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第三章 导数的应用(数学竞赛部分)


第三章

导数的应用(数学竞赛部分)
f (0) ? f (1) ? f (2) ? 3 , f (3) ? 1 。

1. 设函数 f ( x) 在[0, 3]上连续, 在 (0, 3) 内可导, 且 试证必存在 ? ? (0,3) ,使 f ?(? ) ? 0.

分析 证明 f ?(? ) ? 0 这类问

题,大多用罗尔定理,这时需找到函数在某两点的函数值相等。 证 因为 f ( x) 在[0,3]上连续,所以 f ( x) 在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值 M 和最小值 m ,使得 m ? f (0) ? M , m ? f (1) ? M , m ? f (2) ? M . 故m ?

f (0) ? f (1) ? f (2) ? M . 由介值定理知,至少存在一点 c ? [0,2] ,使 3 f (0) ? f (1) ? f (2) f (c ) ? ? 1. 3

因 f (c) ? 1 ? f (3) ,且 f ( x) 在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,所以由罗尔定理知,必存在

? ? (c,3) ? (0,3) ,使 f ?(? ) ? 0.
2.设函数 f ( x) 在 (a, ??) 内有二阶导数,且 f (a ? 1) ? 0 ,
x ?a ?

lim f ( x) ? 0 ,

x ???

lim f ( x) ? 0 ,求证在 (a, ??) 内至少存在一点 ? ,满足 f ??(? ) ? 0 .

分析 从要证明的结果看,本题需验证导函数满足罗尔定理的条件。 证 令 f (a) ? lim? f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在[a, a+1] 上满足罗尔定理条件, ??1 ? (a, a ? 1), 使
x ?a

得 f ?(?1 ) ? 0. 若在 (a ? 1,??) 内, f ( x) ? 0, 原命题显然成立。若在 (a ? 1,??) 内, f ( x) 不恒为 0, 由介值定理,?x1 ? (a ? 1, x0 ), 则?x0 ? (a ? 1,??) , 使 f ( x0 ) ? 0, 不妨设 f ( x0 ) ? A ? 0 。

使 f ( x1 ) ?

A A . 因 lim f ( x) ? 0, 所以?X ? x0 , 当 x ? X 时, f ( x ) ? . 再由介值定理, x ??? 2 4 A ?x2 ? ( x0 , X ), 使 f ( x2 ) ? . 由罗尔定理, ?? 2 ? ( x1, x2 ), 使 f ?(?2 ) ? 0. 2

故 ?? ? (?1, ?2 ) ? (a,??), 使 f ??(? ) ? 0 .
3.设 f ( x) 在闭区间 [ a , b ] 上连续,在开区间 (a, b) 内可导,其中 a ? 0 且 明:在 (a, b) 内必有一点 ? ,使

f (a) ? 0 ,证

f (? ) ?

b ?? f ?(? ) . a

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分析 证明这类问题一般也是利用罗尔定理,关键是构造辅助函数。先把所要证明等式转化 成 [ F ( x)]? x ?? ? 0 的形式(一般要去掉分式) ,然后再构造一函数 ? ( x) ,使 ? ?( x ) 含有因子

f ( x) 。如果 F ( x) 是两个函数的代数和,则 ? ( x) 通常是两个函数的乘积。
证 原式等价于 af (? ) ? (b ? ? ) f ?(? ) ? 0, 令 ? ( x) ? (b ? x)a f ( x), 则 ? (a) ? ? (a) ? 0 , 且 ? ?( x) ? ?a(b ? x) a?1 f ( x) ? (b ? x) a f ?( x) ,故 ? ( x) 在 [ a, b] 上满足罗尔定理的条件。 所以 ?? ? (a, b) ,使得 ? ?(? ) ? 0 ,即 ? a(b ? ? ) a?1 f (?) ? (b ? ? ) a f ?(? ) ? 0 。 当 ? ? (a, b) 时, (b ? ? ) a?1 ? 0 ,故 af (? ) ? (b ? ? ) f ?(? ) ? 0 ,命题得证。 4 .设函数 f ( x) 在 ?0,1? 上连续,在 ? 0,1? 内可微, f (0) ? f (1) ? 0 ,且当 x ? ? 0,1? 时,

f ( x ) ? 0 。证明:对于任意常数 k ? 0 ,存在 ? ? ? 0,1? ,使得

f ? ?? ? 1 ? . f ?? ? k

分析 为了利用罗尔定理而构造辅助函数时,令 ? ( x) ? f ( x)e g ( x) 是常用的辅助函数。因
g ( x) g ( x) 且e 这样等式两端可以约去 e , 即得所要证明的等式。 ? ?( x) 中含有因子 e g ( x ) , ? 0,

证 令 ? ( x) ? e

1 ? x k

f ( x) ,则 ? ( x) 在 ?0,1? 上连续,在 ? 0,1? 内可微,且 ? (0) ? ? (1) ? 0 。
1 x ? x 1 ?1 e k f ( x) ? e k f ?( x) , k

由罗尔定理,存在 ? ? ? 0,1? ,使得 ? ?(? ) ? 0 。而 ? ?( x) ? ?

