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06线性代数观点下的一些竞赛问题


6  

中 等 数 学 

线

, 陡 代




















r />题  

付 云 皓 
( 广州大学数学与信息科学学院 2 0 1   1级博十研究牛 , 5   1 0 0 0 6 )  
中图分类号: Ol 5 7   文 献 标 识 码 :A   文 章 编 号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 1 2— 0 0 0 6— 0 5  

( 本 讲 适 合 高 中)  

的元素个数 等于向量 内积  ? l ,   . 冉结合题 目中涉 
及奇数偶 数 , 可 考虑 数域  上 的  维线性 空 间 


数学竞赛题 目的命制一 部分是具有高等数学  背景 的初 等 问题 …. 近 年来 , 高 等数 学 中 的一些 

按此法将集合 A   , A   , …, A   对应 成 ’ , 。 , ’ ,   , …,  
后, 问题转化 为 :  

定理和思维方式 已成 为了命题者 的命题 源泉. 本 
文主要讨论一些 与线性代数相关的竞赛 问题.  
先 来 看 一 道 经 典题 .  


例1   设 n为正 整数 ,  ,  , …,  

为数域 

上的 n 维线性空间  上 的一些 向量 , 且 每个 r  
l ,  ‘   =1 .  

例1   设  为正整数 , 集合 A 。 , A   , …, A   为 

均满足 l ,   ? l ,   = 1 .证 明 : 存在 1 ≤i <   ≤n +1 使得  根据 向量 内积与加法 的分配 律可联 想到 , 若 
存在一些  的和为零 向量 , 则可将 其 中的任何 一 

{ 1 , 2 , …, n } 的一些子 集 , 且元 素个 数均 为奇 数.   证明 : 存在 1 ≤i <   ≤n+1 , 使得 以   n   也含有奇 
数个元 素.  

【 分析 】 存在性问题往往 想到反证法 , 但对本 
题采用反证法之后却无从 下手 , 看起来集 合  有  奇数个元 素与 A   nA   有偶 数个 元素 不容 易产 生  矛盾. 可换一 个角 度考 虑 , 若将 集 合 A   对 应成 n   维线性空 间的一个 向量 l ,   , 其 中若 k∈A   , 则l ,   的  第k 个 分量 为 1 , 否则 , l ,   的第 k个分 量 为 0 . 于 

个 向量乘以此 和的 内积 打开 , 结合 反证法证 明存 
在题述的 i 、 由此得 到下面 的证 明。  
. 

证明  由于  为 n维 的线性 空 间 , 且其 中的  n+ 1 个向量必然线性相关 , 因此 , 数域  上存在 

不 全为零 的元素 ,   : , …,  

, 使得 

l   1 + J : L 2 l , 2 +… +  + 1  + l = 0 .   由于数域 F   上仅有 0 、 1 两个元素 , 故 由对称 
性不妨设 
l:   =… =   =1,  

是, 集合 A   的元 素个 数等 于  I  =l ,   ?  , A   f 3 A  
收稿 日期 : 2 0 1 4—0 9— 2 0  

故原式 可换元为 


(  +   ) + (  + y ) + ( 南+ z )   _
z ) ( 寿+   Y   十 南) .  
+ 上 +   :一 3或 1 .  
+ V   V +彳   z + 

1  

+  

1  

十 

1  

,  

l  

=  x y z=  +Y+   +2  

j 戈+Y+z=6 .  

于是 , 土

将0 、 b 、 c 代人展开得 


5 . 设不全相等 的非零实数 a 、 b 、 C 满 足 
_ c +—   一 +_   一 :1 2 a  +b c   2 b  +a c   2 c  +a b  
—  

。+b  +C 3:3 a b c
. 

.  

故( 0 + 6 + c ) [ ( a 一 6 )   +( b — c )   + ( c 一 口 )   ] : Q   凶为 a 、 b 、 c 不全相等 , 所以,  

求a + b + c 的值.  
提示: 设  = 2   a 2


2 c 2
ac  

( n—b )  +( b—c )  +( c一口 )  ≠0 .  


