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上海市浦东新区2014届高三数学一模试卷(理科


上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测

高三数学试卷(理卷)
2014.1 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1. lim

n2 ? 1 ? ___________. n?? 2n 2 ? n
x ? 0 的解是_

__________. x ?1

2. 不等式

3.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3,(n ? 2, n ? N * ) ,则 an =___________. 4.已知 tan ?、 tan ? 是方程 x 2 ? 6 x ? 7 ? 0 的两根,则 tan(? ? ? ) =_______. 5.甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生.为统计三校学生某方面的 情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,则应在甲校抽取的学生数 是___________. 6.已知函数 f ( x) ?

1 2x

?1 的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (12) ? ___________. x 4

7.已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? a ? 3i(a ? R), z1 ? z2 是 实数,则 z1 ? z2 =___________.
2 9 3 8.二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是___________.

1 x

9.在锐角 V ABC 中, AC ? 4, BC ? 3 ,三角形的面积等于 3 3 ,则 AB 的长为___________. 10. 已知圆锥的底面半径为 3,体积是 12? ,则圆锥侧面积等于___________. 11. 某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为社区志愿者,若用随机变量 ? 表示选出 的志愿者中女生的人数,则随机变量 ? 的数学期望 E? =_____(结果用最简分数表示). 13. 用 | S | 表示集合 S 中的元素的个数,设 A、B、C 为集合,称 ( A, B, C ) 有为有序三元 组.如果集合 A、B、C 满足 A I B = B I C = C I A = 1,且 A I B I C ? ? ,则称有序 三元组 ( A, B, C ) 为最小相交.由集合 {1,2,3,4} 的子集构成的所有有序三元组中,最小相交 的有序三元组的个数为
*


*
*

14. 已知函数 y ? f ( x), x ? N , y ? N ,对任意 n ? N 都有 f [ f (n)] ? 3n ,且 f ( x ) 是增函 数,则 f (3) ?

1/3

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设 a, b ? R, a ? b ,则下列不等式一定成立的是( (A) a 2 > b 2 (B) )

1 1 < a b

(C) a 2 > ab )

(D) 2a > 2b

16. 方程 log5 x = sin x 的解的个数为( (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5

17.已知函数 f ( x) ?

x2 ,则 x2 ?1

?1? f ?1? ? f ? 2 ? ? K ? f (2013) ? f ? 2014 ? ? f ? ? ? ?2?
( )

?1? ? 1 ? f ? ? ?L ? f ? ?? ? 3? ? 2013 ?

? 1 ? f? ?? ? 2014 ?

(A) 2010

1 2

(B) 2011

1 2

(C) 2012

1 2

(D) 2013

1 2

18. 如图所示,点 A, B, C 是圆 O 上的三点,线段 OC 与线段 AB 交于

uuu r uur uu u r 圆内一点,若 OC ? mOA ? nOB ,则(
(A) 0 ? m ? n ? 1 ;

A C
O B



(B) m ? n ? 1 ;

(C) m ? n ? ?1 ; (D) ?1 ? m ? n ? 0 ; 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出 必要的步骤. 19. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 如 图 , 四 棱 锥 S ? ABCD 的 底 面 是 正 方 形 , SD ⊥ 平 面

ABCD , SD ? AD ? 2
(1)求证: AC ? SB ; (2)求二面角 C ? SA ? D 的大小.

20.(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明, 声音强度 D (分贝) 由公式 D ? a lg I ? b ( a、 b 为非零常数)给出,其中 I (W / cm ) 为声音能量.
2

(1)当声音强度 D1 , D2 , D3 满足 D1 ? 2D2 ? 3D3 时,求对应的声音能量 I1 , I 2 , I 3 满足的 等量关系式; (2)当人们低声说话,声音能量为 10
?13

W / cm2 时,声音强度为 30 分贝;当人们正常说
2/3

话,声音能量为 10

?12

W / cm2 时,声音强度为 40 分贝.当声音能量大于 60 分贝时属于噪音,

一般人在 100 分贝~120 分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时, 人会暂时性失聪. 21、 (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 如图, 设 A(

3 1 一个动点从点 A , ) 是单位圆上一点, 2 2

y

出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转, 12 秒旋转一 周 . 2 秒时,动点到达点 B , t 秒时动点到达点 P . 设

A O x

P( x, y)















y ? f (t ) ? sin(?t ? ? ) (?

?
2

?? ?

?
2

).

(1)求点 B 的坐标,并求 f (t ) ; (2)若 0 ? t ? 6 ,求 AP ? AB 的取值范围. 22、 (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

??? ? ??? ?

1 ? x2 1 ? x2 . ? a 1 ? x2 1 ? x2

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的最小值; (2)当 a ? 1 时,判断 f ( x ) 的单调性,并说明理由; (3)求实数 a 的范围,使得对于区间 ? ? 以 f (r )、f ( s)、f (t ) 为边长的三角形. 23、 (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 设项数均为 k ( k ? 2, k ? N * )的数列 {an } 、 {bn } 、 {cn } 前 n 项的和分别为 Sn 、 Tn 、 U n . 已知集合 {a1 , a2 , ?, ak , b1, b2 , ?, bk } = {2, 4, 6, ?, 4k ? 2, 4k} . (1)已知 U n ? 2n ? 2n ,求数列 {cn } 的通项公式; (2)若 Sn ? Tn ? 2n ? 2n

? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存在 5 5 ? ?

