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2010年高考试题天津卷数学理


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年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类) 数学(理工类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟, 第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ

卷 4 至 11 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考 试用条形码. 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号,答在试卷上的无效. 3. 本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A∪B)=P(A)+P(B) 棱柱的体积公式 V=Sh, 其中 S 标示棱柱的底面积. h 表示棱柱的高. 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(AB)=P(A)P(B) 棱锥的体积公式 V=

1 sh , 3

其中 S 标示棱锥的底面积. h 示棱锥的高.

一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 选择题: 选择题 (1)i 是虚数单位,复数 (A)1+i

1 + 3i = 1 + 2i
(D)-1-i

(B)5+5i (C)-5-5i
x

(2)函数 f(x)= 2 + 3 x 的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2) (3)命题"若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数"的否命题是 (A)若 f(x) 是偶函数,则 f(-x)是偶函数 (B)若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 (C)若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数

江西新华电脑学校高考网 (D)若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数

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(4)阅读右边的程序框图,若输出 s 的值为-7,则判断框内可填写 (A)i<3? (C)i<5? (B)i<4? (D)i<6?

(5)已知双曲线

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个焦点在抛 a2 b2

物线 y 2 = 24 x 的准线上,则双曲线的方程为

x2 y 2 (A) =1 36 108
(C)

(B)

x2 y 2 =1 9 27

x2 y 2 =1 108 36

(D)

x2 y 2 =1 27 9

(6) 已知 {an } 是首项为 1 的等比数列, n 是 {an } 的前 n 项和, 9s3 = s6 , s 且 则数列 的前 5 项和为 (A)

1 an

15 或5 8

(B)

31 或5 16

(C)

31 16

(D)

15 8
2 2

( 7 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c , 若 a b = 3bc ,

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sin C = 2 3 sin B ,则 A=
(A) 30
0

(B) 60

0

(C) 120

0

(D) 150

0

log 2 x, x > 0, (8)若函数 f(x)= log ( x), x < 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 1 2
(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞) (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

(9)设集合 A= { x || x a |< 1, x ∈ R} , B = { x || x b |> 2, x ∈ R} . 若 A B,则实数 a,b 必满足 (A) | a + b |≤ 3 (C) | a b |≤ 3 (B) | a + b |≥ 3 (D) | a b |≥ 3

(10) 如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点涂一种颜色, 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法用

(A)288 种 (B)264 种 (C)240 种 (D)168 种

年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类) 数学(理工类) 第Ⅱ卷 注意事项: 1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚. 2. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上. 3. 本卷共 12 小题,共 100 分. 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,把答案天灾题中横线上. (11)甲,乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图,中间一列的数

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字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10 天甲,乙两人 日加工零件的平均数分别为 和 .

( 12 ) 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 这 个 几 何 体 的 体 积 为

(13)已知圆 C 的圆心是直线 相切,则圆 C 的方程为

x = 1, (t为参数) x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 与 y = 1+ t

(14) 如图, 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, 延长 AB 和 DC 相交于点 P, 若

PB 1 PC 1 = , = , PA 2 PD 3

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BC 的值为 AD

.

(15)如图,在 △ ABC 中, AD ⊥ AB , BC = 3 BD ,

AD = 1 ,则 AC i AD =

.

(16)设函数 f ( x) = x 2 1 ,对任意 x ∈ , +∞ , f 恒成立,则实数 m 的取值范围是 .

2 3



x 2 4m f ( x) ≤ f ( x 1) + 4 f (m) m

三,解答题:本大题共 6 小题,共 76 分.解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x cos x + 2 cos 2 x 1( x ∈ R ) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 0,

π 上的最大值和最小值; 2

(Ⅱ)若 f ( x0 ) =

6 π π , x0 ∈ , ,求 cos 2x0 的值. 5 4 2

(18).(本小题满分 12 分) 某射手每次射击击中目标的概率是

2 ,且各次射击的结果互不影响. 3

(Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率

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(Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标.另外 2 次未击中目标的概率;

(Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射 击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分,记 ξ 为射手射击 3 次后的总的分数,求 ξ 的分布列.

(19) (本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是棱 BC , CC1 上的点, CF = AB = 2CE , AB : AD : AA1 = 1: 2 : 4 (1) 求异面直线 EF 与 A1 D 所成角的余弦值; (2) 证明 AF ⊥ 平面

A1 ED

(3) 求二面角 A1 ED F 的正弦值.

