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如何正确处理高中数学中的“恒成立”问题


问题研 究  2 0 1 3年 8月 8   立" 问  踅  如 何 正 确 处 理 南  数 学  的 “ 恒 成  文, 鞠桥 兴  摘 一 要: 许 多年来 , 各地高考数学试 卷中总不会缺少一种数学问题 : 有关含参 的“ 恒成立” 问题。为什 么会如此重视这类 问题呢 , 其  是这 类问题覆盖面广 , 几乎覆盖 了函数 、 不等式、 三角、 数列 、 几何等高 中数学的所有 知识 点。 其二是涉及高中的一个 重要 的数学解题  思想 : 数形结合 。所 以可从这样 的题 目中考查 学生的分析 问题 、 解决 问题的能力 , 以及综合解题能力。真正理解并弄清这类 问题 的常规  求解方法, 不但 可以让 学生形成 良好的数学思想 , 而且 可以提高学生分析问题和解决 问题 的能力。   关键词 : 判别 式法; 最值 法; 分离参数法; 定元法; 数形结合 ; 特殊法  下面我就将我们在高考复 习中常见的几种处理“ 恒成立” 问题  的方 法 总结 如 下 :   一 当1 < x < e时 g   (   ) < 0 , 即函数 g ( x ) 为( 1 , e ) 上的减函数  . ’ 晷  (  ) = g ( e ) = e   . 、 判 别 式 法  .  a≤ e   该方法可用于解决二次函数在定义域 R上恒成立 问题 。   例1 : 若命题“ V∈R,  + 4 c x + 1 > 0 ” 是真命题 , 求 实数 c的取值  范围。   即实数 a的取值范 围为 ( 一  , e ]   四、 定元法( 有 时也 称 作 : 主元法 )   就是结合 代数式 的特点 , 合理选择一 个主 变量 , 构造便 于 问  例4 : 不等式 2 x 一 1 一 眦  + m> 0 , 对 于[ 一 2 , 2 ] 上 的所有 实数 m都  分析 : 本题 可直接借助 于二次 函数 的图象直接 来处理 , 即二  题解决的函数 ( 或方程 ) 。   次函数的图象开口向上 , 图象恒落在 轴 的上方 , A < 0可解得实数  c的取值范 围。   解: 令 f(   ) =   。 + 4 c   + 1 , 要使f (  ) > 0 恒 成立 , 只需 A = ( 4 c )   一   4< 0  成立 , 求实数 的取值 范围。   分析 : 题中 已知实数 m的范围 , 求实数 的取值范 围, 则必须  把 m作为主元( 已知哪 个量的 范围, 则把那个量作为主元 ) , 此 时  则为参变量 ,所 以该不等式是有关于 m 的类一元一次不等式 , 即  为不等式(   2 _ 1 ) m 一 (  一 1 ) < 0对于[ 一 2 , 2 ] 上的所有实数 m都成立 。   解得一   1< c <   ? . . c的取值范 围为一   1< c <   解: 原不等式可化为(   乙1 ) m 一 (  一 1 ) < 0 ,   设 f( m) = ( x 2 - 1 ) m一 ( 2 x 一 1 ) , ( 一 2 ≤m≤2 )   二、 最 值 法  例2 : 不等式 X 2 -  + n 2 一 a 一 5 > 0在 [ 3 , 5 ] 上恒成立 , 求 实数 a的  取值范围 。   函数 厂( m) 在[ 一 2 , 2 ] 上的图象为一线段 ,   [ 厂 ( 一 2 ) = 一 2 ( x 2 - 1 ) 一 ( 2   一 1 ) < O  

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