(1 ? n ? k , n ? N * ) ,试研究 k ? 4 和 k ? 6 时是否存在符合

条件的数列对( {an } , {bn } ) ,并说明理由; ( 3)若 an ? bn ? 2n (1 ? n ? k , n ? N * ) ,对于固定的 k ,求证:符合条件的数列对 ( {an } , {bn } )有偶数对.

3/3

上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测 高三数学试卷答案(理卷)
2014.1 一、填空题. 1.

1 2

2. 0 ? x ? 1 (或 (0,1) ) 8. -126 9.

3. 3n ? 2

4. 1

5. 30

6. log2 3

7. 4 2 11. (理)

13

10. 15? 14.6

4 7

12. 1< a <4

13. 96

二、选择题 15. D 16. B 17. D 18. B

三、解答题 19.解:(1)连接 BD,∵ SD ⊥平面 ABCD

AC ? 平面 ABCD
∴AC⊥SD ………………4 分

又四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD ∴AC ⊥平面 SBD ∴AC⊥SB. ………………6 分

(2)设 SA 的中点为 E ,连接 DE 、 CE , ∵SD=AD,CS=CA, ∴DE⊥SA, CE⊥SA. ∴ ?CED 是二面角 C ? SA ? D 的平面角. …………9 分 计算得:DE= 2 ,CE= 6 ,CD=2,则 CD⊥DE.

cos ?CED ?

3 3 , ?CED ? arccos 3 3
3 .………12 分 3

所以所求二面角的大小为 arccos 20.解: (1)? D1 ? 2D2 ? 3D3

? a lg I1 ? b ? 2(a lg I 2 ? b) ? 3(a lg I 3 ? b) ? lg I1 ? 2 lg I 2 ? 3 lg I 3

…………………………2 分

………………………………………………4 分 …………………………………………………6 分 ………………………………………8 分
4/3

? I1 ? I 2 ? I 3
(2)由题意得 ?

2

3

?? 13a ? b ? 30 ?? 12a ? b ? 40

?a ? 10 ? ?b ? 160

………………………………………10 分

? 100 ? 10lg I ? 160 ? 120
10?6 ? I ? 10?4
………………………………………………………13 分

答:当声音能量 I ? (10?6 ,10?4 ) 时,人会暂时性失聪. ………………………………14 分 21、解: (1)当 t ? 2 时, ?AOB ? 2 ? 所以 ?XOB ?

?
2

2? ? ? , 12 3

所以,点 B 的坐标是(0,1) ……………………………………………………2 分 又 t 秒时, ?XOP ?

?
6

?

?
6

t

………………………………………………………4 分

?? ?? ? y ? sin ? t ? ? , (t ? 0) . …………………………………………………………6 分 6? ?6
(2)由 A ?

??? ? ? ? 3 1? 3 1? , , B(0,1) ,得 AB ? ? ? ? ? 2 2? ? 2 ,2? ?, ? ? ? ?

又 P ? cos ?

? ?

?? ? ?? ?? ?? t ? ? ,sin ? t ? ? ? , 6? 6 ?? ?6 ?6

??? ? ? ?? 3 ? ? 1? ?? ?? ? AP ? ? cos t ? ? ,sin t ? ? ? ? ? ? ? ,…………………………8 分 ? 6? 2 6 ? 2? ?6 ?6 ? ?

??? ? ??? ? 3 3 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? ? AP ? AB ? ? cos ? t ? ? ? ? sin ? t ? ? 4 2 6? 4 2 ?6 6? ?6
? 1 ? ?? 1 ?? ?? ?? ? sin ? t ? ? ? ? ? sin ? t ? ? ………………………………10 分 2 6 3? 2 6? ?6 ?6

? ? ? ? 5? ? ?? ? 1 ? ?? ? 0 ? t ? 6 ,? t ? ? ?? , ? ,?sin ? t ? ? ? ?? ,1? …………12 分 6 6 ? 6 6 ? 6? ? 2 ? ?6
所以, AP ? AB 的取值范围是 ?0, ? 2

??? ? ??? ?

? 3? ? ?

………………………………14 分

22、解:易知 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) ,且 f ( x ) 为偶函数. (1) a ? 1 时, f ? x ? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ………………………2 分 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4
5/3

1 ? x2 1 ? x2 x ? 0 时 f ? x? ? 最小值为 2. ? 1 ? x2 1 ? x2
(2) a ? 1 时, f ? x ? ?

………………………4 分

1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4

x ??0,1? 时,

f ? x ? 递增;

x ? ? ?1,0? 时, f ? x ? 递减; ………………………6 分

f ( x) 为偶函数.所以只对 x ??0,1? 时,说明 f ? x ? 递增.
设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 0 ,得
4 4

1 1? x
4 1

?

