S1>S2>S3, V1=V2=V3 i=i+1 C.S1<S2<S3, V1<V2<V3D.S1<S2<S3, V1=V2=V3 否 9.a 和 b 是两条异面直线,下列结论正确的个数是( ) ② 是 (1) 过不在 a、b 上的任一点,可作一个平面与 a、b 都平行. 输出 s (2) 过不在 a、b 上的任一点,可作一条直线与 a、b 都相交. (3) 过 a 可以并且只可以作一个平面与 b 平行. 结束 (4) 过不在 a、b 上的任一点,可作一条直线与 a、b 都垂直. A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF=, 则下列结论中错误的个数是( ) .. (1) AC⊥BE. (2) 若 P 为 AA1 上的一点,则 P 到平面 BEF 的距离为. (3) 三棱锥 A-BEF 的体积为定值. (4) 在空间与 DD1,AC,B1C1 都相交的直线有无数条. (5) 过 CC1 的中点与直线 AC1 所成角为 40?并且与平面 BEF 所成 角为 50?的直线有 2 条. A.0 B.1 C.2 D.3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、 填空题:(本大题有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.如图,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 4,M 为 BD1 的中点,N 在 A1C1 上,且|A1N|=3|NC1|,则 MN 的长为 . 12.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2,这个球的表面积为 12π ,则这个正四 棱柱的体积为 . 开始 13.执行如下图的程序框图,那么输出 S 的值是________.
S ? 2, k ? 1

k ? 5?




S? 1 1? S

输出 S

结束

k ? k ?1
14.已知圆台的上底半径为 2cm,下底半径为 4cm,圆台的高为 cm,则侧面展开图所在扇形的
2

圆心角=______. 15.下面是空间线面位置关系中传递性的部分相关命题: ① 与两条平行直线中一条平行的平面必与另一条直线平行; ② 与两条平行直线中一条垂直的平面必与另一条直线垂直; ③ 与两条垂直直线中一条平行的平面必与另一条直线垂直; ④ 与两条垂直直线中一条垂直的平面必与另一条直线平行; ⑤ 与两个平行平面中一个平行的直线必与另一个平面平行; ⑥ 与两个平行平面中一个垂直的直线必与另一个平面垂直; ⑦ 与两个垂直平面中一个平行的直线必与另一个平面垂直; ⑧ 与两个垂直平面中一个垂直的直线必与另一个平面平行. 其中正确命题的个数有_______个. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) (1)如图,?ABC 在平面?外,AB∩?=P,BC∩?=Q,AC∩?=R,求证:P,Q,R 三点共线.

(2)如图,空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB 和 CB 上的点,G,H 分别是 CD 和 AD 上的点, 且 EH 与 FG 相交于点 K. 求证:EH,BD,FG 三条直线相交于同一点.

17.(本题满分 12 分) 1 如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2 (1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 D—PQ—C 的余弦值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 为平行四边形,其中 AB= 2, BD=BC=1, AA1=2,E 为 DC 的中点,F 是棱 DD1 上的动点. (1)求异面直线 AD1 与 BE 所成角的正切值; (2)当 DF 为何值时,EF 与 BC1 所成的角为 90°?

19. (本小题满分 13 分)
3

如图,AA1、BB1 为圆柱 OO1 的母线,BC 是底面圆 O 的直径,D、E 分别是 AA1、CB1 的中点, DE⊥平面 CBB1. (1) 证明:DE∥平面 ABC; (2)求四棱锥 C—ABB1A1 与圆柱 OO1 的体积比; (3)若 BB1=BC,求直线 CA1 与平面 BB1C 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 13 分) 如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60° 的角,AA1=2.底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其重心为 G 点,E 是线段 BC1 上一点, 且 BE=BC1. (1)求证:GE∥侧面 AA1B1B; (2)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的正切值; (3)求点 B 到平面 B1GE 的距离.

21. (本小题满分 13 分) 如图所示,在三棱锥 A—BCD 中,侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜 边,且 AD= 3,BD=CD=1,另一个侧面 ABC 是正三角形. (1)当正视图方向与向量 CD 的方向相同时, 画出三棱锥 A—BCD 的三视图;(要求标出尺寸) (2)求二面角 B—AC—D 的余弦值; (3)在线段 AC 上是否存在一点 E,使 ED 与平面 BCD 成 30°角? 若存在,确定点 E 的位置;若不存在,说明理由.

??? ?

成都七中 2013-2014 学年度(上)期中考试试题
4

高 二 数 学(理科)参考答案
一、选择题: (每小题 5 分)1-5CB DC A 6-10CBCBA 二、填空题: (每小题 5 分)11. 6 12.8 13. -1 14.