于是
1 ? ? k

? ?(? ) ? ? e
? 0, f (? ) ? 0 。因此 ?

1 k

1 ? ? k

f (? ) ? e

1 ? ? k

f ?(? ) ? 0 ,

又e

f ? ?? ? 1 1 f (? ) ? f ?(? ) ? 0 ,即 ? , ? ? ? 0,1? 。 k f ?? ? k

5.设 f ( x) 在 [0,1] 上有二阶导数,且

f (1) ? f (0) ? f ?(1) ? f ?(0) ? 0 ,证明存在

? ? ? 0,1? ,使得 f ??(? ) ? f (? ) 。
证 令 ? ( x) ? e x f ( x) ? e x f ?( x) ,对 ? ( x) 在 [0,1] 上利用罗尔定理即可。 注:我们只给出辅助函数,其余由读者完成。 6.设函数 f ( x) 在 [ a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 内必有一点 ? ,使 ?

f (a) ? f (b) ? 0 ,证明:在 (a, b)

f (? ) ? f ?(? ) ? 0 。

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证 令 ? ( x) ?

x2 e2

f ( x) ,对 ? ( x) 在 [ a, b] 上利用罗尔定理即可。

7.设 f ( x) 在 [0,1] 上有二阶导数,且

f (0) ? f (1) ? 0 ,证明:存在 ? ? ? 0,1? ,使得

f ??(? ) ?

2 f ?(? ) . 1? ?

证 令 ? ( x) ? (1 ? x) 2 f ?( x) ,对 ? ( x) 在 [0,1] 上利用罗尔定理即可。 8.设 f ( x) 在 [ a, b] 上连续,在 (a, b) 可导,且 一点 ? ,使得

f (a) ? f (b) ? 0 ,证明:在 (a, b) 至少有

f ?(? ) ? f (? )sin ? .
? ? sin tdt
a x

证 令 ? ( x) ? f ( x)e 9.证明方程 4 x
3

,对 ? ( x) 在 [ a, b] 上利用罗尔定理即可。

? 3x2 ? 6 x ? 1 ? 0 在 (0,1) 内至少有一个实根。

分析 讨论方程根的情况除了利用零点定理外, 还可以利用罗尔定理或函数的单调性和极值。 从方程的角度看,如果函数 ? ( x) 在 [ a, b] 上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理可以得到方 程 ? ?( x) ? 0 在开区间 (a, b) 内至少有一个实根。利用罗尔定理讨论方程根的方法是:将所 给方程写成 f ( x) ? 0 的形式,构造辅助函数 ? ( x) ?

?a f (t )dt ,则 ? ?( x) ? f ( x) ,然后验

x

证 ? ( x) 在 [ a, b] 上满足罗尔定理的条件。这种方法适用于用零点定理很难判断方程

f ( x) ? 0 在 (a, b) 内有根的情形(如本题) 。
证 1 利用罗尔定理讨论方程根存在性。设 ? ( x) ?

?0 (4x

x

3

? 3x 2 ? 6 x ? 1)dx ,即

? ( x) ? x 4 ? x 3 ? 3x 2 ? x 。则 ? (0) ? ? (1) ? 0 , ? ( x) 在 ? 0,1? 上满足罗尔定理的条件,
故存在 ? ? ? 0,1? ,使得 ? ?(? ) ? 0 ,所以原方程在 (0,1) 内至少有一个实根。 证 2 利用单调性和极值讨论方程根存在性。 设 f ( x) ? 4x 3 ? 3x 2 ? 6x ? 1 , 则 f ( x) 在 上连续, 且 f (0) ? 1 ? 0, f (1) ? 2 ? 0. f ?( x) ? 12x ? 6 x ? 6 ? 12? x ?
2

?0,1?

? ?

1? ?( x ? 1) , 2?

令 f ?( x) ? 0, 得驻点 x ?

1 ? 1? , x ? ?1(舍) 。 当 x ? ? 0, ?, f ?( x) ? 0 , 2 ? 2?

3 ?1 ? ?1? 当 x ? ? ,1?, f ?( x) ? 0 , ? f ? ? ? ? ? 0 是 f ( x) 在 (0,1) 内的极小值 . 由零点存在定理, 4 ?2 ? ?2?
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? 1? ?1 ? 方程 f ( x) ? 0 在? 0, ?与? ,1?内各有一实根,命题得证。 ? 2? ?2 ?
10.已知函数 f ( x) 在

?0,1? 上连续,在(0,1)内可导,且 f (0) ? 0, f (1) ? 1 。 证明:

(1)存在 ? ? (0,1), 使得 f (? ) ? 1 ? ? ; (2)存在两个不同的点? , ? ? (0,1) ,使得 f ?(? ) f ?(? ) ? 1. 分析 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理;第二部分为双介值问题,一般需两次 使用拉格朗日中值定理。 证(1)令 F ( x) ? f ( x) ? 1 ? x ,则 F ( x) 在

?0,1? 上连续,且 F (0) ? ?1 ? 0, F (1) ? 1 ? 0 ,

由介值定理,存在 ? ? (0,1), 使得 F (? ) ? 0 ,即 f (? ) ? 1 ? ? . (2)在 [0, ? ] 和 [? ,1] 上对 f ( x) 分别应用拉格朗日中值定理,则存在两个不同的点

? ? (0, ? ) , ? ? (? ,1) ,使得 f ?(? ) ?
于是 f ?(? ) f ?(? ) ?

f (? ) ? f (0) f (1) ? f (? ) , f ?(? ) ? , ? ?0 1??

f (? ) 1 ? f (? ) 1 ? ? ? ? ? ? ? 1. ? 1? ? ? 1??
2 2

2 11.设 e ? a ? b ? e , 证明 ln b ? ln a ?

