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《解释几何 第四版》讲解与习题 第三章 平面与空间直线


第三章

平面与空间直线

主要内容 1、平面的方程 2、平面与点的相关位置 3、两平面的相关位置 4、空间直线的方程 5、直线与平面的相关位置 6、空间直线与点的相关位置 7、空间两直线的相关位置 8、平面束

第一节
1、方位向量

平面及其方程

一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程

在空间给定一个点M0与两个不共线的向量a,b,则 通过点M0且与a,b平行的平面?就被唯一确定。向量a, b称为平面?的方位向量。
显然,任何一对与平面?平行的不共线向量都可作 为平面?的方位向量。

2、平面的向量式参数方程 在空间,取标架{O;e1,e2,e3},并设点M0的径矢 OM0=r0,平面?上的任意一点M的径矢为OM=r,显然 点M在平面?上的充要条件为向量M0M与a,b,面, 因为a,b不共线,所以这个共面的条件可写成: z M0M=ua+vb M0 a b M 又因为 M0M=r-r0 r0 r 所以 r-r0= ua+vb x O y r=r0+ ua+vb (1) 即 方程(1)称为平面?的向量式参数方程。

3、平面的坐标式参数方程

r=r0+ ua+vb

(1 )

若设M0,M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则 r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}

并设

a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}

则由(1)可得

? x ? x0 ? X 1u ? X 2 v ? (2) ? y ? y0 ? Y1u ? Y2 v ?z ? z ? Z u ? Z v 0 1 2 ?
(2)式称为平面?的坐标式参数方程。

例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。

设M(x,y,z)是平面上任意一点,已知点为Mi的 解: 径矢为ri=OMi,则可取方位向量为
r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1}, r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1}, 因此,平面的向量式参数方程为 r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3) 坐标式参数方程为 ? x ? x1 ? u ( x2 ? x1 ) ? v( x3 ? x1 ) ? ? y ? y1 ? u ( y2 ? y1 ) ? v( y3 ? y1 ) (4) ? z ? z ? u ( z ? z ) ? v( z ? z ) 1 2 1 3 1 ?

从(3),(4)中分别消去参数u,v可得:

(r-r1,r2-r1,r3-r1)=0

(5 )

x ? x1 x2 ? x1 x3 ? x1


y ? y1 y2 ? y1 y3 ? y1 ? 0 (6) z ? z1 z 2 ? z1 z3 ? z1 x y z 1 x1 y1 z1 1 ?0 x2 y2 z 2 1
x3 y3 z3 1



(7 )

(5)(6)(7)都有叫做平面的三点式方程。

特别地,若平面与三坐标轴的交点分别 为M1(a,0,0) M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为

x y z ? ? ?1 a b c
称为平面的截距式方程。 其中a,b,c分别称为平面在 三坐标轴上的截距。

(8)
z M3 o x M1

M2
y

二、平面的点法式方程
1. 法向量:
z

? n
M

如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 该平面的法向量. 法向量的特征:
x

M0
o
y

垂直于平面内的任一向量.

注: 1? 对平面?, 法向量n不唯一; 2? 平面? 的法向量n与? 上任一向量垂直.

2. 平面的点法式方程 设平面?过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n={A,B, C}. 对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直. n ? M0 M = 0 而M0 M ={x ? x0, y ? y0, z ? z0}, 得: 称方程(1) 为平面的点法式方程.
O

z M0 M

n

y

x

A(x ? x0) +B( y ? y0) +C( z ? z0) = 0

(1)

例1: 求过点(2, ?3, 0)且以 n = {1, ?2, 3}为法向量 的平面的方程. 解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为: 1 ? (x ? 2) ? 2 ? (y + 3) + 3 ? (z ? 0) = 0

即:

x ? 2y + 3 z ? 8 = 0

例2: 求过三点M1(2, ?1, 4), M2(? 1, 3, ?2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程. 解: 先找出该平面的法向量n. 由于n与向量M1M2, M1M3都垂直. 而M1M2={?3, 4, ?6} 可取n = M1M2 ? M1M3 M1M3={?2, 3, ?1}
M1
n

i

j

k

M3 M2

? ? 3 4 ? 6 = 14i + 9j ? k ? 2 3 ?1 所以, 所求平面的方程为: 14(x ? 2) + 9(y + 1) ? (z ? 4) = 0 即: 14x + 9y ? z ? 15 = 0

例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1),求线段的垂直 平分面?的方程。 解: 因为向量M1M2={2,2,-4}=2{1,1,-2} 垂直于平面?,所以平面?的一个法向量为 n={1,1,-2}.

又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1),故 平面的点法式方程为
(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0 整理得 x+y-2z+1=0

三、平面的一般方程
1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = {A, B, C} 证: A, B, C不能全为0, 不妨设A ? 0, 则方程可以化为 ?D ? A? x ?( ) ? B( y ?0) ?C ( z ?0) ? 0 ? ? ? A ? 它表示过定点 M ( ? D , 0 , 0 ) 0 A 且法向量为 n = {A, B, C}的平面. 注:一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2)

称为平面的一般方程.

