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陶平生高中数学奥林匹克模拟真题一


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高中数学奥林匹克模拟真题(一)
陶平生提供

第一试
一、填空题 1、设 f ( x ) = L x ? 2
10 2011

? 22010 ? L ? 22

? 2 ,则 f ( 2011) =



2、 x, y 为实数,若对于满足 cos α ? cos β ≠ 0 的任何实数 α , β ,都成立等式:

π? π? ? ? sin ? α + ? + sin ? β ? ? α ?β 6? 6? ? ? = x cot + y ,则 ( x, y ) = cos α ? cos β 2



? 1 ? 2 3、 二次函数 y = ax + bx + c 的图像经过点 A(3, 6) 和 B ? ? , 6 ? , 若其与 X 轴的两个 ? 2 ?
交点 C , D 的距离满足 CD =

1 ,则函数的具体表达式为 y = 2



4、在用 1, 2,L ,8 这八个数码所组成的全部无重复数字的八位数中,能被 11 整除的数共 有 个. 5、设数集 M = {a, b, c, d } ,而 a, b, c, d 两两之和构成集合 S = {5,8,9,11,12,15} ,则 . 集合 M = 6、将正五角星的五个“角” (等腰的小三角形)分别沿其底边折起, 使其与原所在平面成直二面角,则所形成的空间图形中,共有异面直线 对. 段 7、对于给定的正整数 n ,则由直线 y = n 与抛物线 y = x 所围
2 2

Y

Lk

成的封闭区域内(包括边界)的整点个数是



B

C

A

D
O k

x

8、若四面体的六条棱长分别为 2,3, 4,5, 6, 7 ,则不同的形状有 (若两个四面体经适当放置后可完全重合,则认为是相同的形状).

种.

1
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二、解答题
9、试确定,是否存在 2011 个实数 a1 , a2 ,L , a2011 ,满足:

(1) . ( 2) .

ai < 1, i = 1, 2,L , 2011 ; a1 + a2 + L + a2011 ? a1 + a2 + L + a2011 = 2010 .

10、设数列 {an } , {bn } 满足: a0 = b0 = 1, an +1 = 5an + 7bn , bn +1 = 7 an + 10bn . 证明: ?m, n ∈ N , am + n + bm + n = am an + bm bn . 11、设 x, y, z ∈ R , xy + yz + xz = 1 ,证明不等式:
+

( xy )
z

2

( xz ) +
y

2

( yz ) +
x

2

+ 6 xyz ≥ x + y + z .

第二试(加试题)
一、 以任意方式,把空间染成五种颜色(每点属于一色,每色的点都有) ;

(1) .证明:存在一个平面,至少含有四种不同颜色的点; ( 2 ) .是否一定存在五色平面?
二、如图,△ PAB 中, E , F 分别是边 PA, PB 上的点,在 AP, BP 的 延 长 线 上 分 别 取 点 C , D , 使 PC = AE , PD = BF , M , N 分 别 是 △
D
M

p

C

PCD ,△ PEF 的垂心. 证明: MN ⊥ AB .
三、数列 {an } 为: 1,1, 2,1,1, 2,3,1,1, 2,1,1, 2,3, 4,L ,其构作方法是:首 先给出 a1 = 1 , 接着复制该项 1 后, 再添加其后继数 2 , 于是得 a2 = 1, a3 = 2 ;
E

F N

A

B

接 下 来 再 复 制 前 面 所 有 的 项 1,1, 2 , 再 添 加 2 的 后 继 数 3 , 于 是 得

a4 = 1, a5 = 1, a6 = 2, a7 = 3 ;
接 下 来 再 复 制 前 面 所 有 的 项 1,1, 2,1,1, 2,3 , 再 添 加 3 的 后 继 数 4 , 于 是 得 前 15 项 为

1,1, 2,1,1, 2,3,1,1, 2,1,1, 2,3, 4, 如此继续.
2
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试求 a2011 以及数列前 2011 项的和 s2011 .

四、边长为 n 的菱形 ABCD , 其顶角 A 为 60 o ,今用分别与 AB, AD 及 BD 平行的三组 等距平行线,将菱形划分成 2n 2 个边长为 1 的正三角形(如图所示). 试求以图中的线段为边的梯形个数 s ( n ) .

D

C

A

B

3
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