4 (b ? a ) . e2

分析 根据要证不等式的形式,可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证 明。 证1 对函数 ln x 在 [ a, b] 上应用拉格朗日中值定理,得
2

ln 2 b ? ln 2 a ?
设 ? (t ) ?

2 ln ?

?

(b ? a), a ? ? ? b ,

ln t 1 ? ln t ,则 ? ?(t ) ? , 当 t ? e 时, ? ?(t ) ? 0, 所以 ? (t ) 单调减少,从而 t t2

? (? ) ? ? (e 2 ) ,即
证2

ln ?

?

?

4 ln e 2 2 ? 2 ,故 ln 2 b ? ln 2 a ? 2 (b ? a ) . 2 e e e

设 ? ( x ) ? ln x ?
2

4 ln x 4 1 ? ln x x ,则 ? ?( x) ? 2 ? 2 , ? ??( x) ? 2 , 2 x e e x2
2

所以当 x ? e 时, ? ??( x) ? 0, 故 ? ?( x ) 单调减少,从而当 e ? x ? e 时,

4 4 ? 2 ? 0 ,即当 e ? x ? e 2 时, ? ( x) 单调增加. 2 e e 4 4 2 2 2 因此当 e ? x ? e 时, ? (b) ? ? (a) ,即 ln b ? 2 b ? ln a ? 2 a , e e

? ?( x) ? ? ?(e 2 ) ?

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故 ln b ? ln a ?
2 2

4 (b ? a ) . e2
2 2

注:本题也可设辅助函数为 ? ( x) ? ln x ? ln a ?

4 ( x ? a), e ? a ? x ? e 2 或 2 e

? ( x) ? ln 2 b ? ln 2 x ?

4 (b ? x), e ? x ? b ? e 2 ,再用单调性进行证明即可。 e2

12 . 设函数 f ( x) 在 [ a, b] 上 连续,在 (a, b) 可 导,且

f (a) ? f (b) ? 1 . 证明:存在

? ,? ? (a, b) ,使得 e? ?? ? f (? ) ? f ?(? )? ? 1。
证 原式等价于 e? [ f (? ) ? f ?(? )] ? e? 。设 g ( x) ? e x f ( x), h( x) ? e x ,则

g?( x) ? e x [ f ( x) ? f ?( x)] 。对 g ( x), h( x) 分别在 [ a, b] 上用拉格朗日中值定理,有
eb f (b) ? ea f (a) ? e? [ f (? ) ? f ?(?)](b ? a),? ? (a, b) , eb ? ea ? e? (b ? a), ? ? (a, b) ,
由 f (a) ? f (b) ? 1,可得 e? [ f (? ) ? f ?(? )](b ? a) ? e? (b ? a) , 即e
? ??

? f (? ) ? f ?(? )? ? 1。
a?b f ?(? ) 。 2?
f ?(? ) f ?(? ) f (b) ? f (a) ? ? 。因 f ( x) 与 g ( x) ? x 2 在 [ a, b] 上满足柯 2 2 a?b 2? b ?a f (b) ? f (a) f ?(? ) ? , (1) 2? b2 ? a 2

13.设函数 f ( x) 在 [ a, b] 上连续 (a ? 0) ,在 (a, b) 可导,证明:存在 ? ,? ? (a, b) ,使得

f ?(? ) ?



原式等价于

西中值定理,? ?? ? (a, b), 使

再对 f ( x) 在 [ a, b] 上使用拉格朗日中值定理,有

f (b) ? f (a) ? f ?(? ), ? ? (a, b) (2) b?a
由(1), (2)可得所证命题。 14.设 f ( x) 在闭区间 [0,1] 上连续,在开区间 (0,1) 内可导,且

f (0) ? 0, f (1) ? 1 ,证明:

对于任意常数 a ? 0, b ? 0 ,在 (0,1) 内存在两个不同的 ? 和? ,使得

a b ? ? a?b f ?(? ) f ?(? )
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证 原式等价于

a a 1 b 1 ? (0,1) , ? ? ? ? 1。由 a ? 0, b ? 0 ,可知 a?b a ? b f ?(? ) a ? b f ?(? ) a 。应用拉格朗日中值定理,有 a?b

由介值定理, ?c ? (0,1), 使 f (c) ?

f ?(? ) ?

f (c) ? f (0) a ? , (0 ? ? ? c ) c?0 ( a ? b)c f (1) ? f (c) b ? , (c ? ? ? 1) 1? c (a ? b)(1 ? c) a b ? ? (a ? b)c ? (a ? b)(1 ? c) ? a ? b 。 f ?(? ) f ?(? )

f ?(? ) ?