例2: 已知平面过点M0(?1, 2, 3), 且平行于

平面2x ?3y + 4z ?1= 0, 求其方程.
解: 所求平面与已知平面有相同的法向量 n ={2 ?3, 4} 2(x +1) ? 3(y ?2) + 4(z ? 3) = 0 即: 2 x ? 3 y + 4 z ?4 = 0

2. 平面方程的几种特殊情形 (1) 过原点的平面方程 由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为: Ax + By + Cz = 0

(2) 平行于坐标轴的方程
考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = {A, B, C}与x 轴上的单位向量 i ={1, 0, 0}垂直, 所以 n· i=A· 1+B· 0+C· 0=A=0 于是: 平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.

特别: D = 0时, 平面过坐标轴.

(3) 平行于坐标面的平面方程
平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0; 平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0;

平行于yOz 面的平面方程是. Ax + D = 0

例3: 求通过x 轴和点(4, ?3, ?1)的平面方程.
解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0. 设所求平面的方程是 By + Cz = 0

又点(4, ?3, ?1)在平面上, 所以
?3 B ? C = 0 C = ? 3B 所求平面方程为 By ? 3Bz = 0 即: y ? 3z = 0

例4: 设平面与x, y, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点, 求这平面的方程. 解: 设所求平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三点都在这平面上, 于是 aA + D = 0 bB + D = 0 cC + D = 0
D 解得: A ? ? a D B?? b
z R

o
P x

Q

y

D C?? c

所求平面的方程为:

D D D ? x? y? z?D ?0 a b c
即:

x y z ? ? ?1 a b c

(3)

例 5 求平行于平面6 x ? y ? 6 z ? 5 ? 0 而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.

x y z 解 设平面为 ? ? ? 1, a b c 1 1 ?V ? 1, ? ? abc ? 1, 3 2
1

z

o

y

x

由所求平面与已知平面平行得

a b c ? ? , (向量平行的充要条件) 6 1 6

1

1

1 1 1 1 1 1 ? ? , 令 ? ? ?t 化简得 6a b 6c 6a b 6c 1 1 1 ?a? , b? , c? , 6t 6t t 1 1 1 1 1 ?1 ? ? ? ? ?t? , 6 6t t 6t 6
? a ? 1, b ? 6, c ? 1,
所求平面方程为 6 x ? y ? 6 z ? 6. 代入体积式

三、平面的法式方程
如果给定空间一点 M 0 和一个非零向量 n ,那么通过点 M 0 且与向量 n 垂直的平面也唯一地被确定,把与平面垂直的非零向量 n 叫做平面的法向量

取空间直角坐标系 O; i, j , k ,设点 M 0 的向径为 OM0 ? r0 ,平面上 的任意一点 M 的向径为 OM ? r ,则平面的点法式方程 n ? r ? r0 ? 0

?

?

?

?

若设 n ? ? A, B, C? , M 0 ? x0 , y0 , z0 ? , M ? x, y, z ? 那么平面的点法式方程:
A? x ? x0 ? ? B ? y ? y0 ? ? C ? z ? z0 ? ? 0

平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 的系数A,B,C 有简明的几何意义,它们是平面 ? 的一个法向量 n 的坐标
k

n n
M00 M

r0
j

i

三、平面的法式方程
若平面上的一点 M 特殊地取自原点O 向平面 ? 所引垂线的垂足P, 而 ? 的法向量取单位向量n0 ,设 OP ? p ,那么由点 M 和法向量

n0 决定的平面的向量式法式方程为:
n0 ? r ? pn0 ? 0
平面的坐标式方程,简称法式方程为
x cos ? ? y cos ? ? z cos ? ? p ? 0

?

?

z
k

P

其中:n0 ? ?cos ? ,cos ? ,cos ? ? ,

n0

O

r

M
j

?
y

r ? ?x, y, z?

x

i

平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程: ①一次项的系数是单位法向量的坐标,它们的平方和等于1; ②因为p是原点O 到平面 ? 的距离,所以常数 ? p ? 0

平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 与法式方程的互化 取??
1 ?n ?? 1 A ? B ?C
2 2 2

称平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0

可得法式方程
Ax ? A ? B ?C
2 2 2

?

By ? A ? B ?C
2 2 2

?

Cz ? A ? B ?C
2 2 2

?

D ? A ? B ?C
2 2 2

?0

? 在取定符号后叫做法式化因子 ? 选取的符号通常与常数项 D 相反的符号

例4: 把平面 ? 的方程 3x ? 2 y ? 6 z ? 14 ? 0 化为法式方 程,:求自原点指向平面 ? 的单位向量及其方向余弦,并求 原点到平面的距离

?

1. 平面的向量式参数方程

? 2. 平面的坐标式参数方程 ? 3. 平面的点位式方程 ? 4. 平面的三点式方程 ? 5. 平面的截距式方程

作业:P105: 1(2),2.4

第二节

平面与点的相关位置
n

设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求点 P0到平面的距离。 ?

在平面上任取一点P1(x1, y1, z1) 则 P1P0 ={x0? x1, y0? y1, z0? z1}
过P0点作一法向量 n ={A, B, C} P1 P0 ? n 于是: d ? Pr j n P1 P0 ?
? ?

