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一元二次不等式的解法(第2课时)


一元二次不等式
第二课时 含参数的一元二次不等式的解法

(一)二次不等式的恒成立(已知解集求参数范围)
例1 已知关于x下列不等式:(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成 立,求a的取值范围.

综上,所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.

例2 不等式ax2 +(a-1)x+ a-1<0对所有 实数x∈R都成立,求a的取值范围.
分析:开口向下,且与x轴无交点 。 解:由题目条件知: (1) a < 0,且Δ< 0, 因此a < -1/3. (2)a = 0时,不等式为-x-1 <0, 不符合题意。 1? ? 综上所述:a的取值范围是 ?a | a ? ? ?
? 3?

例3 已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0,对一切实 数m恒成立,求实数m的取值范围.

解得1<m<19.

(二)含参数的二次不等式
例4 解关于x下列不等式:x2 – ax – 6a2 < 0

(三)二次函数图象的应用
例5 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合:
(1)两根都大于0; (2)一个根大于0,另一个根小于0; (3)两根都小于1;

(三)二次函数图象的应用
(1)两根都大于0;
y x=m/2

o x1

x2

x

(三)二次函数图象的应用
(2)一个根大于0,另一个根小于0;

y x=m/2

o x1

x2

x

例4 已知集合A={x│ x2 -(a+1)x+a≤0 } , B={x│1≤x≤3},若A∩B=A , 求实数a取值范围。
分析: 观察不难发现:a、1是 x2 -(a+1)x +a=0的根. 解:A ∩B=A,则 A B 若a=1 , 则A={1},满足条件 ; ∴a =1 若a>1 , 则A={x│ 1≤x≤a },
A
1



则 1 < a≤3
x

A B

若a<1 , 则 A={ x│a ≤ x≤ 1 },
B

a

3

a
x

A

a

1

3

那么, A不可能是B的子集 ;∴a取值范围是1≤a≤3

例5 函数f(x)= lg(kx2 -6kx+k+8) 的定义域为R , 求k的取值范围.
分析:令u= kx2 -6kx+k+8, 函数f(x) 的定义域为R 对任意的x,u= kx2-6kx+k+8的值恒大于0

函数u= kx2-6kx+k+8的图象恒在x轴的上方
U y

0

x

随堂演练
1.下列不等式中,解集为实数集R的是( D ) (A) ? x ? 1?2 ? 0 (B) x 3 ? 8 ? 0 (D) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 (C) x ? 0 a ? 0时, 不等式x 2 ? ax ? 12a 2 ? 0 的解是( C ) 2.当 (A) x ? ?3a或x ? 4a (B) ? 3a ? x ? ?4a (D) ? 3a ? x ? 4a (C) 4a ? x ? ?3a

随堂演练
3.(1)不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-1/2<x<1/3}, 求a+b的值 (2)关于x不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x >1/2},则关于x的不等式ax2-bx+c<0的解集为:

{x|-1/2<x<2}
⑶ 对于任意实数x,ax2+4x-1≥-2x2-a, 对于任意实数恒成立,则实数a的取值 范围为: a≤-3或a≥2

随堂演练
4.当m为何值时,方程x2-2mx+2m+3=0 (1)有两个负实数根? (2)有一个正根,一个负根. (3)两根大于2.
(1)-3/2<m≤-1 (2)m<-3/2 (3)3≤m< 7/2

小结

1.一元二次方程、一元二次不等式均可用二次 函数图象进行统一,但必须注意前后的等价; 2.一元二次方程根的分布问题; 3.有关一元二次不等式恒成立问题.
x=-b/2a

x1

x2


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