DC  

) , 一

, z  

¥ 1 ] x y z



8.  

ao  

从而 , a + b + C = 0 .  

2 0 1 4年第 1 2期 
+ l=   + 2= … =   + l=0,  

7  

结合等式①及 l V   I  = 5 0 0 , 得 
I  

其中 , l ≤I j } ≤n+ 1 .  

. >  5 l ,   ? l , . >2 I   0 0 0=   I≤ m a x   l ,   ? ’ ,   ≥2 0 0 .   。    ‘ , ≤5  

若J i } =l , 则l , l = 0 , 与l , l ? l , 1 =1 矛盾.  
故 后>1 .  

再考虑构造 的部分. 只需构造出 l O 维空 间中 
的五个 向量 , 每个 向量均有五 个分量为 1 , 五个分 

由于 ’ , 1 ? ( , , 1 + ' , 2 + …+ ' ,   ) = V l ? 0- 0 , 且 
l , I ? l , 1:1,  

量为 0 , 且 任意两个 向量 的内积 等于 2 . 之后将这 
五个 向量各 自复写 1 0 0遍 即得到所求 的 1   0 0 0维 
空 间 中 的 向量 .  

则存在 i ∈{ 2 , 3 , …,  } , 使得 ' ,   ? V   = 1 .  

【 注】 事实上, 例 1的证明就是上述证明“ 翻 
译” 成的初 等数 学语 言. 标准 答案 正 是先 用抽 屉  原理证 明存在一些 集合 A  


按循环构 造法 ( 前 五个 分量 循环 , 后 五 个分  量循环 ) 不难构造 m五个 向量为 :  
. =( 1 , 1 , 1 , 0 , 0, 1 , 0 , 1 , 0, 0 ) ,   W2 =( 0, 1 , 1 , 1 , 0, 0 , 1 , 0, 1 , 0 ) ,   ’ . , 3 =( 0, 0, 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0, 1 ) ,  

…,   使得 1 , 2 ,  
…, A   。 nA   的元 素个 



凡中的每个 数均恰 在这 些集合 中出现 了偶 数 

次, 再 考虑 A   nA  A   . n  

数, 说明其 中必有一个奇数.   使用 同样的方法还可以解 决下面 的问题.   例 2 求满 足以下条件 的正整数 r 的最 大值 :   对集合 { 1 , 2 , …, l   0 0 0} 的任意 五个 5 0 0元子集 ,   均存在两个子集至少有 r 个相同的元 素.  ]  
( 2 0 1 3 , 罗马尼亚 国家队选 拔考试 )  

W 4 =( 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 0, 0, 1 , 0 ) ,  
’ . , 5 =( 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0, 0, 1 ) .  

综上 , r 的最大值为 2 0 0 .  

【 注】 转化成向量语言的方法不仅可以解决 
集合子集 的问题 , 也可 以解决一些类似的问题.  
下面是一道清华 大学 2 0 1 4年 中学 生数学 夏  令 营的试题.  

【 分析 】 同样将五个 5 0 0元子集对应成 1   0 0 0  
维线性空间上的五个 向量. 由于要 求元 素 的个 数  而不是奇偶性 , 不妨考虑欧 氏空间.  

例3 将 / Z   X   n ( i t / , 为偶数 ) 的方格表黑 白二染 

设l , I 、 l , 2 、 V 3 、 l , 4 、 l ,   为转化后 的五个 向量.  
注意到 ,  

色, 使得任 意不同 的两行恰 有  对位于 同一 列的 
二 

I v I +   2 + . . ? + l , 5   I   = ∑I v f   I   + 2∑ V i  ̄   , ①  
I   1   l 《‘‘ J 乓,  

两方格 同色 ,   对位 于 同一 列 的两 方格 异 色. 证 
二 

且 

I  =5 0 0 .  

明: 任意 0 行b 列的 0 6 个交 叉方格 中, 黑格数 目  
不超过 ± 
‘ 
.  