显然? ? ? ,且

15.设函数 f ( x) 在实轴上可微,且满足 证明:

f (0) ? 0 , f ?( x) ? p f ( x) ,其中 0 ? p ? 1 ,

f ( x) ? 0(?? ? x ? ??) .

证 因 f ( x) 在 (??,??)内连续, 所以 f ( x) 在(??,??)内连续 . 设 f ( x) 在 [0,1] 上的

最大值为M,且 f ( x0 ) ? M . 由拉格朗日中值定理, 有 M ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f (0) ? f ?(? ) x0 , 0 ? ? ? x0 ? 1,
从而 因0 ?

M ? f ?(? ) x0 ? f ?(? ) ? p f (? ) ? pM.

p ? 1 , 所以M ? 0 , f ( x)在[0,1]上恒为零.

由 f (1) ? 0, 以x ? 1为出发点 , 在 [1,2]上重复以上步骤 , 可得 f ( x)在[1,2]上恒为零.
依次类推, f ( x)在[0,??)上恒为零 。 再由 f (0) ? 0 , 同理可得 f ( x)在[?1,0]上恒为零 . 依次类推, f ( x)在 (??,0]上恒为零 . 故 f ( x) ? 0 (?? ? x ? ??). 16.求在 x ? 0 的附近与函数

f ( x) ? sec x 的差为 x 2 的高阶无穷小的二次多项式。

解 因 f ?( x) ? sec x tan x , f ??( x) ? sec x tan2 x ? sec3 x ,由泰勒公式

f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ?
所求二次多项式为 1 ?

f ??(0) 2 1 x ? o( x 2 ) ? 1 ? x 2 ? o ( x 2 ) , 2! 2

1 2 x . 2

注:需对泰勒公式有深刻的理解。
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17.当 x ? 0 时,

1 f ( x) ? e x ? 1 ? x ? x sin x 是 x 几阶无穷小. 2
? ? x3 x 2 x3 x ? ? o( x 4 ) ? ? ? o( x 3 ) , x sin x ? x? ? ?, 3! 2! 3! ? ?

解 因 e ?1? x ?

x

所以 e ? 1 ? x ?

x

1 x3 x sin x ? ? o( x3 ) ,故 f ( x) 是 x 的 3 阶无穷小. 2 3!

18 . 设 f ( x) 在 包 含 原 点 在 内 的 某 区 间

(a, b) 内 具 有 二 阶 导 数 , 且 lim
x ?0

f ( x) ?1 , x

f ??( x) ? 0(a ? x ? b) ,证明: f ( x) ? x (a ? x ? b) .
分析 涉及到二阶以上可导函数的不等式证明,常利用泰勒公式。 证 因 f ( x) 二阶可导,由 lim
x ?0

f ( x) ? 1 ,可得 f (0) ? lim f ( x) ? 0 , x ?0 x

f ?(0) ? lim
x ?0

f ( x) ? f (0) ? 1 。利用泰勒公式, ?x ? (a, b) ,有 x?0 f ??(? ) 2 f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ? x , (?介于 0与x之间) , 2

再由 f ??( x) ? 0,x 2 ? 0 ,可得

f ( x) ? x (a ? x ? b) .
f ?(a) ? f ?(b) ? 0 ,则在区间 (a, b) 内至

19.设 f ( x) 在闭区间 [ a, b] 上具有二阶导数,且 少存在一点 ? ,使

f ??(? ) ? 4

f (b) ? f (a) 。 (b ? a)2

分析 因为已知函数在区间端点的导数值, 所以利用泰勒公式时是将区间中点分别在区间端 点处展开。 证 利用泰勒公式

a?b? ? a ?b? ? b ? a ? f ??(?1 ) ? b ? a ? ? f? ? ? f (a) ? f ?(a)? ?? ? ? , ? a ? ?1 ? ?, 2! ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? a?b? ? a ? b ? f ??(? 2 ) ? a ? b ? f? ? ? f (b) ? f ?(b)? ?? ? ? 2! ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
2 2

2

? a?b ? ,? ? ?2 ? b ? , ? 2 ?

1 ? a ?b ? 两式相减,得 f (b) ? f (a) ? [ f ??(?1 ) ? f ??(? 2 )]? ? ,于是 2 ? 2 ? 1 ?a ?b? f (b) ? f (a) ? [ f ??(?1 ) ? f ??(? 2 ) ]? ? 。 2 ? 2 ?
2

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令 f ??(? ) ? max{ f ??(?1) , f ??(?2 ) }, 即取? ? ?1, 或? ? ?2 ? (a, b) ,
(b ? a) 2 则 f (b) ? f (a) ? f ??(? ) . 4
20.设 f ( x) 在闭区间 [?1,1] 上三次可微, 在一点 ? ? (?1,1) ,使得

f (?1) ? 0, f (1) ? 1, f ?(0) ? 0 .证明:至少存

f ???(? ) ? 3 .

