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1959年至2016年历届IMO试题(不含答案)


International Mathematical Olympiad

第一届(1959 年) 罗马尼亚 布拉索夫(Bra?ov,Romania)
21n ? 4 求证 14n ? 3 对每个自然数 n 都是最简分数。 (波兰)


1. 2.

x ? 2 x ? 1 ? x ? 2 x ? 1

? A ,试在以下 3 种情况下分别求出 x 的实数解:
2 ;b)A=1;c)A=2。 (罗马尼亚)

a) A ?

3. a、b、c 都是实数,已知关于 cos x 的二次方程

a cos2 x ? b cos x ? c ? 0
试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程,使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。 (匈牙利) 4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c,斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 (匈牙利) 5. 在线段 AB 上任意选取一点 M,在 AB 的同一侧分别以 AM、MB 为底作正方形 AMCD、 MBEF,这两个 正方形的外接圆的圆心分别是 P、Q,设这两个外接圆又交于 M、N。 a) 求证:AF、BC 相交于 N 点; b) 求证:不论点 M 如何选取,直线 MN 都通过定点 S; c) 当 M 在 A 与 B 之间变动时,求线段 PQ 的中点的轨迹。 (罗马尼亚) 6. 两个平面 P、Q 的公共边为 p,A 为 P 上给定一点,C 为 Q 上给定一点,并且这两点都不在直线 p 上。试 作一等腰梯形 ABCD(AB 平行于 CD) ,使得它有一个内切圆,并且顶点 B、D 分别落在平面 P 和 Q 上。 (捷克 斯洛伐克)

第二届(1960 年) 罗马尼亚 锡纳亚(Sinaia,Romania)
1. 2. 找出所有具有下列性质的三位数 N:N 能被 11 整除且商等于 N 的各位数字的平方和。 (保加利亚) 寻找使下式成立的实数 x: (匈牙利)

?1 ?

4x2 1? 2x

?

2

? 2x ? 9

3. 直角三角形 ABC 的斜边 BC 的长为 a,将它分成 n 等份(n 为奇数) ,令 α 为从 A 点向中间的那一小段线段 所张的锐角,从 A 到 BC 边的高长为 h,求证: (罗马尼亚)

1st

International Mathematical Olympiad
tan? ?

?

4nh n ?1 a
2

?

4. 已知从 A、B 两点引出的高线长 ha、hb 以及从 A 引出的中线长 ma,求作三角形 ABC。 (匈牙利) 5. 正方体 ABCD-A'B'C'D'(上底面 ABCD,下底面 A'B'C'D') 。X 是对角线 AC 上任意一点,Y 是 B'D'上任意 一点。 a) 求 XY 中点的轨迹; b) 求 a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ 的点 Z 的轨迹。 (捷克斯洛伐克) 6. 一个圆锥内有一内接球,又有一圆柱体外切于此圆球,其底面落在圆锥的底面上。 令 V1 为圆锥的体积, V2 为圆柱的体积。 a) 求证:V1 不等于 V2; b) 设 V1=kV2,求 k 的最小值;并在此情况下作出圆锥顶角。 (民主德国) 7. 一个等腰梯形的两底为 a、c,高为 h。 a) 在这个等腰梯形的对称轴上,找到所有的点 P,使以 P 为顶点,且经过梯形腰的两个端点的角为直角; b) 计算 P 点到两底的距离; c) 判断在什么情况下 P 点确实存在。讨论各种情况。 (保加利亚)

第三届(1961 年) 匈牙利 维斯普雷姆(Veszprém,Hungary)
1. 设 a,b 为常数,解方程组

? x? y?z ?a ? 2 2 2 2 (匈牙利) ? x ? y ? z ? b ,并给出 a 和 b 满足什么条件时才能使 x、y、z 为互不相同的正数。 2 ? xy ? z ?
2. 设 a、b、c 为三角形的三条边,其面积为 S。证明 a ? b ? c ? 4 3S 并说明何时取等号。 (波兰)
2 2 2
n n 3. 解方程 cos x ? sin x ? 1 ,n 是自然数。 (保加利亚)

4. 设 P 是三角形 P1P2P3 内一点。 直线 P1P, P2P, P3P 分别与其对边相交于 Q1, Q2, Q3。 证明数字

P PP PP 1P , 2 , 3 PQ1 PQ2 PQ3

至少有一个不大于 2,也至少有一个不小于 2。 (民主德国) 5. 作三角形 ABC 满足 AC=b,AB=c,且∠AMB=ω,其中 M 是线段 BC 的中点且 ω<90°。证明:当且仅当

b tan

?
2

(捷克斯洛伐克) ? c ? b 时可作出此三角形,并说明何时等号成立。

6. 三个不共线的点 A、 B、 C 在平面 ε 的同一侧; 假设平面 ABC 不与平面 ε 平行。 在平面 ε 上任取三个点 A’、 B’、 C’。设 L、M、N 分别为线段 AA’,BB’,CC’的中点,G 为三角形 LMN 的重心(不考虑使 L、M、N 不能构成 三角形的情况) 。问:当 A’、B’、C’各自变化时,G 的轨迹是什么?(罗马尼亚)

2nd

International Mathematical Olympiad

第四届(1962 年) 捷克斯洛伐克 捷克布杰约维采(?eské Budějovice,Czechoslovakia)
1. a) b) 2. 找出具有下列各性质的最小正整数 n: 它的最后一位数字是 6; 如果把最后的 6 去掉并放在最前面,所得到的数是原来数的 4 倍。 (波兰) 试找出满足下列不等式的所有实数 x:

3 ? x ? x ?1 ?

1 (匈牙利) 2

3. 已知正方体 ABCD-A'B'C'D' (ABCD、 A'B'C'D'分别是上下底) 。 一点 X 沿着正方形 ABCD 的边界以方向 ABCDA 作匀速运动;一点 Y 以同样的速度沿着正方形 B'C'CB 的边界以方向 B'C'CBB'运动。点 X、Y 在同一时刻分别从 点 A、B'开始运动。求线段 XY 的中点的轨迹。 (捷克斯洛伐克) 2 2 2 4. 解方程 cos x+cos 2x+cos 3x=1。 (罗马尼亚) 5. 在圆 K 上有三个不同的点 A、B、C。试在 K 上再作出一点 D 使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。 (保 加利亚) 6. 一个等腰三角形,设 R 为其外接圆半径,内切圆半径为 r,求证这两个圆的圆心的距离是 R( R ? 2r ) 。 (民 主德国) 7. 求证:正四面体有 5 个不同的球,每个球都与这六条边或其延长线相切;反过来,如果一个四面体有 5 个这 样的球,则它必然是正四面体。 (苏联)

第五届(1963 年) 波兰 弗罗茨瓦夫(Wroclaw,Poland)
1. 找出下列方程的所有实数根(其中 p 是实参数) :

x2 ? p ? 2 x2 ?1 ? x (捷克斯洛伐克)
2. 给定一点 A 及线段 BC,设空间中有一点使得以该点为顶点,一边通过 A 点,另一边与线段 BC 相交的角为 直角,试求出所有满足条件的点的轨迹。 (苏联) 3. 在一个 n 边形中,所有内角都相等,相连的边长度满足 a1≥a2≥?≥an。 求证:所有边长都相等。 (匈牙利)

4.

? x5 ? x2 ? yx1 ? x ? x ? yx 1 3 2 ? ? x ? x ? yx 设 y 是一个参数,试找出方程组 ? 2 (苏联) 4 3 的所有解 x1,x2,x3,x4,x5。 ? x ? x ? yx 4 ? 3 5 ? x ? x ? yx 5 ? 4 1
求证 cos

5.

?
7

? cos

2? 3? 1 ? cos ? 。 (民主德国) 7 7 2
3rd

International Mathematical Olympiad
6. 五个同学 A、B、C、D、E 参加竞赛,一种猜测说比赛结果的名次依然是 ABCDE。但是实际上没有一位同 学的名次被猜中, 而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻 (例如, C、 D 两位同学名次不是(1,2)、 (2,3)、 (3,4)、 (4,5)中的任何一种) 。还有一种猜测说结果会是 DAECB 的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的 一样;而且有两对同学(4 个不同的同学)的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何?(匈牙利)

第六届(1964 年) 苏联 莫斯科(Moscow,Soviet Union)
1. a) 求所有正整数 n 使得 2n—1 能被 7 整除; b) 求证不存在正整数 n 使得 2n+1 能被 7 整除。 (捷克斯洛伐克) 2. 假设 a、b、c 是三角形的三边长,求证:

a 2 (b ? c ? a) ? b2 (a ? c ? b) ? c 2 (a ? b ? c) ? 3abc(匈牙利)
3. 三角形 ABC 的三边长分别为 a、b、c。分别平行于三角形 ABC 的各边作三角形 ABC 内切圆 的切线,每条切 线都在△ABC 中又切出一个小三角形,再在每个这样的小三角形中作内切圆,求这四个内切圆的面积之和(用 a、b、c 表示) 。 (南斯拉夫) 4. 十七个人互相通信,每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三个不同的话题,每两个人只讨论 一个话题,求证:这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。 (匈牙利) 5.平面上有五个点,任意两点的连线都不平行,也不垂直,现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线, 试求出所有这些垂线的交点的最大数目。 (罗马尼亚) 6.四面体 ABCD 的中心是 D0 ,分别过 A、B、C 作 DD0 的平行线,这些线分别交平面 BCD、 CAD、ABD 于点 A1、B1、C1,求证:ABCD 的体积是 A1B1C1D0 的三分之一;再问如果 D0 为三角形 ABC 内的任意一点,结果 是否仍然成立?(波兰)

第七届(1965 年) 民主德国 柏林(Berlin,German Democratic Republic )
1. 找出所有的 x(0≤x≤2π)使其满足 2 cos x ? 1 ? sin 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 2 。 (南斯拉夫) 2. 如下方程组

? a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? 0 ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? 0 ?a x ? a x ? a x ? 0 ? 31 1 32 2 33 3
其中 x1、x2、x3 未知。系数满足以下条件:
4th

International Mathematical Olympiad
a) a11、a22、a33 为正数; b) 其余系数是负数; c) 在每个方程中,系数的和是正数。 证明该方程组只有唯一解 x1=x2=x3=0。 (波兰) 3. 给出四面体 ABCD,其中 AB 和 CD 长度分别为 a 和 b。异面直线 AB 和 CD 的距离为 d,夹角为 ω。四面体 ABCD 被平面 ε 分为两部分,平面 ε 平行于 AB 和 CD。AB 和 CD 到平面 ε 的距离的比为 k。计算出这两部分的 体积之比。 (捷克斯洛伐克) 4. 找出所有满足条件的四个实数 x1、x2、x3、x4,它们中任何三个数的乘积加上第四个数的和都等于 2。 (苏联) 5. 给出三角形 OAB,其中∠AOB 是锐角。M 是边 AB 上除 O 外的任意一点,从 M 点向 OA 和 OB 作垂线,垂 足为 P、Q。设三角形 OPQ 的垂心为 H。当 M 在下列范围移动时,求 H 的轨迹。 a) 边 AB; b) 三角形 OAB 内部。 (罗马尼亚) 6. 在平面上给出了 n 个点(n≥3) 。每对点都有线段相连。令 d 为这些线段中最长的线段的长度。我们定义 d 就是这个点的集合的直径。证明在给出的点的集合中长度为 d 的线段至多有 n 条。 (波兰)

第八届(1966 年) 保加利亚 索菲亚(Sofia,Bulgaria)
1. 在一次数学竞赛中共有 A、B、C 三道题,25 名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对 A 的学生中, 答对 B 的人数是答对 C 的人数的两倍,只答对问题 A 的人数比既答对 A 又至少答对其他一题的人数多 1。又已 知在所有恰好答对一题的参赛者中,有一半没有答对 A。请问有多少学生只答对 B?(苏联) 2. 令 a、b、c 为三角形的三边,其对角分别为 α、β、γ。证明如果 a ? b ? tan

?
2

(a tan ? ? b tan ? ) ,那么三角

形是等腰三角形。 (匈牙利) 3. 求证:从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其它点到各顶点的距离之和。 (保加利 亚) 4. 求证:对于任一自然数 n,以及任一实数 x ?

k? (t=0,1,?,n;k 为整数) ,都有 2t

1 1 1 ? ? ... ? ? cot x ? cot 2 n x (南斯拉夫) sin 2 x sin 4 x sin 2 n x
5. 解方程组:

a1 ? a2 x2 ? a1 ? a3 x3 ? a1 ? a4 x4 ? 1 a2 ? a1 x1 ? a2 ? a3 x3 ? a2 ? a4 x4 ? 1 a3 ? a1 x1 ? a3 ? a2 x2 ? a3 ? a4 x4 ? 1 a4 ? a1 x1 ? a4 ? a2 x2 ? a4 ? a3 x3 ? 1
其中 a1、a2、a3、a4 是四个不同的实数。 (捷克斯洛伐克) 6. 已知三角形 ABC,K、L、M 分别是 BC、CA、AB 的内点。求证三角形 AML、BKM、CLK 之中至少有一个三 角形的面积不大于三角形 ABC 的四分之一。 (波兰)

