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山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学理


山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试

数学(理)试题
本试卷分为选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和 科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能 使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. sin 330 等于
?

A.— 【答案】B

3 2

B.—

1 2

C.

1 2

D.

3 2

【解析】 sin 330 ? sin(360 ? 30 ) ? ? sin 30 ? ?
? ? 0 ?

1 ,选 B. 2

2.已知命题 p : ?x ? R,3 ? 0 ,则
x

A. ?p : ?x0 ? R,3 ? 0
x

B. ?p : ?x ? R,3 ? 0
x

C. ?p : ?x0 ? R,3 ? 0
x

D. ?p : ?x ? R,3 ? 0
x

【答案】A 【解析】全称命题的否定式特称命题,所以 ?p : ?x0 ? R,3 ? 0 ,选 A.
x

3.设 P ? { y | y ? ? x ? 1, x ? R}, Q ? { y | y ? 2 , x ? R} ,则
2 x

A. P ? Q 【答案】C

B. Q ? P

C. CR P ? Q

D. Q ? CR P

2 【解析】 P ? { y | y ? ? x ?1, x ? } ? { y | y ? 1}Q ? { y | y ? 2 , x ? R} ? { y y ? 0} ,所以 , R
x

CR P ? { y y? 1},所以 CR P ? Q ,选 C.
4.下列函数既是奇函数又是减函数的是 A. f ( x) ? x
3

B. f ( x) ? sin x

C. f ( x) ?

ln x x

D. f ( x) ? ? x | x |

【答案】D 【解析】A,B,D 为奇函数,排除 C.A 为增函数,B 在 R 上不单调,所以选 D. 5.设 x, y ? R, 向量 a ? ( x,1), b ? (1, y), c ? (2, ?4), 且a ? c, b / / c, 则 | a ? b | A. 5 【答案】B 【解析】因为 a ? c, 所以 2x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 ,又 b / / c, 所以 2 y ? 4 ? 0 ,所以 y ? ?2 , 所以 a ? b ? ( x ? 1,1 ? y ) ? (3, ?1) ,所以 | a ? b |? 10 ,选 B. 6.已知函数 f ( x ) ? ? B. 10 C. 2 5 D.10

?

?

?

?

? ?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? 2 x ? 1, x ? 1, ?1 ? log 2 x, x ? 1.
B.—2,0

则函数 f ( x) 的零点为
C.

A.

1 ,0 2

1 2

D.0

【答案】D 【解析】当 x ? 1时,由 f ( x ) ? 0 ,得 2 ? 1 ? 0 ,所以 x ? 0 .当 x ? 1 时,由 f ( x ) ? 0 ,得
x

1 ? log2 x ? 0 ,所以 x ?

1 ,不成立,所以函数的零点为 0,选 D. 2

7.已知 a ? b,函数f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) 的图象如右图,则函数

g ( x) ? log a ( x ? b) 的图象可能为

【答案】B 【解析】由函数 f ( x) 图象知 a ? 1, 0 ? b ? 1,所以选 B. 8. 将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 象的一条对称轴是

? 个单位长度得到函数 g ( x) 的图象, 则函数 g ( x) 图 6

A. x ? ? 【答案】A

?
12

B. x ?

?
12

C. x ?

?
6

D. x ?

?
3

【解析】函数 f ( x) ? sin 2x 的图象向右平移

? ? ? ,则 g ( x) ? sin 2( x ? ) ? sin(2 x ? ) ,由 6 3 6 ? ? 5? k? ? 2 x ? ? ? k? 得, x ? ? , k ? Z ,所以 k ? ?1 时, x ? ? ,选 A. 3 2 12 2 12
x , g ( x) ? x a 在点P(1,1) 处的切线分别为 l1 , l2 , 且l1 ? l2 , 则a 的值为
B.2 C.

9.若曲线 f ( x) ? A.—2 【答案】A 【解析】f '( x) ? 所以 k1k2 ?

1 2

D.—

1 2

1 2 x

g , '( x) ? ? x

? ?1

, 所以在点 P 的效率分别为 k1 ?

1 因为 , k2 ? ? , l1 ? l2 , 2

?
2

? ?1 ,所以 ? ? ?2 ,选 A.
??? ?
???? ??? ? ???? ????

10. 在△ABC 中, AB=4, ∠ABC=30°, 是边 BC 上的一点, AD ? AB ? AD ? AC , 则 AD ? AB D 且 的值等于 A.—4 【答案】C

???? ??? ?

B.0

C.4

D.8

【 解 析 】 由 AD ? AB ? AD ? AC , 得 AD ? ( AB ? AC ) ? AD ? CB ? 0 , 即 AD ? CB , 所 以

???? ??? ?

???? ????

???? ??? ???? ?

???? ??? ?

????

??? ?

???? ???? ??? ? 1 ? A D ? 2 , ? B A D? 6 0 ,所以 AD ? AB ? 4 ? 2 ? ? 4 ,选 C. 2
11.在等差数列 {an }中, a1 ? ?2012, 其前n项和为Sn , 若 A.—2011 【答案】B 【解析】设公差为 d ,则 B.—2012

S12 S10 ? ? 2, 则S2012 的值等于 12 10
D.—2013

C.—2010

S S S S12 11 9 ? a1 ? d , 10 ? a1 ? d ,所以 12 ? 10 ? d ? 2 ,所以 12 10 12 2 10 2

S2012 ? 2012a1 ?

