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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第14章 第74讲 互斥事件的概率课件 理


1.把红,黄,蓝,白4张纸牌随机分发给甲,乙,丙, 丁4人,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是 ③   . ①对立事件; ③互斥但不对立事件; ②不可能事件; ④对立不互斥事件

① 2.若干个人站成一排,其中互斥事件是 
  .①甲站排头与乙站排头; ②甲站排头与乙不站排头 ③甲站排头与乙站排尾; ④甲不站排头与乙不站排尾

3.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率 1 是 ,甲获胜的概率是,则甲不输的概率 35 是 6   .  4.某产品分一、二、三等级,其中二、三 两等级均属次品.若生产中出现二等品的 概率为0.03,三等品的概率为0.01,则对 产品进行抽查,抽得正品的概率为    0.96 .

4.某产品分一、二、三等级,其中二、三两等级 均属次品.若生产中出现二等品的概率为0.03, 三等品的概率为0.01,则对产品进行抽查,抽得
0.96 正品的概率为  . 

5. 口袋内装有一些大小相同的红球,白球,黑球. 从中摸出1个球,摸出红球的概率为0.42,摸出白 球的概率为0.28,若红球21个,则黑球有 15  个.

解析:设白球,黑球分别为x,y个, 21 42 ? ? ? 21 ? x ? y 100 ? x ? 14 ? 由题意,得 ? ,解得 ? , x 28 ? y ? 15 ? ? ? 21 ? x ? y 100 ? 所以黑球有15个.

“至多”“至少”选取 的概率
【例1】 在一只袋子中装有4个红玻璃球,3个绿玻 璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次 只取一个,试求: (1)取得两个绿球的概率; (2)至少取得一个红球的概率.

【解析】记4个红玻璃球为a1,a2,a3,a4, 3个绿 玻璃球为b1,b2,b3 .第一次抽取有7种结果,对 第一次抽取的每种结果,第二次抽取时又有6 种结果,故共有7 ? 6=42种结果.

?1? 记“取得两个绿球”为事件A,则A有(b1,b2 ),
(b1,b3 ), 2,b1 ), 2,b3 ), 3,b1 ), 3,b2 )6种可能, (b (b (b (b 6 1 所以P ? A ?= = . 42 7

? 2 ? 记“至少取得一个红球”为事件B,则事件B是
事件A的对立事件. 1 6 所以P ? B ?= -P ? A?= - = . 1 1 7 7

从袋中取球问题是概率中的重要 题型,通过枚举法或画树形图找出随

机事件的结果的个数,利用等可能性
事件求出概率,再通过互斥事件的概 率加法公式达到求解的目的.在求解 时,要注意灵活运用公式.

【变式练习1】 经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人 数相应的概率如下:

排队人数 0 0.1 概率

1 0.16

2 0.3

3 0.3

4 5人及5人以上 0.1 0.04

求: (1)至多2人排队等候的概率是多少? (2)至少3人排队等候的概率是多少?

【解析】记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等

候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排
队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5 人排队等候”为事件F. 则事件A、B、C、D、E、F互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,

所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+
0.16+0.3=0.56. (2)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F, 所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+ 0.1+0.04=0.44.

互斥事件的概率
【例2】 小张在一次射击中射中10环、9环、8环、7 环 、 7 环 以 下 的 概 率 分 别 为 0.24 、 0.28 、 0.19、0.16、0.13,计算小张在一次射击中: (1)射中10环或9环的概率; (2)射中不够8环的概率.

【 解 析 】 记 “ 射 中 10 环 ” 、 “ 射 中 9 环 ” 、 “射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下” 的事件分别为A、B、C、D、E,则

(1)射中10环或9环的概率为P(A+B)=P(A)
+P(B)=0.24+0.28=0.52; (2)射中不够8环的概率为P(D+E)=P(D) +P(E)=0.16+0.13=0.29.

要注意理解各个事件之间的关 系,分清哪些是互斥的,哪些不互

斥.在将一个事件拆分为n个互斥
事件时,要做到不重不漏.

【变式练习2】 高一军训时,某同学射击1次,命中10 环 , 9 环 , 8 环 的 概 率 分 别 是 0.13,0.28,0.31.求: (1)射击1次,至少命中8环的概率; (2)射击1次,命中不足9环的概率.

【解析】设事件 " 射击1次,命中k 环 "为事件Ak 由题意知P ? A10 ?=0.13,P ? A9 ?=0.28,P ? A8 ?=0.31. (k ? N且k ? 10)且事件Ak (k=0,1, 2, , 两两互斥. ? 10) 射击 次,至少命中 环 的事件为B,那么

?1? 记

当A10 A9或A8之一发生时,事件B就发生,故P ? B ? =P ( A10+A9+A8 )=P ? A10 ?+P ? A9 ?+P ? A8 ? =0.13+0.28+0.31=0.72.

“射击1次命中不足9环”的事件A是“射击1次 ? 2? 命中9环或10环”的对立事件 A. 故P ? A?=1-P( A 1-[ P ? A10 ?+P ? A9 ?] = =1-0.41=0.59.

互斥事件及应用
【例3】 一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑

球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个
球.求: (1)取出的1个球是红球或黑球的概率; (2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率.