5th

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第九届(1967 年) 南斯拉夫 采蒂涅(Centinje,Yugoslavia)
1. 在平行四边形 ABCD 中, AB=a , AD=1 ,∠ BAD=A ,且三角形 ABD 是锐角三角形。求证:当且仅当

a ? cos A ? 3 sin A 时,以 A、B、C、D 为圆心,半径为 1 的四个圆能覆盖这个平行四边形。 (捷克斯洛伐克)
2. 求证:只有一条边大于 1 的四面体体积不大于

1 。 (波兰) 8

3. 令 k,m,n 为自然数且满足 m+k+1 是一个大于 n+1 的质数,cs=s(s+1)。求证: (英国) (cm?1 ? ck )(cm?2 ? ck )...(cm?n ? ck ) 能被乘积 c1c2?cn 整除。 4. 三角形 A0B0C0 和 A1B1C1 是锐角三角形。考虑所有与三角形 A1B1C1 相似且外接于三角形 A0B0C0 的所有三角 形 ABC(即 BC 边包含 A0,CA 边包含 B0,AB 边包含 C0) ,试构造出满足此条件的面积最大的三角形 ABC。 (意 大利) 5. 考虑数列{cn},其中

c1 ? a1 ? a2 ? ... ? a8
2 2 c2 ? a12 ? a2 ? ... ? a8 ... n n cn ? a1n ? a2 ? ... ? a8

...
其中 a1、a2、?、a8 是不全为零的实数。如果数列{cn}中有无穷多项等于 0,试求所有使 cn=0 的自然数 n。 (苏 联) 6. 在一次运动会中,连续 n 天内(n>1)一共颁发了 m 块奖牌。在第一天,颁发了一块奖牌以及剩下 m-1 个中 的

1 1 ;在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的 ;依此类推。在最后一天即第 n 天,剩下的 n 块奖牌全部颁发完 7 7

毕。问该运动会共进行了几天,一共颁发了多少块奖牌?(匈牙利)

第十届(1968 年) 苏联 莫斯科(Moscow,Soviet Union)
1. 求证有且仅有一个三角形,它的边长为连续整数,有一个角是另一个角的两倍。 (罗马尼亚) 2 2. 试找出所有自然数 n,其各位数的乘积等于 n -10n-22。 (捷克斯洛伐克) 3. 考虑以下方程组
6th

International Mathematical Olympiad
ax12 ? bx1 ? c ? x2 2 ax2 ? bx2 ? c ? x3 ax
2 n ?1 2 n

... ? bxn ?1 ? c ? xn

ax ? bxn ? c ? x1
其中 x1、x2、?、xn 是未知数,a、b、c 为实数并且 a≠0。令 Δ=(b-1)2-4ac。证明对这个方程组 a) Δ<0,无解; b) Δ=0,有且只有一个解; c) Δ>0,有一个以上的解。 (保加利亚) 4. 求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。 (波兰) 5. 设 f 是定义域和值域都为实数集的函数并且对于任一实数 x 和任一正数 a,等式

f ( x ? a) ?

1 ? 2

f ( x) ? f ( x) 都成立。

2

a) 证明函数 f 是周期函数(比如,存在一个正数 b 使得对于所有 x 满足 f(x+b)=f(x)) 。 b) 当 a=1 时,给出一个非常值函数的例子。 (民主德国) 6. 对于任一自然数 n,试求和

? n ? 2 k ? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? n ? 2k ? 。 (英国) ? ? k ?1 ? ? ? ? ? ? 4 ? ? ... ? ? 2k ?1 ? ? ... ([x]表示不大于 x 的最大整数) 2 ? ? ? ? k ?0 ? 2 ? ? ?
?

第十一届(1969 年) 罗马尼亚 布加勒斯特(Bucharest,Romania)
1. 证明对任意正整数 a 和任一正整数 n 都满足:数字 z=n4+a 不是质数。 (民主德国) 2. 令 a1,a2,?,an 为实数常数,x 为实数变量,且

y ( x) ? cos( a1 ? x) ?

cos( an ? x) cos( a2 ? x) cos( a3 ? x) ? ? ... ? 。若 f(x1)=f(x2)=0,证明对于一些整数 m 有 2 2 2 2 n ?1

x2-x1=mπ。 (匈牙利) 3. 对每一个 k = 1, 2, 3, 4, 5,试找出 a>0 应满足的充要条件,使得存在一个四面体,其中 k 个边长均为 a,其余 6-k 个边的长度均为 1。 (波兰) 4. 以 AB 为直径作半圆 γ。C 是 γ 上不同于 A 和 B 的一个点,D 是 C 到 AB 的垂线的垂足。我们作三个圆 γ1、γ2、 γ3 都与直线 AB 相切。在这里,γ1 是△ABC 的内切圆,而 γ2 和 γ3 都与直线 CD 和圆 γ 相切,且位于直线 CD 的两 边。证明 γ1、γ2、γ3 还有一条公切线。 (荷兰)
7th

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5. 给出平面上 n 个点(n>4) ,其中任意三点都不共线。证明至少有 ? 中的四个。 (蒙古) 6. 求证:对于所有实数 x1、x2、y1、y2、z1、z2,其中 x1>0,x2>0, x1 y1 ? z1 ? 0 , x2 y2 ? z2 ? 0 ,满足不等式
2 2

? n ?3? ? 个凸四边形其顶点都是给出的点其 ? 2 ?

8 1 1 ,并给出等号成立的条件。 (苏联) ? ? 2 2 2 ( x1 ? x2 )( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 ) x1 y1 ? z1 x2 y2 ? z2

第十二届(1970 年) 匈牙利 凯斯特海伊(Keszthely,Hungary)
1. M 是三角形 ABC 的边 AB 上的任何一点,r、r1、r2 分别是三角形 ABC、AMC、BMC 的内切圆的半径,q 是 AB 外旁切圆的半径(即与 AB 边相切,与 CA、CB 的延长线上相切的圆) ,类似的, q1、q2 分别是 AC、BC 外 旁切圆的圆心。求证:

r1 r2 r ? ? 。 (波兰) q1 q2 q

2. 已知 a、b、n 是大于 1 的整数,且 a、b 是两个计数系统的底。An-1 和 An 是 a 进制数,Bn-1 和 Bn 是 b 进制数; 它们的联系如下:

An ? xn xn?1...x0 , An?1 ? xn?1 xn?2 ...x0 , Bn ? xn xn?1...x0 , Bn?1 ? xn?1 xn?2 ...x0 , xn ? 0, xn?1 ? 0
证明:当且仅当 a>b 时有

An ?1 Bn ?1 ? 。 (罗马尼亚) An Bn

3. 实数 a0,a1,?,an,?满足条件:1=a0≤a1≤a2≤?≤an≤?。并数字 b1,b2,?,bn,?被定义为

bn ? ? (1 ?
k ?1

n

ak ?1 1 ) 。 ak ak

a) 求证对于所有 n 都有 0≤bn<2。 b) 设 c 满足 0≤c<2,证明对于足够大的 n 存在满足上面要求的 a0,a1,?能使 bn>c。 (瑞典) 4. 试找出所有的正整数 n 使得集合{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5}可被分拆成两个子集合,每个子集合的元素的乘 积相等。 (捷克斯洛伐克) 5. 在四面体 ABCD 中,∠BDC 是直角。假设点 D 到平面 ABC 的垂线的垂足 H 是△ABC 的垂心。求证: (AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2),并指出在什么情况下等号成立。 (保加利亚) 6. 一个平面上有 100 个点, 任意三点都不共线。 求证由这些点为顶点的三角形中至多有 70%是锐角三角形。 (苏 联)

8th

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第十三届(1971 年) 捷克斯洛伐克 日利纳(?ilina,Czechoslovakia)
1. 证明下面的说法在 n=3 或 n=5 时是正确的,而在其它大于 2 的自然数 n 是错误的: 如果 a1,a2,?,an 为任意实数,那么(a1-a2)(a1-a3)...(a1-an)+(a2-a1)(a2-a3)...(a2-an)+...+(an-a1)(an-a2)...(an-an-1)≥0。 (匈牙利) 2. 一个有 9 个顶点 A1,A2,?,A9 的凸多面体 P1,若将顶点 A1 移至 Ai 时则 P1 平移为 Pi(i=2,3,?,9) ,求 证在 P1,P2,?,P9 中至少有两个多面体有一个公共内点。 (苏联) k 3. 求证:一个由形式 2 -3(k=2,3,?)组成的整数的集合包含一个每个元素两两互质的无限子集合。 (波兰) 4. 四面体 ABCD 的所有面都是锐角三角形。我们定义形如 XYZTX 的所有闭合多边形路径如下:X 是 AB 边上不 同于 A 和 B 的一点;类似地,Y,Z,T 分别是边 BC、CD、DA 的内点。求证: a) 如果∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC,那么在所有闭合路径之中,没有最小长度。 b) 如果∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC,那么将有无数条最短路径,它们的长度都是 2 AC sin

?
2

,其中

α=∠BAC+∠CAD+∠DAB。 (荷兰) 5. 证明对于任一自然数 m,都存在一个在同一平面上的有限点集 S,满足下列条件:对于 S 中的每个点 A,恰 好有 m 个在 S 中的点到 A 点的距离为单位长。 (保加利亚) 6. 令 A=(aij)(i,j=1,2,?,n)为一个元素都是非负整数的方阵。假设有一个元素 aij=0,那么第 i 行的元素和第 j 列的元素的和不小于 n。求证:这个方阵的所有元素的和不小于

n2 。 (瑞典) 2

第十四届(1972 年) 波兰 托伦(Toruń,Poland)
1. 有十个互不相同的二位数,求证必可从中选出两个不相交的子集,使得这两个子集中的元素之和相等。 (苏 联) 2. 设 n≥4, 求证每一个圆内接四边形都可以分割成 n 个圆内接四边形。 (荷兰) 3. 设 m、n 为任意非负整数。求证:

( 2m)!( 2n)! 是整数。 (0!=1) (英国) m!n!( m ? n)!

4. 找出下述方程组的解(x1,x2,x3,x4,x5) ,其中 x1,x2,x3,x4,x5 是正实数。

9th

International Mathematical Olympiad
2 ( x12 ? x3 x5 )( x2 ? x3 x5 ) ? 0 2 2 ( x2 ? x4 x1 )( x3 ? x4 x1 ) ? 0 2 2 ( x3 ? x5 x2 )( x4 ? x5 x2 ) ? 0 (荷兰) 2 2 ( x4 ? x1 x3 )( x5 ? x1 x3 ) ? 0 2 ( x5 ? x2 x4 )( x12 ? x2 x4 ) ? 0

5. 令 f 和 g 为 定 义 域 和 值 域 都 为 实 数 集 的 函 数 , 并 对 于 所 有 的 x 和 y 都 满 足 等 式

f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) g ( y) 。求证:如果 f(x)不恒为 0,对于所有 x 都有 f ( x) ? 1 ,那么对于所有 y 都
有 g ( y) ? 1 。 (保加利亚) 6. 给出四个不同的平行平面,证明存在一个正四面体,它的顶点分别在这四个平面上。 (英国)

第十五届(1973 年) 苏联 莫斯科(Moscow,Soviet Union)
1. 点 O 在直线 g 上; OP 1 , OP 2 ,..., OP n 是单位向量,而 P1,P2,?,Pn 都与 g 在同一平面且都在 g 的一侧。证 明当 n 为奇数时, OP (捷克斯洛伐克) 1 ? OP 2 ? ... ? OP n ? 1 。这里 OM 代表向量 OM 的长度。 2. 判断是否存在不在同一平面内的有限点集 M,对于 M 内的任何两个点 A 和 B,都可以在 M 中找到任何两个 点 C、D 使得 AB 和 CD 平行但不重合。 (波兰)
4 3 2 3. 找出所有实数 a 和 b 使得方程 x ? ax ? bx ? ax ? 1 ? 0 至少有一个实根。对于所有这样的对(a,b) ,找出

??? ? ????

????

???? ????

????

???? ?

???? ?

a 2 ? b 2 的最小值。 (瑞典)
4. 一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷,他的扫雷器的半径是三角形高的一半,士兵从三 角形的一个定点出发,试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径?(南斯拉夫) 5. G 是一个定义域为实数集的形如 f(x)=ax+b(a、b 为实数)的非常值函数的集合,且 G 满足: a) 如果 f 和 g 都在 G 内,那么 g ? f 也在 G 内;这里 ( g ? f )( x) ? g f ( x) 。
?1 b) 如果 f 在 G 内,那么它的反函数 f 也在 G 内;这里 f(x)=ax+b 的反函数是 f ?1 ( x) ?

x ?b 。 a

10th

International Mathematical Olympiad
c) 对于 G 内的每一个 f,都有一个实数 xf 可使 f(xf)=xf。 求证:存在一个实数 k 对于 G 内的所有 f 都有 f(k)=k。 (波兰) 6. 设 a1,a2,?,an 是 n 个正数,q 是 0 到 1 之间的一个给定的实数。找到 n 个数 b1,b2,?,bn 使之满足: a) 对于 k=1,2,...,n 都有 ak<bk; b) 对于 k=1,2,...,n-1 都有 q ?

bk ?1 1 ? ; bk q

c) b1 ? b2 ? ... ? bn ?

