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2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (1)


1.2.1函数的概念(第一课时)

问题1:给出下列三种对应: ①一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m, 且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2. 时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}. 则有对应f:t→h=130t-5t2

,t∈A,h∈B.

②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图 1-2-1-1 中的曲线显示了 6 2 南极上空臭氧层空洞的面积 S(单位:10 km )随时间 t(单位:年)从 1991~2001 年的变化情况.

根据图中的曲线,可知时间 t 的变化范围是数集 A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面积 S 的 变化范围是数集 B={S|0≤S≤26},则有对应:f:t→S,t∈A,S∈B.

根据图中的曲线,可知时间t的变化范围是数集A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层 空洞面积S的变化范围是数集B={S|0≤S≤26},则有对应:f:t→S,t∈A,S∈B.

③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低 ,生活质量越 高.下表中的恩格尔系数 y 随时间 t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生 活质量发生了显著变化. “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况 时间 恩格尔系数 y 1991 53.8 1992 52.9 1993 50.1 1994 49.9 1995 49.9 1996 48.6 1997 46.4 1998 44.5 1999 41.9 2000 39.2 2001 37.9

根据上表,可知时间 t 的变化范围是数集 A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数 y 的变化范围是 数集B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应:f:t→y,t∈A,y∈B. B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应:f:t→y,t∈A,y∈B. 数集 请同学们思考以上三个对应有什么共同特点? 请同学们思考以上三个对应有什么共同特点?

以上三个对应的共同特点:集合A、B都是数集,并且对于数集A中的每 一个元素x, 在对应关系 f:A→B下,在数集B中都有唯一确定的元素 y与之 对应.

1、函数的定义: 一般地,设A、B都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从 集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫自变量。x的取值范围A叫做函 数的定义域,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 问题2:函数的定义域是自变量的取值范围,那么如何理解这个“取值范围”的? 自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.

问题3:函数有意义又指什么? 函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0;被开方数为非负数;如果函数有实 际意义时,那么还要满足实际取值等.

问题4:函数f:A→B的值域为C,那么集合B=C吗?

不相等,C ? B.

定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} R

名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间

符号 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b] [a,+∞) (a,b] (-∞,a] (-∞,a) (-∞,+∞)

数轴表示

例 1.已知函数 f(x)= x ? 3 + (1)求函数的定义域; (2)求 f(-3),f(

1 , x?2

2 )的值; 3

(3)当 a>0 时,求 f(a),f(a-1)的值.

解:(1)要使函数有意义,自变量 x 的取值需满足 ? 即函数的定义域是[-3,-2)∪(-2,+∞). (2)f(-3)= - 3 ? 3 +

? x ? 3 ? 0, 解得-3≤x<-2 或 x>-2, x ? 2 ? 0 . ?

1 =-1; ?3? 2

f(

2 2 1 3 33 ?3? )= = ? . 2 3 3 8 2 ?2 3

(3)∵a>0,∴a∈[-3,-2)∪(-2,+∞), 即 f(a),f(a-1)有意义.

1 ; a?2 1 1 f(a-1)= a - 1 ? 3 ? = a?2? . a ?1? 2 a ?1
则 f(a)= a ? 3 +

( x ? 1) 2 ? 1 ? x 的定义域. 例 2.求函数 y= x ?1
答案:{x|x≤1,且x≠-1}.
1 1 1 x2 例 3.已知函数 f(x)= , 那么 f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+f(4)+f( )=________. 2 3 4 1? x2
1 1 1 ( )2 ( )2 ( )2 2 2 1 1 2 3 4 3 2 4 解法一:原式= = ? ? ? ? ? ? 1 1 1 2 1 ? 12 1 ? 2 2 1 ? 32 1 ? 42 1 ? ( )2 1 ? ( )2 1? ( )2 2 3 4
2 2

+

4 1 9 1 16 1 7 ? ? ? ? ? = . 5 5 10 10 17 17 2

1 ( )2 1 x2 1 x x ? 解法二:由题意得 f(x)+f( )= = =1. ? 1 2 1? x2 1? x2 x 1? x2 1? ( ) x 1 7 则原式= +1+1+1= . 2 2
2

