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直线的两点式方程课件(PPT


3.2.2 直线的两点式方程

一、复习、引入

复 习

1). 直线的点斜式方程:

y- y0 =k(x- x0 ) k为斜率, P0(x0 ,y0)为经过直线的点

巩 固

2). 直线的斜截式方程:

y=kx+b
<

br />k为斜率,b为截距

例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方 程. 一般做法: Q. y p. 解:设直线方程为:y=kx+b.
x

O

由已知得:

?

3? k ?b 4? 2 k ?b
k ?1 b?2

解方程组得:

?

所以,直线方程为: y=x+2

还有其他做法吗?
y
y ?3 4?3 ? x ?1 2 ?1

简单的做法:

Q. p.

化简得: x-y+2=0

O

x

为什么可以这样做,这样做 的根据是什么?

二、直线两点式方程的推导
动点轨迹法解释:
设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)P2(2,4) 在同一直线上,根据斜率相等可得: Q. y

kPP = kP P
1

p.

1 2

y ?3 4?3 即: x ? 1 ? 2 ? 1

O

x

得:y=x+2

推广
已知两点P1 ( x1 , y1 ),P2(x2 , y2),求通过这 两点的直线方程. 解:设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的 点. ∵ k = k
PP1 P1 P2



y ? y1 x ? x1 可得直线的两点式方程: y2 ? y1 ? x2 ? x1

y ? y1 y2 ? y1 ? x ? x1 x2 ? x1

记忆特点:

左边全为y,右边全为x 两边的分母全为常数 分子,分母中的减数相同

三、两点式方程的适应范围 是不是已知任一直线中的两点就 能用两点式 y ? y ? x ? x 写出直线方程呢?
1 1

y2 ? y1
1

x2 ? x1

不是!当x

=x2或y1= y2时,直线P1 P2 没有两点式方程.( 因为x1 =x2或y1= y2时, 两点式的分母为零,没有意义)

那么两点式不能用来表示哪些直 线的方程呢?

注意: 两点式不能表示平行于坐标轴或
与坐标轴重合的直线.

若点P1 ( x1 , y1 ),P2( x2 , y2) 中有x1 =x2 ,或y1= y2,此时过这两点 的直线方程是什么?
当 x1 = x 2 时 方程为: x =x1
y

当 y1= y2时 方程为: y= y1
y

O

x

O

x

四、直线的截距式方程
例2:如图,已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0), 与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程.
y 解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:

b

y?0 x?a ? , b?0 0?a

O

a

x



x y ? ? 1. a b

x y ? 1. 所以直线l 的方程为: ? a b

截距式直线方程:

x y ? ? 1. a b

直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直 线在x轴上的截距
直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直 线在y轴上的截距 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 注意: ②截距可是正数,负数和零

例3: ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相 等的直线有几条? 解: ⑴ 两条 设 直线的方程为:
x y ? ?1 a a

1 2 把(1,2)代入得: ? ? 1 a a

a=3 所以直线方程为:x+y-3=0

那还有一条呢? y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)

⑵ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截 距的绝对值相等的直线有几条?
解:三条 设

? ? ?

x y ? ?1 a b a ?b

解得:a=b=3或a=-b=-1 直线方程为:y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x

五、直线方程的应用 例4:已知三角形的三个顶点是A(-5,0),
B(3,-3),C(0,2),求BC边所在的直线 方程,以及该边上中线的直线方程。 解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为:
y?2 x?0 ? ?3 ? 2 3 ? 0

整理得:5x+3y-6=0
这就是BC边所在直线的方程。

BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连 线段,由中点坐标公式可得点M的坐标为:
? 3 ? 0 ?3 ? 2 ? , ? ? 2 ? ? 2
M



?3 1? ? ,? ? ?2 2?

过A(-5,0),M

?3 1? ? ,? ? ?2 2?

的直线方程

整理得:x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程。

y?0 x?5 ? 1 3 ? ?0 ?5 2 2

中点坐标公式:
若P1 ,P2坐标分别为( x1 ,y1 ), (x2 ,y2) 且中点M的坐标为(x,y).



? ? ?

x1 ? x2 x? 2 y1 ? y2 y? 2

M

∵B(3,-3),C(0,2) ? 3 ? 0 ?3 ? 2 ? , ? ∴M? 2 ? ? 2

思考题:
已知直线l 2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的 直线l 1的方程。 y
A.
O

x

解:当x=0时,y=-3.

(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点 为(2,7).

当x=-2时,y=1. (-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).

那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上

因此,直线l 1的方程为: y ? 7 ? x ? 2
3?7 4?2

化简得: 2x + y -11=0

还有其它的方法吗?
∵ l ∥l

1,所以l

与l 1的斜率相同,

kl1=-2

经计算,l 1过点(4,3) 所以直线的点斜式方程为:y-3=-2(x-4) 化简得: 2x + y -11=0

例2 求经过点P(-5,4),且在两 坐标轴上的截距相等的直线方程.
y P o x

例3 求经过点P(0,5),且在两 坐标轴上的截距之和为2的直线方程.

例4 已知直线l经过点P(1,2), 并且点A(2,3)和点 B(4,-5)到直 线l的距离相等,求直线l的方程.
y
P A

o

x B

小结:
1)直线的两点式方程
y ? y1 y ? y1 ? 2 x ? x1 x2 ? x1

2)两点式直线方程的适应范围
? 3)中点坐标:? ?
x? x 1 ? x2 2 y1 ? y2 y? 2

明天见!


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