故l ,   ? l , , 中最 大 的一个 若 要取 最 小值 , 需要  + l , 2 + …+ l , 5 I   尽量小 , 且各个 ' ,   ? l ’ , 尽量平均.   先求  +   2 +… +  I  的最小 值.  
设 l + l ’ 2 +… +   5 = ’ , =( O t 1 , O t 2 , …, 0 [ 1   0 0 o ) ,  

【 分析】 题中所述是要证 明一块较大区域中 
黑色与 白色方格数 目差距不 大. 题设 条件制 约是  相对行与行之间 的 , 故可将 每一行对应 到一个 向  量. 联 系到题 中条件 , 可进行如下转换.   证明   由对称性 , 只需证 明前 0 行 与前 6 列  的口 6 个交叉方格 中黑格数 目不超过 ± 
二 
.  

其中 , O t l ,   2 , …, 0 c l   0 0 0 ∈ N, 且和为 2   5 0 0 .  

由 于} ’ , l + l , 2 + …+ l , 5   I   = ∑  , 该式右边的  
最 小值猜 测应为 a 。 ,  , …, a , 。 。 。 中有 5 0 0个 2和 
5 0 0个 3时取到.  

证明可以使用调整法 , 也可以简单 由  
(   一 2 ) (  一 3 ) ≥O=   ≥5   0 [   一 6 .  

将每一行方 格的染色情形对应成一个 n维欧 

氏空间 中的向量 , 对于每个 i =1 , 2 , …, n , 若该行  与第 列交叉处 的方格 为黑色 , 则定义第 i 个分量  为1 , 否则定义第 i 个分量为 一 1 .   由此构造 出了  个 向量 l , 。 , V 2 , …, ’ ,   .  

再对 i =l , 2 , …, 1   0 0 0求和得 

∑  ≥ 5 × 2   5 0 0 — 6   0 0 0 : 6   5 0 0 .  

8  

中 等 数 学 

由定 义知 
l ' , l   l =l   l , 2   I =… = l   l ,  l=, I n.  

图 G:G( V , E) .  

在数域 F , 意义下考虑图 G的邻接矩 阵 A .   由上面分析 , 知矩 阵 A是满秩 的. 因此 , 矩 阵 
A的行 列 式 非 零 ( 即必 然 为 1 ) .  

由题设 条件 , 知对任意 的 1 ≤   <   ≤n 有 
’ ,   ? l ,   =0 .  

记l , l + l , 2 +? ? ? +   = l , =(  1 ,   2 , …,  )  

故在 R意义下矩阵 A的行列式为奇数.  

只需证明: 0 [ 1 +  2 +… +  6 ≤^ / / 凇6.  


设将 矩 阵 A中所有 主对 角线 左下 的 1换 为  1 , 得到矩阵 . 由定义易 知矩 阵  的行列式 与  矩阵  的行列式奇偶性 相同 , 也为奇数 , 故矩阵 B  
是 满 秩 的.  

注意到 ,  

+  + …+   i ≤I   l , I  


∑I   v   J   + 2∑ V i  ̄ v i = 船.  
i=I   I ≤i <, ≤“  

注意到 ,   为反对称矩阵 , 其秩必为偶数.  

则 由柯 西 不 等式 得 
l+  2 + … + 

因此 , 参赛 的代表 队共有偶 数支.  

【 注】 事 实上 , 可 以证 明任意一个 简单 图的邻 
接矩 阵在数域  意义下 的秩均为偶数 , 证 明方式  与证明反对称矩 阵 的秩 为偶数 的证 明完全相 同 ,   既可 以直接计算 特征方 程 , 也可 以使 用数学 归纳 
法和矩阵变形.   矩阵 除 了 可 以用 来 表 示 图 的 连 边情 形 外 ,   还可 以用来表示 线性 变换. 所 有 的线 性递推 数列  均可用矩阵乘法表示 , 而 求特征根 和通项公 式 的 

≤ ̄ / 6 (   +   +… +  ) ≤ ̄ / n a b.  
【 注】 事实上 , 按此法得到的 向量 ’ , 。 , l , : , …, l ,  
是 n维欧氏空 间中的一组正交基. 当且 仅 当  = 2   或4   l  时 , 存在 这样 的 向量 ( 即存在 这样 的染色 
方式 ) . 证明留给读者.  