? P0
P1 ?
N

|n| A( x0 ? x1 ) ? B( y0 ? y1 ) ? C ( z0 ? z1 )
A2 ? B 2 ? C 2 Ax0 ? By0 ? Cz0 ? D A2 ? B 2 ? C 2



A(x0 ? x1) + B(y0 ? y1) + C(z0 ? z1) = Ax0 + By0 + Cz0 + D ?(Ax1 + By1 + C z1 + D)
= Ax0 + By0 + Cz0 + D

所以, 得点P0到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离:

d?

Ax 0 ? By 0 ? Cz 0 ? D A2 ? B 2 ?C 2

(4)

一、点与平面的距离

1. 点与平面的离差 2. 点与平面之间的距离

1. 点与平面的离差
定义 3.2.1 一点与平面上的点之间的最短距离,叫做

该点与平面之间的距离。

定义 3.2.2 如果自点 M 0 到平面 ? 引垂线, 其垂足为 Q ,那么向量 QM 0 在平面 ? 的单 位法向量 n0 上的射影叫做点 M 0 与平面 ? 之间的离差,记做

? ? 射影n QM 0
0

(3.2-1)

可以看出,空间的点与平面间的离差,当且仅当点 M 0位平面 QM 0 与 n0 同向,离差 ? ? 0 ? 的单位法向 n0 所指向的一侧, ;在平面的另一侧,QM 0 与 n0 方向相反,离差 ? ? 0 ,当且仅 ? ? ?0 当 M 0 在平面 ? 上时,离差

2. 点与平面之间的距离
定理 3.2.1 点 M 0 与平面 n0 ? q ? p ? 0 间的离差为

? ? n 0 ? r0 ? p ,
这里 r0 ? OM 0 , p ? OP .
推论 1

(3.2-2)

点 M 0 ? x0 , y0 , z0 ? 与平面 x cos ? ? y cos ? ? z cos ? ? p ? 0

间的离差是

? ? x0 cos ? ? y0 cos ? ? z0 cos ? ? p .
推论 2

(3.2-3)

点 M 0 ? x0 , y0 , z0 ? 与平面 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 间

的距离为

d?

Ax0 ? By0 ? Cz0 ? D A ? B ?C
2 2 2

(3.2-4)

二、平面划分空间问题, 三元一次不等式的几何意义
设平面 ? 的一般方程为
Ax ? By ? Cz ? D ? 0

哪么,空间任何一点 M ( x, y, z )

对平面的离差为

? ? ? ( Ax ? By ? Cz ? D)
式中 ? 为平面 ? 的法化因子,所以有
Ax ? By ? Cz ? D ? 1

?

?

(3.2-5)

对于平面 ? 侧的点, ? 的符号相同;对于在 ? 异侧的 点, ? 有不同的符号。所以,平面 ? : Ax ? By ? Cz ? D ? 0 把空间划分为 两部分,一部分 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ,另一部分 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ,而 在平面 ? 上 Ax ? By ? Cz ? D ? 0

二、平面划分空间问题, 三元一次不等式的几何意义
结论: 若点 M1 ? x1, y1, z1 ? , M2 ? x2 , y2 , z2 ? 不在平面 ? : Ax ? By ? Cz ? D ? 0 上, 则 M1, M 2 位于平面 ? 同侧的充要条件是:

F1 ? Ax1 ? By1 ? Cz1 ? D, F2 ? Ax2 ? By2 ? Cz2 ? D 与同号

说明

判别两点 M1 ? x1, y1, z1 ? , M 2 ? x2 , y2 , z2 ? 与平面

?1 : A1 x ? B1 y ? C1z ? D ? 0 , ? 2 : A2 x ? B2 y ? C2 z ? D ? 0 的位置关系,
将点 M1, M 2 的坐标分别代入 ? 1 , ? 2 方程左边, 即 F1 ? A1x1 ? B1 y1 ? C1z1 ? D , F2 ? A1x2 ? B1 y2 ? C1z2 ? D ,

F3 ? A2 x2 ? B2 y2 ? C2 z2 ? D , F4 ? A2 x2 ? B2 y2 ? C2 z2 ? D
如果

F1F2 ? 0, F3 F4 ? 0 表明点 M1, M 2 在 ? 1 , ? 2 所构成的相邻二面角内. F1F2 ? 0, F3 F4 ? 0 表明点 M1, M 2 在 ? 1 , ? 2 所构成的同一二面角内.

F1F2 ? 0, F3 F4 ? 0 表明点 M1, M 2 在 ? 1 , ? 2 所构成的对顶二面角内.

例如: 求点A(1, 2, 1)到平面?: x + 2y + 2z ?10 = 0 的距离

d?

1?1 ? 2 ? 2 ? 2 ?1 ? 10 12 ? 2 2 ? 2 2

3 ? ?1 3

三、例题
例1 设点 M ? ?2, 4,3? ,平面 ? : 2 x ? 1y ? 2 z ? 3 ? 0 ,求点 M

到平面 ? 间的离差与距离.
例2 设平面 ? 为 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 ,它与联结两点 M1 ? x1 , y1 , z1 ? ,
Ax1 ? By1 ? Cz1 ? D . Ax2 ? By2 ? Cz2 ? D

M 2 ? x2 , y2 , z2 ? 的直线相交于点 M ,且 M1M ? ? MM 2 ,
求证:

???

