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[广州新王牌补习班]小学数学奥数知识总结归纳30点

1.和差倍问题 和差问题 和倍问题 差倍问题 已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数 公式适用范围 已知两个数的和,差,倍数关系 2=较小数 公式 ①(和-差)÷ 较小数+差=较大数 和-较小数=较大数 ②(和+差)÷ 2=较大数 较大数-差=较小数 和-较大数=较小数 (倍数+1)=

小数 和÷ 小数× 倍数=大数 和-小数=大数 (倍数-1)=小数 差÷ 小数× 倍数=大数 小数+差=大数 关键问题 求出同一条件下的 和与差 和与倍数 差与倍数

2.年龄问题的三个基本特征: ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;

3.归一问题的基本特点:问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这 样的速度”……等词语来表示。 关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量;

4.植树问题 基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树, 两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式 棵数=段数+1 棵距× 段数=总长 棵数=段数-1 棵距× 段数=总长 棵数=段数 棵距× 段数=总长 关键问题 确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系

5.鸡兔同笼问题 基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路: ①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样) : ②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少; ③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因; ④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。 基本公式: ①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数× 总头数-总脚数)÷ (兔脚数-鸡脚数) ②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数× 总头数)÷ (兔脚数一鸡脚数) 关键问题:找出总量的差与单位量的差。

6.盈亏问题 基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产 生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对 象的总量. 基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关 系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量. 基本题型: ①一次有余数,另一次不足;

基本公式:总份数=(余数+不足数)÷ 两次每份数的差 ②当两次都有余数; 基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷ 两次每份数的差 ③当两次都不足; 基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷ 两次每份数的差 基本特点:对象总量和总的组数是不变的。 关键问题:确定对象总量和总的组数。

7.牛吃草问题 基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差; 再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点:原草量和新草生长速度是不变的; 关键问题:确定两个不变的量。 基本公式: 生长量=(较长时间× 长时间牛头数-较短时间× 短时间牛头数)÷ (长时间-短时间) ; 总草量=较长时间× 长时间牛头数-较长时间× 生长量;

8.周期循环与数表规律 周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。 周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 关键问题:确定循环周期。 闰 年:一年有366天; ①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除; 平 年:一年有365天。 ①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;

9.平均数 基本公式:①平均数=总数量÷ 总份数 总数量=平均数× 总份数 总份数=总数量÷ 平均数

②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷ 总份数 基本算法: ①求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算. ②基准数法:根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或 者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再 求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系 见基本公式②。

10.抽屉原理 抽屉原则一:如果把(n+1)个物体放在 n 个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物 体。 例:把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况: ①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个抽屉里有2个或多于 2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。 抽屉原则二:如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里,其中 n>m,那么必有一个抽屉至少有: ①k=[n/m ]+1个物体:当 n 不能被 m 整除时。 ②k=n/m 个物体:当 n 能被 m 整除时。 理解知识点:[X]表示不超过 X 的最大整数。 例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2; 关键问题: 构造物体和抽屉。 也就是找到代表物体和抽屉的量, 而后依据抽屉原则进行运算。 11.定义新运算 基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。 基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按 照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12.数列求和

等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。 基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用 a1表示; 项数:等差数列的所有数的个数,一般用 n 表示; 公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用 d 表示; 通项:表示数列中每一个数的公式,一般用 an 表示; 数列的和:这一数列全部数字的和,一般用 Sn 表示. 基本思路:等差数列中涉及五个量:a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中 三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。 基本公式:通项公式:an = a1+(n-1)d; 通项=首项+(项数一1) × 公差; n÷ 2; 数列和公式:sn,= (a1+ an)× 2; 数列和=(首项+末项)× 项数÷ d+1; 项数公式:n= (an+ a1)÷ 项数=(末项-首项)÷ 公差+1; 公差公式:d =(an-a1) )÷ (n-1) ; 公差=(末项-首项)÷ (项数-1) ; 关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式;

13.二进制及其应用 十进制:用0~9十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2 102+3× 10+4。 表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2× =An× 10n-1+An-1× 10n-2+An-2× 10n-3+An-3× 10n-4+An-4× 10n-5+An-6× 10n-7+……+A3× 1 02+A2× 101+A1× 100 注意:N0=1;N1=N(其中 N 是任意自然数)

二进制:用0~1两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。 2n-1+An-1× 2n-2+An-2× 2n-3+An-3× 2n-4+An-4× 2n-5+An-6× 2n-7 (2)= An× +……+A3× 22+A2× 21+A1× 20 注意:An 不是0就是1。

十进制化成二进制: ①根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按 自下而上依次写出即可。 ②先找出不大于该数的2的 n 次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的 n 次方,依此 方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。