例 4 已知 a、b∈N ,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2, 则

*

f (2) f (3) f (2007) ? ??? =_________. f (1) f (2) f (2006 )

分析:令 a=x,b=1(x∈N ),则有 f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x), 即有 答案:4012

*

f ( x ? 1) * =2(x∈N ).所以,原式= 2 ? 2 ? ? 2 =4012. ? ? ? ? ? f ( x) 2006

变式
1. 设 函 数 f(n)=k(k∈N*),k 是 π 的 小 数 点 后 的 第 n 位 数 字 ,π =3.1415926535?, 则

f ? f ?? f (10)?? 等于________. ?? ? ??? ?
100

分析:由题意得 f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,?, 则有 f ? f ? ? f (10 )?? =1.

?? ? ??? ?
100

答案:1

2.已知 A={a,b,c},B={-1,0,1},函数 f:A→B 满足 f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数 f(x)有 ( ) A.4 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个
解:当 f(a)=-1 时,则 f(b)=0,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有 2 个; 当 f(a)=0 时, 则 f(b)=-1,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=-1 或 f(b)=0,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有 3 个; 当 f(a)=1 时, 则 f(b)=0,f(c)=-1 或 f(b)=-1,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有 2 个. 综上所得,满足条件的函数共有 2+3+2=7(个). 故选 C.

3.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”. 2 那么解析式为 y=x ,值域是{1,4}的“同族函数”共有( ) A.9 个 B.8 个 C.5 个 D.4 个
分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域 中至少含有 1 个绝对值为 1 的实数和绝对值为 2 的实数. 2 2 令 x =1,得 x=±1;令 x =4,得 x=±2.所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2}, {-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有 9 个. 答案:A

4.若 f(x)= A.M

1 的定义域为 M,g(x)=|x|的定义域为 N,令全集 U=R,则 M∩N 等于( x
B.N C. M D. N

)

分析:由题意得 M={x|x>0},N=R,则 M∩N={x|x>0}=M. 答案:A

小结 请同学们回想一下,这节课我们学了哪些内容?

作业

课本 P24,习题 1.2A 组 1、5.

1.2.1函数的概念(第二课时)

x2 问题 1:y=x 与 y= 是同一个函数吗? x
两个函数不相等,主要是定义域不同

问题 2 :指出函数 y=x+1 的构成要素有几部分?并思考一个函数的构 成要素有几部分? ①函数y=x+1的构成要素为:定义域R,对应关系x→x+1,值域是R. ②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的 三要素 .其中定义域是函数的灵魂 , 对应关系是函数的核心 . 当且仅当 两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.

问题 3:分别写出函数 y=x+1 和函数 y=t+1 的 定义域和对应关系,并比较异同.
定义域和对应关系分别相同.
问题4:函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗? 两个函数的值域相同,都是R. 问题5:根据问题3和问题4的研究,分析两个函数的定义域和对应关系分别相同, 值域一定相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识? 函数相等的条件: 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值 域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同 ,那 么这两个函数就相等.

例 1.下列函数中哪个与函数 y=x 相等?

x2 (1)y=( x ) ;(2)y= x ;(3)y= x ;(4)y= . x
2

3

3

2

解:函数 y=x 的定义域是 R,对应关系是 x→x. (1)∵函数 y=( x ) 的定义域是[0,+∞),
2

∴函数 y=( x ) 与函数 y=x 的定义域 R 不相同.
2

∴函数 y=( x ) 与函数 y=x 不相等.
2

(2)∵函数 y= 3 x3 的定义域是 R, ∴函数 y= 3 x3 与函数 y=x 的定义域 R 相同. 又∵y= 3 x3 =x, ∴函数 y= 3 x 与函数 y=x 的对应关系也相同. ∴函数 y=
3 3

x3 与函数 y=x 相等.