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(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 为 4. (1) 求椭圆的方程; ,点 (2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为( a, 0 )

x2 y2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率 e = , 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 2 a b 2

Q (0, y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QAiQB = 4 ,求 y0 的值

(21) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = xc x ( x ∈ R ) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)已知函数 y = g ( x ) 的图象与函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = 1 对称,证明当

x > 1 时, f ( x) > g ( x)
(Ⅲ)如果 x1 ≠ x2 ,且 f ( x1 ) = f ( x2 ) ,证明 x1 + x2 > 2

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(22) (本小题满分 14 分) 在数列 {an } 中, a1 = 0 ,且对任意 k ∈ N . a2 k 1 , a2 k , a2 k +1 成等差数列,其公差为 d k .
*

(Ⅰ)若 d k = 2k ,证明 a2 k , a2 k +1 , a2 k + 2 成等比数列( k ∈ N )
*

(Ⅱ)若对任意 k ∈ N , a2 k , a2 k +1 , a2 k + 2 成等比数列,其公比为 qk .
*

年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类) 数学(理工类)参考解答 一,选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. (1)A (6)C (2)B (3)B (7)A (8)C (4)D (5)B (9)D (10)B

二填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 4 分,满分 24 分. (11)24:23 (12)

10 3

(13) ( x + 1) 2 + y 2 = 2

(14)

6 6

(15) 3

(16) ∞,



3 3 ∪ , +∞ 2 2

三,解答题 (17)本小题主要考查二倍角的正弦与余弦,两角和的正弦,函数 y = A sin(ω x + ) 的性

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质,同角三角函数的基本关系,两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分 12 分. (1)解:由 f ( x ) = 2 3 sin x cos x + 2 cos x 1 ,得
2

f ( x) = 3(2 sin x cos x) + (2 cos 2 x 1) = 3 sin 2 x + cos 2 x = 2sin(2 x + ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 π 因为 f ( x ) = 2 sin 2 x +

π



π

π π π 在区间 0, 上为增函数,在区间 , 上为减函数,又 6 6 6 2

π f (0) = 1, f = 2, 6
为-1

π π f = 1 ,所以函数 f ( x) 在区间 0, 上的最大值为 2,最小值 2 2

(Ⅱ)解:由(1)可知 f ( x0 ) = 2sin 2 x0 +



π

6

又因为 f ( x0 ) =

6 π 3 ,所以 sin 2 x0 + = 5 6 5

由 x0 ∈

π 2π 7π π π , ,得 2 x0 + ∈ , 6 3 6 4 2


从而 cos 2 x0 + 所以

π

π 4 2 = 1 sin 2 x0 + = 6 6 5

π π π π π π 3 4 3 cos 2 x0 = cos 2 x0 + = cos 2 x0 + cos + sin 2 x0 + sin = 6 6 6 6 6 6 10
18.本小题主要考查二项分布及其概率计算公式,离散型随机变量的分布列,互斥事件和相 互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力,满分 12 分. (1)解:设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X ~ B 5, 有 2 次击中目标的概率



2 .在 5 次射击中,恰 3

40 2 2 P ( X = 2) = C5 × × 1 = 243 3 3
2

2

2

"射手在 5 次射击中, (Ⅱ)解:设"第 i 次射击击中目标"为事件 Ai (i = 1, 2,3, 4, 5) ;

江西新华电脑学校高考网 有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标"为事件 A ,则

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P( A) = P( A1 A2 A3 A4 A5 ) + P( A1 A2 A3 A4 A5 ) + P( A1 A2 A3 A4 A5 )
2 1 1 2 1 1 2 = × + × × + × 3 3 3 3 3 3 3
=
3 2 3 2 3

8 81

(Ⅲ)解:由题意可知, ξ 的所有可能取值为 0,1, 2, 3, 6

1 1 P (ζ = 0) = P ( A1 A2 A3 ) = = 3 27

3

P(ζ = 1) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A 2 A3 ) + P( A1 A2 A3 )
2 1 1 2 1 1 2 2 = × + × × + × = 3 3 3 3 3 3 3 9 2 1 2 4 P (ζ = 2) = P ( A1 A2 A3 ) = × × = 3 3 3 27 8 2 1 1 1 P(ζ = 3) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = × + × = 27 3 3 3 3
2 2

2

2

8 2 P(ζ = 6) = P( A1 A2 A3 ) = = 3 27
所以 ξ 的分布列是

3

(19)本小题主要考查异面直线所成的角,直线与平面垂直,二面角等基础知识, 考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力,运算能力和推理 论证能力,满分 12 分. 方法一:如图所示,建立空间直角坐标系, 点 A 为坐标原点,设 AB = 1 ,依题意得 D (0, 2, 0) ,

