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椭圆的标准方程练习题


椭圆的标准方程
一、填空题 x2 y2 1.方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是________. 25-m 16+m
9 9 9 解析: 因为焦点在 y 轴上, 所以 16+m>25-m, 即 m> , 又因为 b2=25-m>0, 故 m<25, 所以 m 的取值范围为 <m<25.答案: &

lt;m<25 2 2 2

x2 y2 2.椭圆 + =1(m<n<0)的焦点坐标是________. -m -n

解析:因为 m<n<0,所以-m>-n>0,故焦点在 x 轴上,所以 c= ?-m?-?-n?= n-m,故焦点坐标为( n-m,0),(- n-m, 0).答案:( n-m,0),(- n-m,0) x2 y2 3.已知椭圆的标准方程是a2+25=1(a>5),它的两焦点分别是 F1,F2,且 F1F2=8,弦 AB 过点 F1,则△ABF2 的周长

为________.
解析:因为 F1F2=8,即即所以 2c=8,即 c=4,所以 a2=25+16=41,即 a= 41,所以△ABF2 的周长为 4a=4 41.答案:4 41

x2 y2 4.过点(-3,2)且与椭圆 + =1 有相同焦点的椭圆的标准方程是________. 9 4

x2 y2 9 4 解析:因为 c2=9-4=5,所以设所求椭圆的标准方程为 2+ 2 =1.由点(-3,2)在椭圆上知 2+ 2 =1,所以 a2=15.所以所求 a a -5 a a -5 x2 y2 x2 y2 椭圆的标准方程为 + =1.答案: + =1 15 10 15 10 y2 x2 y2 x2 解析:由 PF1+PF2=2F1F2=2×2=4,得 2a=4.又 c=1,所以 b2=3.所以椭圆的标准方程是 + =1.答案: + =1 4 3 4 3

5. 已知椭圆的焦点是 F1(0, -1)、 F2(0,1), P 是椭圆上一点, 并且 PF1+PF2=2F1F2, 则椭圆的标准方程是________. 6.已知椭圆的两个焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),且 2a=10,则椭圆的标准方程是________. x2 y2 x2 y2 解析:由椭圆定义知 c=1,∴b= 52-1= 24.∴椭圆的标准方程为 + =1.答案: + =1 25 24 25 24 7.若△ABC 的两个顶点坐标 A(-4,0),B(4,0),△ABC 的周长为 18,则顶点 C 的轨迹方程为________.

解析:顶点 C 到两个定点 A,B 的距离之和为定值 10,且大于两定点间的距离,因此顶点 C 的轨迹为椭圆,并且 2a=10,所以 a x2 y2 =5,2c=8,所以 c=4,所以 b2=a2-c2=9,故顶点 C 的轨迹方程为 + =1.又 A、B、C 三点构成三角形,所以 y≠0.所以顶点 C 的 25 9 x2 y2 x2 y2 轨迹方程为 + =1(y≠0)答案: + =1(y≠0) 25 9 25 9

x2 y2 8.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆上的一点,Q 是 PF1 的 16 9 中点,若 OQ=1,则 PF1=________. 解析:如图所示,连结 PF2,由于 Q 是 PF1 的中点,所以 OQ 是△PF12 的中位线,所 以 PF2=2OQ=2,根据椭圆的定义知,PF1+PF2=2a=8,所以 PF1=6.答案:6 x2 y2 9. 设 F1、 F2 是椭圆 + =1 的两个焦点, P 是椭圆上的点, 且 PF1∶PF2=2∶1, 则△PF1F2 的面积等于________. 9 4
解析:由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= 5,∴PF1+PF2=2a=6.又 PF1∶PF2=2∶1,∴PF1=4,PF2=2,由 22+42=(2 5)2 可 1 1 知△PF1F2 是直角三角形,故△PF1F2 的面积为 PF1· PF2= ×2×4=4.答案:4 2 2

二、解答题 10.已知椭圆 x2+2y2=a2(a>0)的左焦点 F1 到直线 y=x-2 的距离为 2 2,求椭圆的标准方程.
x2 y2 解:原方程可化为 2+ 2=1(a>0),∴c= a a 2

? a2 2 2 a - = a,即左焦点 F1?- a,0?.由已知得 2 2 ? 2 ?
2

?-

2 a-2? 2 ? 2

=2 2,解得 a=2 2或 a

x2 y2 =-6 2(舍去),即 a2=8.∴b2=a2-c2=8-4=4.故所求椭圆的标准方程为 + =1. 8 4

11.已知圆 C:(x-3)2+y2=100 及点 A(-3,0),P 是圆 C 上任意一点,线段 PA 的垂直平分线 l 与 PC 相交于点 Q,求点 Q 的轨迹方程. 解:如图所示.∵l 是线段 PA 的垂直平分线,∴AQ=PQ.∴AQ+CQ=PQ+CQ=CP =10,且 10>6. ∴点 Q 的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆,且 2a=10,c=3,即 a=5,b=4.∴点 Q 的轨 x2 y2 迹方程为 + =1. 25 16

1

x2 y2 12.已知 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上任意一点. 100 64 π (1)若∠F1PF2= ,求△F1PF2 的面积; 3 (2)求 PF1· PF2 的最大值. 2 解:(1)设 PF1=m,PF2=n(m>0,n>0).根据椭圆的定义得 m+n=20.在△F1PF2 中,由余弦定理得 PF2 1+PF2- π 2 2 2PF1· PF2· cos∠F1PF2=F1F2 cos =122.∴m2+n2-mn=144,即(m+n)2-3mn=144.∴202-3mn= 2,即 m +n -2mn· 3 256 1 1 π 1 256 3 64 3 144,即 mn= .又∵S△F1PF2= PF1· PF2· sin∠F1PF2= mn· sin ,∴S△F1PF2= × × = . 3 2 2 3 2 3 2 3 ?PF1+PF2?2=?20?2=100, (2)∵a=10,∴根据椭圆的定义得 PF1+PF2=20.∵PF1+PF2≥2 PF1·PF2,∴PF1·PF2≤? ? ? ? ? 2 ? ?2? 当且仅当 PF1=PF2=10 时,等号成立.∴PF1·PF2 的最大值是 100.

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