4 ? 15. 2 3

三.解答题: 16. (1)证明:因为AB ? ? ? P,AB ? 平面ABC,

所以P ? 平面ABC,P ? ?,所以P在平面ABC与平面?的交线上. 同理可证,Q和R均在这条交线上,所以P,Q,R三点共线.
(2) 提示:直线EH和FG相交于点K;由点K ? EH,EH ? 平面ABD,得K ? 平面ABD
由于FG ? 平面BCD,而K ? FG,所以K ? 平面BCD,平面ABD ? 平面BCD=BD, ( 每小问各 6 分) 因此,点K ? 直线BD,三条直线交于同一点 17.(1)证明:如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,以 AD、DP、DC 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz. → → 依题意有 Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1), → → → → → PQ=(1,-1,0).所以PQ·DQ=0,PQ·DC=0, 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC. 又 DQ∩DC=D,所以 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ?平面 PQC, 所以平面 PQC⊥平面 DCQ. 6 (2)?CQD 为二面角的平面角余弦值为 . ( 每小问各 6 分) 3 18. 每小问各 6 分) ( 解析:方法 1:(1)连接 EC1.在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD1∥BC1, 则∠EBC1 为异面直线 AD1 与 BE 所成的角.

又底面ABCD⊥侧面DCC1D1
? ? ??BE⊥CD E为CD的中点? ?

BD=BC

? ??BE⊥侧面 DCC D ?BE⊥EC . ?
1 1 1

在 Rt△BEC1 中,BE= BC -EC = 所以 tan ∠EBC1= EC1 =3. EB

2

2

2 3 2 2 2 ,EC1= CC1 +CE = , 2 2

1 (2)当 DF= 时,EF 与 BC1 所成的角为 90°. 4 由(1)知,BE⊥侧面 DCC1D1?BE⊥EF.又 DE=EC= 2 ,CC1=AA1=2. 2

1 2 2 1 DF 4 2 DE 2 当 DF= 时,因为 = = , = = , 4 CE 4 2 4 CC1 2 2 所以△DEF∽△CC1E,所以∠DEF+∠CEC1=90°, 所以∠FEC1=90°,即 FE⊥EC1.又 EB∩EC1=E,所以 EF⊥平面 BEC1, 所以 EF⊥BC1,即 EF 与 BC1 所成的角等于 90°. 2 2 2 方法 2:由 BC +BD =DC 可知 BD⊥BC,分别以 BC、BD、BB1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直
5

角坐标系,如图,则 B(0,0,0),A(-1,1,0),D(0,1,0),D1 (0,1,2), 1 1 1 1 → → C(1,0,0),C1(1,0,2),E( , ,0).因为AD1=(1,0,2),BE=( , ,0), 2 2 2 2 1 2 1 10 → → 所以 cos 〈AD1,BE〉= = = , 2 10 10 5× 2 3 10 → → → → 所以 sin 〈AD1,BE〉= ,所以 tan 〈AD1,BE〉=3, 10 即 AD1 与 BE 所成的角的正切值为 3. 1 1 → → 设 F(0,1,q),则EF= (- , ,q).又BC1=(1,0,2), 2 2 1 1 1 → → 由EF·BC1=(- )×1+0× +q·2=0,得 q= , 2 2 4 1 即 DF= 时,EF⊥BC1. 4 19.(1)如图,连接 EO、OA.? E、O 分别为 CB1、BC 的中点, ? EO 是 ?BB1C 的中位 线,? EO / / BB1 且 EO ?

1 BB1 . 2 1 BB1 ? EO,? DA // EO 且 2

又 DA / / BB1 , AA1 ? BB1 , 故 DA ?

DA ? EO , ? 四边形 AOED 是平行四边形,即 DE / / OA ,

又 DE ? 平面ABC , OA ? 平面ABC ,? DE / / 平面ABC . ……3 分 (2)如图,连接 CA .由题知 DE ? 平面CBB1 ,且由(1)知 DE / / OA ,

? AO ? 平面CBB1 ,? AO ? BC , ? AC ? AB ? 2OA .
? BC
是底面圆 O 的直径,? CA ? AB .又 AA1 是圆柱的母线,

? AA1 ? 平面ABC ,? AA1 ? CA, 又AA1 ? AB ? A ,? CA ? 平面AA1 B1 B ,
即 CA 为四棱锥 C ? ABB1 A1 的高.

1 设圆柱高为 h ,底面半径为 r ,则 V圆柱 =? r 2 h,VC ? ABB A ? h 1 1 3
?VC ? ABB1 A1 : V圆柱 2 2 hr 2 . ? 3 2 ? ? r h 3?

?

2r ?

??

2r ?

?

2 2 hr , 3

……

5分

(3)如图,作 过 C 的母线 CC1 ,连接 B1C1 , 则 B1C1 是上底面圆 O1 的 直径, 连接 A1O1 ,则

A1O1 / / AO ,又 AO ? 平面CBB1C1 ,? A1O1 ? 平面CBB1C1 ,连接 CO1 ,则
6

?A1CO1 为直线 CA1 与平面 BB1C 所成的角.
? A1C ? AC 2 ? AA12 ?