3 F (1, 2,1) , A1 (0, 0, 4) , E 1, , 0 2

江西新华电脑学校高考网 (1) 解:易得 EF = 0,

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1 ,1 , A1 D = (0, 2, 4) 2

于是 cos EF , A1 D =

EF i A1 D EF A1 D

=

3 5
3 5
3 1 , 4 , ED = 1, , 0 2 2

所以异面直线 EF 与 A1 D 所成角的余弦值为

(2) 证明:已知 AF = (1, 2,1) , EA1 = 1,



于是 AF EA1 =0, AF ED =0.因此, AF ⊥ EA1 , AF ⊥ ED ,又 EA1 ∩ ED = E 所以 AF ⊥ 平面 A1 ED

1 2 y + z = 0 u i EF = 0 ,即 (3)解:设平面 EFD 的法向量 u = ( x, y , z ) ,则 u i ED = 0 x + 1 y = 0 2
不妨令 X=1,可得
→ →

.由(2)可知, AF 为平面 A1ED 的一个法向量. u = (1, 2 1)





于是 cos

u,AF

2 = u AF = ,从而 sin → → 3 |u||AF|
5 3









u,AF

=

5 3

所以二面角 A1 -ED-F 的正弦值为

方法二: (1)解:设 AB=1,可得 AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

1 2 CE CF 1 = = ,可知 EF‖BC1.故 CB CC1 4

链接 B1C,BC1,设 B1C 与 BC1 交于点 M,易知 A1D‖B1C,由

∠BMC 是 异 面 直 线 EF 与 A1D 所 成 的 角 , 易 知
BM=CM=

1 B1C= 5 2

,





BM 2 + CM 2 BC 2 3 cos ∠BMC = = ,所以异面直线 FE 2 BM iCM 5
与 A1D 所成角的余弦值为

3 5

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CD EC 1 (2)证明:连接 AC,设 AC 与 DE 交点 N 因为 = = ,所以 Rt DCE Rt CBA , BC AB 2
从而 ∠CDE = ∠BCA ,又由于 ∠CDE + ∠CED = 90° ,所以 ∠BCA + ∠CED = 90° ,故 AC⊥DE,又因为 CC1⊥DE 且 CC1 ∩ AC = C ,所以 DE⊥平面 ACF,从而 AF⊥DE. 连接 BF,同理可证 B1C⊥平面 ABF,从而 AF⊥B1C,所以 AF⊥A1D 因为 DE ∩ A1 D = D , 所以 AF⊥平面 A1ED (3)解:连接 A1N.FN,由(2)可知 DE⊥平面 ACF,又 NF 平面 ACF, A1N 平面 ACF,所以 DE ⊥NF,DE⊥A1N,故 ∠A1 NF 为二面角 A1-ED-F 的平面角 易 知 Rt CNE Rt CBA , 所 以

CN EC 5 = , 又 AC = 5 所 以 CN = ,在 BC AC 5
30 4 30 在Rt △ A1 AN中 NA1 = A1 A2 + AN 2 = 5 5

Rt NCF中,NF = CF 2 + CN 2 =

连接 A1C1,A1F 在 Rt A1C1 F中,A1 F =

A1C12 + C1 F 2 = 14

在Rt A1 NF中, ∠A1 NF = cos

A1 N 2 + FN 2 A1 F 2 2 5 = .所以 sin ∠A1 NF = 2 A1 N FN 3 3 5 3

所以二面角 A1-DE-F 正弦值为

(20)本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知识,考 查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算和推理能力,满分 12 分 (1)解:由 e = 由题意可知,

c 3 2 2 2 2 2 = ,得 3a = 4c ,再由 c = a b ,得 a = 2b a 2

1 × 2a × 2b = 4, 即ab = 2 2

解方程组

a = 2b 得 a=2,b=1 ab = 2

x2 所以椭圆的方程为 + y2 = 1 4
(2)解:由(1)可知 A(-2,0) .设 B 点的坐标为(x1,,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的 方程为 y=k(x+2),

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y = k ( x + 2) 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 x 2 2 + y =1 4
由方程组消去 Y 并整理,得 (1 + 4k ) x + 16k x + (16k 4) = 0
2 2 2 2