14.加法乘法原理和几何计数 加法原理:如果完成一件任务有 n 类方法,在第一类方法中有 m1种不同方法,在第二类方 法中有 m2种不同方法……,在第 n 类方法中有 mn 种不同方法,那么完成这件任务共有: m1+ m2....... +mn 种不同的方法。 关键问题:确定工作的分类方法。 基本特征:每一种方法都可完成任务。 乘法原理:如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行,做第1步有 m1种方法,不管第1步用 哪一种方法, 第2步总有 m2种方法……不管前面 n-1步用哪种方法, 第 n 步总有 mn 种方法, m2....... × mn 种不同的方法。 那么完成这件任务共有:m1× 关键问题:确定工作的完成步骤。 基本特征:每一步只能完成任务的一部分。 直线:一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。 直线特点:没有端点,没有长度。 线段:直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。 线段特点:有两个端点,有长度。 射线:把直线的一端无限延长。 射线特点:只有一个端点;没有长度。 ①数线段规律:总数=1+2+3+…+(点数一1) ; ②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1) ; ③数长方形规律:个数=长的线段数× 宽的线段数: ④数长方形规律:个数=1× 1+2× 2+3× 3+…+行数× 列数

15.质数与合数 质数:一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。

合数:一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。 质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质 因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式: N=,其中 a1 、 a2 、a3……an 都是合数 N 的质因数,且 a1<a2<a3<……<an。 (r2+1)× (r3+1)×……×(rn+1) 求约数个数的公式:P=(r1+1)× 互质数:如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。

16.约数与倍数 约数和倍数:若整数 a 能够被 b 整除,a 叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的约数。 公约数:几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最 大公约数。 最大公约数的性质: 1、 几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。 2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 3、 几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。 4、 几个数都乘以一个自然数 m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m。 例如:12的约数有1、2、3、4、6、12; 18的约数有:1、2、3、6、9、18; 那么12和18的公约数有:1、2、3、6; 那么12和18最大的公约数是:6,记作(12,18)=6; 求最大公约数基本方法: 1、分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。 2、短除法:先找公有的约数,然后相乘。 3、辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约 数。 公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最 小公倍数。

12的倍数有:12、24、36、48……; 18的倍数有:18、36、54、72……; 那么12和18的公倍数有:36、72、108……; 那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36; 最小公倍数的性质: 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 求最小公倍数基本方法:1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法

17.数的整除 一、基本概念和符号: 1、整除:如果一个整数 a,除以一个自然数 b,得到一个整数商 c,而且没有余数,那么叫 做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a,记作 b|a。 2、常用符号:整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”; 二、整除判断方法: 1. 能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。 2. 能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3. 能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4. 能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。 5. 能被7整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6. 能被11整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。 ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7. 能被13整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 三、整除的性质:

1. 如果 a、b 能被 c 整除,那么(a+b)与(a-b)也能被 c 整除。 2. 如果 a 能被 b 整除,c 是整数,那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。 3. 如果 a 能被 b 整除,b 又能被 c 整除,那么 a 也能被 c 整除。 4. 如果 a 能被 b、c 整除,那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。

18.余数及其应用 b=q……r,且0<r<b,那么 r 叫做 a 除以 基本概念:对任意自然数 a、b、q、r,如果使得 a÷ b 的余数,q 叫做 a 除以 b 的不完全商。 余数的性质: ①余数小于除数。 ②若 a、b 除以 c 的余数相同,则 c|a-b 或 c|b-a。 ③a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的和除以 c 的余数。 ④a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以 c 的余数。 19.余数、同余与周期 一、同余的定义: ①若两个整数 a、b 除以 m 的余数相同,则称 a、b 对于模 m 同余。 ②已知三个整数 a、b、m,如果 m|a-b,就称 a、b 对于模 m 同余,记作 a≡b(mod m),读 作 a 同余于 b 模 m。 二、同余的性质: ①自身性:a≡a(mod m); ②对称性:若 a≡b(mod m),则 b≡a(mod m); ③传递性:若 a≡b(mod m),b≡c(mod m),则 a≡ c(mod m); ④和差性:若 a≡b(mod m),c≡d(mod m),则 a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m); ⑤相乘性:若 a≡ b(mod m),c≡d(mod m),则 a× c≡ b× d(mod m); ⑥乘方性:若 a≡b(mod m),则 an≡bn(mod m); ⑦同倍性:若 a≡ b(mod m),整数 c,则 a× c≡ b× c(mod m× c); 三、关于乘方的预备知识: ①若 A=a× b,则 MA=Ma× b=(Ma)b ②若 B=c+d 则 MB=Mc+d=Mc× Md 四、被3、9、11除后的余数特征:

①一个自然数 M,n 表示 M 的各个数位上数字的和,则 M≡n(mod 9)或(mod 3) ; ②一个自然数 M,X 表示 M 的各个奇数位上数字的和,Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的 和,则 M≡Y-X 或 M≡11-(X-Y)(mod 11); a 是自然数, 五、 费尔马小定理: 如果 p 是质数 (素数) , 且 a 不能被 p 整除, 则 ap-1≡1(mod p)。