例3 试求由平面 ?1 : 2 x ?1y ? 2z ? 3 ? 0, ? 2 : 3x ? 2 y ? 6 z ?1 ? 0 所构成 的二面角的角平分面的方程,在此二面角内有点 M ?1,2, ?3? .

作业:P109:1(2),2(2),4, 10

第三节 两平面的相关位置
1、设两个平面的方程为: ?1:A1x+B1y+c1z+D1=0 ?2:A2x+B2y+c2z+D2=0 (1) (2)

定理1:两个平面(1)与(2)
相交?A1:B1:C1≠A2:B2:C2. A1 B1 C1 D1 ? ? ? 平行 ? A B2 C2 D2 2

A1 B1 C1 D1 ? ? ? B2 C2 D2 重合 ? A2

2、两平面的夹角
(1)定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角. (通常取锐角)

? n2

? n1

?1 : A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0,
?2

?

? 2 : A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0, ? n1 ? { A1 , B1 , C1 }, ? ?1 n2 ? { A2 , B2 , C2 },

(2)、两个平面的交角公式 设两个平面?1,?2间的二面角用?(?1,?2)表示,而两 平面的法向量n1,n2的夹角记为θ =?(n1,n2),显然有 ?(?1,?2)=θ 或?-θ 因此
n2 ? n1

cos?(?1 , ? 2 ) ? ? cos? n1 ? n 2 ?? | n1 || n 2 |

?

?2

?1

??

| A1 A2 ? B1 B2 ? C1C2 | A ? B ?C ? A ? B ?C
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

3、两平面垂直的充要条件

两平面(1)(2)垂直的充要条件为
A1A2+B1B2+C1C2=0

例5: 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, ?1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程. 解: 设所求平面的一个法向量 n ={A, B, C}

已知平面 x+y+z = 0的法向量 n1={1, 1, 1}
所以: 而 n ? M1M2 且n ? n1 M1M2 = {?1, 0, ?2}

于是:

A ? (?1) + B ? 0 + C ? (?2) = 0 A?1+B?1+C?1=0

解得:

B=C A= ?2C

取C = 1, 得平面的一个法向量 n = {?2, 1, 1}

所以, 所求平面方程是
?2 ? (x ?1) + 1 ? (y ?1) + 1 ? (z ?1) = 0 即: 2x ? y ? z = 0

例6 研究以下各组里两平面的位置关系:

(1) ? x ? 2 y ? z ? 1 ? 0, ( 2) 2 x ? y ? z ? 1 ? 0, ( 3) 2 x ? y ? z ? 1 ? 0,


y ? 3z ? 1 ? 0 ? 4 x ? 2 y ? 2z ? 1 ? 0 ? 4 x ? 2 y ? 2z ? 2 ? 0

| ?1 ? 0 ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 | (1) cos? ? ( ?1)2 ? 22 ? ( ?1)2 ? 12 ? 32

1 1 cos? ? 两平面相交,夹角 ? ? arccos . 60 60

( 2)

? n1 ? {2,?1,1},

? n2 ? {?4, 2,?2}

2 ?1 1 ? ? ? , 两平面平行 ?4 2 ?2 ? M (1,1,0) ? ?1 M (1,1,0) ? ? 2
两平面平行但不重合.

2 ?1 ?1 ( 3) ? ? ? , 两平面平行 ?4 2 2

? M (1,1,0) ? ?1

M (1,1,0) ? ? 2

? 两平面重合.

作业:P112.3(2),4(2),5(1)

练 习 题
一、填空题: 1 、平面 Ax ? By ? Cz ? 0 必通过_______, (其中 A , B , C 不全为零) ; x 轴; 2、平面 By ? Cz ? D ? 0 __________ x 轴; 3、平面 By ? Cz ? 0 _______ 4、通过点( 3 , 0 ,?1 ) 且与平面3 x ? 7 y ? 5 z ? 12 ? 0 平 行的平面方程为 _________; ( 0 , b , 0 )、 ( 0 , 0 , c ) 三点的平面方 5、通过( a , 0 , 0 )、 _______________; 6、平面2 x ? 2 y ? z ? 5 ? 0 与xoy 面的夹角余弦为___ ________,与yoz 面的夹角余弦为____________, 与zox 面的夹角的余弦为_________;

二、指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面: 1、2 x ? 3 y ? 6 ? 0; 2、 y ? z ? 1; 3 、6 x ? 5 y ? z ? 0 . 三、求过点( 1 , 1 ,?1 ) , ( ?2 ,?2 , 2 ) 和( 1 ,?1 , 2 ) 三点的 平面方程 . 四、点( 1 , 0 ,?1 ) 且平行于向量a ? ? 2 , 1 , 1 ?和 b ? ? 1 ,?1 , 0 ?的平面方程 . 五、求通过Z 轴和点( ? 3 , 1 ,? 2 ) 的平面方程 . 六、求与已知平面 2 x ? y ? 2 z ? 5 ? 0 平 行且与 三 坐标面所构成的四面体体积为 1 的平面方程 .