由 2 x1 =

16k 2 4 ,得 1 + 4k 2

2 8k 2 4k x1 = , 从而y1 = , 2 1 + 4k 1 + 4k 2
设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为 ( 以下分两种情况: (1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0) .线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

8k 2 2k , ) 2 1 + 4k 1 + 4k 2

QA = (2, y 0 ), QB = (2, y0)由QAiQB =4,得y0 = ± 2 2
(2)当 K ≠ 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 Y









2k 1 8k 2 = (x + ) 1 + 4k 2 k 1 + 4k 2

令 x=0,解得 y0 =


6k 1 + 4k 2


由 QA = ( 2, y 0 ), QB = ( x1 , y1 y0)

2(2 8k 2 ) 6k 4k 6k QAiQB = 2 x1 y0 ( y1 y0)= + ( + ) 2 2 2 1 + 4k 1 + 4k 1 + 4k 1 + 4k 2
→ →

=

4(16k 4 + 15k 2 1) =4 (1 + 4k 2 ) 2
2

整理得 7 k = 2, 故k = ±

14 2 14 所以y0 = ± 7 5 2 14 5

综上 y0 = ± 2 2或y0 = ±

(21)本小题主要考查导数的应用,利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运 算能力及用函数思想分析解决问题的能力,满分 14 分

江西新华电脑学校高考网 (Ⅰ)解:f' ( x ) = (1 x )e 令 f'(x)=0,解得 x=1 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表 X f'(x) f(x) ( ∞,1 ) + 1 0 极大值
x

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( 1, +∞ ) -





所以 f(x)在( ∞,1 )内是增函数,在( 1, +∞ )内是减函数. 函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)=

1 e
x2

(Ⅱ)证明:由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) e
x x2 令 F(x)=f(x)-g(x),即 F ( x) = xe + ( x 2)e

于是 F '( x) = ( x 1)(e2 x 2 1)e x 当 x>1 时,2x-2>0,从而 e2x-2 1 > 0, 又e x > 0, 所以F '(x)>0,从而函数 F(x)在[1,+ ∞)是增函数. 又 F(1)= e e = 0,所以x>1时,有 F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).
-1 -1

Ⅲ)证明: (1) 若 ( x1 1)( x2 1) = 0,由(Ι)及f(x1 ) = f(x2 ), 则x1 = x2 = 1.与x1 ≠ x2矛盾. (2)若 ( x1 1)( x2 1) > 0,由(Ι)及f(x1 ) = f(x2 ), 得x1 = x2 .与x1 ≠ x2矛盾. 根据(1) (2)得 ( x1 1)( x2 1) < 0, 不妨设x1 < 1, x2 > 1. 由 ( Ⅱ ) 可 知 , f(x2 ) > g(x2 ) , 则 g(x2 ) = f(2-x2 ) , 所 以 f(x2 ) > f(2-x2 ) , 从 而

f(x1 ) > f(2-x2 ) .因为 x2 > 1 ,所以 2 x2 < 1 ,又由(Ⅰ)可知函数 f(x)在区间(-∞,1)
内事增函数,所以 x1 > 2 x2 ,即 x1 + x2 >2. (22)本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式,等比数列的定义,数列求 和等基础知识,考查运算能力,推理论证能力,综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思 想方法.满分 14 分.

江西新华电脑学校高考网 (Ⅰ)证明:由题设,可得 a 所以 a

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2k + 1

a = 4k , k ∈ N . 2k 1
*

2k + 1

a1 = (a a ) + (a a ) + ... + (a3 a1 ) 2k + 1 2 k 1 2k 1 2k 3

= 4k + 4( k 1) + ... + 4 × 1 =2k(k+1) 由 a1 =0,得 a

2k + 1

= 2k (k + 1), 从而a = a 2k = 2k 2 , a = 2(k + 1)2 . 2k 2k + 1 2k + 2

a a a k + 1 a2k + 2 k + 1 于是 2k + 1 = , = , 所以 2k + 2 = 2k + 1 . a 2k k a 2k + 1 k a 2k + 1 a 2k
所以 d k = 2k时,对任意k ∈ N , a
*

2k

,a ,a 成等比数列. 2 k + 1 2k + 2
, a2 k , a 成等差数列,及 a , a ,a 成 2k + 1 2 k 2 k + 1 2k + 2