分析 因为已知函数在区间中点的导数值, 所以利用泰勒公式时是将区间端点分别在区间中 点处展开。 证 利用泰勒公式

f ??(0) f ???(?1 ) ? (?1) 2 ? ? (?1)3 , ?1 ? (?1,0) , 2! 3! ? ? ? f ??(0) f ( ?2 ) f (1) ? f (0) ? f ?(0) ? (1) ? ? (1) 2 ? ? (1)3 , ?2 ? (0,1) , 2! 3! 1 两式相减,得 1 ? [ f ???(?1 ) ? f ???(? 2 )] ,由此可得 f ???(?1 ) ? 3, 或 f ???(? 2 ) ? 3 ,命题得证。 6 f (?1) ? f (0) ? f ?(0) ? (?1) ?
注:通过以上两题,请读者仔细体会泰勒公式的用法。 21.设函数 f ( x) 有三阶导数,且 lim
x??

f ( x) ? c, lim f ???( x) ? 0 ,证明:
x??

x ??

lim f ?( x) ? 0, lim f ??( x) ? 0 .
x ??

证 利用泰勒公式

f ??( x) 2 f ???(?1 ) 3 1 ? 1 , ?1 ? ( x, x ? 1) (1) 2! 3! f ??( x) 2 f ???(? 2 ) f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ?( x) ? (?1) ? 1 ? (?1)3 , ?2 ? ( x ?1, x) (2) 2! 3! 1 两式相减,得 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 f ?( x) ? [ f ???(?1 ) ? f ???(? 2 )] , 6 1 令 x ? ?, 则?1 ? ?, ?2 ? ?, 取极限, 得 c ? c ? 2 lim f ?( x) ? [0 ? 0] , x ?? 6 1 故 lim f ?( x ) ? 0. (1) 式令 x ? ? 取极限, 得 c ? c ? 0 ? lim f ??( x) ? 0 , x ?? 2 x ?? f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ?( x) ?
故 lim f ??( x) ? 0.
x ??

22.设 f ( x) 在 [0,1] 上具有二阶连续导数,且 f (0) ? f (1) ? 0 ,

x?(0,1)

min f ( x) ? ?1 ,证明:

x?[0,1]

max f ??( x) ? 8 .
设 a ? (0,1), 使 f (a) ? min f ( x) ? ?1, 则 f ?(a) ? 0. 利用泰勒公式
x?( 0,1)



f (0) ? f (a) ? f ?(a)( 0 ? a) ?

f ??(?1 ) (0 ? a) 2 , ?1 ? (0, a) , 2!

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f (1) ? f (a) ? f ?(a)(1 ? a) ?

f ??(? 2 ) (1 ? a) 2 , ? 2 ? (a,1) , 2!

将 f (0) ? f (1) ? 0, f (a) ? ?1, f ?(a) ? 0 代入以上两式 ,得
f ??(?1 ) ? 2 2 , , f ??(? 2 ) ? 2 a (1 ? a) 2

2 2 ? 1? ?1 ? 当 a ? ? 0, ?, f ??(?1 ) ? ? 8 ; 当 a ? ? ,1?, f ??(? 2 ) ? ? 8, 2 2 ? 2? ?2 ? ?1? ? 1? ? ? ?1 ? ? ?2? ? 2?
故 max f ??( x) ? 8.
x?[ 0,1]

23.设函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上具有二阶导数,且满足条件

f ( x) ? a, f ??( x) ? b ,其中
b . 2

a, b 都是非负常数, c 是 (0,1) 内任意一点,证明: f ?(c) ? 2a ?


?c ? (0,1) ,利用泰勒公式
f (0) ? f (c) ? f ?(c)c ?

f ??(?1 ) 2 c , (0 ? ?1 ? c) , 2 f ??(? 2 ) f (1) ? f (c) ? f ?(c)(1 ? c) ? (1 ? c) 2 , (c ? ? 2 ? 1) , 2 1 2 2 两式相减,得 f ?(c) ? f (1) ? f (0) ? [ f ??(?1 )c ? f ??(? 2 )(1 ? c) ] , 2 1 f ?(c) ? f (1) ? f (0) ? [ f ??(?1 ) c 2 ? f ??(? 2 ) (1 ? c) 2 ] 所以 2 1 b b ? a ? a ? [bc 2 ? b(1 ? c) 2 ] ? 2a ? [1 ? c(1 ? c) 2 ] ? 2a ? . 2 2 2
24. (1) 设
9 7 求 f (1 f ( x) ? x1997 tan x , )

3 (2) 设 y ? x sin x , 求 y (10) (0) . (0) ,f (1998) (0) ;

分析 求函数在某一点的高阶导数值常用的两种方法是: 一利用泰勒公式, 二利用泰勒级数。 解(1)因 tan 0 ? 0 , (tanx)? x?0 ? sec2 x
x ?0

?1,

所以 f ( x) ? x1997 tan x ? x1997( x ? o( x)) ? x1998 ? o( x1998)) ,

由泰勒公式的系数知 故 f (1997) (0) ? 0 , f (2)因 sin x ?
?