1
4 1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

1 1 ? x14

?

1
4 1 ? x2

?0

所以 x ??0,1? 时, (3) t ?

f ? x ? 递增; ……………………………………………10 分

? 2 5 2 5? a 1 1 1 ? x2 , ,? x ? ? ? ? ,? t ? [ ,1] ,? y ? t ? ( ? t ? 1) 2 t 3 5 ? 3 1? x ? 5
1 3

从而原问题等价于求实数 a 的范围,使得在区间 [ ,1] 上, 恒有 2 ymin ? ymax . ①当 0 ? a ? ……………………………………………………………11 分

1 a 1 时, y ? t ? 在 [ ,1] 上单调递增, 9 t 3 1 1 ? ymin ? 3a ? , ymax ? a ? 1, 由 2 ymin ? ymax 得 a ? , 3 15 1 1 ? a ? ; …………………………………………………………………12 分 从而 15 9 1 1 a 1 ②当 ? a ? 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 9 3 t 3 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? a ? 1 , 3 1 1 由 2 ymin ? ymax 得 7 ? 4 3 ? a ? 7 ? 4 3 ,从而 ? a ? ;……………………13 分 9 3 1 a 1 ③当 ? a ? 1 时, y ? t ? 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 3 t 3 1 1 ? ymin ? 2 a , ymax ? max{3a ? , a ? 1} ? 3a ? , 3 3
由 2 ymin ? ymax 得

1 7?4 3 7?4 3 ?a? ,从而 ? a ? 1 ; …………………14 分 3 9 9

6/3

a 1 在 [ ,1] 上单调递减, t 3 1 ? ymin ? a ? 1, ymax ? 3a ? , 3 5 5 由 2 ymin ? ymax 得 a ? ,从而 1 ? a ? ;……………………………………………15 分 3 3 1 5 ? a ? . …………………………………………………………………16 分 综上, 15 3
④当 a ? 1 时, y ? t ? 23、解: (1) n ? 1 时, c1 ? U1 ? 4

n ? 2 时, cn ? Un ? Un ?1 ? 2n ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 2n ?1 , c1 ? 4 不适合该式
故, cn ? ?

? 4, n ? 1
n ?1 ?2 ? 2 , 2 ? n ? k

…………………………………………………………4 分

(2) a1 ? b1 ? S1 ? T1 ? 4 ,

n ? 2 时, an ? bn ? (Sn ? Sn?1 ) ? (Tn ? Tn?1 ) ? (Sn ? Tn ) ? (Sn?1 ? Tn?1 )

? 2n ? 2n ? 2(n ?1) ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1

……………………6 分

当 k ? 4 时, a1 ? b1 ? 4 , a2 ? b2 ? 4 , a3 ? b3 ? 6 , a4 ? b4 ? 10

{a1 , a2 , a3 , a4 , b1, b2 , b3 , b4} = {2, 4, 6, 8,10,12,14,16}
数列 {an } 、 {bn } 可以为(不唯一) : ① 6,12,16,14;2,8,10,4 ② 16,10,8,14;12,6,2,4 …………………8 分

当 k ? 6 时, ak ? bk ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? (1 ? 1)k ?1
1 2 k ?2 k ?1 ? 2 ? Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ? ?? Ck ?1 ? Ck ?1

1 2 2 ? 2 ? 2(Ck0?1 ? Ck ?1 ? Ck ?1 ) ? k ? k ? 4 ? (k ? 1)(k ? 4) ? 4k ? 4k

此时 ak 不存在. 故数列对( {an } , {bn } )不存在.

………………………………10 分

另证: ak ? bk ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ?1 ? 4k ? 2k ? 8k ? 4
0 1 1 当 k ? 6 时, 2k ? Ck ? Ck ? Ck2 ??? Ckk ?1 ? Ckk ? 2(Ck0 ? Ck ? Ck2 ) ? k 2 ? k ? 2 ? 8k ? 4

(3)令 dn ? 4k ? 2 ? bn , en ? 4k ? 2 ? an ( 1 ? n ? k , n ? N * )

…………………12 分

dn ? en ? (4k ? 2 ? bn ) ? (4k ? 2 ? an ) ? an ? bn ? 2n
又 {a1 , a2 , ?, ak , b1, b2 , ?, bk } = {2, 4, 6, ?, 4k} ,得

{4k ? 2 ? a1, 4k ? 2 ? a2 , ?, 4k ? 2 ? ak , 4k ? 2 ? b1, 4k ? 2 ? b2 , ?, 4k ? 2 ? bk }
= {2, 4, 6, ?, 4k} 所以,数列对( {an } , {bn } )与( {d n } , {en } )成对出现。 ……………………16 分 假设数列 {an } 与 {d n } 相同,则由 d2 ? 4k ? 2 ? b2 ? a2 及 a2 ? b2 ? 4 ,得 a2 ? 2k ? 3 ,

b2 ? 2k ? 1,均为奇数,矛盾!

7/3

故,符合条件的数列对( {an } , {bn } )有偶数对。

……………………18 分

8/3


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