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2013走向高考数学详细答案4-2平面向量基本定理及向量的坐标表示


高考数学总复习

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第四章 平 面 向 量

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第二节 平面向量基本定理及向量的坐标表示

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第4章

第二节

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第4章

第二节

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重点难点 重点: ①掌握平面向量基本定理, 会进行向量的正交 分解 ②理解平面向量坐标的概念, 掌握平面向量的坐标运 算 难点:向量的正交分解与平面向量基本定理
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第二节

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知识归纳 1.平面向量基本定理 (1)如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那 么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 a1、
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a1e1+a2e2 a2,使得 a=___________.我们把不共线的向量 e1、e2 叫
做表示这个平面内所有向量的一组基底.

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(2)直线的向量参数方程式:A、B 是直线 l 上两点, → → O 为 l 外一点, P 在直线 l 上的充要条件是OP=(1-t)OA 点 → +tOB (t 为参数).
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→ =1(OA+OB)?M 是线段 AB 的中点. → → (4)OM 2

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→ → 2.已知两个非零向量 a 与 b,作OA=a,OB=b,则 ∠AOB=θ 叫做 a 与 b 的夹角.(0° ≤θ≤180° )

相同 当 θ=0° 时,a 与 b 方向_____;当 θ=180° 时,a 与
相反 垂直. b 方向_____;当 θ=90° 时,称 a 与 b_______

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3.如果基底的两个基向量互相垂直,则称其为正交 基底, 把一个向量分解为两个互相垂直的向量, 叫做把向 量正交分解.

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4.平面向量的直角坐标表示 在平面直角坐标系内,分别取与 x 轴、y 轴正方向相 同的两个单位向量 i、j 作为基底,对平面内任一向量 a, 有且只有一对实数 x,y,使得 a=xi+yj,则实数对(x, y)叫做向量 a 的直角坐标,记作 a=(x,y),其中 x,y 分 别叫做 a 在 x 轴、 轴上的坐标, y 相等的向量其坐标相同, 坐标相同的向量是相等向量.
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5.平面向量的直角坐标运算 → (1)已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2 → -y1),|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (2)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2, y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1). a∥b?x1y2-x2y1=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0. a (3)非零向量 a 的单位向量为± . |a|
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误区警示 1.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时,一 定要搞清方向,用对应的终点坐标减去始点坐标. 2.要注意区分向量的坐标与向量终点的坐标. 3.只要两个向量不共线,这两个向量就可以作为平 面的一组基底, 同一向量在不同基底下的坐标不同, 在同 .. 一基底下的坐标是惟一的.
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4.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别,若 a=(x1,x2),b=(y1,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0,当 a, b 都是非零向量时,a⊥b?x1x2+y1y2=0,同时还要注意 x1 y1 a∥b 与 = 不等价. x2 y2
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解题技巧 证明共线(或平行)问题的主要依据: (1)对于向量 a,b,若存在实数 λ,使得 b=λa,则向 量 a 与 b 共线(平行). (2)a=(x1,y1),b=(x2,y2),若 x1y2-x2y1=0,则向 量 a∥b. (3)对于向量 a,b,若|a· b|=|a|· |b|,则 a 与 b 共线.
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向量的坐标运算
→ =1AB, =-1BA, → DA → → 已知点 A(-1,2), B(2,8), AC 3 3

[例 1]

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→ 求点 C、D 的坐标和CD的坐标. 分析:只要设出 C、D 的坐标,就可以利用向量线性运 算的坐标表示求解.

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解析:设点 C、D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), → → ∴AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6), → → DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6). → =1AB,DA=-1BA, → → → ∵AC 3 3
?x +1=1 ? 1 ∴? ?y1-2=2 ? ?-1-x =1 ? 2 ? ,和 ?2-y2=2 ?
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.

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?x =0 ? 1 解得? ?y1=4 ?

?x =-2 ? 2 ,和? ?y2=0 ?

.

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所以点 C、D 的坐标分别是(0,4)、(-2,0), → 从而CD=(-2,-4).

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1 已知 A(7,1), B(1,4), 直线 y= ax 与线段 AB 交于 C, 2 → → 且AC=2CB,则实数 a 等于( A.2 B.1 ) 4 C. 5 5 D. 3

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1 解析:设 C(x0,y0),则 y0= ax0, 2 1 1 → → ∴AC=(x0-7, ax0-1),CB=(1-x0,4- ax0), 2 2 ?x0-7=2?1-x0? → =2CB,∴? → ? ?1 ∵AC 1 ? , ?2ax0-1=2?4-2ax0? ? ? ?
?x =3 ? 0 ∴? ?a=2 ?

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.

答案:A
第4章 第二节

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1 点评:如果注意到点 C 在直线 y= ax 上,可直接设 2 → → → → C(2x0,ax0),求出AC,CB代入AC=2CB解方程即可.