1? q (瑞典) (a1 ? a2 ? ... ? an ) 。 1? q

第十六届(1974 年) 民主德国 埃尔福特(Erfurt,DR Germany)
1. 三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数,这三个数 p、q、r 满足 0<p<q<r。扑克牌被洗过并 随机分配给每个玩家。每个玩家各自记下并公布自己拥有的牌的点数。然后再次洗牌;计数依旧保留。该过程 (洗牌、发牌、记数)进行过至少两轮。最后一轮之后,A 一共有 20 点,B 有 10 点,C 有 9 点。在最后一轮 B 获得了 r 点。问在第一轮谁获得了 q 点?(美国) 2. 在 三 角 形 ABC 中 , 证 明 AB 边 上 存 在 点 D 使 得 CD 是 AD 和 DB 的 几 何 平 均 数 的 充 要 条 件 是
2 C 。 (芬兰) sin A sin B ? sin 2

3. 求证:数字

? ? 2k ? 1 ? 2
k ?0

n

? 2n ? 1 ? ? ?

3k

不论任何整数 n≥0 都不能被 5 整除。 (罗马尼亚)

4. 考虑一个 8×8 的棋盘分成 p 个不重叠的长方形并满足: i) 每个长方形都有相同数目的黑格子与白格子。 ii) 如果 ai 是第 i 个长方形的白色格子的个数,那么 a1<a2<?<ap。 找出所有可能的 p 的最大值。对于这个 p 值,判断所有可能的数列 a1,a2,?,ap。 (保加利亚) 5. 判断 S 所有可能的值,其中 a、b、c、d 是任意正数。

S?

a b c d ? ? ? (荷兰) a?b?d a?b?c b?c?d a?c?d

6. 设 P 为非常值的整系数多项式。如果 n(P)是所有满足(P(k))2=1 的不同整数 k 的个数,求证:n(P)-deg(P)≤2, 这里 deg(P)表示多项式 P 的次数。 (瑞典)

11th

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第十七届(1975 年) 保加利亚 布尔加斯(Burgas,Bulgaria)
1. 设 xi, y( n) 是实数且满足 x1≥x2≥?≥xn 和 y1≥y2≥?≥yn。 求证: 如果 z1, z2, ?, zn 是 y1, y2, ?, i i=1,2,?, yn 的任一排列,那么有 (捷克斯洛伐克) ? ( xi ? yi )2 ? ? ( xi ? yi )2 。
i ?1 i ?1 n n

2. 设 a1,a2,a3,?是一个正整数的无穷递增序列。求证:对于每个 p≥1 都有无穷多个 am 可以写成 am=xap+yaq 的形式,其中 x,y 是正整数且 q>p。 (英国) 3. 在任意三角形 ABC 外,三角形 ABR,BCP,CAQ 按如下构造:∠CBP=∠CAQ=45°,∠BCP=∠ACQ=30°, ∠ABR=∠BAR=15°。求证∠QRP=90°且 QR=RP。 (荷兰) 4444 4. 当 4444 用十进制数表示时,它的各位数的和为 A。令 B 为 A 的各位数的和。找出 B 的各位数的和。 (A 和 B 都用十进制表示。 ) (苏联) 5. 判断并证明在一个半径为单位长的圆周上是否能找到 1975 个点使它们两两之间的距离都是有理数。 (苏联) 6. 找到所有多项式 P,有两个变量,并具有下列性质: (i) 对于一个正整数 n 和所有实数 t,x,y 都有 P(tx,ty)=tnP(x,y); (ii) 对于所有实数 a,b,c,都有 P(b + c, a) + P(c + a, b) + P(a + b, c) = 0; (iii) P(1,0)=1。 (英国)

第十八届(1976 年) 奥地利 利恩茨(Lienz,Austria)
1. 一个平面凸四边形的面积是 32,两条对边和一条对角线的长度的和是 16。判断另一条对角线所有可能的长 度。 (捷克斯洛伐克) 2. 令 P1(x)=x2-2,Pj(x)=P1(Pj-1(x)),j=2,3,?。说明,对于任一正整数 n,方程 Pn(x)=x 的根是互不相同的实数。 (芬兰) 3. 一个长方形的箱子可以用单位立方体填满。如果用体积为 2 的立方体尽量多地填充箱子,使每个边都与箱子 的边平行,那么恰好可以填充箱子的 40%。判断这个箱子所有可能的尺寸规模。 (荷兰) 4. 判断和为 1976 的若干个正整数的乘积的最大值,并证明。 (美国) 5. 考虑以下方程组,其中 q=2p,x1,x2,?,xq 为未知数:

12th

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a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1q xq ? 0 a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? a2 q xq ? 0 ? a p1 x1 ? a p 2 x2 ? ? ? a pq xq ? 0
每个系数 aij 属于数集{-1,0,1}。证明这个方程组有一个解(x1,x2,?,xq)满足: a) 所有的 xj (j=1,2,...,q)都是整数; b) 至少有一个值 j 使得 xj≠0; c) x j ? q( j ? 1, 2,?, q) 。 (荷兰) 6. 数列{un}被定义为

5 2 u0 ? 2, u1 ? , un ?1 ? un (un ?1 ? 2) ? u1 ,n=1,2,? 2

求证对于正整数 n 都有

?un ? ? 2

2n ?? ?1? 3

n

,其中[x]代表不大于 x 的最大整数。 (英国)

第十九届(1977 年) 南斯拉夫 贝尔格莱德(Belgrade,Yugoslavia)
1. 等边三角形 ABK、BCL、CDM、DAN 在正方形 ABCD 内。证明 KL、LM、MN、NK 四条线段的中点和 AK、 BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN 这八条线段的中点是一个正十二边形的十二个顶点。 (荷兰) 2. 在一个实数的无限数列中,任意七个连续项的和是负数,任意十一个连续项的和是正数。判断这个数列里最 大的数。 (越南) 3. 给定 n 为大于 2 的一个整数,设 Vn 是整数 1+kn(k=1,2,?)的集合。一个属于 Vn 的数 m,如果不存在 p、 q∈Vn 使得 pq=m 的话就称作 m 在 Vn 中不可分解。证明存在一个数 r∈Vn 可以有多种方式表示成在 Vn 中不可分 解的数的积(乘积中若仅仅是因数的顺序不同视为同一种分解) 。 (荷兰) 4. 已知四个实常量 a、b、A、B,以及 f (? ) ? 1 ? a cos ? ? b sin ? ? A cos 2? ? B sin 2? 。求证:如果 f(θ)≥0 对所有的实数 θ 都成立,那么有 a2+b2≤2 和 A2+B2≤1。 (英国) 2 2 5. 已知 a、b 为正整数。当 a +b 除以 a+b 后,商为 q,余数为 r。找到所有的使得 q2+r=1977 的正整数对(a,b)。 (民主德国) 6. 已知 f(n)是一个定义域和值域都为正整数集的函数。证明如果对于每个正整数 n 都有 f(n+1)>f(f (n)),那么对 于每个 n 都有 f(n)=n。 (保加利亚)

13th

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第二十届(1978 年) 罗马尼亚 布加勒斯特(Bucharest,Romania)
1.已知 m 和 n 是自然数且 1≤m<n。在十进制中,1978m 的后三位数字和 1978n 的后三位数字相同。找出使得 m+n 最小的 m 和 n 值。 (古巴) 2. P 是球内一定点。三条从 P 发出的互相垂直的射线与球面分别相交于点 U、V、W;Q 代表由 PU、PV、PW 决定的平行六面体中 P 的相对的顶点。求出 Q 点的轨迹。 (美国) 3. 所有正整数的集合是两个不相交的子集{f(1),f(2),?,f(n),?},{g(1),g(2),?,g(n),?}的并集,这里 f(1)<f(2)<?<f(n)<?,g(1)<g(2)<?<g(n)<?,以及对于所有 n≥1 都有 g(n)=f(f(n))+1。判断 f(240)的值。 (英国) 4. 在三角形 ABC 中,AB=AC。一个圆与三角形 ABC 的外接圆内切并分别与 AB、AC 相切于 P、Q。求证:线 段 PQ 的中点是三角形 ABC 的内切圆的圆心。 (美国)
n ak 1 5. 令{ak}(k=1,2,3,?,n,?)是不同正整数组成的数列。证明对于所有的自然数 n 都有 ? 2 ? ? 。 (法国) k ?1 k k ?1 k n

6. 一个国际组织有来自六个不同国家的成员。成员列表中共有 1978 个名字,编为 1,2,?,1978。求证:至少 有一个成员的编号是来自他同一国家的其它两个成员的编号的和,或者是来自他同一国家的一个成员的编号的 两倍。 (荷兰)

第二十一届(1979 年) 英国 伦敦(London,United Kingdom)
1. 设 p 和 q 都是自然数并且满足

p 1 1 1 1 1 。求证:p 可被 1979 整除。 (联邦德国) ? 1? ? ? ??? ? q 2 3 4 1318 1319

2. 一个棱柱的顶面是五边形 A1A2A3A4A5, 底面是 B1B2B3B4B5。 这两个五边形的每条边和每条线段 AiB ( j=1, ?, j i、 5) ,都用红色或者绿色着色。每条边都被着色和每个顶点都是棱柱的顶点的三角形都有两边被涂上不同的颜色。 说明上下底面的所有 10 条边都是同一颜色。 (保加利亚) 3. 在平面上有两个圆相交。设 A 是其中一个交点。从 A 点同时出发的两点以恒定的速度,并以相同的方向绕各 自的圆运动。在转完一圈后两个点又同时回到了 A 点。求证:平面内存在一定点 P,在任一时刻 P 与这两个动 点的距离相等。 (苏联)

14th

International Mathematical Olympiad
4. 给定一平面 π, 点 P 在平面 π 上, 点 Q 不在平面 π 上, 找到所有在平面上的点 R, 其比值

QP ? PA 最大。 (美 QR

国) 5. 找 到 所 有 满 足 条 件 的 实 数 a , 使 得 存 在 非 负 实 数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 满 足 关 系

? kx
k ?1

5

k

(以色列) ? a, ? k 3 xk ? a 2 , ? k 5 xk ? a3 。
k ?1 k ?1

5

5

6. 设 A 和 E 是一个正八边形上的两个相对顶点。一只青蛙从顶点 A 开始起跳。它从除了 E 以外的任何一个顶 点,可能跳到两个相邻顶点的任何一个。当它到达顶点 E 时,青蛙停下来并留在这里。设 an 为恰好 n 次跳到 E 点的不同路线的总数。证明 a2n-1=0,

a2 n ?

1 n ?1 ( x ? y n ?1 ), n ? 1, 2,3,?,其中 x ? 2 ? 2 , y ? 2 ? 2 。 2

注意:n 次跳跃的路径是满足下列条件的顶点(P0,?,Pn)的序列: i) P0=A,Pn=E; ii) 对于每一个 i(0≤i≤n-1) ,Pi 与 E 不同; iii) 对于每一个 i(0≤i≤n-1) ,Pi 和 Pi+1 是相邻的。 (联邦德国) 1980 年由于主办国蒙古(Mongolia)资金不足,IMO 未举行。

第二十二届(1981 年) 美国 华盛顿特区(Washington DC,United States of America)
1. P 是三角形 ABC 内一点。D、E、F 是 P 点分别向 BC、CA、AB 作的垂线的垂足。找到所有的点 P,使

BC CA AB 的值最小。 (英国) ? ? PD PE PF
2. 设 1≤r≤n,考虑集合{1,2,?,n}的有 r 个元素的子集。每个子集都有一个值最小的元素。令 F(n,r)代表这些 最小的数的算术平均值;证明 F (n, r ) ?

n ?1 。 (联邦德国) r ?1

3. 判断 m3+n3 的最大值,其中 m、n 是满足 m,n∈{1,2,?,1981}及(n2-mn-m2)2=1 的整数。 (荷兰) 4. a) 当 n 取哪些值时(n>2) ,有一个由 n 个连续整数组成的集合,其最大的元素是剩下的 n-1 个数的最小公倍 数的因数? b) 当 n 取哪些值时(n>2) ,正好存在一个集合满足条件?(比利时) 5. 三个全等的圆有一个公共点 O,并处于一个三角形内。每个圆都与这个三角形的两条边相切。求证:这个三 角形的内心、外心和点 O 共线。 (苏联) 6. 函数 f(x, y)对于所有非负整数 x,y 都满足 (1) f(0, y) = y+1;
15th

International Mathematical Olympiad
(2) f(x+1, 0) = f(x, 1); (3) f(x+1, y+1)=f(x, f(x+1, y))。判断 f(4,1981)的值。 (芬兰)