练习题答案
一、1、(0,0,0); 2、平行于; 3、通过; x y z 5、 ? ? ? 1 ; a b c

4、 3 x ? 7 y ? 5 z ? 4 ? 0 ;

1 2 2 6、 , ,? . 3 3 3 二、1、平行于z 轴 的平面; 2、平行于x 轴 的平面; 3、通过原点的平面 . 三、 x ? 3 y ? 2 z ? 0 . 四、 x ? y ? 3 z ? 4 . 五、 x ? 3 y ? 0 . 六、2 x ? y ? 2 z ? 23 3 .

第四节 空间直线及其方程
已知直线l通过定点M0(x0,y0 , z0),且与非零矢量 v ={X,Y,Z}共线,求直线l的方程。 解:设M(x,y,z)为直线l上任意一点,并设OM=r,OM0=r0, 则点M在l上的充要条件为矢量M0M与v共线,即 M0M=tv 又因为 (t为随M而定的实数) 故得l的 r=r0+tv (??<t<+?)
? x ? x0 ? Xt ? ? y ? y0 ? Yt ? z ? z ? Zt 0 ? ( 2)

所以

M0M=r-r0 r-r0=tv

(1)矢量式参数方程为

(2)坐标式参数方程为

一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线.

?1 : A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 ? 2 : A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0
? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 z ? D2 ? 0 空间直线的一般方程 x

z

?1 ?2

o

L

y

二、空间直线的对称式方程
1、方位向量的定义: 如果一非零向量s ={m, n, p}, 平行于一条已知直线,这个向 量称为这条直线的方位向量.
s M0

L

而s 的坐标m, n, p称为直线 L的一组方向数.

z

2. 直线的对称式方程

? s
? M0

L

?M
y

已知直线L过M0(x0, y0, z0)点
方位向量 s ={m, n, p}
? M ? L, M ( x , y , z ),
x
o

? s ? {m , n, p},

? M 0 M // s M 0 M ? { x ? x0 , y ? y0 , z ? z0 }

所以得比例式

x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? m n p

(2)

称为空间直线的对称式方程或点向式方程.

三、 空间直线的参数式方程

x ? x 0 y ? y0 z ? z 0 令 ? ? ?t m n p
得:
直线的一组方向数 ? x ? x0 ? mt ? ? y ? y0 ? nt (3) 方位向量的余弦称为 直线的方向余弦. ? z ? z ? pt ? 0 称为空间直线的参数方程.

x + y + z +1 = 0 例1: 写出直线 的对称式方程. 2x ? y + 3z + 4 = 0 解: (1) 先找出直线上的一点M0(x0, y0, z0) 令z0 = 0, 代入方程组, 得 x + y +1 = 0 2x ? y + 4 = 0 解得:

5 x0 ? ? , 3

2 y0 ? 3

所以, 点 M 0 ( ? 5 , 2 , 0 ) 在直线上. 3 3

(2) 再找直线的方位向量 s .

由于平面?1: x + y + z +1 = 0的法向量n1={1, 1, 1}
平面?2: 2x? y+3z+4 = 0的法向量n2={2,?1, 3} 所以, 可取

i

j

k

s ? n 1 ? n 2 ? 1 1 1 = 4i ? j ? 3 k 2 ?1 3
于是, 得直线的对称式方程:

x?

5 2 y? 3? 3? z 4 ?1 ?3

例2: 求通过点A(2, ?3, 4)与B(4, ?1, 3)的直线方程. 解: 直线的方位向量可取 AB = {2, 2, ?1}

所以, 直线的对称式方程为 x?2 y?3 z ?4 ? ? 2 2 ?1

作业:P119120:1(4),3(3),4(1)

第五节 直线与平面的相关位置
设直线和平面的方程分别为
l: x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? X Y Z (1)

?:

Ax ? By ? Cz ? D ? 0

(2)

一、直线与平面的位置关系的充要条件 定理1 直线(1)与平面(2)的相互位置关系有下列的 充要条件:

1o 相交: ? 2o 平行 3o 重合 ? ?

AX+BY+CZ≠0 AX+BY+CZ=0 Ax0+By0+CZ0+D≠0 AX+BY+CZ=0

Ax0+By0+CZ0+D=0

证:将直线方程改与为参数式

? x ? x0 ? Xt ? ? y ? y0 ? Yt ? z ? z ? Zt 0 ?

