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“阿波罗尼斯圆”妙用


‘ ‘ 阿 液 罗 尼 斯 圃 ’ ’够再 
仪征 教 师进修 学校 朱 波 2 1 1 4 0 0  

本文介绍“ 阿波 罗 尼 斯 网” 的定 义 , 以及 在 高 考 及  模 拟 考 试 中的 应用 , 着 重 介 绍 作 为 一 种 解 题 方 法 对 优 

可 是 若 从 轨 迹 的角 度 去 求 解 , 即在 平

时 的 教 学 中  注意 渗 透 了“ 阿 波 罗 尼斯 ” 圆的 定 义 , 则 该 题 的 解 决 简 

化解题培养解题习惯增强数学信 心有很大 的帮助.  
阿 波 罗 尼 斯 圆 的定 义 : 在 平 面 上 给 定 相 异 的 两 点 
D ^ 

洁明了且运算简捷. 求解 过程 如下 :  
因为 A B= 2 ( 定长) , 可 以 以 

A、 B, 设 P点在同一平面上且 满足  i  t f— 当 > O且  ≠1时 P点轨迹 是一 个 阋, 这个 圆我们 称为 阿波 罗 
尼斯 圆. 这 个 结 论 称 为 阿 波 罗 尼 斯 轨 迹定 理 .  


A B所在的直线为 z轴 , 其中垂线 

/ 

为  轴 建 立 直 角 坐 标 系 , 则 A  A   0   \ \  B   /  /  
( 一1 , O ) , B( 1 , O ) , 设 C( x ,  ) , 由 

、 \ 、 ~  
, 化 



“ 阿 波 罗 尼斯 圆” 典型应用 :  

A C  

B C可得 

I _  

一  

2 0 0 8年江苏高考题第 l 3题 : 若 AB=2 , AC  ̄ / 2  
BC , 则S △ A 8 c 的最大值
. 
一 — —

简得 ( z 一3 )   +  一8 , 即 c在 1 7 2 ( 3 , o ) 为 圆心 , 2   为 半径  
1  

的圆 上 运动 . 又  
答案: 2 √ 2  

一 去? A B?  j l —I  I ≤   .  

高考考试说 明上给 出的说 明 : “ 命题 者本 意考查  三角形 面积公式 、 余弦定理及 函数思 想. ” 可谓立意新  颖, 题意 简明 , 但 是运算量 大处理有 难度. 求解 如下 :  

评析 : 如上解题简 洁, 省 去 了求 解 变 量 取 值 范 围  的过 程 , 另 义 避 免 了 复 杂 的构 造 运 算 , 求解运算简单.  

设B C=x, 则 AC一√  
根 据 面积 公 式 得 : S A  一  
/ l 2 8  ( z   一1 2 )  
一   — — —   —  

其实像这样来源于数学史 , 数学定义 的题型还不  甚枚举. 如果在 平时 的教学 中我们能 够较多 的渗透 ,   对 于进 一 步 培 养 学 生 的数 学 学 习兴 趣 , 有 极 大 的 
帮助.  
二 、“ 阿波 罗尼斯 圆” 在2 0 0 9 、 2 0 1 0历 次 模 拟 测  试 中的 应 用 :  

s 一

一z

√ 1 一 ( 4 _ 4   X 2  ̄ , 2  
l 6  

/ l 2 8 一( z   一1 2 )  


1 .扬州 市高三一模 
已 知 圆 C: z 。 +Y   一9 , 点A   ( -5 , 0 ) , 直线 z : z 一2 Y —O ?   ( 1 )求 与 圆 C相 切 , 且 与 直  线z 垂 直 的直 线 方 程 ;  
, ,     L

, \ /  

由三边关 系: 有 , / 2   f   z +z >2   得2 √ 2   2 <  < 2

l   +2 >√   z  
+ 2  

、  
;  