第二十三届(1982 年) 匈牙利 布达佩斯(Budapest,Hungary)
1. 函数 f(n)定义在所有正整数 n 上,且取值为非负整数。另外,对于所有的 m、n 有 f(m+n)-f(m)-f(n)=0 或 1,f(2)=0,f(3)>0,以及 f(9999)=3333。判断 f(1982)的值。 (英国) 2. 非等腰三角形 A1A2A3 的边为 a1、a2、a3(ai 是 Ai 的对边) 。对于所有的 i=1,2,3,Mi 是边 ai 的中点,Ti 是三角 形的内切圆与边 ai 的切点。用 Si 表示 Ti 关于角 Ai 的角平分线对称的点。求证:直线 M1S1、M2S2、M3S3 共点。 (荷兰) 3. 考虑一个满足下列要求的无限正实数数列{xn}:x0=1,对于所有 i≥0,xi+1≤xi。
2 2 x0 xn x12 a) 证明对于每个这样的数列,都有一个 n≥1 使得 ? ? ? ? ?1 ? 3.999 。 x1 x2 xn
2 x0 x2 x2 (苏联) ? 1 ? ? ? n ?1 ? 4 对于所有 n 都成立的这种数列。 x1 x2 xm

b) 找到一个可以使

4. 求证:如果 n 是一个正整数,并能够使方程 x3-3xy2+y3=n 有一个整数解(x,y) ,那么该方程有至少三组整数 解。说明当 n=2981 时方程无整数解。 (英国) 5. 正六边形 ABCDEF 的对角线 AC 和 CE 分别被内点 M 和 N 分割,且有

AM CN ? ? r 。如果 B、M、N 共线, AC CE

求 r 的值。 (荷兰) 6. 设 S 是边长为 100 的正方形,L 是在 S 内部不自交的系列线段 A0A1, A1A2, A2A3, ... , An-1An 并且 A0 与 An 不重 合。已知对于每一个在 S 边界上的点 P,L 中存在一个点与 P 之间的距离不大于 X 与 Y 的距离不大于 1,并且 L 上位于 X 和 Y 之间的部分不少于 198。 (越南)

1 。求证:L 中存在两点 X、Y, 2

第二十四届(1983 年) 法国 巴黎(Paris,France)
1. 找出所有的函数 f,它定义域和值域为正实数集,并满足以下要求: i) 对于所有正数 x、y 都有 f(xf(y)) = yf(x); ii) 当 x→∞时,f(x)→0。 (英国) 2. 设 A 是同一平面上不全等的两个圆心分别为 O1 和 O2 的圆 C1 和 C2 的两个交点的其中一个。一条公切线分别 切 C1 于 P1,切 C2 于 P2;另一条分别切 C1 于 Q1,切 C2 于 Q2。设 M1 是 P1Q1 的中点,M2 是 P2Q2 的中点。证明 ∠O1AO2=∠M1AM2。 (苏联) 3. 设 a、b、c 为正整数,它们两两互质。说明 2abc-ab-bc-ca 是不能用 xbc+yca+zab 表示的最大的整数,其中 x、 y、z 是非负整数。 (联邦德国) 4. 设 ABC 是一个等边三角形,ε 是在三条线段 AB、BC、CA(包括 A、B、C)上所有点的集合。判断是否对于 ε 划分的两个不相交的子集,两个子集中至少有一个包括一个直角三角形的三个顶点。证明你的判断。 (比利时) 5 5. 选择 1983 个不同的正整数,它们都小于或等于 10 ,没有任何三个数字成等差数列。有可能吗?证明你的答
16th

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案。 (波兰) 6. 设 a、b、c 是三角形的三边。求证:a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,并判断何时等号成立。 (美国)

第二十五届(1984 年) 捷克斯洛伐克 布拉格(Prague,Czechoslovakia)
1. 证明 0 ? yz ? zx ? xy ? 2 xyz ?

7 ,其中 x、y、z 是非负数且满足 x+y+z=1。 (联邦德国) 27

2. 找出两个正整数 a、b,它们满足: i) ab(a+b)不能被 7 整除 ii) (a+b)7 - a7 - b7 能被 77 整除。 证明你的答案。 (荷兰) 3. 在平面上有两点 O、A。对于平面上不同于 O 点的点 X,用 a(X)表示从 OA 逆时针移动至 OX 的角的大小(用 弧度表示,0≤a(X)<2π) 。设 C(X)是以 O 为圆心, OX ?

a( X ) 为半径的圆。平面上的每个点都用有限种颜色 OX

着色。证明存在点 Y 使得 a(Y)>0 且该点的颜色在圆 C(Y)的圆周上也出现。 (罗马尼亚) 4. 设 ABCD 是一个凸四边形且直线 CD 是以 AB 为直径的圆的切线。证明当且仅当直线 BC 和 AD 平行时,直 线 AB 是以 CD 为直径的圆的切线。 (罗马尼亚) 5. 设 d 是平面上一个有 n 个顶点( n>3 )的凸多边形的所有对角线长度的和, p 是它的周长。求证:

n?3?

2d ? n ? ? n ? 1 ? (蒙古) ? ?? ? 2 ,其中[x]代表不超过 x 的最大整数。 p ? ?2? ? 2 ? ?

6. 令 a、b、c、d 为奇数且 0<a<b<c<d,ad=bc。求证:如果对于某些整数 k 与 m 有 a+d=2k 且 b+c=2m,那么 a=1。 (波兰)

第二十六届(1985 年) 芬兰 约察(Joutsa,Finland)
1. 一个圆的圆心在圆内接四边形 ABCD 的边 AB 上。四边形的其它三边与这个圆相切。证明 AD+BC=AB。 (英 国) 2. 设 n、k 是互质的自然数,k<n。集合 M={1,2, ... , n-1}中的每个数都用蓝色或白色上色。保证: i) 对于所有的 i∈M,i ≠k,i 与 n-i 颜色相同; ii) 对于所有的 i∈M,i ≠k,i 与 |i-k | 颜色相同。 证明 M 内的所有数字颜色相同。 (澳大利亚) 3. 对一个系数是整数的多项式 P(x)=a0+a1x+?+akxk,为奇数的系数的数目为 w(P)。对于 i=0,1,?,令 Qi
17th

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(x)=(1+x)i。求证:如果 i1,i2,?,in 是整数且满足 0≤i1<i2<?<in,那么 w(Qi1

? Qi2 ? ?? Qin ) ? w(Qi1 ) 。

(荷兰) 4. 给出由 1985 个不同的正整数组成的集合 M,其元素中没有一个有大于 26 的质因数。证明 M 至少包含一个 由四个不同元素组成的子集,其元素的积是一个整数的四次方。 (蒙古) 5. 一个圆心为 O 的圆经过三角形 ABC 的顶点 A 和 C,并与 AB 与 BC 再次分别交于点 K 和 N。三角形 ABC 和 KBN 两者的外接圆相交于两个不同的点 B 和 M。求证∠OMB 是直角。 (苏联) 6. 对于所有的实数 x1,构造数列 x1,x2,?并使其对于每个 n≥1 都满足 xn?1 ? xn ( xn ? ) 。求证:只存在一个 x1 的值使得对于每一个 n 都有 0<xn<xn+1<1。 (瑞典)

1 n

第二十七届(1986 年) 波兰 华沙(Warsaw,Poland)
1. 设 d 是不等于 2,5,13 的任意整数。说明在集合{2,5,13,d}可以找到两个不同的数 a、b,使得 ab-1 不是完全平 方数。 (联邦德国) 2. 平面上有一个三角形 A1A2A3 和一点 P0。 我们定义对于所有的 s≥4 都有 As=As-3。 我们构造一组点 P1, P2, P3, ?, 使得 Pk+1 是 Pk 绕点 Ak+1 顺时针旋转 120°得到的(k=0,1,2,?) 。证明如果 P1986=P0,那么三角形 A1A2A3 是等 边三角形。 (中国) 3. 给正五边形的每个顶点赋值一个整数,使五个整数的和为正。如果三个连续的顶点分别被赋值为 x、y、z 且 y<0,那么执行下面的操作:数字 x、y、z 分别被 x+y、-y、z+y 代替。只要五个数中有一个数是负的,就重复 执行操作。判断是否可以在有限步后结束操作。 (民主德国) 4. 设 A、B 是平面上一个中心为 O 的正 n 边形(n≥5)的相邻顶点。一个三角形 XYZ,开始与三角形 OAB 重 合,现用如下的方式移动三角形 XYZ:保持 Y、Z 始终在多边形的边界上、X 在多边形的内部。试求出当 Y、Z 都走遍多边形的边界时 X 点所形成的轨迹。 (以色列) 5. 找到所有满足条件的函数 f,它定义在非负实数上,取值也为非负实数,且满足: i) 对于所有的 x,y≥0,都有 f(xf(y))=f(x+y); ii) f(2)=0; iii) 对于 0≤x<2 有 f(x)≠0。 (英国) 6. 给定平面上一个有限的点集,每个点的坐标值都为整数。试问有没有可能用红色给点集中的一些点上色,并 用白色给其它点上色,使得任何一条与坐标轴平行的直线 L 上,白点个数和红点个数的差不大于 1?(民主德 国)

第二十八届(1987 年)
18th

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古巴 哈瓦那(Havana,Cuba)
1. 设 pn(k)是集合{1,?,n}的具有 k 个不动点的排列的数目,n≥1。求证: (注意:集合 S ? k ? p (k ) ? n ! 。
k ?0 n n

的排列 f 是 S 自己的一对一映射。S 中的一个元素 i 若满足 f(i)=i 那么 i 就叫做排列 f 的不动点。 ) (联邦德国) 2. 在锐角三角形 ABC 中,∠A 的内角平分线交 BC 于 L,并交三角形 ABC 的外接圆于 N。过 L 点作 AB 和 AC 的垂线,垂足分别为 K 和 M。求证:四边形 AKNM 和三角形 ABC 的面积相同。 (苏联)
2 2 2 3. 设 x1,x2,?,xn 为满足 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 的实数。求证:对于所有的整数 k≥2,都有不全为 0 的整数 a1,

a2,?,an,使得对于所有的 i 都有|ai|≤k-1 且

a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? an xn ?

(k ? 1) n 。 (联邦德国) k n ?1

4. 求证:没有一个函数 f,其定义域与值域都为非负整数集,且对于每个 n 都有 f(f(n))=n+1987。 (越南) 5. 设 n 是一个大于或等于 3 的整数。求证:平面上存在 n 个点,它们任意两点间的距离是无理数,且任意三点 能形成一个面积为有理数的非退化三角形。 (民主德国) 6. 设 n 是一个大于或等于 2 的整数。求证:如果对于所有的整数 k(0≤k≤ 于所有的整数 k(0≤k≤n - 2)都有 k2+k+n 是质数。 (苏联)

n )都有 k2+k+n 是质数,那么对 3

第二十九届(1988 年) 澳大利亚 堪培拉(Canberra,Australia)
1. 考虑两个在同一平面的同心圆,半径为 R 和 r(R>r) 。设 P 是小圆上一个固定点,B 是大圆上的一个动点。 直线 BP 还与大圆交于 C。BP 的垂线 l 经过点 P,与小圆交于另一点 A。 (如果 l 是小圆的切线,那么 A、P 点重 合。 ) i) 找出 BC2+CA2+AB2 的所有可能的值。 ii) 找出 BC 的中点的轨迹。 (卢森堡) 2. 设 n 为正整数,A1,A2,?,A2n+1 都是集合 B 的子集。假设: (a) 每个 An 都恰好有 2n 个元素; (b) 每个 Ai∩Aj(1≤i<j≤2n+1)包含正好一个元素; (c) B 中的每个元素至少属于两个 Ai。试问对于什么样的 n 值有办法将 B 中的元素都标上 0 或 1 使得每个 Ai 都 恰好包含 n 个标 0 的元素。 (捷克斯洛伐克) 3. 函数 f 定义在正整数集上,且对于所有正整数 n 都有:

f (1) ? 1, f (3) ? 3, f (2n) ? f (n), f (4n ? 1) ? 2 f (2n ? 1) ? f (n), f (4n ? 3) ? 3 f (2n ? 1) ? 2 f (n)
判断满足条件的正整数 n 的个数,它小于或等于 1988,且有 f(n)=n。 (英国)
19th

International Mathematical Olympiad
4. 说明满足不等式 (爱尔兰) ? x ? k ? 4 的所有实数 x 的集合是不相交的区间的并集,且区间的长度为 1988。
k ?1 70

k

5

5. 在三角形 ABC 中,A 是直角,D 是 BC 边上的高的垂足。三角形 ABD,ACD 的内心的连线分别交边 AB、AC 于点 K、L。S 和 T 分别表示三角形 ABC 和 AKL 的面积。说明 S≥2T。 (希腊) 6. 设 a 和 b 为正整数,且 ab+1 整除 a2+b2。说明

a2 ? b2 是一个整数的平方。 (联邦德国) ab ? 1

第三十届(1989 年) 联邦德国 布伦瑞克(Braunschweig,FR Germany)
1. 证明集合{1,2,?,1989}可以表示成一些不相交的子集 Ai(i=1,2,?,117)的并集,且满足: i) 每个 Ai 包括 17 个元素; ii) 每个 Ai 的所有元素的和都是相同的。 (菲律宾) 2. 在锐角三角形 ABC 中,角 A 的内角平分线还交三角形的外接圆于 A1。点 B1 和 C1 也类似这样定义。设 A0 是 AA1 与角 B 和角 C 的外角平分线的交点。点 B0 和 C0 也类似这样定义。求证: i) 三角形 A0B0C0 的面积是六边形 AC1BA1CB1 面积的两倍。 ii) 三角形 A0B0C0 的面积至少是三角形 ABC 面积的四倍。 (澳大利亚) 3. 设 n 和 k 为正整数,S 为满足下列要求的 n 个点: i) S 内的任意三点都不共线; ii) 对于 S 内的任一点 P 在 S 中都至少有 k 个点与 P 点距离相等。 求证: k ?