(3)

将(3)代入(2)并整理得 (AX+BY+CZ)t= -(Ax0+By0+Cz0+D) (4)

因此,当且仅当AX+BY+CZ≠0时,(4)有唯一解

Ax 0 ? By 0 ? Cz0 ? D t?? AX ? BY ? CZ
这时直线与平面有唯一公共点;
当且仅当AX+BY+CZ=0, Ax0+By0+Cz0+D≠0时

方程(4)无解,这时直线与平面有没有公共点;
当且仅当AX+BY+CZ=0, Ax0+By0+Cz0+D=0时 方程(4)有无数个解,这时直线在平面内。

二、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 角? 称为直线与平面的夹角. ? ? 0 ?? ? . 2

x ? x0 y ? y0 z ? z 0 L: ? ? , m n p ? : Ax ? By ? Cz ? D ? 0,

? s ? {m , n, p}, ? n ? { A, B , C },

?^? ? ( s , n) ? ? ? 2

?^? ? ( s , n) ? ? ? 2

(1)直线与平面的夹角公式 | n? s | ? ? sin? ? cos? ? ? ? ? cos? ? ? ? . ? 2 | n || s | 2

sin? ?

| Am ? Bn ? Cp | 2 2 2 2 2 2 A ? B ?C ? m ?n ? p

(2)直线与平面的位置关系:

A B C (1) L? ? ? s // n ?? ? ? . m n p ( 2) L // ? ? s ? n ?? Am ? Bn ? Cp ? 0.

例1: 判定下列各组直线与平面的关系.
x?3 y ?4 z (1) L : ? ? 和Π : 4 x ? 2 y ? 2 z ? 3. ?2 ?7 3

解: L的方位向量 s ={?2, ?7, 3}

? 的法向量 n ={4, ?2, ?2}
s ? n = (?2) ? 4 + (?7) ? (?2) + 3 ? (?2) = 0

又M0(?3, ? 4, 0)在直线L上, 但不满足平面方程,
所以L与? 平行, 但不重合.

y z x (2) L : ? ? 和Π : 6 x ? 4 y ? 14 z ? 8 3 ?2 7
解: L的方位向量 s ={3, ?2, 7}

? 的法向量 n ={6, ?4, 14}
? L 与 ? 垂直.

x ?2 y ? 2 z ?3 ( 3) L : ? ? 和Π : x ? y ? z ? 3. 3 1 ?4

解: L的方位向量 s ={3, 1, ?4}

? 的法向量 n ={1, 1, 1}
s ? n = 3 ? 1 + 1 ? 1 + (?4) ?1 = 0
又L上的点 M0(2, ?2, 3)满足平面方程,

所以 ,

L 与 ? 重合.

x ?1 y z ?1 例 2 设直线 L : ,平面? : x ? y ? 2 z ? 3,求直线与 ? ? 2 ?1 2
平面的夹角.



? n ? {1,?1, 2},
sin ? ?

? s ? {2,?1, 2},
| Am ? Bn ? Cp |

A2 ? B 2 ? C 2 ? m2 ? n2 ? p 2

7 | 1 ? 2 ? ( ?1) ? ( ?1) ? 2 ? 2 | ? . ? 3 6 6? 9
7 为所求夹角. ? ? ? arcsin 3 6

几点注意:
注1 直线与平面的位置关系,是点、平面、直线关系的纽带, 是求直线、平面方程的基础。

注2 直线和平面平行时,其距离等于 距离。 注3

P0 ? P0 ? l ?

到平面的

当直线和平面垂直时,可取平面的法向量为直线

的方向,反之亦然。 注4 特别注意:直线与平面的夹角公式是
sin ? ? | Am ? Bn ? Cp | A2 ? B 2 ? C 2 ? m2 ? n 2 ? p 2

作业:P123-124:1(3),2,3(2)

《解析几何》 -Chapter 3

§6 空间直线与点的相关位置

Contents
定义3.6.1 一点与空间直线上的点之间的最短距离叫做该点与 空间直线间的距离。 已知空间一点M 0 ? x0 , y0 , z0 ? 与空间直线 l : x ? x1 ? y ? y1 ? z ? z1
X Y Z

及直线上一点 M1 ? x1, y1, z1 ? ,从而直线的方向向量为 则
s ? M 1M 0 s y0 ? y1 z0 ? z1 z0 ? z1 x0 ? x1 x0 ? x1 ? ? Y Z Z X X X 2 ?Y2 ? Z2
2 2

d?

?

y0 ? y1 Y

2

Contents
例1
x ? 11 y ? 18 z ? 4 求点 P ?1,1,1? 到直线 l : 的距离. ? ? 2 5 ?2

例2

?2 x ? 2 y ? z ? 3 ? 0 求点 P ? 2,3, ?1?到直线 l : ? ?3x ? 2 y ? 2 z ? 17 ? 0

的距离。

Contents
作业:P125.2.

第七节

空间两直线的位置关系

一、空间两直线的位置关系 相交 共面 平行 1、位置关系: 重合 异面 2、相关位置的判定: 设两直线L1, L2的方程为
x ? x1 y ? y1 z ? z 1 L1 : ? ? , s ={m , n , p } 1 1 1 1 m1 n1 p1 x ? x2 y ? y2 z ? z2 L2 : ? ? , s ={m , n , p } 2 2 2 2 m2 n2 p2

定理1 判定空间两直线L1,L2的相关位置的充要条件:

x2 ? x1 y2 ? y1 z 2 ? z1
(1)异面
(2)共面

??
?=0

m1 m2

n1 n2

p1 ? 0 p2

相交: m1:n1:p1≠m2:n2:p2

平行: m1:n1:p1=m2:n2:p2≠(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)
重合: m1:n1:p1=m2:n2:p2=(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)