线性代 数的另一个重 点是矩 阵 , 来看 一些 与 
矩 阵相关的题 目.  

例 4 在 冰球 比赛结 束 了单循 环赛 ( 即每两 
支队均比赛 了一 场 ) 后, 对 于其 中任 意一 组代 表  队, 均能找到一 支 队 ( 也可 能在该 组之 中) , 其在 

过程 事实 上 等价 于 将 矩 阵化 成 约 当 ( J o r d a n ) 标 
准 型.  

例5 令 M   为1 、 2 、 3 、 4 、 5的所有排 列组 成 

同该组所有代表 队的比赛中所得 的分数之和为奇  数( 每场 比赛负者得零分 , 战平各得 一分 , 胜者得  两分 ) . 证明 : 参赛的代表 队共有偶数支.  

的集合. 对k 进行归纳定义  ( k∈ N) :  
M  + l ={ A   + 1 =( 0 l +n 2 , n 2 + 口 3 , 0 3 + 0 4 , 0 4 +  

n 5 , 0 5 + 口 1 ) I A ^ =( 0 l , 口 2 , 口 3 , 0 4 , 0 5 ) ∈   } .  

【 分析 】 显然 , 产生胜负 的两 队不 会改变其得 
分 的奇偶性. 因此 , 只需考虑哪些 队之间 战平 了.  

求对于每一个 k∈ N, N k  

罂0   ?  

( 2 0 1 2 , 第2 O 届朝鲜数学奥林 匹克)  

以队为顶点 、 战平关 系为边构造简单图 
G:G( V , E) .  

【 分析 】 设( n 。 , b   , c   , d 。 , e   ) ∈  。 . 由其递推 
到  时的数组 为 ( a   , b   , c   , d   , e   ) . 题 中要求 的 

题设条件 即为 : 对 任 意一 些顶 点  ,   , …,  


即为 m a x ( 0   , b   , C   , d   , e   ) 的最小值.  
注意到 , 每递推一次 , 所有数之和变为原来 的  两倍 , 故 m a x ( 口   , b   , c   , d   , e   ) 取 到最 小值 时 , 应 

均存在一个顶点  , 使得  在 。 ,  , …,   中 

有奇数个邻居.   考虑图 G的邻接矩阵 A . 题设条件 即为 : 矩 阵 
A的任意数行之和均至少有一个分量为奇数.   因此 , 若将矩 阵 A放人数域  意 义下 , 即得 

为口   、 b   、 C  d   、 e   较为平 均时 , 可使用类似方差 的 
量进行描 述. 为 了简 化问题 , 先将 0   、 b   、 C   、 d   、 e   均减去 3 , 则  、 b   、 C   、 d   、 e   均会被减 去 3× 2  。 ,   且 和为 0 . 于是 , 定义 

矩阵 A的任 意数 行 之 和均非 零 , 这表明, 矩阵 A  
的各个行向量线 性无关. 由此 可以得 到下面漂亮 
的证 明.  

X k = 0   + b   + c   + d ; + e 2   .  
目的是希望  尽量小.  

证明  以队为顶 点 、 战平 关系为 边构造 简单 

为了计算  , 应辅 以另两个值 

2 0 1 4年第 l 2期 
=a k b  +b k c ^ +c k d  +d k e  +e k a   ,   Z   t Z k C  +b k d  +C k e  +d k a  +e k b   .  

9  

为求 通 项公 式 , 需 要 将 矩 阵 A化 成 约 当标 
准型.  