故 当 x=2 √ i 时S △   B c 取最大值 2 √  

赠 

( 不 同于点 A) , 满足: 对于 圆 C上任 一 点 P, 都有  p R  

任意一点 M , 都有 

为常数 , 若存 在 , 求所 以满足条 

为一常数 , 试求所有满足条件 的点 B的坐标.  
评析 : 该题 属 于解 析 几何 中直 线 与 圆 问题 的考  察, 第二 问其设置原型 即来源 于“ 阿波罗 尼斯” 圆的定  义. 如果熟 悉 了定 义那 么必定 增 强解 决该题 的信 心 ,   从而从容 面对 复杂的化简计算过程. 具体求解如下 :  

件 的点 B的坐标 ; 若不存在 , 说 明理 由.  
第一 问解略 , 第二 问解题如下 :  
( 2 )没点 M 的 坐 标 为 ( z,  ) , 则3 / " 。 一 F y 。 一4 .   假 设 存 在 点 B( m,  ) , 时 于 oO 上任 意一 点 M , 都  有  M  B为 常 数
.  

解: ( 1 ) 设既 直线方程为y 一一 2 x +b , 即2 x +  


则 M  一 

m)   +(  

) 。 , 』  。 一( z +3 )   +  ,  

6— 0,  

? .

‘ 直线 与圆相 切  ?  
V 厶  f   1 

一3 , 得 6 一±3 √ 5,  

所 以   连  
f 3 2 + m一 0 ,  
以  2 n = 0,  

一   ( 常 数 ) 恒 成 立 .  

可得 ( 6 A  ̄2 m) x +2 n y +1 3 A -m   -n   一4 - - 0 , 所 
‘ . .

所求直 线方 程为 — 2  ±3 √  

( 2 )假 设 存 在 这 样 的 点 B( t , 0 ) , 使得  r n D为   T 】   常数 
则 P B 。 一  P A   ,  

. .

I 1 3 A — m 2 一   2 - 4 =0 .  



( z 一£ )  +  一  [ ( z +5 )   +  ] , 将 。 一9 一 


f   一   4 ,  
l n =0 ,  

一   ,  

z 。 代入得 , z   一2  +£   +9 一z   一A   ( z   +1 0 x +2 5 + 

9 一z   ) , 即2 ( 5 2   +t ) x +3 4 2   -t 。 一9 —0对 z ∈[ 一3 ,   3 ] 恒成立 ,  

卟 一   。   ‘  

所 以 存 在 满 足 条 件 的 点 B,它 的 坐 标 
.  .

{ l    

f  +  o ,  

3 z A 2 一 一9 一O ,  

解得 

  1 一  
l  

9  

或{  

f   一 1  

l £ 一m5  

( 舍 

为 ( 一 号 , o ) .  
对已有的知识进行新定义 , 已 经成 为 高 考 的一 大  亮点 , 这就要求 教师学 生 面对陌生 环境 , 能迅 速提取 

去 ) , 所 以 存 在 点 B ( 一 号 , o ) 对 于 圆 C  ̄ i : r : - 点 P ,  

都 _ 伺 -   P B 为 常 数 詈 .  
评注 : 当然通过“ 阿波罗尼斯圆” 的定义就 知道答  案的取舍很 为方便 .  
2 .南 京 三模 卷 

有用 信息 , 善于挖 掘概 念 的内涵 与本质 , 并合 理迁移 
运 用 已 学 的 知 识 加 以解 决 .  

若 能在平时多做 积累 相信 自身平 时有一潭 清澈 

在 直 角 坐 标 系   G   中 , 椭 圆 苦 + 普 一 1 的 左 、 右 焦  
点分 别 为 F l 、 F 2 , 点 A 为 椭 圆 的左 顶 点 , 椭 圆上 的 点 P  

在第一象 限, P F 1 j I P F 2 , 圆 0的方程为  +2 2 —4   ( 1 )求点 P 坐标 , 并判 断直 线 PF 2与圆 0 的位 

. . . . I ◇  : :   鸯 


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