1 (荷兰) ? 2n 。 2
1 ? h 1 1 ? 。 (冰岛) AD BC

4. 设 ABCD 是凸四边形,边 AB、AD、BC 满足 AB = AD + BC。在四边形内存在一点 P,距离直线 CD 的距离 为 h,且 AP = h + AD,BP = h + BC。说明:

5. 求证:对于每个正整数 n,存在 n 个连续的正整数,其中没有质数的整数幂。 (瑞典) 6. 一个集合{1,2,?,2n}的一个排列(x1,x2,?,xm),其中 n 是正整数,如果对于集合{1,2,?,2n-1}中的 至少一个 i 有 xi ? xi ?1 ? n ,就说它具有属性 P。说明对于每个 n,具有属性 P 的排列比不具有的多。 (波兰)

第三十一届(1990 年)
20th

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中国 北京(Beijing,China)
1. 一个圆的弦 AB 和 CD 在圆内交于点 E。设 M 是线段 EB 的内点。过 E 点作经过点 D、E、M 的圆的切线,它 分别交直线 BC 和 AC 于 F 和 G。如果

EG AM 。 (印度) ? t ,试用 t 来表示 EF AB

2. 设 n≥3,考虑 2n-1 个圆上不同的点构成的集合 E。假设这些点中恰好有 k 个点被涂成黑色。如果至少有一对 黑点使得这两个黑点之间的弧上 (两段弧中的某一个) 恰好包含 E 中的 n 个点, 就成这样的染色方法是 “好的” 。 试找出对于集合 E 能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的 k 值。 (捷克斯洛伐克)

2n ? 1 3. 找出满足 为整数的所有的大于 1 的整数 n。 (罗马尼亚) n2
4. 设
+

为正有理数的集合。构造函数 f: +→

+

,且对于所有

+

内的 x、y 都满足 f ( xf ( y )) ?

f ( x) 。 (土耳其) y

5. 给出一个初始整数 n0>1,两位玩家,A 和 B,轮流选择整数 n1,n2,n3,?并遵循下列规则: 已知 n2k,A 选择满足 n2k ? n2k ?1 ? n2k 的任一整数 n2k+1。
2

已知 n2k+1,B 选择满足

n2 k ?1 是一个质数的正整数幂。 n2 k ? 2

玩家 A 通过选择数字 1990 赢得游戏;玩家 B 通过选择数字 1 赢得胜利。当 n0 值为多少时: (a) A 有必胜的策略? (b) B 有必胜的策略? (c) 二者都没有必胜的策略?(德国) 6. 证明:存在一个凸 1990 边形,有下面两个属性: (a) 所有的角相等; (b) 不计顺序,1990 条边的长度分别为 12,22,32,?,19902。 (荷兰)

第三十二届(1991 年) 瑞典 锡格蒂纳(Sigtuna,Sweden)
1. 给出三角形 ABC,设 I 是其内切圆的圆心。角 A、B、C 的内角平分线分别交其对边于 A’、B’、C’。证明

1 AI ? BI ? CI 8 ? ? 。 (苏联) 4 AA? ? BB? ? CC ? 27
2. 设 n 为大于 6 的整数,a1,a2,?,ak 是所有小于 n 且与 n 互质的自然数。如果有 a2 - a1 = a3 - a2 = ? = ak ak-1 > 0,证明 n 一定为一个质数或者 2 的整数幂。 (罗马尼亚) 3. 设 S={1,2,3,?,280}。找到满足条件的最小整数 n,使 S 的每个 n 元子集包含五个数是两两互质的。 (中国) 4. 假设 G 是有 k 条边的连通图。求证:有可能对这些边标记为 1,2,?,k,使得每个顶点属于两条或多条边, 从这个顶点出发的每条边的标号的最大公约数为 1。 【一个图由一组顶点和一组连接某对不同顶点的边组成。每对顶点 u、v 最多连有一条边。图 G 如果对于每对 不同的顶点 x、y 有一系列的顶点 x = v0,v1,v2,...,vm = y 使得每对 vi,vi+1 都有 G 的一条边连接,那么 G 就是连通
21st

International Mathematical Olympiad
的。 】 (美国) 5. 在三角形 ABC 中,P 是△ABC 内的一点。说明在∠PAB,∠PBC 和∠PCA 中至少有一个角小于或等于 30°。 (法国) 6. 一个实数的无限数列 x0,x1,x2,?,如果存在常数 C 使得对于每一个 i≥0 都有|xi|≤C,那么这个数列是“有 界的” 。给出任意一个大于 1 的实数 a,构造一个有界的无限数列 x0,x1,x2,?对于每对不同的非负整数 i、j 都有 xi ? x j i ? j ? 1。 (荷兰)
a

第三十三届(1992 年) 俄罗斯 莫斯科(Moscow,Russia)
1. 找到满足条件的所有整数 a、b、c,1<a<b<c 且(a-1)(b-1)(c-1)是 abc-1 的因数。 (新西兰) 2. R 表示所有实数的集合。找到所有满足条件的函数 f:R→R 且对于所有的 x、y∈R 都有 f(x2+f(y))=y+(f(x))2。 (印度) 3. 给定空间中的九个点,其中任何四点都不共面。在每一对点之间都连有一条线段,这条线段可染为红色或蓝 色,也可不染色。试求出最小的 n 值,使得将其中任意 n 条线段中的每一条任意地染为红蓝二色之一时,在这 n 条线段的集合中都必包含有一个各边同色的三角形。 (中国) 4. 在平面内,设 C 为一个圆,L 是圆 C 的切线,点 M 在 L 上。找到有下列属性的所有点 P 的轨迹:在 L 上存 在两点 Q、R 使得 M 为 Q、R 的中点,C 是三角形 PQR 的内切圆。 (法国) 5. 设 S 为立体空间内的有限点集。设 Sx,Sy,Sz 分别为 S 中的点在 yz 平面、zx 平面、xy 平面上的正投影。求证

S ? S x ? S y ? S z ,其中|A|代表有限集合 A 的元素个数。 (注意:一个点在平面上的正投影是这个点向这个平
面上引垂线,垂足所在位置。 ) (意大利) 6. 对于每个正整数 n,S(n)是满足以下要求的最大整数:对于每一个正整数 k≤S(n),n2 都可以被写成 k 个完全 平方数的和。 (a) 证明对于每个 n≥4 都有 S(n)≤n2-14。 (b) 求出使 S(n)=n2-14 的一个整数 n。 (c) 证明有无限多个整数 n 使得 S(n)≤n2-14。 (英国)

2

第三十四届(1993 年) 土耳其 伊斯坦布尔(Istanbul,Turkey)
22nd

International Mathematical Olympiad
1. 设 f(x)=x +5xn-1+3,其中 n 是大于 1 的整数。求证:f(x)不能表示成系数为整数的两个非常量的多项式的积。 (爱尔兰) 2. 设 D 是锐角三角形 ABC 内一点,使得 ?ADB ? ?ACB ? (a) 求出比例
n

?
2

且 AC·BD=AD·BC

AB ? CD 。 AC ? BD

(b) 求证:过 C 点的△ACD 和△BCD 的外接圆的切线垂直。 (英国) 3. 在一个无限大的棋盘上以如下方式做游戏。开始时棋盘中的一个 n×n 的框上整齐地摆放着 n2 个棋子(每个 小方格上放着一个棋子) ,游戏的每一步都是在水平或者竖直方向上跨越一个棋子而 跳到一个空格子上去,并 同时取走所跨越过的棋子。 试找出所有的 n 值使得游戏以只留一个棋子在棋盘上而结束。 (芬兰) 4. 对于平面上的三个点 P、Q、R,我们定义 m(PQR)是△PQR 三条高中的最短的一条的长度。 (如果 P、Q、R 共线,我们规定 m(PQR)=0。 ) 求证:对于平面上的四个点 A、B、C、X,m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。 (马其顿) 5. 是否存在一个函数 f:N→N,使得对于所有 n∈N 都有 f(1)=2,f(f(n))=f(n)+n,f(n)<f(n+1)?(德国) 6. 在一个圆上有 n(n>1)盏灯为 L0,?,Ln-1。我们定义 Ln+k=Lk。 (一盏灯在任何时候要么开,要么关。 )按要 求执行步骤 s0,s1,?:在步骤 si,如果 Li-1 亮着,那么就关掉或打开 Li,否则什么事都不做。开始时所有灯都 亮着。说明: (a) 存在一个正整数 M(n)使其在经过 M(n)步后所有灯再次全亮; (b) 如果 n=2k,我们可以取 M(n) = n2-1; (c) 如果 n=2k+1,我们可以取 M(n) = n2-n-1; (荷兰)

第三十五届(1994 年) 香港(Hong Kong)
1. 设 m、n 为正整数。设 a1,a2,?,am 为{1,2,?,n}中不同的元素,只要对于一些 i、j(1≤i≤j≤m)有 ai+aj≤n,那么就存在 k,1≤k≤m,使得 ai+aj=ak。求证

a1 ? a2 ? ? ? am n ? 1 ? 。 (法国) m 2

2. ABC 是等腰三角形,AB=AC。假设 1) M 是 BC 的中点,O 是直线 AM 上使得 OB 垂直 AB 的一点; 2) Q 是线段 BC 上不同于 B 和 C 的任意一点; 3) E 在直线 AB 上,F 在直线 AC 上,E、Q、F 三点不重合但共线。 求证:当且仅当 QE=QF 时 OQ 垂直于 EF。 (亚美尼亚、澳大利亚) 3. 对于任一正整数 k,设 f(k)是集合中{k+1,k+2, ... , 2k}中用二进制表示恰好有 3 个 1 的数的个数。 a) 试证明:对于每一个正整数 m,都存在至少一个正整数 k 使得 f(k)=m。 b) 找出所有的满足条件的正整数 m,使之只存在一个 k 使得 f(k)=m。 (罗马尼亚) 4. 判断出所有使得

n3 ? 1 是整数的有序正整数对(m,n) 。 (澳大利亚) mn ? 1
23rd

International Mathematical Olympiad
5. 设 S 为严格大于-1 的实数的集合。找出所有满足下面两个条件的函数 f:S→S: 1) 对于 S 内的所有 x 和 y 都有 f ( x ? f ( y) ? xf ( y)) ? y ? f ( x) ? yf ( x) ; 2)

f ( x) 在区间-1<x<0 和 0<x 严格递增。 (英国) x

6. 说明存在一个由正整数组成的集合 A 有下列属性:对于每一个由质数组成的无限集合 S,存在两个正整数 m ∈A 和 n ? A ,每个数都是对于某些不小于 2 的 k 是 S 中的 k 个不同元素的积。 (芬兰)

第三十六届(1995 年) 加拿大 多伦多(Toronto,Canada)
1. 设 A、B、C、D 是按顺序在一条线上的四个不同的点。分别以 AC 和 BD 为直径的圆交于 X 和 Y。直线 XY 交 BC 于 Z。设 P 是直线 XY 上不同于 Z 的一点。直线 CP 交以 AC 为直径的圆于 C 和 M,直线 BP 交以 BD 为 直径的圆于 B 和 N。求证:直线 AM、DN、XY 共点。 (保加利亚) 2. 设 a、b、c 为正整数且 abc=1。证明:

1 1 1 3 (俄罗斯) ? 3 ? 3 ? 。 a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2
3

3. 找到所有满足条件的大于 3 的整数 n,使平面上存在 n 个点 A1,?,An,任意三点都不共线,实数 r1,?, rn 使得对于 1≤i<j<k≤n,△AiAjAk 的面积是 ri+rj+rk。 (捷克) 4. 找到 x0 的最大值,使得存在一个由正实数组成的数列 x0,x1,?,x1995,有 x0=x1995,且对于 i=1,?,1995, 都有 xi ?1 ?