不难算 出   、  、 Z   的递推关 系为 
(  + 。 ,  +   , Z   ) =( X   ,  , Z   ) ? A ,  
f , 2  1  0 、  

注意到 , 矩 阵 A只有三 阶 , 且 有一 个 特征 值  已知为 4 ( 因为 a   、 b   、 c   、 d   、 e   每 变化一 次 , 平 均  增长到原来 的两倍 ) .   不难算得 

其 中 , 矩 阵 A   l 言  J ‘  
l  

2  

4  

O  

A=   一  

0  
3 一  



1+ √ 5  
2  



1—0 5  
2  


0   0 

0   0 

2  



1一√ 5  
2  

1+√ 5  
2  

由此进行迭代 , 计算逆矩阵得 1

— 2 

l 

1 

4  

0  

0  

2  

2  

5   2   5   2   5  
— — -

5  

  (  ,  , Z   ) =(  , y l , Z   )  一

0 半
。 0

0  

1 — - 4 5  
1 0  

一  

学 

1+√ 5  
1 0  

由于只关 心  , 故解得 

鼍 =  
注意到 ,  。 =1 0, l , 。 +z   = 一X 1  
= 一

+  z 。 )   。  
5.  

2 — 5  ’   二 = 一 m  卜 一 m  
一  

+   z   )   一 m   一 m  

在式① 中只保 留 Z   得 

5 - 4 3 - 一   z 。 ) (  厂 + ( 5 一   +  ̄ 2 5 5 Z , ) (  厂  
观察上式 , 知 当 k> 1 时, Z 。 越大 ,   越小.   于是 , 接下来先计算 z   的最大值.  
注意到 , z ,的五个 加 项 中最 多 有 两 项 为正  ( ( + 2 ) ( + 1 ) =( 一 2 ) ( 一1 )= 2 ) , 两项 为 O , 还 至  ( n 1 , b l , c l , d l , e 1 )=( 0 , 1 , 一 2 , 2 , 一1 ) .  

计算 m a x ( 口 ^ , b   , c   , d   , e   ) 时, 不 能再使用 方  差, 也不能使 用五个元 素的递推 , 否则 过于复 杂.  
应注意到 , 将0   、 b   、 c   、 d   、 e   圆周排 列后 , 一 定有 


少有一项为 负 ( 至少为 一1 ) , 故z   ≤3 , 等号 当且  仅 当减去 3之后 的 口 。 、 b 。 、 c   、 d   、 e 。 为( 0 , 1 , 一 2 ,  
2 , 一 1 ) 的项链 排列 时成立.  

个0 , 且0 两侧元素对应互 为相反数 , 故使 用两 

个元 素 的递 推. 事实 上 , 数组( 0 , m, 凡 , 一 1 1 , , 一 m)   递推一次后变成 ( 0 , n , n + m, 一( n + m) , 一 n ) ( 项 
链排列意义下 ) .  
由数列递推不难 得到 
r 1 .   2≤ k≤ 5:  

下面只需计算此情 形下 m a x (  , 6   , c   , d   , e   )   的值 , 并 用方差的方法说 明此值最小 即可.  
不 妨 设 

m a ) 【 ( a k , b k , c k , d k , e k )   { F   一   ,  ≥ 6 ,’  

l 0  

中 等 数 学 

冥 中, F o=F- =1 , F   + ,=F  +F   一 l 为 斐 波 那 契 

数列.   最后 , 只需证明按上 面情形算 出的 
ma x ( 口   , b   , c   , d   , e   )  



习 题 

1 . 一次 比赛有 m名选 手和 1 7 , ( 凡为奇数 ) 名评  委, 每名评委均 对每名 选手 给 出“ 通过 ” 或“ 不通  过” 两种 成绩 之一. 已知 任 意两 名评 委最 多 对 k  
名选手给 出的成绩相同. 证明 :  
k  


为最小可能值即可.   在2 ≤  ≤5时 , 因为每个数 均为整数 , 和为 0   且不能均为 0 , 所 以, 这是显然的.  