二、两直线的夹角 定义: 两直线的方位向量间的夹角 称为两直线的夹角, 常指锐角.

s1
?

s2

已知直线L1, L2的方程
x ? x1 y ? y1 z ? z 1 L1 : ? ? , s1 ={m1, n1, p1} m1 n1 p1 x ? x2 y ? y2 z ? z2 L2 : ? ? , s2 ={m2, n2, p2} m2 n2 p2

1. L1与 L2的夹角?的余弦为:

cos ? ? | cos( s 1 , s 2 ) |
| s1 ? s 2 | ? ? | s1 | ? | s 2 |

?

| m1 m 2 ? n1 n 2 ? p 1 p 2 |

2 2 2 m 12 ? n 12 ? p 12 ? m 2 ? n2 ? p2

2. L1垂直于 L2 ? m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0

m1 n1 p1 3. L1平行于 L2 ? ? ? . m2 n2 p2

x ?1 y z ?3 x y?2 z 例1 : 求直线 L1 : ? ? 和L2 : ? ? 的夹角. 1 ?4 1 2 ?2 ?1

解: 直线L1, L2的方位向量 s1={1, ?4, 1} s2={2, ?2, ?1}

| s1 ? s 2 | 有: cos ? ? | cos( s 1 , s 2 ) | ? | s1 | ? | s 2 |
?

?

| 1? 2 ? ( ?4 ) ? ( ?2 ) ? 1? ( ?1 ) | 1 2 ? ( ?4 ) 2 ? 1 2 ? 2 2 ? ( ?2 ) 2 ? ( ?1 ) 2

2 ? 2

所以:

? ??

4

例 2 求过点 ( ?3, 2, 5) 且与两平面 x ? 4z ? 3 和 2 x ? y ? 5 z ? 1 的交线平行的直线方程.
? 解 设所求直线的方位向量为 s ? {m , n, p}, ? ? ? ? 根据题意知 s ? n1 , s ? n2 , ? ? ? 取 s ? n1 ? n2 ? {?4,?3,?1},
所求直线的方程

x?3 y?2 z?5 ? ? . 4 3 1

x ?1 y ?1 z 例3 求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 ? ? 垂直相交的 3 2 ?1
直线方程.
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 ?

3( x ? 2) ? 2( y ? 1) ? ( z ? 3) ? 0
再求已知直线与该平面的交点N,

x ?1 y ?1 z 令 ? ? ?t 3 2 ?1

? x ? 3t ? 1 ? ? ? y ? 2t ? 1. ?z ? ?t ?

3 代入平面方程得 t ? , 7

2 13 3 交点 N ( , ,? ) 7 7 7

取所求直线的方位向量为 MN

2 13 3 12 6 24 MN ? { ? 2, ? 1,? ? 3} ? {? , ,? }, 7 7 7 7 7 7
所求直线方程为
x ? 2 y ?1 z ? 3 ? ? . 2 ?1 4

三、两异面直线间的距离与公垂线的方程 1、两异面直线间的距离
设两异面直线L1,L2与其公垂线L0的交点为N1,N2, 则L1与L2之间的距离

d ?| N1 N 2 |?| Pr jL0 M 1M 2 |

L0 N1 N2

s1 M1

L1

?| Pr js1 ?s2 M 1M 2 |
| M 1M 2 ? ( s1 ? s2 ) | ? | s1 ? s2 |

s2 M2 L2

所以两异面直线L1,L2的距离为

x2 ? x1 y2 ? y1 z 2 ? z1 m1 d? m2 n1 p1 n2 p2
2

n1 n2 ? p1 m1 p2 m2
2

p1 p2 ? m1 n1 m2 n2
2

2、两直线的公垂线方程 公垂线可看为由过L1上的点M1,以v1,v1?v2为方位 向量的平面与过L2上的点M2,以v2,v1?v2为方位向量 的平面的交线,因此,公垂线的方程为:

其中{X,Y,Z}为v1?v2 的分量。

? x ? x1 y ? y1 z ? z1 ? Y1 Z1 ? 0 ? X1 ? Y Z ? X ? ? x ? x2 y ? y 2 z ? z 2 ? X Y2 Z2 ? 0 2 ? Y Z ? ? X

例1 求通过点P(1,1,1)且与两直线

x y z x ?1 y ? 2 z ? 3 l1 : ? ? l2 : ? ? 1 2 3 2 1 4 都相交的直线的方程。
解: 设所求直线的方向矢为v={X,Y,Z},则直线为 x ?1 y ?1 z ?1 ? ? X Y Z 因为L与L1,L2都相交,且L1过点M1(0,0,0),方向矢 为v1={1,2,3},L2过点M2(1,2,3),方向矢为v2={2,1,4} 故
1 1 1 0 ?1? 2 ( M 1 P, v1v) ? 1 2 3 ? 0 ( M 2 P, v2 v) ? 2 1 4 ? 0 X Y Z X Y Z