2 1 ? 2 xi ? 。 (波兰) xi ?1 xi

5. 设 ABCDEF 为凸六边形且 AB=BC=CD 以及 DE=EF=FA,使∠BCD=∠EFA= 点,使得∠AGB=∠DHE=

2? 。求证:AG+GB+GH+DH+HE≥CE。 (新西兰) 3

? 。假设 G 和 H 是六边形的内 3

6. 设 p 是奇质数。有多少个{1,2,?,2p}的 p 元子集 A,其元素的和可被 p 整除?(波兰)

第三十七届(1996 年)
24th

International Mathematical Olympiad
印度 孟买(Mumbai,India)
1. 给定一个正整数 r 和一个规模为|AB|=20,|BC|=12 的矩形木板 ABCD。矩形被分为一格一格的 20×12 个单位 方格。在矩形上可执行下面的移动:只要这两个小方格的中心的距离为 r ,就可以从其中一个移动到另外一 个。任务是找到从含顶点 A 的小方格内经过若干次移动后到达含顶点 B 的小方格内的序列。 (a) 说明当 r 可被 2 或 3 整除时任务不可能完成。 (b) 证明当 r=73 时任务可能完成。 (c) 当 r=97 时可以完成任务吗?(芬兰) 2. 设 P 为满足∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC 的三角形 ABC 内一点。设 D、E 分别是三角形 APB、APC 的内心。 说明 AP、BD、CE 共点。 (加拿大) 3. 设 S 为非负整数的集合。找到所有定义域与值域都为 S 的函数 f 且满足:

f (m ? f (n)) ? f ( f (m)) ? f (n)

?m, n ? S 。 (罗马尼亚)

4. 正整数 a 和 b 使得 15a+16b 和 16a-15b 都为正整数的平方。试求出能表示成这两个完全平方数的较小的一个 的可能的最小值。 (俄罗斯) 5. 设 ABCDEF 为凸六边形且 AB 平行于 DE,BC 平行于 EF,CD 平行于 FA。RA、RC、RE 分别表示三角形 FAB、 BCD、DEF 的外接圆半径,P 表示六边形的周长。证明 RA ? RC ? RE ?

P 。 (亚美尼亚) 2

6. 设 p、q、n 为正整数且 p+q<n。设(x0,x1,?,xn)是满足下列条件的(n+1)元整数: (a) x0=xn=0; (b) 对于每个 i(1≤i≤n) ,要么 xi-xi-1=p,要么 xi-xi-1=-q。 说明存在下标 i<j 且(i,j)≠(0,n),使得 xi=xj。 (法国)

第三十八届(1997 年) 阿根廷 马德普拉塔(Mar del Plata,Argentina)
1. 平面上坐标值为整数的点是单位正方形的顶点。正方形被交替涂上黑色和白色(像棋盘一样) 。 对于每对正整数 m 和 n,考虑一个直角三角形,它的顶点坐标为整数,直角边长度为 m 和 n,且都在正方形的 边上。 设 S1 为三角形黑色部分的总面积,S2 为三角形白色部分的总面积。令 f(m,n)=|S1-S2|。 (a) 对于 m 和 n 都是奇数或都是偶数的情况下,计算 f(m,n)的值。 (b) 证明对于所有的 m 和 n 都有 f (m, n) ?

1 max{m, n} 。 2

(c) 说明不存在常数 C 使得对于所有 m 和 n 都有 f(m,n)<C。 (白俄罗斯) 2. 角 A 是三角形 ABC 中最小的角。点 B 和 C 将三角形的外接圆分成两条弧。设 U 是 B 和 C 之间不包括 A 的 一段弧内的一点。AB 和 AC 的垂直平分线分别交直线 AU 于 V 和 W。直线 BV 和 CW 交于 T。说明 AU=TB+TC。 (英国) 3. 设 x1,x2,?,xn 为满足条件 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 的实数,且 xi ?

n ?1 2

i ? 1, 2,? , n 。说明存在 x1,

25th

International Mathematical Olympiad
x2,?,xn 的排列 y1,y2,?,yn,使得 y1 ? 2 y2 ? ? ? nyn ?

n ?1 。 (俄罗斯) 2

4. 一个 n×n 的矩阵,如果其元素取自集合 S={1,2, ... , 2n-1},且对于每个 i=1,2,?,n,第 i 行和第 i 列的所有 数包括了 S 的所有元素,那么称这个矩阵为“银矩阵” 。说明: (a) 当 n=1997 时不存在银矩阵; (b) 对于无限多个 n,存在银矩阵。 (伊朗) 5. 找到所有整数对(a,b)(a,b≥1) ,使其满足等式 a
b2

(捷克) ? ba 。

6. 对每个正整数 n,将 n 表示成 2 的非负整数次方之和,令 f(n)为正整数 n 的上述不同表示法的个数。如果两 个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同,这两个表示法就被视为是相同的。例如,f(4)=4,因为 4 可以表示成下列四种形式:4;2+2;2+1+1;1+1+1+1。 求证:对于任一整数 n≥3,都有 2
n2 4

(立陶宛) ? f (2 ) ? 2 。
n

n2 2

第三十九届(1998 年) 中国台湾 台北(Taipei,Taiwan)
1. 在凸四边形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 互相垂直,对边 AB 和 DC 不平行。假设点 P 为 AB 和 DC 的垂直平 分线的交点,它在四边形 ABCD 内。证明当且仅当三角形 ABP 和 CDP 面积相等时 ABCD 是圆内接四边形。 (卢 森堡) 2. 在一次竞赛中,有 a 名选手和 b 名裁判,b 是一个不小于 3 的奇数。每个裁判可对每位选手评级为“及格” 或“不及格” 。假设 k 是这样定义的一个数:对于任意两个裁判,他们的评级对至多 k 个选手是相同的。求证:

k b ?1 ? 。 (印度) a 2b
3. 对于任一正整数 n,设 d(n)为 n 的正因数(包括 1 和 n 本身) 。判断出满足对于一些 n 有

d (n 2 ) ? k 的所有正 d ( n)

整数 k。 (白俄罗斯) 4. 找出所有满足条件的正整数对(a,b),使得 ab2+b+7 能整除 a2b+a+b。 (英国) 5. 设 I 为三角形 ABC 的内心。设 ABC 的内切圆分别切边 BC、CA 和 AB 于 K、L 和 M。过点 B 的平行于 MK 的 直线分别交直线 LM 和 LK 于 R 和 S。证明角 RIS 是锐角。 (乌克兰) 6. 考虑所有的定义域和值域都为正整数集 N 的函数 f,它满足对于所有 N 内的 s 和 t 都满足 f(t2f(s))=s(f(t))2。找 到 f(1998)的最小的可能值。 (保加利亚)

第四十届(1999 年) 罗马尼亚 布加勒斯特(Bucharest,Romania)
1. 找出所有满足下列要求的由平面上至少三点组成的有限集合 S:
26th

International Mathematical Olympiad
对于任意两个在 S 中的不同的点 A 和 B,线段 AB 的垂直平分线是 S 的一条对称轴。 (爱沙尼亚) 2. 设 n 为一个给定的整数,n≥2。 (a) 判断使得以下不等式对于所有实数 x1,?,xn≥0 都成立的最小常数 C:

? ? xi x j ( x ? x ) ? C ? ? xi ? 。 ? 1?i ? j ? n ? 1?i ? n ?
2 i 2 j

4

(b) 对于这个常数 C,判断何时等号成立。 (波兰) 3. 给定一个 n×n 的棋盘,n 是给定的偶数。这个棋盘被分成 n2 个小方格。如果这个棋盘中的两个不同的小方 格有一个公共边就说它们是相邻的。N 个棋盘上的小方格按某种方式被标记,使得棋盘上的每个方格(标记的 和未标记的)至少与一个被标记的方格相邻。找出 N 的最小的可能值。 (白俄罗斯) 4. 找出满足条件的正整数对(n,p):p 是质数;n 不超过 2p;(p-1)n 能被 np-1 整除。 (中国台湾) 5. 两个圆 G1 和 G2 在圆 G 内,且分别与 G 相切于不同的点 M 和 N。G1 通过 G2 的圆心。通过 G1 和 G2 的交点的 直线交 G 于点 A 和 B。 (俄罗斯) 6. 找出所有函数 f:R→R,使对于所有实数 x、y 都有 f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1。 (日本)

第四十一届(2000 年) 韩国 大田(Taejon,Republic of Korea)
1. AB 是圆 CAMN 和 NMBD 的切线。M 在直线 CD 上,位于 C 和 D 之间,CD 平行于 AB。弦 NA 和 CM 交于点 P;弦 NB 和 MD 交于点 Q。射线 CA 和 DB 交于点 E。求证:PE=QE。 (俄罗斯) 2. A、B、C 是满足三者积为 1 的正实数。证明 ( A ? 1 ?

1 1 1 )( B ? 1 ? )(C ? 1 ? ) ? 1 。 (美国) B C A

3. k 是一个正实数。 N 是一个大于 1 的整数。 N 个点在同一直线上, 但没有全部重合。 一个移动按如下步骤实施: 选择两个不重合的点 A 和 B。假设 A 在 B 右侧。将 B 用 B’点代替,B’点在 A 点右边且使得 AB’=kBA。k 取何值 时我们可以通过重复移动把点往右移动到任意远处?(白俄罗斯) 4. 100 张卡片被写上 1 至 100 的数(每张卡片都不同)并放在 3 个盒子中(每个盒子至少一张) 。如果选择两个 盒子,并从中各取出一张卡片,单单知道这两个数的和就总能找出第三个盒子,那么能做到这一点的放法有几 种?(匈牙利) 5. 我们能不能找到一个数 N 恰好被 2000 个不同质数整除, 且 N 能整除 2N+1? 【N 可能可以被一个素数幂整除。 】 (俄罗斯) 6. A1A2A3 是锐角三角形。从 Ai 引出的高线的垂足为 Ki,内切圆切 Ai 的对边于 Li。直线 K1K2 关于 L1L2 作轴反射。 相似地,直线 K2K3 关于 L2L3 作轴反射,直线 K3K1 关于 L3L1 作轴反射。说明这三条新的直线组成了一个顶点在 内切圆上的三角形。 (俄罗斯)

第四十二届(2001 年)
27th

International Mathematical Olympiad
美国 华盛顿特区(Washington DC,United States of America)
1. 设 ABC 为外心为 O 的锐角三角形。设 P 是从 A 引出的高在 BC 上的垂足。 假设∠BCA≥∠ABC+30°。 求证∠CAB+∠COP<90°。 (韩国) 2. 求证:对于所有正实数 a、b、c 都有

a a ? 8bc
2

?

b b ? 8ca
2

?

c c ? 8ab
2

(韩国) ? 1。

3. 二十一个女生和二十一个男生参加了一次数学竞赛。 ? 每个选手解出了至多六道题。 ? 对于每一个男孩和每一个女孩,至少有一道题他们都解出来了。 求证:有一道题目有至少三个女孩和至少三个男孩解出来。 (德国) 4. 设 n 为大于 1 的奇数,令 k1 , k2, …, kn 为给定的整数。对于 1,2,?,n 的 n!个排列中的每一个 a={a1,a2,?, an},令 S (a ) ? (加拿大) ? k a 。求证:存在两个排列 b 和 c,b≠c,使得 n!是 S(b)-S(c)的一个因数。
i ?1 i i n

5. 在一个三角形 ABC 中,令 AP 平分∠BAC,P 在 BC 上,令 BQ 平分∠ABC,Q 在 CA 上。已知∠BAC=60°, 且 AB+BP=AQ+QB。三角形 ABC 的三个角可能的角度是多少?(以色列) 6. 设 a、b、c、d 为整数,且 a>b>c>d>0。假设 ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)。证明 ab+cd 不是质数。 (保加利 亚)

第四十三届(2002 年) 英国 格拉斯哥(Glasgow,United Kingdom)
1. S 是所有点(h,k)的集合,其中 h、k 为非负整数且 h+k<n。S 的每个元素用红色或蓝色上色,使得如果(h,k)为 红色且 h’≤h,k’≤k,那么(h’,k’)也是红色。S 的类型 1 子集有 n 个蓝点,它们的横坐标各不相同;S 的类型 2 子集有 n 个蓝点,它们的纵坐标各不相同。说明类型 1 和类型 2 子集的数目相同。 (哥伦比亚) 2. BC 是以 O 为圆心的圆的直径。A 是使得∠AOC>60°的圆上任一点。EF 是圆的弦,在 AO 的垂直平分线上。 D 是劣弧 AB 的中点。通过 O 点平行于 AD 的直线交 AC 于点 J。说明 J 是三角形 CEF 的内心。 (韩国) n 2 m 3. 找到所有整数对 m>2,n>2,使得有无穷多个正整数 k 满足 k +k -1 整除 k +k-1。 (罗马尼亚) 4. 大于 1 的整数 n 的正因数是 d1<d2<...<dk,其中 d1=1,dk=n。设 d=d1d2+d2d3+?+dk-1dk。说明 d<n2 并找到所有 能使 d 整除 n2 的 n。 (罗马尼亚) 5. 找到所有定义域和值域都为实数集的函数, 它对于所有 x、 y、 u、 v 满足(f(x)+f(y))((f(u)+f(v))=f(xu-yv)+f(xv+yu)。 (印度) 6. n>2 个半径为 1 的圆在平面上,且没有直线能与两个以上的圆有交点。它们的圆心是 O1,O2,?,On。说明:

28th

International Mathematical Olympiad
1 (n ? 1)? 。 (乌克兰) ? 4 1?i ? j ? n Oi O j

?