? 2r ? ? ? 2r ?
2

2

? 6r , A1O1 ? r , ? 在 Rt ?A1O1C 中, sin ?A CO ? A1O1 ? 6 . 1 1
A1C 6

? 直线 CA1 与平面 BB1C 所成角的正弦值为 6 .
6

…… 5 分

20.解法 1:(1)延长 B1E 交 BC 于点 F,? ?B1 EC1 ∽△FEB,BE= ∴BF=

1 EC1, 2

1 1 B1C1= BC,从而点 F 为 BC 的中点. 2 2

∵G 为△ABC 的重心,∴A、G、F 三点共线.且 FG ? FE ? 1 ,? GE // AB1 , FA FB1 3 又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B.…… 4 分 (2)在侧面 AA1B1B 内,过 B1 作 B1H⊥AB,垂足为 H,∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, ∴B1H⊥底面 ABC.又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角,AA1=2,∴∠B1BH=60°,BH=1,B1H= 3. 在底面 ABC 内,过 H 作 HT⊥AF,垂足为 T,连 B1T,由三垂线定理有 B1T⊥AF, 又平面 B1CE 与底面 ABC 的交线为 AF,∴∠B1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°,∴HT=AH sin 30? ?

3 BH .在 Rt△B1HT 中, tan ?B1TH ? 1 ? 2 3 , 2 HT 3
3

从而平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 . …… 5 分 6 (3)用等积可求得点 B 到平面 B1GE 的距离是 3 . ……4 分

解法 2:(1)∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角,∴∠A1AB=60°, 又 AA1=AB=2,取 AB 的中点 O,则 AO⊥底面 ABC. 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O— xyz 如图, 则 A ? 0, ?1, 0 ? , B ? 0,1, 0 ? , C

?

3, 0, 0 , A1 0, 0, 3 ,

? ?

?

B1 0, 2, 3 , C1

?

?

?

3,1, 3 . ∵G 为△ABC 的重心,

?

??? 1 ???? ? ? ∴ G ? 3 , 0, 0 ? .? BE ? BC1 ,∴ E ? 3 ,1, 3 ? , ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ?
??? ? ???? ∴ CE ? ? 0,1, 3 ? ? 1 AB . ? ? 1 ? ? ? 3 ? 3

又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B.

? 3 ???? 2 3 c ? 0, ?n ? B1 E ? 0, ? a ? b ? ? (2)设平面 B1GE 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则由 ? ??? 得? 3 3 ? ? ?n ? GE ? 0. ? ?b ? 3 c ? 0. ? 3 ?

可取 n ?

?

3, ?1, 3

?

又底面 ABC 的一个法向量为 m ? ? 0, 0,1?

7

设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 ? ,则 cos ? ?

m?n 21 . ? | m |?| n | 7

由于 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 2 7 ,进而 tan ? ? 2 3 . 7 3 故平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 . (3) 由(2)可知平面 B1GE 的法向量为 n ?

?

3 ??? ? 3, ?1, 3 ,BG ? ( 3 , ?1, 0) ,

?

所以点 B 到平面 B1GE 的距离: 3 ??? ? ? ( , ?1, 0) ? ( 3, ?1, 3) BG ? n 3 2 2 7 d? ? ? ? ? 7 7 …… 4 分 n ( 3, ?1, 3) 21.(1) 三棱锥 A—BCD 的三视图如右图所示: (2)解设平面 ABC 的法向量为 n1=(x,y,z), → → 则由 n1⊥BC知:n1·BC=-x+y=0, → → 同理由 n1⊥AC知:n1·AC=-x-z=0, 可取 n1=(1,1,-1), 1 同理,可求得平面 ACD 的一个法向量为 正视图 n1=(1,0,-1). n1·n2 1+0+1 6 1 ∴cos〈n1,n2〉= = = . |n1||n2| 3× 2 3 6 即二面角 B—AC—D 的余弦值为 3 .…… 5 分 俯视图

3

…… 3 分

1
侧视图

→ (3)解设 E(x,y,z)是线段 AC 上一点,则 x=z>0,y=1,所以DE=(x,1,x),设平面 BCD → 的一个法向量为 n=(0,0,1), 要使 ED 与平面 BCD 成 30°角, 由图可知DE与 n 的夹角为 60°, → DE·n 1 → 2 所以 cos〈DE,n〉= =cos60°= ,所以 2x= 1+2x , → 2 |DE||n| 2 ,所以 CE= 2x=1. 2 故线段 AC 上存在一点 E,使 ED 与平面 BCD 成 30°角, 且当 CE=1 时,ED 与平面 BCD 成 30°角.…… 5 分 解得 x=

8

9


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