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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:2-4-3 直线与抛物线的位置关系


成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
圆锥曲线与方程

第二章 圆锥曲线与方程

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第二章
2.4 抛物线

第二章 圆锥曲线与方程

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第二章
第 3 课时 直线与抛物线的位置关系

第二章 圆锥曲线与方程

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课前自主预习 课堂巩固训练 课堂典例讲练 课后强化作业 方法规律总结

第二章

2.4

第3课时

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课程目标解读

第二章

2.4

第3课时

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1.明确直线与抛物线的位置关系,掌握直线与抛物线的 位置关系的判定方法. 2.会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置 关系,弦长及焦点弦、弦中点等问题.

第二章

2.4

第3课时

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课前自主预习

第二章

2.4

第3课时

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0 个、1 个或 2 个 1.直线与抛物线公共点的个数可以有_______________.
2.过抛物线 y2=2px(p>0)焦点的弦 AB,A(x1,y1),B(x2,

x1+x2+p -p2 y2),则|AB|=___________,y1y2=______.
3.由抛物线 y2=2px(p>0)焦点弦 AB 两端点,向准线作垂

90° 线、垂足分别为 C、D,则∠CFD=______.

第二章

2.4

第3课时

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4.直线 y=kx-1 与抛物线 y2=x 只有一个公共点,则 k 1 {0,-4} 取值集合为 .

[解析]

平行于轴时,k=0 只有一个公共点;k≠0 时,将

x=y2 代入 y=kx-1 中消去 x 得 ky2-y-1=0,由 Δ=0 得,k 1 =-4.

第二章

2.4

第3课时

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重点难点展示

第二章

2.4

第3课时

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重点:直线与抛物线相交的问题. 难点:有关抛物线综合应用问题.

第二章

2.4

第3课时

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学习要点点拨

第二章

2.4

第3课时

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直线与抛物线的位置关系. 设直线 l:y=kx+b,抛物线 y2=2px(p>0),直线与抛物线
?y=kx+b ? 交点的个数等价于方程组? 2 ? y =2px ?

解的个数,也等价于方程

ky2-2py+2bp=0 的解的个数. ①若 k≠0, 当 Δ>0 时,直线和抛物线相交,有两个公共点; 当 Δ=0 时,直线和抛物线相切,有一个公共点; 当 Δ<0 时,直线和抛物线相离,无公共点.
第二章 第3课时

2.4

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②若 k=0, 则直线 y=b 与抛物线 y2=2px(p>0)相交, 有一 个公共点. 特别地,当直线 l 的斜率不存在时,设为 x=m,则当 m>0 时,l 与抛物线相交,有两个公共点;当 m=0 时,与抛物线相 切,有一个公共点;当 m<0 时,与抛物线相离,无公共点.

第二章

2.4

第3课时

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课堂典例讲练

第二章

2.4

第3课时

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命题方向
[例 1]

思路方法技巧 直线与抛物线的位置关系

已知抛物线 y2=-2x,过点 P(1,1)的直线 l 斜率

为 k,当 k 取何值时,l 与 c 有且只有一个公共点,有两个公 共点,无公共点? [分析] 直线与抛物线公共点的个数, 就是直线方程与抛

物线方程联立方程组解的个数,由判别式可讨论之.

第二章

2.4

第3课时

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[解析]

y2 直线 l:y-1=k(x-1),将 x=- 代入整理得, 2

ky2+2y+2k-2=0. 1 (1)k=0 时,把 y=1 代入 y =-2x 得,x=- ,直线 l 与 2
2

1 抛物线 c 只有一个公共点(-2,1). (2)k≠0 时,Δ=4-4k(2k-2)=-8k2+8k+4. 1± 3 由 Δ=0 得,k= 2 ,

第二章

2.4

第3课时

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1- 3 1+ 3 ∴当 k< 或 k> 时,Δ<0,l 与 c 无公共点. 2 2 1± 3 当 k= 2 时,Δ=0,l 与 c 有且只有一个公共点. 1- 3 1+ 3 当 2 <k< 2 且 k≠0 时,Δ>0,l 与 c 有两个公共点. 1- 3 1+ 3 综上知,k< 或 k> 时,l 与 c 无公共点; 2 2 1± 3 k= 2 或 k=0 时,l 与 c 只有一个公共点; 1- 3 1+ 3 <k<0 或 0<k< 时,l 与 c 有两个公共点. 2 2
第二章 2.4 第3课时

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[点评]

直线 l 与抛物线 c 联立方程组中 Δ>0,Δ=0,Δ<0

时,称 l 与 c 相交、相切、相离.

第二章

2.4

第3课时

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已知点 A(0,2)和抛物线 C:y2=6x,求过点 A 且与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线 l 的方程.