第四十四届(2003 年) 日本 东京(Tokyo,Japan)
1. S 是集合{1,2,3,?,1000000}。说明对于 S 的任何一个恰好包含 101 个元素的子集 A,我们可以找到 100 个 S 内的不同元素 xi,使得集合{a+xi|a∈A}中任意两个都不相交。 (巴西) 2. 找到所有的正整数对(m,n),使得

m2 为正整数。 (保加利亚) 2m n2 ? n 3 ? 1

3. 给定一个凸六边形,其中的每一组对边都具有如下性质:这两条边的中点之间的距离等于它们长度之和的

3 。证明:该六边形的所有内角相等。 (波兰) 2
4. ABCD 是圆内接四边形。从 D 向直线 BC、CA 和 AB 作垂线,垂足分别为 P、Q、R。证明:当且仅当 RP=RQ 时∠ABC 的平分线和∠CDA 的平分线与直线 AC 交于一点。 (芬兰)

2 ? n 2 ? 1? n ? n ? 2 xi ? x j ? ,当 5. 设 n 为正整数,实数 x1,x2,?,xn 满足 x1≤x2≤?≤xn。证明 ? ? xi ? x j ? ? ? ? 3 i , j ?1 ? i , j ?1 ?
2

且仅当 x1,x2,?,xn 成等差数列时取等号。 (爱尔兰) 6. 设 p 为质数。证明:存在质数 q,使得对任意整数 n,数 np-p 都不能被 q 整除。 (法国)

第四十五届(2004 年) 希腊 雅典(Athens,Greece)
1. 设 ABC 为锐角三角形且 AB≠AC。直径为 BC 的圆交边 AB 和 AC 分别于 M 和 N。定义 O 为边 BC 的中点。 ∠BAC 的平分线和∠MON 的平分线交于 R。求证:三角形 BMR 的外接圆和三角形 CNR 的外接圆在边 BC 上有 公共点。 (罗马尼亚) 2. 找到所有实系数多项式 f,使得对于所有满足 ab+bc+ca=0 的实数 a、b、c 有下面的关系: f(a-b)+f(b-c)+f(c-a)=2f(a+b+c)。 (韩国) 3. 定义一个“钩子”为由六个单位正方形按下面的图组合起来的形状,或者其他可由下图旋转和轴反射形成的 形状。

29th

International Mathematical Olympiad

找出所有 m×n 的可以不把钩子割裂开或重叠就可以覆盖的矩形,使得 ? 长方形不能由钩子割裂或重叠来覆盖。 ? 钩子的任何一部分都不能覆盖长方形外面的区域。 (爱沙尼亚) 4. 设 n 为不小于 3 的整数。设 t1,t2,?,tn 为正实数,且满足

?1 1 1? n 2 ? 1 ? (t1 ? t2 ? ? ? tn ) ? ? ? ? ? ? 。证明对于所有满足 1≤i<j<k≤n 的 i、j、k,ti、tj、tk 是三角形三 tn ? ? t1 t2
边的长。 (韩国) 5. 在凸四边形 ABCD 中,对角线 BD 不平分角 ABC 和角 CDA。ABCD 内一点 P 满足∠PBC=∠DBA 和∠PDC= ∠BDA。求证:当且仅当 AP=CP 时 ABCD 是圆内接四边形。 (波兰) 6. 如果一个数按十进制表示,任意两个连续的位数奇偶性不同就称这个数是“交替的” 。 找到所有正整数 n,使得 n 的某个倍数是交替的。 (伊朗)

第四十六届(2005 年) 墨西哥 梅里达(Mérida,Mexico)
1. 在等边三角形 ABC 的边上选择六个点:A1 和 A2 在 BC 上,B1 和 B2 在 CA 上,C1 和 C2 在 AB 上,使得它们是 所有边都相等的凸六边形 A1A2B1B2C1C2 的顶点。求证直线 A1B2、B1C2 和 C1A2 共点。 (罗马尼亚) 2. 设 a1,a2,?为含有无穷多个正项和负项的整数数列。假设对于每个正整数 n,数 a1,a2,?,an 除以 n 得 到的余数互不相同。求证:在数列 a1,a2,?中每个整数都出现了恰好一次。 (荷兰) 3. 设 x、y、z 为满足 xyz≥1 的三个正实数。求证:

x5 ? x 2 y5 ? y 2 z5 ? z 2 (韩国) ? ? ? 0。 x5 ? y 2 ? z 2 x 2 ? y 5 ? z 2 x 2 ? y 2 ? z 5

4. 判断所有与无穷数列 an=2n+3n+6n-1,n≥1 的所有项都互质的正整数。 (波兰) 5. 设 ABCD 是给定的凸四边形,BC=DA 且 BC 不平行 DA。设两个动点 E 和 F 分别在边 BC 和 DA 上且满足 BE=DF。直线 AC 和 BD 交于点 P,直线 BD 和 EF 交于点 Q,直线 EF 和 AC 交于点 R。 求证:三角形 PQR 的外接圆,在 E 和 F 变动时,除 P 外还有一个定点。 (波兰) 6. 在一次数学竞赛中,有 6 道题目,对于任意两道试题,它们同时被超过

2 的选手解出。此外,没有选手解出 5

所有 6 道题目。说明至少有 2 位选手每人都正好解出 5 道题目。 (罗马尼亚)

30th

International Mathematical Olympiad

第四十七届(2006 年) 斯洛文尼亚 卢布尔雅那(Ljubljana,Slovenia)
1.设I 为ΔABC的内心,P是ΔABC内部的一点,满足∠PBA+∠PCA = ∠PBC +∠PCB. 证明:AP≥AI,并说明等号成立的充分必要条件是P=I 。 (韩国) 2. 设P为正2006边形。如果P的一条对角线的两端将P的边界分成两部分,每部分都包含P的奇数条边,那么该 对角线称为“好边” 。规定P的每条边均为“好边” 。 已知 2003 条在P 内部不相交的对角线将P分割成若干三角形。 试问在这种分割之下,最多有多少个有两条“好 边”的等腰三角形。 (塞尔维亚) 3. 求最小的实数M ,使得对所有的实数a, b和c,有

ab(a 2 ? b 2 ) ? bc(b 2 ? c 2 ) ? ca(c 2 ? a 2 ) ? M (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 。 (爱尔兰)
4. 求所有的整数对(x, y),使得 1+2x+22x+1=y2。 (美国) 5. 设 P(x)为 n 次(n>1)整系数多项式,k 是一个正整数。考虑多项式 Q(x)=P(P(?P(P(x))?)),其中 P 出现 k 次。证明:最多存在 n 个整数 t,使得 Q(t)=t。 (罗马尼亚) 6. 、对于凸多边形 P 的任意边 b,以 b 为边,在 P 内部作一个面积最大的三角形。证明:对 P 的每条边,按上 述方法所得三角形的面积之和至少是 P 的面积的 2 倍。 (塞尔维亚)

第四十八届(2007 年) 越南 河内(Hanoi,Vietnam)
1. 给定实数 a1, a2, ?, an。 对每个 i (1≤i≤n) , 定义: di = max{aj: 1≤j≤i}-min{aj: i≤j≤n}, 且令 d = max{di: 1≤i≤n}。 (a) 证明:对任意实数 x1≤x2≤?≤xn,有

max ? xi ? ai :1 ? i ? n? ?

d 2

(*)

(b) 证明:存在实数 x1≤x2≤?≤xn 使得(*)中的等号成立。 (新西兰) 2. 设 A、B、C、D、E 五点中,ABCD 是一个平行四边形,BCED 是一个圆内接四边形。设 l 是通过 A 的一条直 线,l 与线段 DC 交于点 F(F 是线段 DC 的内点) ,且 l 与直线 BC 交于点 G。若 EF=EG=EC,求证:l 是∠DAB 的角平分线。 (卢森堡) 3. 在一次数学竞赛活动中,有一些参赛选手是朋友。朋友关系是相互的。如果一群参赛选手中的任何两人都是 朋友,我们就称这一群选手为一个“团” (特别地,人数少于 2 的一群也是一个团) 。 已知在这次竞赛中,最大的团(人数最多的团)的人数是一个偶数,证明:我们总能把参赛选手分配到两个教 室,使得一个教室中的最大团的人数等于另一个教室中的最大团的人数。 (俄罗斯) 4. 在△ABC 中,∠BCA 的角平分线与△ABC 的外接圆交于点 R,与边 BC 的垂直平分线交于点 P,与边 AC 的 垂直平分线交于点 Q。设 K 和 L 分别是边 BC 和 AC 的中点。证明:△RPK 和 △RQL 的面积相等。 (捷克)
31st

International Mathematical Olympiad
5. 设 a 与 b 为正整数。已知 4ab - 1 整除(4a2 - 1)2,证明:a=b。 (英国) 6. 设 n 是一个正整数。 考虑 S={(x,y,z):x,y,z∈{0,1, ?,n},x+y+z>0}。.这样一个三维空间中具有(n+1)3-1 个点的集合。问:最少要多少个平面,它们的并集才能包含 S,但不含(0,0,0)。 (荷兰)

第四十九届(2008 年) 西班牙 马德里(Madrid,Spain)
1. 已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A1,A2;以边CA的 中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B1,B2;以边AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点 C1,C2。证明:A1,A2,B1,B2,C1,C2共圆。 (俄罗斯) 2. (a) 设实数x,y,z都不等于1,满足xyz=1,求证:

x2 y2 z2 ? ? ? 1。 ( x ? 1)2 ( y ? 1) 2 ( z ? 1) 2

(b) 证明:存在无穷多组三元有理数组(x,y,z),x,y,z 都不等于1,且xyz=1,使得上述不等式等号成立。 (奥 地利) 3. 证明:存在无穷多个正整数n,使得n2+1有一个大于 2n ? 2n 的质因子。 (立陶宛) 4. 求所有的函数f:(0, +∞)→(0, +∞),满足对所有的正实数w,x,y,z,wx=yz,都有

( f (w))2 ? ( f ( x))2 w2 ? x 2 (韩国) ? 2 2 。 f ( y2 ) ? f (z2 ) y ?z
5. 设n 和k 是正整数,k ≥ n,且k ? n是一个偶数。2n 盏灯依次编号为1,2,?,2n,每一盏灯可以“开”和 “关” 。开始时, 所有的灯都是 “关”的。 对这些灯可进行操作,每一次操作只改变其中的一盏灯的开关状态 (即 “开”变成“关” , “关”变成“开” ) ,我们考虑长度为k 的操作序列,序列中的第i 项就是第i 次操作时被改变 开关状态的那盏灯的编号。 设 N 是k 次操作后使得灯1,…,n 是“开”的,灯n+1,…,2n 是“关”的状态的所有不同的操作序列的个 数。 设 M 是k 次操作后使得灯1,…,n 是“开”的,灯n+1,…,2n 是“关”的,但是灯n+1,…,2n 始终没 有被开过的所有不同的操作序列的个数。 求比值

N 。 (法国) M

6. 在凸四边形ABCD中, BA≠BC。 ω1和ω2分别是△ABC和△ADC的内切圆。 假设存在一个圆ω与射线BA相切 (切 点不在线段BA上) ,与射线BC相切(切点不在线段BC上) ,且与直线AD和直线CD都相切。证明:圆ω1和ω2的两 条外公切线的交点在圆ω上。 (俄罗斯)

第五十届(2009 年) 德国 不来梅(Bremen,Germany)
32nd

International Mathematical Olympiad
1. 设n是一个正整数,a1,a2,?,ak(k ≥ 2)是集合{1,?,n}中的互不相同的整数,使得对于i =1,?, k ?1,都 有n整除ai (ai+1 - 1)。证明:n 不整除ak (ai - 1)。 (澳大利亚) 2. 设O是三角形ABC的外心。点P和Q分别是边CA和AB的内点。设K,L和M分别是线段BP,CQ 和PQ的中点, Γ是过点K,L和M的圆。若直线PQ与圆Γ相切,证明:OP = OQ。 (俄罗斯) 3. 设 s1,s2,s3?是一个严格递增的正整数数列,使得它的两个子数列

ss1 , ss2 , ss3 ,?和ss1 ?1, ss2 ?1, ss3 ?1,? 都是等差数列。证明:数列

s1,s2,s3?本身也是个等差数列。

(美国) 4. 在三角形ABC中, AB = AC, ∠CAB和∠ABC的内角平分线分别与边BC和CA相交于点D和E。 设K是三角形ADC 的内心。若∠BEK = 45°,求∠CAB所有可能的值。 (比利时、韩国) 5. 求所有从正整数集到正整数集上的满足如下条件的 f: 对所有正整数 a 和 b, 都存在一个以 a, f(b)和 f(b+f(a)-1) 为三边长的非退化三角形。 (称一个三角形为非退化三角形是指它的三个顶点不共线。 ) (法国) 6. 设 a1,a2,?,an 是互不相同的正整数。M 是有 n-1 个元素的正整数集,且不含数 s=a1+ a2+?+an。一只蚱 蜢沿着实数轴从原点 O 开始向右跳跃 n 步,它的跳跃距离是 a1,a2,?,an 的某个排列。证明:可以选择一种 排列,使得蚱蜢跳跃落下的点所表示的数都不在 M 中。 (俄罗斯)

第五十一届(2010 年) 哈萨克斯坦 阿斯塔纳(Astana,Kazakhstan)
1. 求所有的函数 f: ? → ? ,使得等式 f([x]y)=f(x)[f(y)]对所有 x,y∈ ? 成立。 (这里,[z]表示不超过实数 z 的 最大整数。 ) (法国)

? 上的一点,F 是边 BC 2. 设三角形 ABC 的内心是 I,外接圆为 Γ。直线 AI 交圆 Γ 于另一点 D。设 E 是弧 BDC
上的一点,使得 ?BAF ? ?CAE ?