f (1998) (0) f (1997) (0) ? 1, ? 0, 1998 ! 1997 !
(1998 )

(0) ? 1998 !。

n ?0

? (?1)n

x 2n?1 , x ? (??,??) , (2n ? 1)!
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x 2 n? 4 所以 y ? x sin x ? ? (?1) , x ? (??,??). (2n ? 1)! n ?0
3 ? n

10! y (10) (0) (?1)3 (10) . , y ( 0) ? ? 令 2n ? 4 ? 10, 得 n ? 3 ,故 ? 7! 10! 7!
25.设常数 a ? 1, b ? 0 ,讨论方程 log a

x ? xb 根的情况。

分析 利用函数的单调性、极值和最值讨论方程根的情况是常用的方法。 解 设 f ( x) ? log a x ? x ?
b

ln x ? x b , x ? (0,?? ) ,则 lim? f ( x) ? ??, lim f ( x) ? ?? , x??? x?0 ln a
1

1 ? x b ln a ? 1 ?b , 令 f ?( x) ? 0, 得驻点 x0 ? ? f ?( x) ? ? . x ln a ? b ln a ?

当x ? (0, x0 ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调增加; 当x ? ( x0 ,??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调减少。 f ( x0 ) 既是 f ( x) 在 (0,??)内的极大值 , 也是最大值,且 f ( x0 ) ? ?
(1)当 f ( x0 ) ? ?

ln(b ln a) 1 ? 。 b ln a b ln a

ln(b ln a) 1 1 ? ? 0 , 即 ln a ? 时 ,方程有两个实根,分别位于 b ln a b ln a eb

(0, x0 ) 与 ( x0 ,??) 之间;
ln(b ln a) 1 ? ? 0 , 即 ln a ? b ln a b ln a ln(b ln a) 1 ? ? 0 , 即 ln a ? (3)当 f ( x0 ) ? ? b ln a b ln a
(2)当 f ( x0 ) ? ?

1 时 ,方程有唯一实根 x0 ; eb 1 时 ,方程无实根。 eb

26.设函数 f ( x) 在 (??, ??) 内有界且导数连续,又对于任意实数 x 有 f ( x) ? f ?( x) ? 1 , 证明: f ( x) ? 1. 分析 设想某函数求导后有因子 f ( x) ? f ?( x) 。 证 设 F ( x) ? e x f ( x) ,则 F ?( x) ? e x f ( x) ? e x f ?( x) ,由已知可得, 即 于是
x

F ?( x) ? e x ,

? e x ? F ?( x) ? e x ,
? ? e x dx ? ? F ?( x)dx ? ? e x dx ,
?? ?? ?? x x

? e x ? e x f ( x) ? lim e x f ( x) ? e x ,
x???

故 ? e x ? e x f ( x) ? e x ,即 f ( x) ? 1.
27.设 b ? a ? 0 ,证明: ln

b 2(b ? a) ? . a a?b
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证 设 f ( x) ? ln

x 2( x ? a) ? ,则 f ( x) 在[a, b] 上连续、可导 ,且 a a?x

f ?( x) ?

( x ? a) 2 ? 0, x ? (a, b) x( a ? x) 2

故 f (b) ? 0 , 原命题得证。 所以 f ( x) 在[a, b] 上 单调增加 , f ( x) ? f (a) ? 0, x ? (a, b] , 28.设 f n ( x) ? Cn cos x ? Cn
1 2

cos2 x ?
f n ( x) ?

? (?1)n?1 cos n x ,证明:
1 ? ?? 在区间 ? 0, ? 内仅有一根; 2 ? 2?

(1)对于任意自然数 n ,方程

(2)设 xn ? ? 0,

1 ? ? ?? lim xn ? . ? 满足 f n ( xn ) ? 2 ,则 n ?? 2 ? 2?
? ?? ? 上连续。 ? 2?

证 f n ( x) ? 1 ? (1 ? cos x)n 在 ?0,

(1)因 f n (0) ? 0, f n ?

1 ?? ? ? ?? ? ? 1,由介值定理, ?xn ? ? 0, ? , 使 f n ( xn ) ? ? (0,1) , 2 ?2? ? 2?
n?1

? ( x) ? ?n(1 ? cos x) 又因 f n
故 xn唯一 ; (2)设 f n ( xn ) ?

? ?? ? ?? sin x, x ? ? 0, ? ,所以 f n ( x)在 ?0, ? 上单调减少, ? 2? ? 2?