(3)∵函数 y= x 2 的定义域是 R, ∴函数 y= x 2 与函数 y=x 的定义域 R 相同. 又∵y= x 2 =|x|, ∴函数 y= x 2 与函数 y=x 的对应关系不相同. ∴函数 y= x 2 与函数 y=x 不相等.

x2 (4)∵函数 y= 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), x x2 ∴函数 y= 与函数 y=x 的定义域 R 不相同, x
∴函数 y=( x )2 与函数 y=x 不相等.

例 2.判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由. 0 (1)f(x)=(x-1) ,g(x)=1. (2)f(x)=x-1,g(x)= x 2 - 2x ? 1 . (3)f(x)=x ,g(x)=(x+1) . (4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1.
解:(1)∵f(x)=(x-1) 的定义域是{x|x≠1},函数 g(x)=1 的定义域是 R, 0 ∴函数 f(x)=(x-1) 与函数 g(x)=1 的定义域不同. 0 ∴函数 f(x)=(x-1) 与函数 g(x)=1 不表示同一个函数.
2 (2)∵f(x)=x-1 的定义域是 R,g(x)= x 2 - 2x ? 1 = (x - 1) 的定义域是 R,
0

2

2

∴函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)= x 2 - 2x ? 1 的定义域相同.
2 又∵g(x)= x 2 - 2x ? 1 = (x - 1) =|x-1|,

∴函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)= x 2 - 2x ? 1 的对应关系不同. ∴函数 f(x)=x-1 与函数 g(x)= x 2 - 2x ? 1 不表示同一个函数. (3)很明显 f(x)=x 和 g(x)=(x+1) 的定义域都是 R, 2 2 又∵f(x)=x 和 g(x)=(x+1) 的对应关系不同, 2 2 ∴函数 f(x)=x 和 g(x)=(x+1) 不表示同一个函数. 2 2 (4)很明显 f(x)=x -1 与 g(u)=u -1 的定义域都是 R, 2 2 又∵f(x)=x -1 与 g(u)=u -1 的对应关系也相同, ∴函数 f(x)=x2-1 与 g(u)=u2-1 表示同一个函数.
2 2

例 3.设 y 是 u 的函数 y=f(u),而 u 又是 x 的函数 u=g(x),设 M 表示 u=g(x)的值域 ,N 是函数 y=f(u) 的定义域 , 当M∩N≠ ?时 ,则 y 成为 x 的函数,记为 y=f[g(x)].这个函数叫做由 y=f(u)及 u=g(x) 复合而成的复合函数 , u叫做中间变量 ,f 称为外层函数 ,g 称为内层函数 . 指出下列复合函数外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数 . (1)y=

1 1 1 2 2 ;(2)y=(x -2x+3) ;(3)y= 2 ? -1. x ?1 x x

解:(1)设 y=

1 ,u=x+1, u 1 1 即 y= 的外层函数是反比例函数 y= ,内层函数是一次函数 u=x+1. x ?1 u
2 2

(2)设 y=u ,u=x -2x+3, 2 2 2 2 即 y=(x -2x+3) 的外层函数是二次函数 y=u ,内层函数是二次函数 u=x -2x+3. (3)设 y=u +u-1,u= 即 y=
2

1 , x

1 1 1 2+u-1,内层函数是反比例函数 u= ? -1 的外层函数是二次函数 y=u . 2 x x x

变式
1、判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由. ①y=x-1,x∈R 与 y=x-1,x∈N; ②y= x 2 - 4 与 y= x ? 2 ? x ? 2 ; ③y=1+
2

1 1 与 u=1+ ; x x

④y=x 与 y=x x 2 ;

?2 x, x ? 0, ⑤y=2|x|与 y= ? ?? 2 x, x ? 0;
⑥y=f(x)与 y=f(u). 是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).