一1  
n 

≥ — 一 .  
m  

当k >6时 , I 若有另一种初始排列使得 
ma x ( n   , b   , c   , d   , e   )<F   一 4 ,   则 由斐 波 那 契 数 列通 项 公 式 

提示: 参考例 3 .  
2 . 设k 、 m、 n ∈ Z+ , 且 m >n . 一 个 班 里 有 m 

名战士 , 在连续的 k 天里 , 每天均要有 n名战士值 
勤. 证明 :  

划 

(  

,  
m l  

( 1 ) 可 以在 这 k天 中找到两 天 , 使 得至 少 有 
一 l   J  

得 m a x ( a k , b k , c k , G , e k  - 4 - 1 <   (  厂 .  
由于 Ⅱ   、 b   、 c   、 d   、 e   有上界 , 从而 , 当X   的最 
大可能值应为 0   、 b   、 c   、 d   、 e  中四个达 到上界时 
取 到. 故 

名战士同时在这两天 中值勤 ;  

( 2 ) 若k > m, 则可在这 k 天中找到两天 , 使 得 

有多于 
m l  

二  名 战士 同时在这两天中值勤. ’  
一l   J  

提示 : 参考例 2 .   3 . 已知实数 0 、 b 、 c 、 d 、 e 满足 
口 +b+c+d +e:0.  
口  +b  +c  +d  +e 2=1
. 

2 。 【 去 ( 掣n  


4 ( 学厂  
 

求口 c +   + c e +   + e 6的最大可能值.   提示 : 参考例 5 构造 的数列.  
4 . 在 圆周上有 t / , 个+ 1 或 一1 , 一次 “ 操作 ” 是 

一   ( +   )   ^ ( l \   一 2 厂 / -     (  厂  




指先在每两个相邻 的数 中间写上其乘 积 , 再 擦掉 
原来 的所有数. 求所有的正整数 / 2 , 使得无 论初始  分布如何 , 总能通过有限次操作 , 使 得所有的数均 
变 为 +1 .  

< 

但另一方面 , 由于 Z 。 < 3 , 故Z 。 ≤2 . 因此 ,  

提示: 将 ±1的乘 法 转 化成 数 域  上 的加  法, 写出操 作所对应 的矩 阵 A . 题设条件等价 于存  在正整数 m, 使得 A  :[ 0 ] . 因此 , 矩 阵 A的所有  特征值必须均为 0 , 即矩阵 A的特征方程必为 




5 - 4 3 - 一  ) ( 学厂   ( 5 一 学 ) (  厂  
(  

0.  

参考 文献 :  
[ 1 ]   李 志慧 . 高等代 数研 究 问题 的基 本 方法 的教 学 实施  [ J ] . 数学教育学报 , 2 0 1 4 ( 2 ) .   [ 2 ]   武炳杰 译. 2 0 1 3罗 马尼 亚国家队选拔考试 [ J ] . 中等  主编. 奥林 匹克数学 高三分 册 [ M] .  
数学 , 2 0 1 4 ( 增 刊- -) .  

> 

矛盾.  

对于 问题的解答 , 只需将上 面 的分 析整理 起 
来 即可.  

[ 3 ] 钱展 望 , 朱华伟

武汉 : 湖北教育出版社 , 2 0 0 2 .  

【 注】 本题也可以进行五个变量的递推求解 ,  
但要写 出五阶矩阵的对角化 , 计算量过于复杂 , 这 
单 略.  

[ 4 ]   苏  淳  编 著. 苏联 中学 生数 学奥林 匹克 试题 汇 编 
( 1 9 6 l 一1 9 9 2 ) [ M] . 北京 : 高等教育 出版社 , 2 0 1 2 .  

[ 5 ] 宋振 寰 译 . 第2 0届朝 鲜数学 奥林 匹克 ( 2 0 1 2 ) [ J ] .  
中 等 数学 , 2 0 1 4 ( 增 刊二) .  


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06-07线性代数试题及解答
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06-07学年第二学期线性代数试题
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