1 1 , f n ?1 ( xn ?1 ) ? ,则 1 ? (1 ? cos xn )n ? 1 ? (1 ? cos xn?1)n?1 , 2 2
n

? 1 ? cos xn ? ? ?? 于是 0 ? ? ? 1 ? cos x ? ? ? (1 ? cos xn?1 ) ? 1 ,故 xn ? xn?1 , 又 xn ? ? 0, 2 ? 有界 ,因此 ? ? n ?1 ? ?
1 ? 1 ?n lim xn 存在 。 再由 f n ( xn ) ? 1 ? (1 ? cos xn ) n ? , 可得 cos xn ? 1 ? ? ? , n ?? 2 ?2?
1

? ? 1 ?n lim cos xn ? 1 ? lim ? ? ? 0 ,所以 lim xn ? . n ?? n?? n??? 2 ? 2
g ( x) 为定义在 [ a, b] 上的函数, 29. 设 f ( x) , 且满足关系
证明若

1

f ??( x) ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) ? 0 ,

f (a) ? f (b) ? 0 ,则在 [a, b] 上 f ( x) ? 0 . f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (a, b) 内必取得极大值或极小值。

证 反证法。若存在 x ?[a, b] ,使

不妨设 f ( x) 在 x0 ? (a, b) 取得极大值,则

f ( x0 ) ? 0 且 f ?( x0 ) ? 0 ,代入关系式

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f ??( x) ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) ? 0 ,得 f ??( x0 ) ? 0 ,这与 f ( x0 ) 是极大值矛盾,命题得证。
30.函数 f ( x) 满足方程 3 f ( x) ? 4 x
2

? 1? 7 f ? ? ? ? ? 0 ,求 f ( x) 的极值。 ? x? x

解 方程中用 ?

1 ? 1? 代替 x, 得 3 f ? ? ? ? 4 x 2 f ( x) ? 7 x ? 0 , x ? x?

3 ? 1? 与已知方程消去 f ? ? ?, 得 f ( x) ? 4 x 3 ? . x ? x?
易求得 极小值 f ?

? 1 ? ? 1 ? ? ? 4 2 , 极大值 f ? ? ? ? ?4 2. 2? ? 2? ?

31. 分针和时针在零点重合 后, 两针针尖间的距离逐渐 由小变大, 再由大变小 ,

经过

12 小时后再次重合 . 设时针和分针分别长 a 与2a , 问两针尖相离的速度何 11

时达到最大。


由题意知时针的角速度 为?1 ?

?
6

/ 小时, 分针的角速度为 ?2 ? 2? / 小时 ,

?t ? 6? 和 ? ? 2?t ,此时, 所以在t ? ?0, ? 时刻, 时针分针分别转动了角 度为 ? ? 6 ? 11?
时针和分针两针尖的位 置分别为 A(a sin

?
6

t , a cos

?
6

t ), B(2a sin 2?t , 2a cos 2?t ) ,

故A, B之间的距离为 S ? (2a sin 2?t ? a sin

?

t ) 2 ? (2a cos2?t ? a cos t ) 2 6 6

?

11 ? ? 6? ? a 5 ? 4 cos t , t ? ?0, ? , 6 ? 11?
11 ?a 两针尖分离的速度为v ? S ? ? 3 ? 6? , t ? ?0, ? , 11 ? ? 11? 5 ? 4 cos t 6 6 sin

?

t

121 ?2 v? ? ? 18

11 ? 2 11 ? 2(cos t ) ? 5 cos t?2 6 6 6 , t ? [0, ] , 11 11 ? 3 ( 5 ? 4 cos t) 6

令 v? ? 0 解得驻点 t ?

2 2 , 即在 小时后两针尖分离的速 度最大 , 即从重合开始经过 11 11
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。 10分54.54秒两针尖分离速度最大

1 1 ? 1? 1 32. 设整数 n ? 1,求证: ? ? ?1 ? ? ? . 2ne e ? n ? ne
证 先证不等式

n

1 ? 1? 1 ? 1? ? 1? 1 ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ln?1 ? ? ? ? 0. e ? n? ne ? n ? ? n ? n
x ? (0, 1) ,

n

1 ? x) ? x, x ? [0, 1] ,则 f ?( x) ? ? ln(1 ? x) ? 0, 设 f ( x) ? (1 ? x) ln(

所以 f ( x)在[0, 1]上 单增, f (0) ? 0 ,当 x ? (0, 1) 时, f ( x) ? (1 ? x) ln( 1 ? x) ? x ? 0, 故 f ? ? ? ?1 ?

?1? ? ?n? ?

1? ? 1? 1 ? ln?1 ? ? ? ? 0. n? ? n? n
n

再证不等式

1 1 ? 1? 1 ? 1 ? ? 1? 1 ? ? ?1 ? ? ? ln?1 ? ? ? ln?1 ? ? ? ? 0. 2ne e ? n ? n ? 2n ? ? n? n
x 2

设 f ( x) ? x ln(1 ? ) ? ln(1 ? x) ? x, x ? [0, 1) ,则

x x 1 f ?( x) ? ln(1 ? ) ? ? ? 1, x ? (0, 1) , 2 2 ? x 1? x

f ??( x) ? ?

1 2 1 x( x 2 ? 5x ? 5) ? ? ? ? 0, x ? (0, 1) 2 ? x (2 ? x) 2 (1 ? x) 2 (2 ? x) 2 (1 ? x) 2

所以 f ?( x)在[0, 1)上 单增,

f ?(0) ? 0 ,当 x ? (0, 1) 时,

x x 1 f ?( x) ? ln(1 ? ) ? ? ?1 ? 0 , 2 2 ? x 1? x
所以 f ( x)在[0, 1]上 单增, f (0) ? 0 ,当 x ? (0, 1) 时, f ( x) ? x ln(1 ? ) ? ln(1 ? x) ? x ? 0 , 故 f? ??

x 2

?1? ?n?