解:只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可. ①前者的定义域是 R,后者的定义域是 N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数; ②前者的定义域是{x|x≥2 或 x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同, 故不是同一个函数; ③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加 1,那么值域必相 同,故是同一个函数; ④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;

?2 x, x ? 0, ⑤函数 y=2|x|= ? 则定义域和对应法则均相同 ,那么值域必相同,故是同 ?? 2 x, x ? 0,
一个函数; ⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数. 故填③ ⑤ ⑥ .

x2 ?1 f (2) 2.设 f(x)= 2 ,则 =_______. 1 x ?1 f( ) 2

答案:-1

3.函数 f(x)对任意实数 x 满足条件 f(x+2)=

1 ,若 f(1)=-5,则 f[f(5)]=_________. f ( x) 1 分析:∵函数 f(x)对任意实数 x 满足条件 f(x+2)= , f ( x)
∴f(x+4)=f[(x+2)+1]= ∴f(1)=f(1+4)=f(5). 又∵f(1)=-5,∴f(5)=-5. ∴f[f(5)]=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)=

1 =f(x). f ( x ? 2)

1 1 =? . 5 f (1)

答案: ?

1 5

小结:本节学了哪些内容?
(1)复习了函数的概念,总结了函数的三要素; (2)学习了复合函数的概念; (3)判断两个函数是否是同一个函数.

1.2.2函数的表示法(第一课时)

语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同 的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐!”用繁体中文为: 生日快樂!英文为:Happy Birthday!法文是Bon Anniversaire !德文是Alles Gute Zum Geburtstag!西班牙中称iFeliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun!荷兰文的 生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag!在俄语 中则是С днем рождения!…… 问题1:对于函数,又有什么不同的表示方法呢?引出课 题——函数的表示法

函数的三种表示方法: 解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系 ,这种表示方法叫 做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式. 图象法 :以自变量 x 的取值为横坐标 ,对应的函数值 y为纵坐标 , 在平面 直角坐标系中描出各个点 ,这些点构成了函数的图象 ,这种用图象表示两 个变量之间函数关系的方法叫做图象法. 列表法 : 列一个两行多列的表格 , 第一行是自变量的取值 , 第二行是对 应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表 法.
问题2:分析对比三种不同表示方法的优缺点? 解析法能够准确表达出两个变量之间的关系,不足之处,比较抽象 ;图像形象直观表示两个变量之间的关系,不足之处,变量关系不够 精确;列表法通过列表直观的得出两个变量的关系,不足之处,不能 列出定义域为区间范围的函数,列表表示函数仅能表示有限个。

例1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表 示法表示函数y=f(x).
解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}, 用解析法可将函数 y=f(x)表示为 y=5x,x∈{1,2,3,4,5}. 用列表法可将函数 y=f(x)表示为 笔记本数 x 钱数 y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25

用图象法可将函数 y=f(x)表示为图

例 2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表: 第一次 王伟 张城 赵磊 班平均分 98 90 68 88.2 第二次 87 76 65 78.3 第三次 91 88 73 85.4 第四次 92 75 72 80.3 第五次 88 86 75 75.7 第六次 95 80 82 82.6

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

解:把“成绩”y 看成“测试序号”x 的函数,用图象法表示函数 y=f(x),如图所示.

由图 1-2-2-3 可看到: 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀; 张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大; 赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.

例 3.将长为 a 的铁丝折成矩形,求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数关系式, 并求定义域和值域,作出函数的图象.
解:设矩形一边长为 x,则另一边长为

1 1 2 1 (a-2x),则面积 y= (a-2x)x=-x + ax. 2 2 2

又?

?x ? 0, a a 得 0<x< ,即定义域为(0, ). 2 2 ?a - 2x ? 0,
a 2 1 2 1 2 )+ a≤ a, 16 4 16 1 2 a ]. 16

由于 y=-(x ?