1 ?BAC 。设 G 是线段 IF 的中点。证明:直线 DG 与 EI 的交点在圆 Γ 上。 2

(中国香港) 3. 设 ? 是所有正整数构成的集合。求所有的函数 g : ? → ? ,使得对所有 m,n∈ ? ,(g(m)+n)(m+g(n))是一个 完全平方数。 (美国) 4. 设P是三角形ABC内部的一点,直线AP,BP,CP 与三角形ABC 的外接圆的另一个交点分别为K,L,M.圆 在点C 处的切线与直线AB 相交于点S.假设SC = SP,证明:MK = ML。 (波兰) 5. 有 6 个盒子 B1,B2,B3,B4,B5,B6,开始时每个盒子中都恰好有一枚硬币。每次可以任意选择如下两种方 式之一对它们进行操作: 方式 1:选取一个至少有一枚硬币的盒子 Bj(1≤j≤5),从盒子 Bj 中取走一枚硬币,并在盒子 Bj+1 中加入 2 枚硬 币。 方式 2:选取一个至少有一枚硬币的盒子 Bk(1≤k≤4),从盒子 Bk 中取走一枚硬币,并且交换盒子 Bk+1(可能是 空盒)与盒子 Bk+2(可能是空盒)中的所有硬币。 问:是否可以进行若干次上述操作,使得盒子 B1,B2,B3,B4,B5 中没有硬币,而盒子 B6 中恰好有 2010
20102010

枚硬币?(荷兰) 6. 设 a1,a2,a3,?是一个正实数数列。假设存在某个固定的正整数 s,使得对所有的 n>s,有 an=max{ak+an-k | 1≤k≤n-1}。证明:存在正整数 l 和 N,l≤s,使得对所有的 n≥N 都有 an=al+an-l。 (伊朗)
33rd

International Mathematical Olympiad

第五十二届(2011 年) 荷兰 阿姆斯特丹(Amsterdam,Netherlands)
1. 对任意由 4 个不同正整数组成的集合 A={a1,a2,a3,a4},记 sA=a1+a2+a3+a4,设 nA 是满足 ai+aj(1≤i<j≤4)整除 sA 的数对(i,j)的个数。求所有由 4 个不同正整数组成的集合 A,使得 nA 达到最大值。 (墨西哥) 2. 设 S 是平面上包含至少两个点的一个有限点集,其中没有三点在同一条直线上。 所谓一个“风车”是指这样一个过程:从经过S中单独一点P的一条直线l开始,以P为旋转中心顺时针旋转,直至 首次遇到S中的另一点,记为点Q。接着这条直线以Q为新的旋转中心顺时针旋转,直到再次遇到S中的某一点, 这样的过程无限持续下去。 证明:可以适当选取S中的一点,以及过P的一条直线l,使得由此产生的“风车”将S中的每一点都无限多次用 作旋转中心。 (英国) 3. 设f: ? ? ? 是一个定义在实数集上的实值函数,满足对所有实数x,y,都有 f(x+y)≤yf(x)+f(f(x)),证明:对所有实数x≤0,有f(x)=0。 (白俄罗斯) 0 1 4. 给定整数 n>0。有一个天平和 n 个重量分别为 2 ,2 ,?,2n-1 的砝码。 现通过n步操作逐个将所有砝码都放上天平,使得在操作过程中,右边的重量总不超过左边的重量。每一步操作 是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码,将其放到天平的左边或右边,直至所有砝码都被放上天平。 求整个操作过程的不同方法个数。 (伊朗) 5. 设f 是一个定义在整数集上取值为正整数的函数,已知对任意两个整数m,n,差f (m)-f (n) 能被 f (m-n)整除.证明:对所有整数 m,n,若 f (m)≤f (n),则 f (n)被 f (m)整除. (伊朗) 6. 设锐角三角形 ABC 的外接圆为 Γ,l 是圆 Γ 的一条切线。记切线 l 关于直线 BC,CA 和 AB 的对称直线分别 为 la,lb 和 lc。证明:由直线 la,lb 和 lc 构成的三角形的外接圆与圆 Γ 相切。 (日本)

第五十三届(2012 年) 阿根廷 马德普拉塔(Mar del Plata,Argentina)
1. 设J为三角形ABC顶点A所对旁切圆的圆心。 该旁切圆与边BC相切于点M, 与直线AB和AC分别相切于点K和L。 直线LM和BJ 相交于点F, 直线KM 与CJ 相交于点G。 设S 是直线AF 和BC 的交点, T 是直线AG 和BC 的交点。 证明:M 是线段ST 的中点。 (三角形ABC的顶点A所对的旁切圆是指与边BC相切,并且与边AB, AC 的延长线相切的 圆。 ) (希腊) 2. 设整数 n≥3,正实数 a1,a2,?,an 满足 a2a3?an=1。证明: (澳大利亚) (1 ? a2 )2 (1 ? a3 )3 ?(1 ? an )n ? nn 。 3. “欺诈猜数游戏”在两个玩家甲和乙之间进行,游戏依赖于两个甲和乙都知道的正整数k和n。
34th

International Mathematical Olympiad
游戏开始时甲先选定两个整数x和N , 1≤x≤N。甲如实告诉乙N的值,但对x守口如瓶。乙现在试图通过如下方式 的提问来获得关于x的信息:每次提问,乙任选一个由若干正整数组成的集合S(可以重复使用之前提问中使用 过的集合) ,问甲“x是否属于S ?”。乙可以提任意数量的题。 在乙每次提问之后,甲必须对乙的提问立刻回答“是”或“否” ,甲可以说谎话,并且说谎的次数没有限制,唯 一的限制是甲在任意连续k +1次回答中至少有一次回答是真话。 在乙问完所有想问的问题之后,乙必须指出一个至多包含n个正整数的集合X,若x属于X,则乙获胜;否则甲获 胜。证明: (1)若n≥2k,则乙可保证获胜; (2)对所有充分大的整数 k,存在整数 n≥1.99k,使得乙无法保证获胜。 (加拿大) 4. 求所有的函数 f: ? ? ? ,使得对所有满足 a+b+c=0 的整数 a,b,c,都有

f (a)2 ? f (b)2 ? f (c)2 ? 2 f (a) f (b) ? 2 f (b) f (c) ? 2 f (c) f (a) 。
(这里 ? 表示整数集。 ) (南非) 5. 已知三角形ABC 中,∠BCA = 90°,D是过顶点C 的高的垂足。设X是线段CD内部的一点。K 是线段AX上 一点,使得BK=BC。L 是线段BX上一点,使得AL=AC。设M是AL 与BK 的交点。证明: MK = ML。 (捷克) 6. 求所有的正整数 n,使得存在非负整数 a1,a2,?,an,满足

1 1 1 1 2 n ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? an ? 1 。 (塞尔维亚) a1 2 2 2 3 3 3

第五十四届(2013 年) 哥伦比亚 圣玛尔塔(Santa Marta,Columbia)
1. 证明对于任意一对正整数 k 和 n,都存在 k 个(不必不相同的)正整数 m1,m2,?,mk,使得:

2k - 1 骣 1 1+ =琪 1+ 琪 n 桫 m1

骣 1 骣 1 琪 琪 。 1 + ? 1+ 琪 m 琪 m 桫 2 桫 k

2. 平面上的 4027 个点称为是一个 “哥伦比亚式点集” , 如果其中任意三点不共线, 且有 2013 个点是红色的, 2014 个点是蓝色的话。在平面上画出一组直线,可以将平面分成若干区域。如果一组直线对于一个“哥伦比亚式点 集”满足下述两个条件,我们就称这是一个“好直线组” : ? 这些直线不经过该“哥伦比亚式点集”的任何一个点; ? 每个区域中都不会同时出现两种颜色的点。 求 k 的最小值,使得对于任意的“哥伦比亚式点集” ,都存在由 k 条直线构成的“好直线组” 。 3. 设三角形 ABC 的顶点 A 所对的旁切圆与边 BC 相切于点 A1。类似地,分别用顶点 B 和顶点 C 所对的旁切圆 定义 CA 边上的点 B1 和 AB 边上的点 C1。假设三角形 A1B1C1 的外接圆圆心在三角形 ABC 的外接圆上。证明: 三角形 ABC 是直角三角形。 (三角形 ABC 的顶点 A 所对的旁切圆是指与边 BC 相切,并且与边 AB,AC 的延长 线相切的圆。顶点 B,C 所对的旁切圆可类似定义。 ) 4. 设三角形 ABC 是一个锐角三角形,其垂心为 H,设 W 是边 BC 上一点。与顶点 B,C 均不重合。M 和 N 分别 是过顶点 B 和 C 的高的垂足。记三角形 BWN 的外接圆为 ω1,设 X 是 ω1 上一点,且 WX 是 ω1 的直径。类似地, 记三角形 CWM 的外接圆为 ω2,设 Y 是 ω2 上一点,且 WY 是 ω2 的直径。证明:点 X,Y 和 H 共线。 5. 记 ?
>0 是所有正有理数组成的集合。设函数

f :?

>0

? ? 满足如下三个条件:

35th

International Mathematical Olympiad
(i) 对所有的 x, y ? ? (ii) 对所有的 x, y ? ?
>0 ,都有

f(x)f(y)≥f(xy); f(x+y)≥f(x)+f(y);

>0 ,都有

(iii) 存在有理数 a>1,使得 f(a)=a。 证明:对所有的 x ? ?
>0

,都有 f(x)=x。

6. 设整数 n≥3,在圆周上有 n+1 个等分点。用数 0,1,?,n 标记这些点,每个数字恰好用一次。考虑所有可 能的标记方式;如果一种标记方式可以由另一种标记方式通过圆的旋转得到,那么认为这两种标记方式是同一 个。一种标记方式称为是“漂亮的” ,如果对于任意满足 a + d = b + c 的四个标记数 a < b < c < d,连接标 a 和 d 的点的弦与连接标 b 和 c 的点的弦都不相交。 设 M 是漂亮的标记方式的总数,又设 N 是满足 x + y ≤n ,且 gcd(x, y) = 1 的有序正整数对 (x, y)的个数。 证明: M = N + 1。

36th

International Mathematical Olympiad

37th

International Mathematical Olympiad

第五十六届(2015 年)

2015 年 7 月 10 日,星期五
第 1 题. 我们称平面上一个有限点集 S 是平衡的,如果对任意两个不同的点 A,B,都存在 S 中一个点 C 满足 AC = BC,我们称 S 是无中心的,如果对 S 中任意三个不同的点 A,B,C,都不存在 S 中的一点 P,满足 PA = PB = PC. (a)证明:对每个整数 n ≥ 3,均存在一个由 n 个点构成的平衡点集. (b)确定所有的整数 n ≥ 3,使得存在一个由 n 个点构成的平衡且无中心的点集. 第 2 题. 确定所有三元正整数组(a,b,c),使得 ab - c, bc - a, ca - b 中的每个数都是 2 的方幂. (2 的方幂是指形如 2 的整数,其中 n 是一个非负整数.)
n

第 3 题. 在锐角三角形 ABC 中,AB > AC.设 r 是它的外接圆,H 是它的垂心,F 是由顶点 A 处所引高的垂足,M 是边 BC 的终点,Q 是 r 上一点,使得∠HQA = 90°,K 是 r 上一点,使得∠HKQ = 90°,已知点 A,B,C,K,Q 互不 相同,且按此顺序排列在 r 上. 证明:三角形 KQH 的外接圆和三角形 FKM 的外接圆相切.

38th

International Mathematical Olympiad

2015 年 7 月 11 日,星期六
第 4 题. 在三角形 ABC 中,Ω 是其外接圆,O 是其外心.以 A 为圆心的一个圆 r 与线段 BC 交于两点 D 和 E,使得 B,D,E,C 互不相同,并且按此顺序排列在直线 BC 上.设 F 和 G 是 r 和Ω 的两个点的交点,设 L 是三角形 CGE 的 外接圆和线段 CA 的另一个交点. 假设直线 FK 和 GL 互不相同,且交于点 X.证明:X 在直线 AO 上. 第 5 题. 设 R 是全体实数的集合.求所有的函数 f:R→R.满足对任意实数 x,y,都有

f(x + f(x + y)) + f(xy)=x + f(x + y) + yf(x)
第 6 题. 整数序列 a 1 , a 2 ,?满足下列条件: (i)对每个整数 j ≥ 1,有 1 ≤ a j ≤ 2015; (II)对任意整数 1 ≤ k < ξ,有 k + a k ≠ ξ + a ξ 证明:存在两个正整数 b 和 N,使得 对所有满足 n > m ≥ N 的整数均成立.

jnm ?1

(a ?

n

j

? b) ≤ 10072

39th

International Mathematical Olympiad
第五十七届(2016 年)

40th

International Mathematical Olympiad

41st


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