(Ⅱ)证法一: (i)证明:由 a

2k 1

等比数列,得 2a

a a =a +a , 2 = 2 k 1 + 2 k + 1 = 1 + qk 2k 2k 1 2k + 1 a a q 2k 2k k 1
*

当 q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ∈ N 从而

1 q k 1

= 2

1 1 1 q k 1

=

1 q k 1

1

+ 1, 即

1 q k 1



1 q k 1

1

= 1(k ≥ 2)

所以

1 是等差数列,公差为 1. q 1 k
4 = 2, 1 =1.由(Ⅰ)有 2 q 1 1

(Ⅱ)证明: a1 = 0 , a2 = 2 ,可得 a3 = 4 ,从而 q1 =

1 q k 1

= 1 + k 1 = k , 得qk = k + 1 , k ∈ N * k

2 a a a ( ) 2k + 2 = 2k + 1 = k + 1 , 从而 2k + 2 = k + 1 ,k ∈ N * 所以 a a k a k2 2k + 1 2k 2k

因此,

a2 k =

a a k2 (k 1) 2 22 . 2k 2 .... 4 .a = . ... .2 = 2k 2 .a = a . k + 1 = 2k (k + 1), k ∈ N * 2k + 1 2k k a a a 2 (k 1)2 (k 2) 2 12 2k 2 2k 4 2

a 2k

以下分两种情况进行讨论:

江西新华电脑学校高考网 (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ∈ N )
*

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若 m=1,则 2n 若 m≥2,则

k2 ∑ a = 2. k =2 k
n

m m k2 (2k ) 2 m 1 (2k + 1) 2 4k 2 =∑ +∑ =∑ 2 + ∑ a k =1 a a2 k +1 k =2 k k =1 k =1 2 k 2k n
m 1 m 1 4k 2 + 4k 4 k 2 + 4k + 1 1 11 1 = 2m + ∑ + = 2m + ∑ 2 + ∑ 2k (k + 1) 2k (k + 1) 2 k k + 1 k =1 k =1 2 k ( k + 1) k =1 m 1

1 1 3 1 = 2m + 2(m 1) + (1 ) = 2n m 2 2 n.
n k2 3 1 3 k2 所以 2n ∑ = + , 从而 < 2n ∑ < 2, n = 4, 6,8... 2 n 2 k = 2 ak k = 2 ak n

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ∈ N )
*

k 2 2 m k 2 (2m + 1) 3 1 (2m + 1) 2 =∑ + = 4m + ∑ a k =2 a a 2 2m 2m(m + 1) k =2 k k 2 m +1
n 2

= 4m +

1 1 3 1 = 2n 2 2(m + 1) 2 n +1
n

n k2 3 1 3 k2 所以 2n ∑ = + , 从而 < 2n ∑ < 2, n = 3,5, 7 2 n +1 2 k = 2 ak k = 2 ak n 3 k2 < 2n ∑ ≤ 2 2 k = 2 ak

综合(1) (2)可知,对任意 n ≥ 2 , n ∈ N ,有



证法二: (i)证明:由题设,可得 d k = a2 k +1 a2 k = qk a2 k a2 k = a2 k ( qk 1),

d k +1 = a2 k + 2 a2 k +1 = qk 2 a2 k qk a2 k = a2 k qk (qk 1), 所以 d k +1 = qk d k

qk +1 =

a2 k +3 a2 k + 2 + d k +1 d d q 1 = = 1 + 2k +1 = 1 + k = 1 + k a2 k + 2 a2 k + 2 qk a2 k qk a2 k qk q 1 1 = k =1, qk +1 1 qk 1 qk 1 qk 1 1

由 q1 ≠ 1 可知 qk ≠ 1, k ∈ N * .可得

所以

1 是等差数列,公差为 1. qk 1

江西新华电脑学校高考网 (ii)证明:因为 a1 = 0, a2 = 2, 所以 d1 = a2 a1 = 2 . 所以 a3 = a2 + d1 = 4 ,从而 q1 =

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1 a3 1 =2, = 1 .于是,由(i)可知所以 是 a2 q1 1 qk 1
1 k +1 = 1 + ( k 1) = k ,故 qk = . qk 1 k

公差为 1 的等差数列.由等差数列的通项公式可得

从而

d k +1 k +1 = qk = . dk k dk d d d k k 1 2 = k . k 1 ........ 2 = . ...... = k ,由 d1 = 2 ,可得 d1 d k 1 d k 2 d1 k 1 k 2 1

所以

d k = 2k .
于是,由(i)可知 a2 k +1 = 2k ( k + 1) , a2 k = 2k , k ∈ N *
2

以下同证法一.

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