如图所示,结合函数的图象得值域为(0,

例 4 向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示, 那么水瓶的形状是( )

分析:要求由水瓶的形状识别容积 V 和高度 h 的函数关系,突出了对思维能力的考查. 观察图象,根据图象的特点发现:取水深 h=

V H ,注水量 V′> 0 , 2 2

即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半. A 中 V′<

V0 V ,C、D 中 V′= 0 ,故排除 A、C、D. 2 2

答案:B

1 ? x 1? x2 1.已知 f( )= ,则 f(x)=________. 1 ? x 1? x2
分析:可设

1? x 1? t =t,则有 x= , 1? x 1? t 1? t 2 1? ( ) 1 ? t = 2t , 所以 f(t)= 1? t 2 1? t 2 1? ( ) 1? t 2x 所以 f(x)= . 2 1? x 2x 答案: 1? x2

2.已知函数 f(x)=

3x ? 7 . x?2

(1)画出函数 f(x)的图象; (2)观察图象写出函数的定义域和值域.
3 x ? 7 3x ? 6 ? 1 1 = = . x?2 x?2 x?2 1 1 1 将 y= 的图象向左平移两个单位得 y= 的图象,再向上平移三个单位得 y= +3 的 x x?2 x?2
解:(1)y= 图象. 图象如图 1-2-2-7 所示.

(2)观察函数的图象图 可知图象上所有点的横坐标的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,+∞), 图象上所有点的纵坐标的取值范围是(-∞,3)∪(3,+∞). 则函数的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),值域是(-∞,3)∪(3,+∞).

3.求下列函数的值域:(1)y=x -2x(-1≤x≤2);(2)y=x +1.
(1)解:(图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数 y=x -2x(-1≤x≤2)的图象,如图所 示:
2

2

4

函数 y=x -2x(-1≤x≤2)的图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域,观察图象知 函数的值域是[-1,3]. 4 4 4 (2)解法一:(观察法)函数的定义域是 R,则 x ≥0,有 x +1≥1,即函数 y=x +1 的值域是 [1,+∞). 解法二: (换元法)函数的定义域是 R,设 x2=t,则 t≥0,则有 y=t2+1.利用图象可求得当 t≥0 时,二次函数 y=t2+1 的值域是[1,+∞),即函数 y=x4+1 的值域是[1,+∞).

2

4.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有 3 500辆次,其中电动车 保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元. (1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的函 数关系式; (2)若估计前来停放的3 500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大 于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.
解:(1)由题意得 y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,x∈N*且0≤x≤3500. (2)若电动车的辆次不小于25%,但不大于40%, 则3500?(1-40%)≤x≤3 500?(1-25%), 即2100≤x≤2 625, 画出函数y=-0.2x+1750(2 100≤x≤2 625)的图象,可得 函数y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的值域是[1225,1330], 即收入在1225元至1330元之间.

小结 请同学们回想一下,这节课我们学了哪些函 数的表示方法?在具体的实际问题中如何恰当地 选择? 作业 课本习题1.2A组7、8、9.

1.2.2函数的表示法(第二课时)

问题1:当x>1时,f(x)=x+1;当x≤1时,f(x)=-x,请写出函数f(x)的解析式.

?x ? 1, x ? 1, 函数 h(x)= ? ?? x, x ? -1
问题2:这个函数的解析式有什么特点? 函数h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.

1、分段函数的定义:指在定义域的不同部分 ,有不同对应法则的函数 .

?x ? 1, x ? 1, 问题 3:函数 h(x)= ? 是一个函数还是两个函数? ?? x, x ? -1
2、分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数

问题4:分段函数是一个函数,那它的定义域和值域是什么?
3、分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集 问题5:同学们能否举出生活中用分段函数描述的实际问题? 如出租车的计费、个人所得税纳税额等。

例1.画出函数y=|x|的图象.

解法一:由绝对值的概念,我们有 y= ?

?x, x ? 0, ?- x, x ? 0.

所以,函数 y=|x|的图象如图所示.

解法二:画函数 y=x 的图象,将其位于 x 轴下方的部分对称到 x 轴上方,与函数 y=x 的 图象位于 x 轴上方的部分合起来得函数 y=|x|的图象如图所示.

x ? 0, ? x ? 4, ? 2 例 2.已知函数 y= ? x ? 2 x, 0 ? x ? 4, ?? x ? 2, x ? 4. ?
(1)求 f{f[f(5)]}的值; (2)画出函数的图象.