第二章

2.4

第3课时

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[解析]

当直线 l 的斜率不存在时,由直线 l 过点 A(0,2)可

知,直线 l 就是 y 轴,其方程为 x=0.
?x=0 ? 由? 2 ?y =6x ?

,得 y2=0.因此,此时直线 l 与抛物线 C 只有

一个公共点 O(0,0). 如果直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y=kx+2.这 个方程与抛物线 C 的方程联立得方程组

第二章

2.4

第3课时

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?y=kx+2 ? ? 2 ?y =6x ?



由方程组消去 x 得方程,ky2-6y+12=0① 当 k=0 时,得-6y+12=0,可知此时直线 l 与抛物线相
?2 ? 交于点?3,2?. ? ?

第二章

2.4

第3课时

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当 k≠0 时,关于 y 的二次方程①的判别式 Δ=36-48k. 3 由 Δ=0 得 k= ,可知此时直线 l 与抛物线 C 有且仅有一 4 3 个公共点,直线 l 的方程为 y= x+2,即 3x-4y+8=0. 4 因此,直线 l 的方程为 x=0,或 3x-4y+8=0,或 y=2.

第二章

2.4

第3课时

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建模应用引路

命题方向

弦长问题

[例 2]

顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线,截直线

2x-y+1=0 所得弦长为 15, 则抛物线方程为____________ ___________________________________________________.

[答案] y2=12x 或 y2=-4x

第二章

2.4

第3课时

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[解析]

设所求抛物线方程为 y2=ax(a≠0)①

直线方程变形为 y=2x+1② 设抛物线截直线所得弦为 AB. ②代入①,整理得 4x2+(4-a)x+1=0,则 |AB|= a-4 2 1 ?1+2 ?[? 4 ? -4×4]= 15.
2

解得 a=12,或 a=-4,∴所求抛物线方程为 y2=12x, 或 y2=-4x.

第二章

2.4

第3课时

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过抛物线 y2=8x 的焦点,作倾斜角为 45° 的直线,则被抛 物线截得的弦长为( A.8 B.16 ) C.32 D.61

[答案] B

第二章

2.4

第3课时

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[解析] y=x-2.

由抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),得直线的方程为

代入 y2=8x,得(x-2)2=8x,即 x2-12x+4=0. ∴x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.

第二章

2.4

第3课时

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命题方向
[例 3]

探索延拓创新 对称问题

已知抛物线 y2=x 上存在两点关于直线 l: y=k(x

-1)+1 对称,求实数 k 的取值范围. [分析] 设对称的两点为 A(x1,y1)、B(x2,y2),可由 A、

y1-y2 B 在抛物线上寻求 与 k 的关系.∵y2=x1,y2=x2,可消 1 2 x1-x2 元化为只含两个未知数的方程,再结合 A、B 中点在 l 上,又 可建立一个方程,由于点 A、B 存在,∴方程组有解,可求 得 k 的范围.
第二章 2.4 第3课时

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[解析] 对称.

2 2 设抛物线上的点 A(y1,y1),B(y2,y2)关于直线 l

? y1-y2 ?k·2 2=-1 ? y1-y2 则? 2 y1+y2 ?y1+y2 2 ? 2 =k? 2 -1?+1 ?



第二章

2.4

第3课时

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?y1+y2=-k ? 得? k2 1 1 , ?y1y2= 2 +k-2 ? k2 1 1 ∴y1、y2 是方程 t2+kt+ + - =0 的两个不同根.∴Δ 2 k 2 k2 1 1 =k2-4( 2 +k-2)>0 得-2<k<0. 故实数 k 的范围是-2<k<0.

第二章

2.4

第3课时

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已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相 异两点 A、B,求 A、B 两点间的距离. [分析] 本题考查抛物线上的对称问题, 可利用 A、 两点 B

在抛物线上,又在直线上,设出直线方程利用条件求解.

第二章

2.4

第3课时

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[解析]

由题意可设 lAB 为:y=x+b,把直线方程代入 y

=-x2+3 中得,x2+x+b-3=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-1,y1+y2=x1+b+ x2+b=(x1+x2)+2b=2b-1. 1 1 ∴AB 的中点坐标为(-2,b-2),则该点在直线 x+y=0 上. 1 1 ∴-2+(b-2)=0,得 b=1.

第二章

2.4

第3课时

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∴|AB|= 1+12|x1-x2|= 2 = 2

?x1+x2?2-4x1x2

?-1?2-4×?-2?=3 2.

所以 A、B 两点间距离为 3 2.

第二章

2.4

第3课时

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[例 4] 直线方程. [错解]

名师辨误作答 求过点 P(0,1)且与抛物线 y2=2x 只有一个公共点的

设直线方程为 y=kx+1, 消去 y,得 k2x2+2(k-1)x+1=0.

