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2017高一数学必修五《正弦和余弦定理》课件


正弦定理和余弦定理 正弦定理求三角形面积 1 1 1 S ?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 1 abc S ?ABC ? ac sin B ? 2 4R (R是三角形外接圆的半径),并可由 此计算R。 1.已知圆的半径为4,a、b、c为该圆的内接三角形的三 边,若abc=16 2 ,则三角形的面积为 A. 2 2

B.8 2 C. 2 D. 2 2 ( C ) 解析 ? a ? b ? c ? 2 R ? 8, sin A sin B sin C c ? sin C ? , 8 1 1 1 ? S ?ABC ? ab sin C ? abc ? ?16 2 ? 2. 2 16 16 基础自测 2.(2010·陕西)△ABC的内角A、B、C的 对边分别为a、b、c,若c= 2 ,b= 6 ,B=120°, 则a等于( D ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2 解析 由正弦定理得 b ? c , sin B sin C c ? sin B 2 sin 120? 1 ? sin C ? ? ? , b 6 2 ? C ? 30?,? A ? 180? ? 120? ? 30? ? 30?.? a ? c ? 2. 3.在△ABC中,A=60°,a=43 则B等于 A.45°或135° C.45° 解析 即 ,b=42 (C ) , B.135° D.以上答案都不对 a b ? , sin A sin B 由正弦定理得 4 3 4 2 4 2 2 ? ,? sin B ? sin 60? ? . sin 60? sin B 4 3 2 又∵a>b,A=60°,∴B=45°. 4.在△ABC中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c. 若B=45°,b= 2 ,a= 3 , 则C=75° . 或15° 三角形形状的判定 【例3】 在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角 A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)= (a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状. 思维启迪 利用正弦定理、余弦定理进行边角 ..学..科..网. 互化,转化为边边关系或角角关系. 解 方法一 已知等式可化为 a2[sin(A-B)-sin(A+B)] =b2[-sin(A+B)-sin(A-B)] ∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A 由正弦定理可知上式可化为: sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A ∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0 ∴sin 2A=sin 2B,由0<2A,2B<2π 得2A=2B或2A=π -2B, ? 即A=B或A= -B,∴△ABC为等腰或直角三角形. 2 方法二 同方法一可得 2a2cos Asin B=2b2sin Acos B 由正、余弦定理,可得 2 2 2 b2 ? c2 ? a 2 2 a ?c ?b ab ?b a 2bc 2ac ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) 2 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 ∴a=b或a2+b2=c2 ∴△ABC为等腰或直角三角形. 探究提高 判断三角形形状可通过边和角两种途 径进行判断,应根据题目条件,选用合适的策略: (1)若用边的关系,则有:若A为锐角,则b2+c2 -a2>0;若A为直角,则b2+c2-a2=0;若A为钝角, 则b2+c2-a2<0. (2)利用正

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