解:(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴f[f(5)]=f(-3)=-3+4=1. 2 ∵0<1<4,∴f{f[f(5)]}=f(1)=1 -2?1=-1,即 f{f[f(5)]}=-1. (2)图象如图所示:

例 3.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车 5 千米以内(含 5 千米),票价 2 元; (2)5 千米以上,每增加 5 千米,票价增加 1 元 (不足 5 千米按 5 千米计算), 如果某条线路的总里程为 20 千米,请根据题意,写出票价 与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.

解:设里程为 x 千米时,票价为 y 元,根据题意得 x∈(0,20]. 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:

?2,0 ? x ? 5, ?3,5 ? x ? 10, ? y= ? ?4,10 ? x ? 15, ? ?5,15 ? x ? 20.
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.

1.某客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过 100 千米,票价是每千米 0.5 元,如 超过 100 千米,超过部分按每千米 0.4 元定价,则客运票价 y(元)与行程千米数 x(千米)之 的函数关系式是________.
答案:y= ?

0 ? x ? 100, ?0.5x, ?10 ? 0.4 x, x ? 100.

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? x ? 0, 2.已知函数 f(x)= ?1, ?? x ? 1, x ? 0. ?
(1)求 f(-1),f[f(-1)],f{f[f(-1)]}的值; (2)画出函数的图象.

解:(1)f(-1)=0;f[f(-1)]=f(0)=1;f{f[f(-1)]}=f(1)=-1 +2?1=1. (2)函数图象如图所示:

2

?b, a ? b, 3 若定义运算 a⊙b= ? 则函数 f(x)=x⊙(2-x)的值域是________. ?a, a ? b,
答案:(-∞,1]

4.如图所示,在梯形 ABCD 中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点 P 从 B 点开始沿着折线 BC、CD、DA 前进至 A,若 P 点运动的路程为 x,△PAB 的面积为 y.

(1)写出 y=f(x)的解析式,指出函数的定义域; (2)画出函数的图象并求出函数的值域.

解:(1)分类讨论: ①当 P 在 BC 上运动时,易知∠B=60°,则知 y=

1 5 3 ?10?(xsin60°)= x,0≤x≤4. 2 2

②当 P 点在 CD 上运动时, y=

1 ?10?2 3 =10 3 ,4<x≤10. 2
1 5 3 ?10?(14-x)sin60°= ? x+35 3 ,10<x≤14. 2 2

③当 P 在 DA 上运动时, y=

综上所得,函数的解析式为

? 53 x, 0 ? x ? 4, ? ? 2 y= ?10 3 , 4 ? x ? 10, ? 5 3 x ? 35 3 , 10 ? x ? 14. ?? ? 2
(2)f(x)的图象如图所示:

由图象,可知 y 的取值范围是 0≤y≤10 3 , 即函数 f(x)的值域为[0,10 3 ].

小结:本节课我们学了哪些内容,请同学们进行回顾和总结.

作业

课本P25习题1.2 B组

3、4.

1.2.2函数的表示法(第三课时)

前面学习了函数的概念是:一般地,设A,B是两个非空数集,如果按照某种对应法 则f,对于集合A中的每个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应. (1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应. (2)班级里的一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应. (3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应. 那么这些对应又有什么特点呢? 这种对应称为映射.

问题 1:①给出以下对应关系:

这三个对应关系有什么共同特点? ②像问题①中的对应我们称为映射,请给出映射的定义? ③“都有唯一”是什么意思? ④函数与映射有什么关系?

结论: ①集合A、B均为非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应

.
②一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射.记作“f:A→B”. 如果集合A中的元素x对应集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原 象,集合B中元素y叫集合A中的元素x的象. ③包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思 ,即 是一对一或多对一. ④函数是特殊的映射,映射是函数的推广.

例1.下列哪些对应是从集合A到集合B的映射? (1)A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应 ; (2)A={P|P是平面直角坐标系中的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面 直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4)A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个 班级都对应班里的学生. 解:(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射; (4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映 射的定义.