【解析】方法1: ? 从12个球中任取1球得红球有 ?1 5种取法,得黑球有4种取法,则得红球或黑球 共有5+4=9种不同取法. 又从12个球中任取一个球,共有12种取法, 9 所以任取1球得红球或黑球的概率为P= 1 12 3 = . 4

? 2 ? 从12个球中任取1球得红球有5种
取法,得黑球有4种取法,得白球有2种 取法,从而得红球或黑球或白球的概率 5 ? 4 ? 2 11 为P2= = . 12 12

方法2: (利用互斥事件求概率) 记事件A1={任取1球为红球};A2= {任取1球为黑球};A3={任取1球为白球}; 5 A4={任取1球为绿球},则P ? A1 ?= , 12 4 2 1 P ? A2 ?= ,P ? A3 ?= ,P ? A4 ?= . 12 12 12 根据题意知,事件A1,A2,A3,A4 彼此互斥.

由互斥事件的概率加法公式,得

?1? 取出1球为红球或黑球的概率为
5 4 3 P( A1+A2 )=P ? A1 ?+P ? A2 ?= ? = . 12 12 4 ? 2 ? 取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P( A1+A2+A3 )=P ? A1 ?+P ? A2 ?+P ? A3 ? 5 4 2 11 = ? ? ? . 12 12 12 12

解决此类问题,首先应结合互斥 事件和对立事件的定义分析出是不是

互斥事件和对立事件,再决定使用哪
一个公式,不要由于乱套公式而导致 出错.同时,要注意分类讨论和等价 转化两种数学思想和方法的运用.

【变式练习3】 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、 1 绿球.从中任取一球,得到红球的概率是 , 3 5 得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿 12 5 球的概率也是 .试求得到黑球、得到黄球、 12 得到绿球的概率各是多少?

【解析】从袋中任取一球,记事件“得到红球”、 “得到黑球”、得到黄球”、得到绿球”分别为A、 “ “ 5 B、C、D,则有P ( B+C )=P ? B ?+P ? C ?= ; 12 5 P (C+D )=P ? C ?+P ? D ?= ;P ( B+C+D )= 12 1 2 1 1 1-P ? A ?=1- ? ,解得P ? B ?= ,P(C)= , 3 3 4 6 1 P ? D ?= . 4 答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率 1 1 1 分别是 、 、 . 4 6 4

1.某人在打靶中,连续射击3次,事件 “至少有一次中靶”的互斥事件是3

次都不中靶,该互斥事件是对立事件 吗?答 是 _______(是,否)

2.掷一枚骰子, 设事件A 表示事件“出现3

点”,事件B表示事件“出现偶数点”,则
2 P(A+B)等于________ 3

1 1 【解析】由题意,知P ? A ?= ,P(B)= . 6 2 又事件A与事件B是互斥事件, 2 故P( A+B )=P ? A ?+P ? B ?= . 3

3.某城市有甲,乙两种报纸供居民订阅,记 事件A“只订甲报”,事件B“至少订一种报”,

事件C“至多订一种报”,事件D“不订甲报”,
事件E“一种报都不订”,则下列5对事件中, ② 是 互 斥 事 件 的 是 ______ , 是 对 立 事 件 的 是 ② _______ . ①A与C; ②B与E; ④B与C; ⑤C与E ③B与D;

【解析】①A与C不是互斥事件;②B与E是 对立事件;③B与D不是互斥事件;④B与C

不是互斥事件;⑤C与E不是互斥事件.

4.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽 1 取一张,那么取到红心(事件A)的概率是 ,取 4 1 到方块(事件B)的概率是 ,问: 4 ?1? 取到红色牌(事件C )的概率是多少?

? 2 ? 取到黑色牌(事件D)的概率是多少?

【解析】1?因为取到红心(事件A)与取到方块(事 ? 件B)不能同时发生,所以事件A与事件B是互斥 事件,且有C=A+B, 1 所以P ? C ?=P ? A ?+P ? B ?= . 2 ? 2 ?因为取一张牌时,取到红色牌(事件C ) 与取到黑色牌(事件D)不可能同时发生,所以 事件C与事件D是互斥事件.又由于两者中必 有一个发生,所以事件C与事件D是对立事件, 1 所以P ? D ?=1-P ? C ?= . 2

5.向假设的三个相邻的军火库投掷一颗炸弹,

炸中第一个军火库的概率为0.025,炸中其余
两个的概率均为0.1,只要炸中一个,另两个 也会爆炸,求军火库发生爆炸的概率.

【解析】设A、B、C分别表示炸中第一个、

第二个、第三个军火库这三个事件,则P(A)
=0.025,P(B)=P(C)=0.1. 又设D表示军火库爆炸这个事件,则有 D=A+B+C,其中A、B、C是互斥事件. 因为只投掷了一颗炸弹,且不会同时炸

中两个以上军火库,
所以P(D) =P(A) +P(B) +P(C) =0.025 +0.1+0.1=0.225.

1.求复杂的互斥事件的概率,一般有两种方法: 一是直接求解法,即将所求事件的概率分解 成一些彼此互斥的事件的概率的和,分解后的每 个事件概率的计算通常为等可能性事件的概率计 算,这时应注意事件是否互斥,是否完备; 二是间接求解法,先求出此事件的对立事件 的概率,再用公式P ? A ?=1-P ( A).若解决 " 至多"、 " 至少 "型的题目,用后一种方法就显得比较方便.

2.解题时注意“互斥事件”与
“对立事件”的区别与联系,搞清 楚“互斥事件”与“等可能性事件” 的差异.


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