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2017届高考数学大一轮总复习 71 统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体 理


计时双基练七十一
1 . 某 厂 10

统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体
A 组 基础必做

名 工 人 在 一 个 小 时 内 生 产 零 件 的 个 数 分 别 是

15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设该组数据的平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有 ( ) A.a>b>c C.c>a>b B.b>c>a D.c>b>a

解析 把该组数据按从小到大的顺序排列为 10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,其平均 1 15+15 数 a= ×(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)=14.7,中位数 b= =15, 10 2 众数 c=17,则 a<b<c。 答案 D 2.若一个样本容量为 8 的样本的平均数为 5,方差为 2.现样本中又加入一个新数据 5, 此时样本容量为 9,平均数为 x,方差为 s ,则( A.x=5,s <2 C.x>5,s <2
2 2 2

) B.x=5,s >2 D.x>5,s >2
2 2

1 1 解析 设 (x1+x2+?+x8)=5,所以 (x1+x2+?+x8+5)=5,所以 x=5,由方差定 8 9 义及意义可知加新数据 5 后,样本数据取值的稳定性比原来强,所以 s <2。 答案 A 3.
2

(2015·海淀期末)某部门计划对某路段进行限速,为调查限速 60 km/h 是否合理,对通 过该路段的 300 辆汽车的车速进行检测, 将所得数据按[40,50), [50,60), [60,70), [70,80] 分组, 绘制成如图所示的频率分布直方图, 则这 300 辆汽车中车速低于限速的汽车有( A.75 辆 C.180 辆 B.120 辆 D.270 辆 )

解析 由图可知组距为 10,则车速在[40,50),[50,60)的频率分别是 0.25,0.35,因此 车速低于限速的汽车共有(0.25+0.35)×300=180(辆)。 答案 C 4.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中 m,
1

m n 的比值 =( n

)

A.1 C. 2 9

B. D.

1 3 3 8

解析 由茎叶图可知甲的数据为 27,30+m,39,乙的数据为 20+n,32,34,38。 由此可知乙的中位数是 33,所以甲的中位数也是 33,所以 m=3。 20+n+32+34+38 由此可以得出甲的平均数为 33, 所以乙的平均数也为 33, 所以有 = 4

m 3 33,所以 n=8。所以 = ,故选 D。 n 8
答案 D 5.从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准差为 ( ) 分数 人数 A. 3 C. 2 10 5 5 20 4 10 3 30 B.3 D. 8 5 2 30 1 10

5×20+4×10+3×30+2×30+1×10 解析 因为 x = =3, 100 1 2 2 2 2 2 2 所以 s = ×[20×(5-3) +10×(4-3) +30×(3-3) +30×(2-3) +10×(1-3) ] 100 8 2 10 = ,所以这 100 人成绩的标准差为 。 5 5 答案 C 6.如图是依据某城市年龄在 20 岁到 45 岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方 图,现已知年龄在[30,35),[35,40),[40,45]的上网人数呈递减的等差数列分布,则网民 年龄在[35,40)的频率为( )

2

A.0.04 C.0.2 解析

B.0.06 D.0.3

由已知得网民年龄在 [20,25) 的频率为 0.01×5= 0.05 ,在 [25,30) 的频率为

0.07×5=0.35.因为年龄在[30,35), [35,40), [40,45]的上网人数呈递减的等差数列分布, 所以其频率也呈递减的等差数列分布,又年龄在[30,45]的频率为 1-0.05-0.35=0.6,所 以年龄在[35,40)的频率为 0.2。故选 C。 答案 C 7.(2015·广东卷)已知样本数据 x1,x2,?,xn 的均值 x =5,则样本数据 2x1+1,2x2 +1,?,2xn+1 的均值为________。 解析 由题意,yi=2xi+1(i=1,2,?,n), - 则 y =2 x +1=2×5+1=11。 答案 11 8.甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位:℃)用茎叶图记录如下,根据茎 叶图可知,两城市中平均温度较高的城市是________,气温波动较大的城市是________。

解析 根据茎叶图可知, 甲城市上半年的平均气温为 市上半年的平均气温为

9+13+17×2+18+22 =16, 乙城 6

12+14+17+20+24+27 =19,故两城市中平均气温较高的城市是 6

乙。观察茎叶图可知,甲城市的气温更加集中在峰值附近,故乙城市的气温波动较大。 答案 乙 乙 9.(2016·武汉模拟) 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位: 分钟), 并将所得数据绘制成频率 分布直方图(如图), 其中, 上学所需时间的范围是[0,100], 样本数据分组为[0,20), [20,40), [40,60),[60,80),[80,100],则

(1)图中的 x=________。

3

(2)若上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,则该校 600 名新生中估计 有________名学生可以申请住宿。 解析 x 等于该组的频率除以组距 20。 由频率分布直方图知 20x=1-20×(0.025+0.006 5+0.003+0.003),解得 x=0.012 5,上学期间不少于 1 小时的学生频率为 0.12,因此估计有 0.12×600=72(名)学生可以申 请住宿。 答案 (1)0.012 5 (2)72 10. 某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率分布直方图都受 了不同程度的破坏,但可见部分如图,据此解答下列问题:

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90]之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高。 解 (1)分数在[50,60]的频率为 0.008×10=0.08。

2 由茎叶图知,分数在[50,60]之间的频数为 2,所以全班人数为 =25。 0.08 (2)分数在[80,90]之间的频数为 25-2-7-10-2=4,频率分布直方图中[80,90]间的 4 矩形的高为 ÷10=0.016。 25 11.(2015·广东卷)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。 工人 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 年龄 40 44 40 41 33 40 45 42 43 工人编 号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 年龄 36 31 38 39 43 45 39 38 36 工人 编号 19 20 21 22 23 24 25 26 27 年龄 27 43 41 37 34 42 37 44 42 工人编 号 28 29 30 31 32 33 34 35 36 年龄 34 39 43 38 42 53 37 49 39

(1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本, 且在第一分段里用随机抽样法抽
4

到的年龄数据为 44,列出样本的年龄数据; - 2 (2)计算(1)中样本的均值 x 和方差 s ; - - (3)36 名工人中年龄在 x -s 与 x + s 之间有多少人?所占的百分比是多少 ( 精确到 0.01%)? 解 (1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为 2,公差为 4 的等差数列,故其所有

样 本 编 号 依 次 为 2,6,10,14,18,22,26,30,34 , 对 应 样 本 的 年 龄 数 据 依 次 为 44,40,36,43,36,37,44,43,37。 (2)由(1)可得其样本的均值

x=

44+40+36+43+36+37+44+43+37 =40, 9

1 2 2 2 2 2 2 2 方差 s = [(44-40) +(40-40) +(36-40) +(43-40) +(36-40) +(37-40) + 9 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (44-40) +(43-40) +(37-40) ]= [4 +0 +(-4) +3 +(-4) +(-3) +4 +3 +(- 9 100 2 3) ]= 。 9 10 2 1 (3)由(2)知 s= ,所以 x -s=36 , x +s=43 。 3 3 3 因为年龄在 x -s 与 x +s 之间共有 23 人, 23 所以其所占的百分比是 ≈63.89%。 36 B 组 培优演练 1.(2016·宝鸡模拟)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参 加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 mo,平均值为

x ,则(

)

A.me=mo= x C.me<mo< x

B.me=mo< x D.mo<me< x

解析 30 个数中第 15 个数是 5,第 16 个数是 6,

5

5+6 所以中位数 me= =5.5,众数 mo=5,平均值 x = 2 3×2+4×3+5×10+6×6+7×3+8×2+9×2+10×2 30 = 179 - ,所以 m0<me< x ,故选 D。 30

答案 D 2.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班 级参加该小组的人数作为样本数据。已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不 相同,则样本数据中的最大值为________。 解析 设 5 个班级的人数分别为 x1,x2,x3,x4,x5, 则

x1+x2+x3+x4+x5
5
2

=7,
2 2 2 2

?x1-7? +?x2-7? +?x3-7? +?x4-7? +?x5-7? =4, 5 即 5 个整数平方和为 20,最大的数不能超过 10,否则方差超过 4,故最大值为 10,最 小值为 4。 答案 10 3.(2015·南昌一模) 在一次演讲比赛中,6 位评委对一名选手打分的茎叶图如图所示,

若去掉一个最高分和一个最低分,得到一组数据 xi(1≤i≤4),在如图所示的程序框图 中, x 是这 4 个数据的平均数,则输出的 v 的值为________。

解析 根据题意得到的数据为 78,80,82,84, 则 x =81。 该程序框图的功能是求以上数 据的方差,故输出的 v 的值为 ?78-81? +?80-81? +?82-81? +?84-81? =5。 4 答案 5 4.(2015·广州调研)
6
2 2 2 2

某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动。 他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间。 按年 龄分组: 第 1 组[25,30), 第 2 组[30,35), 第 3 组[35,40), 第 4 组[40,45), 第 5 组[45,50], 得到的频率分布直方图如图所示。下表是年龄的频率分布表。

区间 人数

[25,30) 25

[30,35)

[35,40)

[40,45)

[45,50]

a

b

(1)求正整数 a,b,N 的值; (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组 的人数分别是多少? (3)在(2)的条件下, 从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动, 求恰有 1 人在第 3 组的概率。 解 (1)由频率分布直方图可知,[25,30)与[30,35)两组的人数相同,所以 a=25。

0.08 且 b=25× =100。 0.02 总人数 N= 25 =250。 0.02×5

(2)因为第 1,2,3 组共有 25+25+100=150 人,利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人,每组抽取的人数分别为: 25 第 1 组的人数为 6× =1, 150 25 第 2 组的人数为 6× =1, 150 100 第 3 组的人数为 6× =4, 150 所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人。 (3)由(2)可设第 1 组的 1 人为 A,第 2 组的 1 人为 B,第 3 组的 4 人分别为 C1,C2,C3,

C4,则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为:
(A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4), (C1,C2),(C1,C3),(C1,C4),(C2,C3),(C2,C4),(C3,C4),共有 15 种。 其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为:(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,

C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),共有 8 种。

7

8 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 。 15

8


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