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新课标全国统考区(山西、河南、河北)2013届高三理科最新试题精选(31套)分类汇编19:几何证明 Word版含答案]


【精品推荐】新课标全国统考区(山西、河南、河北)2013 届高三名校理科最新试题精 选(31 套)分类汇编 19:几何证明
一、解答题 1 . (河南省郑州四中 2013 届高三第六次调考数学(理)试题)选修 4—1:几何证明选讲

如图,∠BAC 的平分线与 BC 和外接圆分别相交于 D 和 E,延长 AC 交过 D、E、C 三点的圆于点 F. (

Ⅰ)求证: EF 2 ? ED ? EA ; (Ⅱ)若 AE ? 6, EF ? 3 ,求 AF ? AC 的值.

2 . (河南省郑州市盛同学校 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)

[来源:学_科_网]

3 .(河南省郑州市 2013 年高中毕业年级第二次质量预测数学(理)试题)选修4—1:几何证明选讲

如图,已知 0 和 M相交于A、B两点,AD 为 M 的直径,直线BD 交 O 于点C,点G 为弧BD 中点,连 结 AG 分别交 0、BD 于点E、F,连结CE. (I)求证:AG·EF=CE·GD;(II)求证:

GF EF 2 ? AG CE 2

4. (山西省忻州市 2013 届高三第一次联考数学(理)试题)选修 4?1:几何证明选讲

如图,已知 C、F 是以 AB 为直径的半圆 O 上的两点,且 CF=CB,过 C 作 CD?AF 交 AF 的延长线与点 D. (1)证明:CD 为圆 O 的切线; (2)若 AD=3,AB=4,求 AC 的长.

5. (山西省太原市 2013 届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题)选修 4 一 1:几何证明选讲

如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P.E 为⊙O 上一点, AC ? AE , DE 交 AB 于点 F. (I)证明:DF·EF=OF·FP; (II)当 AB=2BP 时,证明:OF=BF.[来源:学科网 ZXXK]

6. (山西省太原市 2013 届高三调研考试数学(理)试题)选修 4-1:几何证明选讲.

如图,⊙O1 与⊙O2 相交于点 A,B,⊙O1 的切线 AC 交⊙O2 于另一点 C,⊙O2 的切线 AD 交⊙O1 于另一点 D,DB 的延长线交⊙O2 于点 E. 2 (Ⅰ)求证:AB =BC·BD; (Ⅱ)若 AB = 1,AC =2,AD= 2 ,求 BE.

7. (山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中 2013 届高三第三次四校联考数学(理)试题)选修 4—1:

几何证明选讲 已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B、C , ?APC 的平分线分别交 AB、AC 于点 D、E . (1)证明: ?ADE ? ?AED ; (2)若 AC ? AP ,求

PC 的值. PA

8. (山西省 2013 届高三高考考前适应性训练数学(理)试题)选修 4—1:几何证明选讲

如图,半圆 O 的直径 AB 的长为 4,点 C 平分弧 A E,过 C 作 AB 的垂线交 AB 于 D,交 AE 于 F. (1)求证: CE 2 ? AE ? AF ; (2)若 AE 是 ?CAB 的角平分线,求 CD 的长.
C E

F A D O B

9. (河南省信阳高中 2013 届高三 4 月模拟考试(一)数学理试题)选修 4-1:几何证明选讲

如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B、C 两点,弦 CD∥AP,AD、BC 相交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE2 = EF·EC. (1)求证:CE·EB = EF·EP; (2)若 CE:BE = 3:2,DE = 3,EF = 2,求 PA 的长.

10. (河南省十所名校 2013 届高三第三次联考数学(理)试题)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

如图,已知⊙O 的半径为 1,MN 是⊙O 的直径,过 M 点作⊙O 的切线 AM,C 是 AM 的中点,AN 交⊙O 于 B 点, 若四边形 BCON 是平行四边形; (Ⅰ)求 AM 的长; (Ⅱ)求 sin∠ANC.

11. (河南省洛阳市 2013 届高三期上学期末考试数学(理)试题(WORD 版) )选修 4-1:几何证明选讲

如图,A,B,C,D 四点在同一圆 O 上,BC 与 AD 的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上. (Ⅰ)若 = , = ,求 的值;

(Ⅱ)若 EF2=FA·FB,证明:EF∥CD.

12. (河南省洛阳市 2013 届高三二练考试数学(理)试题)(本题满分 10 分)选修 4 一 l :几何证明选讲

如图, AB 是圆 O 的直径,以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P .过点 A 作直线交圆 O 于点 Q ,交圆 B 干点 M , N . (1)求证: QM= QN ; (2)设圆 O 的半 径为 2 ,圆 B 的半径为 1 ,当 AM ?