1 ? 1 ? ? 1? 1 ln?1 ? ? ? ln?1 ? ? ? ? 0. n ? 2n ? ? n? n

33.证明 sin 1 是无理数 。 证 设 sin 1 是有理数,则sin 1 ?

p , p, q是互素的正整数 . q

根据sin x的展开式有

p 1 1 1 (?1) n?1 (?1) n ? 1? ? ? ? ?? ? cos? (2n ? 1 ? q) , q 3! 5! 7! (2n ? 1)! (2n ? 1)!

由 (2n ? 1)!

p 1 1 1 (?1) n?1 (?1) n ? (2n ? 1)![1 ? ? ? ? ? ? ]? cos? 知, q 3! 5! 7! (2n ? 1)! 2n(2n ? 1)
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(?1) n cos? 是整数(两个整数之差仍是整数 ), 2n(2n ? 1) 然而 | cos? |? 1, 2n ? 1, 故
所以, sin 1 是无理数 。 34.在区间 ? 0,

(?1) n cos? 不可能是整数 , 矛盾 。 2n(2n ? 1)

? ?

π? ? 内, 试比较函数tan(sinx) 与sin(tanx) 的大小, 并证明你的结论。 2?

解 设 f ( x) ? tan(sinx) ? sin(tanx) ,则

f ?( x) ? sec2 (sin x) cos x ? cos(tanx) sec2 x ?
当 0 ? x ? arctan

cos3 x ? cos(tanx) cos2 (sin x) , cos2 (sin x) cos2 x

π π π 时, 0 ? tan x ? , 0 ? sin x ? . 2 2 2

? π? 由余弦函数在 ? 0, ?上的凸性有 ? 2?
1 tan x ? 2 sin x cos(tan x) cos 2 (sin x) ? [cos(tan x) ? 2 cos(sin x)] ? cos . 3 3 2 2 2 x ?0。 设 ? ( x) ? tan x ? 2 sin x ? 3x ,则 ? ?( x) ? sec x ? 2 cos x ? 3 ? tan x ? 4 sin 2 于是 tan x ? 2 sin x ? 3x , tan x ? 2 sin x ? cos x, 即 cos(tan x) cos 2 (sin x) ? cos 3 x 。 所以 cos 3 π 于是 当 x ? (0, arctan ) 时, f ?( x) ? 0, 又 f (0) ? 0, 所以 f ( x) ? 0. 2 π π π 当 x ? [arctan , ) 时, sin(arctan ) ? sin x ? 1. 2 2 2
3

π 由于 sin(arctan ) ? 2

π tan(arctan ) 2 π 1 ? tan2 (arctan ) 2

?

π 2 1? π2 4

?

π 4 ? π2

?

π , 4

π ? sin x ? 1. 于是 1 ? tan(sin x) ? tan 1. 4 π π 所以, 当 x ? [arctan , ) 时, f ( x) ? 0. 2 2 π 综上可得 , 当 x ? ( 0, ) 时, tan(sin x) ? sin(tan x). 2


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3 2 35.求极限 lim ?( x ? x ? x )e x ? x??? ?

? ?

1

2

? x 6 ? 1? . ? ?

? 解 设 x ? ,当 x ? ?? 时, t ? 0 。于是

1 t

原式 ? lim ?? ?
t ?0

?? 1 1 1 ? t ? 1 (2 ? 2t ? t 2 )e t ? 2 t 6 ? 1 ? ? e ? ? 1 ? lim ? ? 3 ? t 2 2t ? t6 2t 3 ?? t ? t ?0

(?2 ? 2t )e t ? (2 ? 2t ? t 2 )e t ? ? lim ?
t ?0

6t 5 t6 ?1 ? 1 . 6

6t 2

36.设 f ( x ) 在 [ a, ??) 上二阶可导,且 f (a) ? 0, f ?(a) ? 0, 而当 x ? a 时, f ??( x) ? 0, 证明在 (a, ??) 内,方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根。 证 由于当 x ? a 时, f ??( x) ? 0, 因此 f '( x) 单调减,从而 f '( x) ? f '(a) ? 0 ,

于是又有 f ( x ) 严格单调减.再由 f (a) ? 0 知, f ( x ) 最多只有一个实根. 下面证明 f ( x) ? 0 必有一实根.当 x ? a 时, f ( x) ? f (a) ? f '(? )( x ? a) ? f '(a)( x ? a) , 即

f ( x) ? f (a) ? f '(a)( x ? a) ,

上式右端当 x ??? 时,趋于 ?? ,因此当 x 充分大时, f ( x) ? 0 ,于是存在 b ? a ,使得 由介值定理存在? (a ? ? ? b) , 使得 f (? ) ? 0 . 综上所述, 知 f ( x) ? 0 在 (a, ??) f (b) ? 0 , 有而且只有一个实根。

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