即 X-2Y+Z=0 X+2Y-Z=0 解得 X:Y:Z=0:1:2 故所求直线的方程为
x ?1 y ?1 z ?1 ? ? 0 1 2 例2 已知两直线

x y z ?1 x ?1 y ?1 z ?1 l1 : ? ? l2 : ? ? 1 ?1 0 1 1 0 试证明它们为异面直线,并求其距离和公垂线的方程。 解: 1 1 2
? ? ( M 1M 2 , v1 , v2 ) ? 1 ? 1 0 ? 4 ? 0 1 1 0

所以L1与L2为异面直线。 又v1?v2={0,0,2},所以

| M 1M 2 ? (v1 ? v2 ) | 4 d? ? ?2 | v1 ? v2 | 2
公垂线的方程为 ? x
? ?1 ? ?0 ? ?x ? ? ? ? y ?1 0 1 0 z ?1 0 2 1 0 0 2 ?0 ?0

? 1 y ? 1z ? 1



?x ? y ? 0 ? ?x ? y ? 0

作业:P131-132:2(2),3(3),8

第八节
一、平面束 1、有轴平面束:

平面束

空间通过同一条直线的所有平面的集合称为有轴 平面束,该直线称为平面束的轴。

2、平行平面束 空间平行于同一平面的所有平面的集合称为平行 平面束。 定理3.8.1 如果两个平面
?1:A1x+B1y+C1z+D1=0 ?2:A2x+B2y+C2z+D2=0

交于一条直线L,则以直线L为轴的有轴平面束的 方程为 m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0 其中m,n是不全为零的任意实数。(证略)
定理3.8.2 如果两个平面 ?1:A1x+B1y+C1z+D1=0 ?2:A2x+B2y+C2z+D2=0 为平行平面,即A1:A2=B1:B2=C1:C2,则方程 m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0 表示平行平面束,平面束中的任一平面都与?1平行。 m,n不全为零,且m:n≠A1:A2=B1:B2=C1:C2.

推论:由平面?:Ax+By+Cz+D=0决定的平行平面束 的方程为 Ax+By+Cz+λ=0 其中λ为任意实数。 ?2 x ? y ? 2 z ? 1 ? 0 例1 求通过直线 ? ?x ? 2 y ? z ? 2 ? 0 且与平面 x+y+z-1=0 垂直的平面的方程。 解: 设所求平面的方程为 m(2x+y-2z+1)+n(x+2y-z-2)=0 即(2m+n)x+(m+2n)y+(-2m-n)z+(m-2n)=0 由两平面垂直的条件,得 即(2m+n)+(m+2n)+(-2m-n)=0

即 m+2n=0

因此

m:n=2:(-1)

所求平面的方程为 3x-3z+4=0 例2、求与平面3x+y-z+4=0平行且在Oz轴上截距为-2 的平面的方程。 解: 设所求平面的方程为 3x+y-z+λ=0 因为平面在Oz轴上的截距为-2,故平面过点(0,0,-2). 由此得 2+λ=0 λ=-2 故所求平面的方程为 3x+y-z-2=0

例题
例3
A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 ? A3 x ? B3 y ? C3 z ? D3 ? 0 试证两直线 l1 : ? 与 l : ? 2 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0
A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 C1 C2 C3 C4

? A4 x ? B4 y ? C4 z ? D4 ? 0

在同一平面上的充要条件是:

D1 D2 ?0 D3 D4

证明:通过 l1 的任意平面为

其中 ?1 ?2 是不全为零的任意实数;通过 l2的任意平面为

?1 ( A1x ? B1 y ? C1z ? D1 ) ? ?2 ( A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ) ? 0

?3 ( A3 x ? B3 y ? C3 z ? D3 ) ? ?4 ( A4 x ? B4 y ? C4 z ? D4 ) ? 0 l2 其中 ?3 ?4 是不全为零的任意实数;直线 l1 ,在同一平 ?4 ?3 , ?2 , 面上的充要条件时存在不全为零的实数 ?1 ,

?1 ( A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ) ? ?2 ( A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ) ? m [?3 ( A3 x ? B3 y ? C3 z ? D3 ) ? ?4 ( A4 x ? B4 y ? C4 z ? D4 )]
?

整理得:

方程组有非零解,系数行列式
A1 B1 A2 B2 ?mA3 ?mB3 ?mA4 ?mB4 ?m
2

? ?1 A1 ? ?2 A2 ? m ? ? B ?? B ?m ? 1 1 2 2 ? ? ?1C1 ? ?2C2 ? m ? ??1 D1 ? ?2 D2 ? m

?3 A3 ? m?4 A4 ? 0 ?3 B3 ? m?4 B4 ? 0 ?3C3 ? m?4C4 ? 0 ?3 D3 ? m?4 D4 ? 0
A1 B1 A2 B2 A3 B3 A4 B4 ?0

C1 C2

?mC3 ?mC4

C1 C2

C3 C4

D1 D2 ?mD3 ?mD4

D1 D2 D3 D4

例4

直线方程

? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 l1 : ? ? A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0

的系数应满足什么条件才能使该直线在坐标平面 xOz 内.

例5

求直线 l : ?

?3x ? 2 y ? z ? 7 ? 0 在平面 ? 0 : 2x ? y ? z ? 1 ? 0 ? x ? y ? 4z ? 3 ? 0

上的射影.

作业:P137-138:3,6


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