10 时,求 MN 的长. 3

13. (河南省六市 2013 届高中毕业班第一次联合考试数学(理)试题)选修 4—1:几何证明选讲

如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,AB=BC,AD 是 BC 边上的高,AE 是⊙O 的直径. (Ⅰ)求证:AC·BC=AD·AE; (Ⅱ)过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 F,若 AF=4,CF=6,求 AC 的长.

14. (河南省开封市 2013 届高三第二次质量检测数学(理)试题)选修 4-1:几何证明选讲

如图,在△ABC 中,∠C 为钝角,点 E、H 是边 AB 上的点,点 K、M 分别是边 AC 和 BC 上的点,且 AH =AC,EB=BC,AE=AK,BH=BM. (I)求证:E、H、M、K 四点共圆; (Ⅱ)若 KE - EH,CE=3,求线段 KM 的长.

15. (河南省焦作市 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题)选修 4-1,几何证明选讲如图,在△ABC 中,BC

边上的点 D 满足 BD=2DC,以 BD 为直径作圆 O 恰与 CA 相切于点 A,过点 B 作 BE⊥CA 于点 E,BE 交圆 D 于 点 F. (1)求∠ABC 的度数; (2)求证:BD=4EF

16. (河南省 2013 届高三新课程高考适应性考试(一)数学(理)试题)选修 4 一 1:几何证明选讲

在 ? ABC 的边 AB,BC,CA 上分别取 D,E,F.使得 DE=BE,FE=CE,又点 O 是△ADF 的外心. (Ⅰ)证明:D,E,F,O 四点共圆; (Ⅱ)证明:O 在∠DEF 的平分线上.

17. (河北省武邑中学 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题) 《选修 4-1:几何证明选讲》

如图,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 和两圆的割线,分别 交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

18. (河北省唐山市 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题)选修 4-1:几何证明选讲

如图,直线 MN 交圆 O 于 A,B 两点,AC 是直径,AD 平分 ?CAM M,交圆 0 于点 D, 过 D 作 DE 上 MN 于 E. (I)求证: DE 是圆 O 的切线: (II)若 DE=6,AE=3,求 Δ ABC 的面积

19. (河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题(word 版) )选修 4—1:几何证明选讲

如图所示,AC 为 O 的直径,D 为 BC 的中点,E 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证: DE / / AB ; (Ⅱ)求证: AC BC ? 2 AD CD .

20.(河北省石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟考试数学理(A)试题(word 版) )选修 4-l:几何证明

选讲 如图,过圆 O 外一点 P 作该圆的两条割线 PAB 和 PCD,分 别 交 圆O 于 点A,B,C,D 弦AD 和BC 交 于Q 点 ,割 线PEF 经 过Q 点 交 圆O 于 点E、F,点M 在EF 上 ,且 ?BAD ? ?BMF : (I)求证:PA·PB=PM·PQ (II)求证: ?BMD ? ?BOD

21. (河北省石家庄市 2013 届高三下学期第二次质量检测数学(理)试题)选修 4-1 几 何证明选讲

如图,AB 是 O 的直径,BE 为圆 0 的切线,点 c 为 o 上不同于 A、B 的一点,AD 为 ?BAC 的平分线,且 分别与 BC 交于 H,与 O 交于 D,与 BE 交于 E,连结 BD、CD. (I )求证:BD 平分 ?CBE (II)求证:AH.BH=AE.HC

22. (河北省衡水中学 2013 届高三第六次模拟考试数学(理)试题)如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A、B 两点,AD

为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于点 C,点 G 为弧 BD 中点,连结 AG 分别交⊙O、BD 于点 E、F 连结 CE. (1)求证: AG ? EF ? CE ? GD ;(2)求证:

GF EF 2 ? . AG CE 2

A O · C E B M · F G D

23.(河北省邯郸市 2013 届高三下学期第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)选修4-1:几何证明选讲

如 图 所 示 ,PA 为 0 的 切 线 ,A 为切点,PBC 是 过 点O 的 割 线 ,PA =10,PB =5、 (I)求证:

AB PA ? ; AC PC

(π)求 AC 的值.

24. (河北省保定市 2013 届高三第一次模拟数学理试题(WORD 版) )选修 4 -1:几何证明选讲

如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N,过 N 点的切线交 CA 的延长 线于 P 2 (1)求证:PM =PA·PC; (2)⊙O 的半径为 2 3 ,OM=2,求 MN 的长

【精品推荐】新课标全国统考区(山西、河南、河北)2013 届高三名校理科最新试题精选(31 套)分类汇 编 19:几何证明参考答案 一、解答题

1.