20.分数与百分数的应用 基本概念与性质: 分数:把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。 分数的性质:分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外) ,分数的大小不变。 分数单位:把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。 百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数。 常用方法: ①逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。 ②对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。 ③转化思维方法: 把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。 最常见的是转换成比例和转 换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的 分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。 ④假设思维方法: 为了解题的方便, 可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况 成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。 ⑤量不变思维方法:在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而 这个量是始终固定不变的。有以下三种情况:A、分量发生变化,总量不变。B、总量发生 变化,但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。 ⑥替换思维方法:用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 ⑦同倍率法:总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。 ⑧浓度配比法:一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

21.分数大小的比较 基本方法: ①通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。

②通分分母法:使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。 ③基准数法:确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。 ④分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。 ⑤倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以 用同倍率的变化关系比较分数的大小。 (具体运用见同倍率变化规律) ⑥转化比较方法:把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。 ⑦倍数比较法:用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。 ⑧大小比较法:用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。 ⑨倒数比较法:利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。 ⑩基准数比较法:确定一个基准数,每一个数与基准数比较。

22.分数拆分 一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式: ① =+; ②=+(d 为自然数) ; 23.完全平方数 完全平方数特征: 1. 末位数字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。 2. 除以3余0或余1;反之不成立。 3. 除以4余0或余1;反之不成立。 4. 约数个数为奇数;反之成立。 5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。 6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。 7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。 平方差公式:X2-Y2=(X-Y) (X+Y) 完全平方和公式: (X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式: (X-Y)2=X2-2XY+Y2

24.比和比例 比:两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项。

比值:比的前项除以后项的商,叫做比值。 比的性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外) ,比值不变。 比例:表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或 比例的性质:两个外项积等于两个内项积(交叉相乘),ad=bc。 正比例:若 A 扩大或缩小几倍,B 也扩大或缩小几倍(AB 的商不变时) ,则 A 与 B 成正比。 反比例:若 A 扩大或缩小几倍,B 也缩小或扩大几倍(AB 的积不变时) ,则 A 与 B 成反比。 比例尺:图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 按比例分配:把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配。

25.综合行程 基本概念:行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系. 基本公式:路程=速度× 时间;路程÷ 时间=速度;路程÷ 速度=时间 关键问题:确定运动过程中的位置和方向。 相遇问题:速度和× 相遇时间=相遇路程(请写出其他公式) 追及问题:追及时间=路程差÷ 速度差(写出其他公式) 流水问题:顺水行程=(船速+水速)× 顺水时间 逆水行程=(船速-水速)× 逆水时间 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 2 静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷ 2 水 速=(顺水速度-逆水速度)÷ 流水问题:关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。 过桥问题:关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。 主要方法:画线段图法 基本题型:已知路程(相遇路程、追及路程) 、时间(相遇时间、追及时间) 、速度(速度和、 速度差)中任意两个量,求第三个量。

26.工程问题 基本公式: ①工作总量=工作效率× 工作时间

②工作效率=工作总量÷ 工作时间 ③工作时间=工作总量÷ 工作效率 基本思路: ①假设工作总量为“1”(和总工作量无关) ; ②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数) ,利用 上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间. 关键问题:确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。 经验简评:合久必分,分久必合。

27.逻辑推理 基本方法简介: ①条件分析—假设法:假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题 设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。例如,假 设 a 是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么 a 一定是奇数。 ②条件分析—列表法:当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅 助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不 同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。 ③条件分析——图表法: 当两个对象之间只有两种关系时, 就可用连线表示两个对象之间的 关系,有连线则表示“是,有”等肯定的状态,没有连线则表示否定的状态。例如 A 和 B 两 人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。 ④逻辑计算:在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据 计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。 ⑤简单归纳与推理:根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情 况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决。

28.几何面积 基本思路: 在一些面积的计算上, 不能直接运用公式的情况下, 一般需要对图形进行割补, 平移、 旋转、 翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记 忆一些常规的面积规律。

常用方法: 1. 连辅助线方法 2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。 3. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上) 。 4. 利用特殊规律 ①等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。 (斜边的平方除以 4等于等腰直角三角 形的面积) ②梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。 ③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

29.立体图形 名称 体积 长方体 8 个顶点; 6 个面;相对的面相等; 12 条棱;相对的棱相等; S=2(ab+ah+bh) V=abh =Sh 6个面; 12条棱; 正方体 8个顶点; 所有面相等; 所有棱相等; 圆柱体 上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形; V=Sh 圆锥体 下底是圆;只有一个顶点;l:母线,顶点到底圆周上任意一点的距离; S=S 侧+S 底 S 侧=rl V=Sh 球体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。 V=r3 S=4r2 S=6a2 V=a3 图形 特征 表面积

S=S 侧+2S 底 S 侧=Ch

30.时钟问题—快慢表问题 基本思路: 1、 按照行程问题中的思维方法解题; 2、 不同的表当成速度不同的运动物体; 3、 路程的单位是分格(表一周为60分格) ; 4、 时间是标准表所经过的时间; 合理利用行程问题中的比例关系;


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