例2.下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么? (1)A=R,B={x∈R|x≥0},对应法则是“求平方”; (2)A=R,B={x∈R|x>0},对应法则是“求平方”; (3)A={x∈R|x>0},B=R,对应法则是“求平方根”; (4)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”. 解: (1) 是映射 , 因为 A 中的任何一个元素 , 在B 中都能找到唯一的元素 与之对应. (2)不是从集合A到集合B的映射,因为A中的元素0,在集合B中没有对应 的元素. (3) 不是从集合 A 到集合 B 的映射 , 因为任何正数的平方根都有两个值 , 即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应. (4) 不是从集合 A 到集合 B 的映射 . 因为一个圆有无穷多个内接矩形 , 即 集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应.

例 3. 设 f:A→B 是 A 到 B 的 一 个 映 射 , 其 中 A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y),求: (1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素; (2)在A中什么元素与B中元素(-1,2)对应?
解:(1)A 中元素(-1,2)在 B 中对应的元素为(-1-2,-1+2),即(-3,1). (2)设 A 中元素(x,y)与 B 中元素(-1,2)对应,

1 ? x ? , ? ?x - y ? -1, ? 2 则? 解得 ? x ? y ? 2, ? ?y ? 3 . ? 2 ?
所以 A 中元素(

1 3 , )与 B 中元素(-1,2)对应. 2 2

1. 设映射 f:x→-x2+2x 是实数集 R=M 到实数集 R=N 的映射 ,若对于实数p∈N, 在M中不存在原象,则实数p的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1]
解:(方法一)由于集合 M,N 都是数集, 2 2 则映射 f:x→-x +2x 就是函数 f(x)=-x +2x,其定义域是 M=R, 则有值域 Q={y|y≤1} ? N=R.对于实数 p∈N,在 M 中不存在原象, 则实数 p 的取值范围是 Q= Q={y|y>1},即 p 的取值范围是(1,+∞); (方法二)当 p=0 时,方程-x +2x=0 有解 x=0,2, 即在 M 中存在原象 0 和 2, 则 p=0 不合题意,排除 C,D; 2 当 p=1 时,方程-x +2x=1 有解 x=1,即在 M 中存在原象 1, 则 p=1 不合题意, 排除 B. 答案:A
2

2.设 f,g 都是由 A 到 A 的映射,其对应法则如下表(从上到下): 表 1 映射 f 的对应法则 原象 象 原象 象 1 3 1 4 2 4 表 2 映射 g 的对应法则 2 3 C.g[f(3)] 3 1 D.g[f(4)] 4 2 3 2 4 1

则与 f[g(1)]相同的是( ) A.g[f(1)] B.g[f(2)]

分析:f(a)表示在对应法则f下a对应的象,g(a)表示在对应法则g下a对应的象. 由表1和表2,得f[g(1)]=f(4)=1,g[f(1)]=g(3)=1,g[f(2)]=g(4)=2,g[ f(3)]=g(2)=3,g[f(4)]=g(1)=4, 则有f[g(1)]=g[f(1)]=1, 故选A. 答案:A

3.设集合A={a,b,c},集合B=R, 以下对应关系中 ,一定能建立集合 A到集合B 的映射的是( ) A.对集合A中的数开平方 B.对集合A中的数取倒数 C.对集合A中的数取算术平方根 D.对集合A中的数立方 分析 : 当 a<0 时,对 a 开平方或取算术平方根均无意义 , 则A 、 C错 ; 当 a=0 时,对a取倒数无意义,则B错;由于对任何实数都能立方 ,并且其立方仅有 一个,所以对集合A中的数立方能建立映射,故选D. 答案:D

小结 请同学们回想一下,这节课我们学了哪些内容?
[作业精选,巩固提高]

必做:课本 P23 练习 4. 选做:已知下列集合 A 到 B 的对应,请判断哪些是 A 到 B 的映射,并说明理由. (1)A=N,B=Z,对应法则 f 为“取相反数”; (2)A={-1,0,2},B={-1,0,

1 },对应法则:“取倒数”; 2

(3)A={1,2,3,4,5},B=R,对应法则:“求平方根”; 2 (4)A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},对应法则 f:a→b=(a-1) ; + (5)A=N ,B={0,1},对应法则:除以 2 所得的余数.


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