解:(Ⅰ)如图,连接 CE,DF. ∵AE 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在圆内又知∠DCE=∠EFD,∠BCE=∠BAE. ∴∠EAF=∠EFD 又∠AEF=∠FED, ∴Δ AEF∽Δ FED, ∴ ∴ EF ? ED ? EA
2

EF AE ? , ED EF

要证明角度相等,找中间角度作为桥梁. 要证明 EF ? ED EA , 可以把乘法变为除法 ,变为:
2

角形和分母三角形”:

?EFA ?EFD 或者 .这样就转化为三角形的相似,帮助找相似三角形.这样就 ?EFD ?EFA

EF EA EF ED ? 或者 ? , 于是得到“分子三 ED EF EA EF

可以做出辅助线,构造相似三角形. 另外,做题要先度量,后计算,把图形画准确.从求证出发,向已知进行靠拢. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EF ? ED EA ∵EF=3,AE=6, ∴ED=3/2,AD=9/2
2

∴AC AF=AD AE= 6 ? 9 ? 2 =27
2.

3.

证明:(Ⅰ)连结 AB、AC,∵AD 为⊙M 的直径, ∴∠ABD=90°,∴AC 为⊙O 的直径, ∴∠CEF=∠AGD=90°. ――――2 分 ∵G 为弧 BD 中点,∴∠DAG=∠GAB=∠ECF. ――――4 分 CE AG ∴△CEF∽△AGD ∴ , ∴AG·EF = CE·GD ? EF GD (Ⅱ)由⑴知∠DAG=∠GAB=∠FDG,∠G=∠G, 2 ∴△DFG∽△AGD, ∴DG =AG·GF.
2 2

――――6 分

――――8 分 ――――10 分

GF EF EF GD ,∴ ? ? 2 2 AG CE 2 CE AG 4. (Ⅰ)证明:∵ CF ? CB ,??CAF ? ?CAB . ∵ OA ? OC ,??CAO ? ?ACO , 则 ?CAF ? ?ACO ,? AF ∥ OC . ∵ CD ? AF ,? CD ? OC .则 CD 为圆 O 的切线.
由⑴知
D

2

F

C

A

O

B

(Ⅱ)解:连接 BC ,由(Ⅰ)知 ?CAD ? ?CAB . 又 ?CDA ? ?ACB ? 90? ,??ADC ∽ ?ACB .

?
5.

AD AC .则 AC 2 ? AD ? AB ? 12 ,所以 AC ? 2 3 ? AC AB

6.

7.

(1)∵ PA 是切线,AB 是弦,∴ ∠B AP=∠C, 又 ∵ ∠APD=∠CPE,∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED. (2)由(1)知∠BAP=∠C,又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴

PC CA , ? PA AB

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°, ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°, ∴ ∠C=∠APC=∠BAP=
8.

1 CA PC CA ×90°=30°. 在 Rt△ABC 中, = 3, ∴ = 3. ? 3 AB PA AB

9.

2 (I)∵ DE ? EF ? EC ,∴ ?EDF ? ?C ,

又∵ ?P ? ?C ,∴ ?EDF ? ?P ,∴ ?EDF ∽ ?PAE ∴ EA ? ED ? EF ? EP 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP ···5 分 (II) BE ? 3 , CE ?

9 15 , BP ? 2 4

PA 是⊙ O 的切线, PA2 ? PB ? PC , PA ?
10.解:(Ⅰ)连接 BM ,则 ?MBN ? 90? ,

15 3 4

因为四边形 BCON 是平行四边形,所以 BC ∥ MN , 因为 AM 是 O 的切线,所以 MN ? AM ,可得 BC ? AM , 又因为 C 是 AM 的中点,所以 BM ? BA , 得 ?NAM ? 45? ,故 AM ? 2 . (Ⅱ)作 CE ? AN 于 E 点,则 CE ?

2 ,由(Ⅰ)可知 CN ? 5 , 2

故 sin ?ANC ?
11.

CE 10 . ? NC 10

12.

13.

14.

15.

16.证明:(Ⅰ) 如图,∠DEF=180°-(180°-2∠B)-(180°-2∠C)=180°-2∠A.

因此∠ A 是锐角, 从而 ADF 的外心与顶点 A 在 DF 的同侧, ∠ DOF=2∠ A=180° -∠ DEF. 因此 D,E,F,O 四点共圆 (Ⅱ )由(Ⅰ )知,∠ DEO=∠ DFO=∠ FDO =∠ FEO, 即 O 在∠ DEF 的平分线上 17.证明:解:(I)∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D, 5? 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC. (II)设 BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2, ∴xy=12 ①

A F O D C B

E

PD AP 9+x 6 ∵AD∥EC,∴ = ,∴ = PE PC y 2
? ?x=3 由①、②解得? ?y=4 ?


