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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(54)


加试模拟训练题(54) (附详细答案) 1.AD,BE,CF 是△ABC 的三条中线,P 是任意一点.证明:在△PAD,△PBE, △PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的和. A A' F ' G F B D E E' D' C' C P 2. 若 0≤a,b,c≤1,证明: 3. 在黑板上写下从 1 到 1988 的所有自

然数.对这些数依次反复施行运算 A 和 B:先是 A 后 是 B,接着再是 A,然后再是 B,如此继续下去.运算 A 是从每个写在黑板上的数减去同一 个自然数(对不同次的运算 A,减数可以不相同).运算 B 是抹去黑板上写着的两个数,然后 写下它们的和数.运算 A 和 B 如此顺次施行,直至某次运算 B 后,黑板上只留下一个数,并 且它是非负的,问这个数是多少? 4.设 a,b,c 是正整数,且 ab c(c 2 ? c ? 1), 于 c,另一个数等于 c 2 ? c ? 1 。 (c 2 ? 1) (a ? b) 证明:a,b 中有一个数等 加试模拟训练题(54) 1.AD,BE,CF 是△ABC 的三条中线,P 是任意一点.证明:在△PAD,△PBE, △PCF 中,其中一个面积等于另外两个面积的和. 分析:设 G 为△ABC 重心,直线 PG 与 AB ,BC 相交.从 A,C,D,E,F 分别 作该直线的垂线,垂足为 A′,C′, A' F ' D′,E′,F′. G F 易证 AA′=2DD′,CC′=2FF′,2EE′=AA′+CC′, ∴EE′=DD′+FF′. 有 S△PGE=S△PGD+S△PGF. B 两边各扩大 3 倍,有 S△PBE=S△PAD+S△PCF. A E E' D' C' D C P 2. 若 0≤a,b,c≤1,证明: 【题说】第九届(1980 年)美国数学奥林匹克题 5.结论可以推广到 n 个数的情形. 【证】令 因为 (1-b)(1-c)(1+b+c)≤(1-b)(1-c)(1+b)(1+c) =(1-b2)(1-c2)≤1(当 a、b、c 轮换时均成立)因此δ ≥0. 3. 在黑板上写下从 1 到 1988 的所有自然数.对这些数依次反复施行运算 A 和 B:先是 A 后 是 B,接着再是 A,然后再是 B,如此继续下去.运算 A 是从每个写在黑板上的数减去同一 个自然数(对不同次的运算 A,减数可以不相同).运算 B 是抹去黑板上写着的两个数,然后 写下它们的和数.运算 A 和 B 如此顺次施行,直至某次运算 B 后,黑板上只留下一个数,并 且它是非负的,问这个数是多少? 【题说】第十四届(1988 年)全俄数学奥林匹克十年级题 3. 【解】施行运算 A 和 B 各一次后,黑板上的数就少了一个.所以运算 A 和 B 各施行 1987 次 后,黑板上就留下一个数. 设施行第 k 次运算 A 时,减数为自然数 dk,k=1,2,…,1987.经第 k 次的运算 A 后,写 在黑板上的数的和少了(1989-k)dk;而经运算 B 后,这个和数是不变的.所以运算 A 和 B 各施行 1987 次后,黑板上写的数是 x=(1+2+…+1988)-1988d1-1987d2-…-2d1987 =1988(1-d1)+1987(1-d2)+…+ (1989-k)(1-dk)+…+2(1-d1987)+1 显然(1989-k)(1-dk)≤0,并且若对某个 k,有 dk≥2,则 (1989-k)(dk-1)≥2 故 x≤(1989-k)(1-dk)+1≤-

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