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向量共线的条件
[例 2] (文)(2010· 江苏苏北四市)已知向量 a=(6,2),b= ) D.2
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(-3,k),若 a∥b,则实数 k 等于( A.1 B.-1

C.-2

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解析:解法一:∵a∥b,∴存在实数 λ,使 b=λa,
?6λ=-3 ? ∴(-3,k)=(6λ,2λ),∴? ?2λ=k ?

,∴k=-1.

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-3 k 解法二:∵a∥b,∴ = ,∴k=-1. 6 2 答案:B
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→ 1→ (理)如图所示,在?ABCD 中,已知AE= BC,AC 与 3 → → BE 相交于点 F,AF=λAC,则 λ=________.
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1 → → → → → 解析:设BA=a,BC=b.则BE=BA+AE=a+ b.而 3 → AC=b-a, → → 所以AF=λAC=λ(b-a). → → → 故BF=BA+AF=a+λ(b-a)=(1-λ)a+λb.
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→ → ∵BE与BF共线,且 a 与 b 不共线, 1-λ λ 1 ∴ = ,∴λ= . 1 1 4 3 1 答案: 4
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(文)(2010· 陕西)已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m), c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m=________. 解析: a+b=(2, -1)+(-1, m)=(1, m-1), c=(- 1,2), m-1 1 ∵(a+b)∥c,∴ = , 2 -1 ∴m=-1. 答案:-1
第4章 第二节 人 教

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点评: 通过客观题考查向量的线性运算及平行垂直的 坐标表示是高考命题的主要方式之一,复习这一部分内 容,选题不宜过难,但要有一定的综合性,涉及多个知识 点且入手较易的题是理想的选择.
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→ (理)如图所示,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且AP= 2→ 1→ → 2→ 1→ AB+ AC,AQ= AB+ AC, 则△ABP 的面积与△ABQ 5 5 3 4 的面积之比为________.

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分析:因三角形的面积与底和高有关,所以可利用 “同底三角形面积比等于高之比”的结论计算待求三角 → → 形的面积比.题设条件中用AB和AC给出了点 P 和点 Q, → → 故可利用AP 和AQ 构造平行四边形将面积比转化为向量 长度的比解决.
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→ 2→ → 1→ 解析:根据题意,设AM= AB,AN= AC,则由平 5 5 → → → 行四边形法则,得AP=AM+AN,且 AMPN 为平行四边 → S△ABP |AN| 1 S△ABQ 形, 于是 NP∥AB, 所以 = = , 同理, 可得 S△ABC |AC| 5 → S△ABC 1 S△ABP 4 = .故 = . 4 S△ABQ 5 4 答案: 5
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第二节

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平面向量基本定理
[例 3] (2011· 辽宁铁岭六校联考)平面直角坐标系中,O
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→ → 为坐标原点, 已知两点 A(3,1), B(-1,3), 若点 C 满足OC=αOA → 其中 α、 +βOB, β∈R 且 α+β=1, 则点 C 的轨迹方程为( A.(x-1)2+(y-2)2=5 B.3x+2y-11=0 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0
第4章 第二节

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)

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分析:求轨迹方程的问题求谁设谁,设 C(x,y),据 向量的运算法则及向量相等的关系,列出关于 α、β、x、 y 的关系式,消去 α、β 即得.
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→ → 解析: 解法 1: C(x, 则OC=(x, OA=(3,1), 设 y), y), → → → → OB=(-1,3).由OC=αOA+βOB得 (x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β). ?x=3α-β, ? 于是?y=α+3β, ?α+β=1. ?
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由 β=1-α 消去

?x=4α-1 ? β 得,? ?y=3-2α. ?

再消去 α 得 x+2y=5,即 x+2y-5=0.∴选 D. → → → 解法 2:由平面向量共线定理,当OC=αOA+βOB, α+β=1 时,A、B、C 三点共线. 因此,点 C 的轨迹为直线 AB,由两点式直线方程得 y-1 x-3 = 即 x+2y-5=0.∴选 D. 3-1 -1-3 答案:D
第4章 第二节 人 教

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→ 1→ → 1→ (文)在△OAB 中,OC= OA,OD= OB,AD 与 BC 4 2 → → → 交于点 M,设OA=a,OB=b,以 a、b 为基底表示OM, → 则OM=________.
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→ 分析:显然 a、b 不共线,故可设OM=ma+nb,由 A、M、D 三点共线及 B、M、C 三点共线利用向量共线 条件求解.
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→ 解析:设OM=ma+nb

(m,n∈R),
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→ → → 则AM=OM-OA=(m-1)a+nb, → → → 1 AD=OD-OA= b-a 2 m-1 n 因为 A、M、D 三点共线,所以 = ,即 m+2n=1 -1 1 2

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第二节

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→ → → ?m-1? ?a+nb, 又CM=OM-OC=? 4
? ?