?y=kx+1 ? 由方程组? 2 ?y =2x ?

由直线与抛物线只有一个公共点, Δ=4(k-1)2-4k2=0, 则 1 1 所以 k= ,所以所求直线的方程为 y= x+1. 2 2

第二章

2.4

第3课时

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[辨析]

本题造成错解的原因有两个:一是遗漏了直线不

存在斜率的情况,只考虑了斜率存在的直线;二是方程组消元 后的方程认定为二次方程,事实上,当二次项系数为零的一次 方程的解也符合题意.

第二章

2.4

第3课时

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[正解] 为

(1)若直线斜率不存在,则过点 P(0,1)的直线方程
?x=0 ? ,得? ?y=0 ?

?x=0 ? x=0,由? 2 ?y =2x ?

.即直线 x=0 与抛物线只有一

个公共点. (2)若直线的斜率存在,设为 k,则过点 P(0,1)的直线方程 为
?y=kx+1 ? y=kx+1,由方程组? 2 ?y =2x ?

,消去 y,得 k2x2+2(k-1)x

+1=0.

第二章

2.4

第3课时

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? 1 ?x= 当 k=0 时,得? 2 . ?y=1 ? 即直线 y=1 与抛物线只有一个公共点; 当 k≠0 时,直线与抛物线只有一个公共点,则 Δ=4(k- 1 1 1) -4k =0,所以 k=2,直线方程为 y=2x+1.综上所述,所
2 2

1 求直线方程为 x=0 或 y=1 或 y=2x+1.

第二章

2.4

第3课时

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方法规律总结

第二章

2.4

第3课时

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1.判断直线与抛物线的位置关系主要用代数法,要特别 注意,平行于抛物线轴的直线与抛物线有且仅有一个公共点. 2.直线(斜率为 k)与抛物线两交点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= 1+k |x1-x2|=
2

1 1+k2|y1-y2|.

3.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.

第二章

2.4

第3课时

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4.在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定 点问题.解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量 法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化. 5.圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示 要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参 数无关,也常用特值探路法找定点、定值.

第二章

2.4

第3课时

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课堂巩固训练

第二章

2.4

第3课时

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一、选择题 1.在抛物线 y2=8x 中,以(1,-1)为中点的弦所在直线的 方程是( ) B.x+4y+3=0 D.4x+y+3=0

A.x-4y-3=0 C.4x+y-3=0
[答案] C

第二章

2.4

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[解析] 2.

设弦两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=-

∵A、B 在抛物线上,∴y2=8x1,y2=8x2, 1 2 两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2), y1-y2 ∴ =-4, x1-x2 ∴直线 AB 方程为 y+1=-4(x-1),即 4x+y-3=0.

第二章

2.4

第3课时

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2.已知直线 l:y=k(x+1),抛物线 C:y2=4x,l 与 C 有 且只有一个公共点,这样的直线 l 有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.1 条、2 条或 3 条
[答案] C

)

第二章

2.4

第3课时

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[解析]

将直线 l 和 C 的方程联立,消去 y 得

k2x2+(2k2-4)x+k2=0. 当 k=0 时,方程①只有一个解 x=0. 所以直线 l 与 C 只有一个公共点(0,0),此时直线 l 的方程 为 y=0,当 k≠0 时 Δ=(2k2-4)2-4k4=0,解得 k=± 1,此时 l 与 C 有一个公共点,l 与 C 相切. 综上,当 k=0 或 k=± 时,l 与 C 有一个公共点. 1

第二章

2.4

第3课时

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二、填空题 3.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直 线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 中点为(2,2),则直线 l 的方程为________.
[答案] y=x

第二章

2.4

第3课时

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[解析]

由题意知,抛物线 C 的方程为 y2=4x.

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 把 A,B
?y2=4x , ? 1 1 ? 2 的坐标代入抛物线方程得 ?y2=4x2. ?

① ②

①-②得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2). y1-y2 4 又 y1+y2=4,∴ = =1. x1-x2 y1+y2 ∴直线 l 的方程为 y-2=x-2,即 y=x.

第二章

2.4

第3课时

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4.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜 率为 3的直线与 l 相交于 A,与 C 的一个交点为 B,若 AM = M B ,则 p=________.





[答案]

2

第二章

2.4

第3课时

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[解析]

本题考查了抛物线与直线的位置关系.

由斜率为 3,∠M=60° , → → 又AM=MB,∴M 为中点. ∴BP=BM,∴M 为焦点, p 即2=1,∴p=2.
第二章 2.4 第3课时

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课后强化作业(点此链接)

第二章

2.4

第3课时



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