O1

A O2 P C E

(∵x>0,y>0)
B D

∴DE=9+x+y=16, 2 ∵AD 是⊙O2 的切线,∴AD =DB·DE=9×16,∴AD=12.
18.解:(Ⅰ)连结 OD,则 OA=OD,所以∠OAD=∠ODA.

10?

图6

因为∠EAD=∠OAD,所以∠ODA=∠EAD 因为∠EAD+∠EDA=90?,所以∠EDA+∠ODA=90?,即 DE⊥OD. 所以 DE 是圆 O 的切线

C

D O M E A B N

(Ⅱ)因为 DE 是圆 O 的切线,所以 DE2=EA·EB, 即 62=3(3+AB),所以 AB=9 因为 OD∥MN, 所以 O 到 MN 的距离 等于 D 到 MN 的距离,即为 6 点,C 到 MN 的距离等于 12 故△ABC 的面积 S=
19.证明:

又因为 O 为 AC 的中

1 AB·BC=54 2
B

︵ (Ⅰ)连接 BD,因为 D 为BC的中点,所以 BD=DC. 因为 E 为 BC 的中点,所以 DE⊥BC. 因为 AC 为圆的直径,所以∠ABC=90?, 所以 AB∥DE ︵ (Ⅱ)因为 D 为BC的中点,所以∠BAD=∠DAC, 又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.

D E

A

O

C

AC AD ,AD·CD=AC·CE,2AD·CD=AC·2CE, CD CE 因此 2AD·CD=AC·BC 20.证明:(Ⅰ)∵∠BAD=∠BMF,
所以 = 所以 A,Q,M,B 四点共圆, 所以 PA ? PB ? PM ? PQ (Ⅱ)∵ PA ? PB ? PC ? PD , ∴ PC ? PD ? PM ? PQ 又 ?CPQ ? ?MPD , , 所以 ?CPQ ~ ?MPD ,

∴ ?PCQ ? ?PMD ,则 ?DCB ? ?FMD , ∵ ?BAD ? ?BCD , ∴ ?BMD ? ?BMF ? ?DMF ? 2?BAD , ?BOD ? 2?BAD , 所以 ?BMD ? ?BOD 21. 选修 4-1 几何证明选讲 证明:(Ⅰ)由 弦切角定理知 ?DBE ? ?DAB 由 ?DBC ? ?DAC , ?DAB ? ?DAC 所以 ?DBE ? ?DBC , 即 BD平分?CBE. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 BE ? BH . 所以 AH ? BH ? AH ? BE , 因为 ?DAB ? ?DAC , ?ACB ? ?ABE ,

所以 ?AHC ∽ ?AEB ,

AH HC ? ,即 AH ? BE ? AE ? HC AE BE 即: AH ? BH ? AE ? HC .
所以
22.

A O · C E B M · F G D

证明 :(1)连结 AB , AC , ∵ AD 为圆 M 的直径,∴ ?ABD ? 90 ,
0

∴ AC 为圆 O 的直径, ∴ ?CEF ? ?AGD , ∵ ?DFG ? ?CFE ,∴ ?ECF ? ?GDF , ∵ G 为弧 BD 中点,∴ ?DAG ? ?GDF , ∵ ?ECB ? ?BAG ,∴ ?DAG ? ?ECF , ∴ ?CEF ∽ ?AGD ,∴

CE AG ? , EF GD

? AG ? EF ? CE ? GD (2)由(1)知 ?DAG ? ?GDF , ?G ? ?G ,
∴ ?DFG ∽ ?AGD ,∴ DG ? AG GF ,
2

EF 2 GD 2 GF EF 2 ? ? 由(1)知 ,∴ CE 2 AG 2 AG CE2
23.

解:(Ⅰ)∵ PA 为⊙ O 的切线,∴ ?PAB ? ?ACP , 又 ? P ? ? P ∴ ?PAB ∽ ?PCA .∴

AB PA ? AC PC
2

(Ⅱ)∵ PA 为⊙ O 的切线, PBC 是过点 O 的 割线,∴ PA ? PB ? PC . 又∵ PA ? 10 , PB ? 5 ,∴ PC ? 20 , BC ? 15 由(Ⅰ)知,

AB PA 1 ? ? ,∵ BC 是⊙ O 的直径, AC PC 2
? 2 2 2

∴ ?CAB ? 90 .∴ AC ? AB ? BC ? 225, ∴AC= 6 5
24.


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