1 → → → CB=OB-OC=- a+b, 4 1 m- 4 n 因为 C、M、B 三点共线,所以 = ,即 4m+n=1 1 1 - 4

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1 ? ?m+2n=1 ?m=7 ? 由? ,解得? ?4m+n=1 ? ?n=3 7 ? 1 3 答案: a+ b 7 7

3 → 1 ,所以OM= a+ b. 7 7
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第4章

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→ =1OA,OD=1OB, → → → (理)如图所示,在△ABO 中,OC 4 2 → → AD 与 BC 相交于点 M.设OA=a,OB=b.



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第二节

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→ (1)试用 a 和 b 表示向量OM; (2)在线段 AC 上取一点 E,在线段 BD 上取一点 F, → → → → 使 EF 过点 M,设OE=λOA,OF=μOB,当 EF 为 AD 1 1 3 1 时,λ=1,μ= ,此时λ +μ=7;当 EF 为 CB 时,λ= , 2 4 1 3 μ=1,此时λ +μ=7,有人得出如下结论:不论 E、F 在 1 3 线段 AC、BD 上如何变动,λ+μ=7 总成立.试问他的这 个结论对吗?请说明理由.
第4章 第二节 人 教

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→ 解析:(1)解法 1:设OM=ma+nb, → → → 则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb, → =OD-OA=1OB-OA=-a+1b. → → AD → → 2 2 → → ∵A、M、D 三点共线,∴AM与AD共线. → → 故存在实数 t,使得AM=tAD,
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1 即(m-1)a+nb=t(-a+ b), 2 ?m-1=-t ? ∴? ,消去 t 得 m-1=-2n, t ?n=2 ? 即 m+2n=1① → =OM-OC=ma+nb-1a=(m-1)a+nb, ∵CM → → 4 4 → =OB-OC=b-1a, CB → → 4
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→ → 又 C、M、B 三点共线,∴CM与CB共线. 同理可得 4m+n=1.② 1 3 → =1a+3b. 由①②解得 m= ,n= .∴OM 7 7 7 7 1 3 (2)λ +μ=7 这个结论是对的.
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∵E、F、M 三点共线,由直线的向量参数方程式可 → → → 知存在实数 k,使得OM=kOE+(1-k)OF, 1 3 即 a+ b=λka+μ(1-k)b, 7 7 → → 又∵OA、OB不共线,即 a、b 不共线, ?1 ?7=λk ∴? ?3=μ?1-k? ?7
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1 3 ,消去 k 整理得 λ+μ=7.

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一、选择题 1.已知平面向量 a=(1,-1),b=(-1,2),c=(3, -5),则用 a,b 表示向量 c 为( A.2a-b C.a-2b
[答案] C

) B.-a+2b D.a+2b

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[解析]

设 c=xa+yb, ∴(3, -5)=(x-y, -x+2y),
?x=1 ? ,解之得? ?y=-2 ?

?x-y=3 ? ∴? ?-x+2y=-5 ?



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∴c=a-2b,故选 C.

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2.已知向量 a=(1,3),b=(2,1),若 a+2b 与 3a+λb 平行,则 λ 的值等于( A.-6
[答案] B

) C.2 D.-2

B.6

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[解析]

a+2b=(5,5),3a+λb=(3+2λ,9+λ),
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由条件知,5×(9+λ)-5×(3+2λ)=0, ∴λ=6.

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二、填空题 → 3.设 a,b 是不共线的两个非零向量,记OM=ma, → → ON=nb,OP=αa+βb,其 m,n,α,β 均为实数,m≠0, α β n≠0,若 M、P、N 三点共线,则m+n=________.
[答案] 1
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[解析] ∵M、N、P 三点共线,∴存在实数 λ,使得 → → → → → → MP=λPN,∴OP-OM=λ(ON-OP), → → → ∴(1+λ)OP=OM+λON,
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→ → OM+λON m λn →= 即OP = a+ b, 1+λ 1+λ 1+λ ? ?α= m 1+λ ? ∵a,b 不共线,∴? ?β= λn ? 1+λ ? α β 1 λ ∴m+n= + =1. 1+λ 1+λ
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三、解答题 4.(2011· 衡阳期末)平面内给定三个向量 a=(3,2),b =(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题: (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d.
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[解析]

(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),

5 ? ?-m+4n=3 ?m=9 ? 所以? ,得? ?2m+n=2 ? ?n=8 9 ?

.

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(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a), ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, 16 ∴k=- . 13
第4章 第二节

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(3)设 d=(x, 则 d-c=(x-4, y), y-1), a+b=(2,4),
?4?x-4?-2?y-1?=0 ? 由题意得? ??x-4?2+?y-1?2=5 ? ?x=3 ? 解得? ?y=-1 ? ?x=5 ? 或? ?y=3 ?



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,∴d=(3,-1)或 d=(5,3).

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