2012 ? 2011 d ? ?2012 ,选 B. 2

12.设定义在 B 上的函数 f ( x) 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ?( x)是f ( x) 的导函数,当

x ? [0, ? ]时, 0 ? f ( x) ? 1;当x ? (0, ? )且x ? f ( x) ? cos x在[?2? , 2? ] 上的根的个数为
A.2 B.5

?

时, ( x ? ) f ?( x) ? 0. 2 2

?







C.4

D.8

【答案】C 【解析】 ( x ? 由

?
2

当 ) f ?( x) ? 0. 知,

?
2

导函数 f '( x) ? 0 , 函数递减, 0 ? x ? 当 ? x ? ? 时,

?
2

时 , 导 函 数 f'( ? x )

, 函 数 递 增 . 由 题 意 可 知 函 数 f ( x) 的 草 图 为 0

, 由图象可知方程 f ( x) ? cos x在[ ?2? , 2? ] 上的 根的个数为为 4 个,选 C.

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则实数 a= 【答案】4 【 解 析 】 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) ? x ? (a ? 4) x ? 4a , 因 为 函 数 f ( x) 是 偶 函 数 , 所 以 必 有
2

.

a ? 4 ? 0 ,即 a ? 4 .
14.曲线 y ? 2 x 与x 轴及直线 x ? 1所围成图形的面积为
2

.

【答案】

2 3

【解析】根据积分的应用知所求面积 S ? 15.在△ABC 中,若 cos A ? 【答案】 ?

B?C 1 , 则 sin 2 ? cos 2 A 的值为 3 2

? 2 x dx ? 3 x
2 0

1

2

3 1 0

?

2 . 3
.

【解析】 sin

B?C ??A ? cos 2 A ? sin 2 ? cos 2 A 2 2 A 1 ? cos A ? cos 2 ? cos 2 A ? ? 2cos 2 A ? 1 , 2 2 1 1 2 B?C 因为 cos A ? , 所以 sin ? cos 2 A ? ? 3 2 9
2

1 9

16.已知下列四个命题: ①若 tan ? ? 2, 则 sin 2? ?

4 ; 5
2

②函数 f ( x) ? lg( x ? 1 ? x ) 是奇函数;

③“ a ? b ”是“ 2a ? 2b ”的充分不必要条件; ④在△ABC 中,若 sin A cos B ? sin C ,则△ABC 是直角三角形. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①②④ 【 解 析 】

2 s? i n ? c o s s i?n 22 ? ? 2 s i? n ? c o s ? ?

? 2 t a n 4 ?, 所 以 ① 正 确 ; 2 ?1 t a n 5

f (? x) ? lg(? x ? 1 ? x 2 ) ? lg(

1 x ? 1? x
2

) ? ? f ( x) 为奇函数,所以②正确;由 2a ? 2b 可

知 a ? b ,所以“ a ? b ”是“ 2a ? 2b ”的充要条件,所以③不正确;由 sin A cos B ? sin C 得 sin A cos B ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ,所以 cos Asin B ? 0 , 所以 cos A ? 0 , 即A?

?
2

,所以△ABC 是直角三角形,所以④正确,所以真命题的序号是①②④.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin (I)求 f ( x) 的值域; (II)试画出函数 f ( x) 在区间[-1,5]上的图象.
2

?

x ? sin( x ? ) ? 1. 6 3 6

?

?

18. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,锐角α 和钝角β 的终边分别与单位圆交于 A,B 两点.

4 12 , , 求 cos( ? ? ? ) 的值; 5 13 ???? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? (II)已知点 C 是单位圆上的一点,且 OC ? OA ? OB, 求OA和OB 的夹角θ .
(I)若 A,B 两点的纵会标分别为

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x), n ? (1, ?2cos x), 设函数f ( x) ? m ? n. (I)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调增区间; (II)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f ( A) ? 2, b ? 1, △ABC 的面积为

??

?

?? ?

3 , 求 a 的值. 2
20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an }中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? cn(c 是不为零的常数, n ? N ), 且a1 , a2 , a3 成等比
*

数列. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若 bn ?

an ? c , 求数列{bn }的前n项和Tn . n ? cn

21. (本小题满分 13 分) 某公司为了实现 2013 年销售利润 1000 万元的目标,准备制定一个激励销售人员的 奖励方案;从销售利润达到 10 万元开始,按销售利润进行奖励,且奖金数额 y(单位: 万元)随销售利润 x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过 5 万元,同时奖金 数额不超过销售利润的 25%.现有三个奖励模型: y ? 0.025 x, y ? 1.003 , y ?
x

1 ln x ? 1 , 2

问其中是否有模型能完全符合公司的要求?请说明理由. (参考数据: 1.003
600

? 6, e ? 2.71828?, e8 ? 2981 )

22, (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax. (I)若对一切 x ? 0, f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围; (II)在函数 f ( x) 的图象上取定两点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x) 2 )( x1 ? x2 ) ,记直线 AB 的 斜率为 k,证明:存在 x0 ? ( x1 , x2 ), 使f ?( x0 ) ? k 成立.


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