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黑龙江大庆实验中学2010--2011学年度上学期高二期末试题(数学理)


大庆实验中学 2010—2011 学年度上学期期末考试

高二年级数学试题(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的 “p A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ( )

r />
2.已知 f ( x ) 为偶函数且?6 f ( x ) d x ? 8 ,则?6 f ( x ) dx 等于

?0

?-6

(

)

A.0

B.4

C.8
2

D.16 ( )

2 2 3.观察下列式子: 1 ? 1 <2, 2 ? 2 <3, 3 ? 3 <4,….归纳出的结论是

?A . n ? n ? n ?1
2

B. n ? n ? n ? 1 ?
2

?C . n ? n ? n ?1
2
2

D.以上都不对? ( )

4.命题 p : “对任意一个实数 x ,均有 x ? 0 ” ,则 ? p 为 A.存在 x ? R ,使得 x ? 0
2
2 C.存在 x ? R ,使得 x ? 0

B.对任意 x ? R ,均有 x 2 ? 0
2 D.对任意 x ? R ,均有 x ? 0

5. 直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆左焦点 F1 和一个顶点 B, 则该椭圆的离 率为 ( ) 1 2 5 2 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 6. 已知 m , n 是两条不同的直线,? , ? 是两个不同的平面, 有下列命题: ①若 m ? ? , n // ? ,则 m // n ; ③若 m ? ? , m ? n , 则 n // ? ; 其中真命题的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( D.原命题 ) ②若 m // ? , m // ? , 则 ? // ? ; ④若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ; ( )



7.若命题 p 的否命题为 r ,命题 r 的逆命题为 s ,则 s 是 p 的逆命题 t 的 A.逆否命题 8.若函数 f ( x ) ? 取值范围是
1 3
3

B.否命题
2

C.逆命题
/

x ? ( a ? 1) x ? 2 x ? 4 的导函数 f ( x ) 在区间(-∞,4) 上是减函数,则实数 a 的





A. ( ? ? , ? 3)
x a
2 2

B. ( ? ? , ? 3]
y b
2 2

C. ( ? 3, ? ? )

D. [ ? 3, ? ? )

9.已知双曲线

?

? 1 的一个焦点与抛物线 y

2

? 4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 5 ,则

该双曲线的方程为 A. 5 x ?
2


2

) D.
x
2

4 5

y

?1

B. 5 x ?
2

5 4

y

2

?1

C.

y

2

?

x

2

?1

?

y

2

?1

5

4

5

4

10.设函数 f ( x ) ? ax A. ? 1
2

2

? b ( a ? 0 ), 若 ? f ( x ) dx ? 3 f ( x 0 ), 则 x 0 ?
0

3

( D.2



B. 2
p 2

C. ?

3

11.已知抛物线 x ? 2 p y ( p ? 0 ) ,过点 M (0 , ? 长度是 A. 2 p B. p

) 向抛物线引两条切线,A、B 为切点,则线段 AB 的

( C.
3p 4



D.

p 2

12、下列四个命题: ①动点 M 到两定点 A, B 的距离之比为常数 ? ( ? ②椭圆
x a
2 2

? 0 且 ? ? 1)
?c

,则动点 M 的轨迹是圆;

?
x a
2 2

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )
y b
2 2

的离心率为

2 2

,则 b ;



③双曲线

?

? 1 的焦点到渐近线的距离是 b

④已知抛物线 y 2

? 2 px

上两点 A ( x1, y1 ), B ( x 2, y 2 ) ,且 O A ? O B ( O 是坐标原点) ,则 y1 y 2 的值是 ? p 2 .

以上命题正确的是( ) A.②③④ B.①④

C.①③

D.①②③

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡上. 13.?a (2 x ? 1) dx ? ? 8 ,则 a=________.

?-a

14. 已 知 数 列

1

1? 2 2 ? 3 3 ? 4

,

1

,

1

,...,

1 n ( n ? 1)

,…, 计 算 得 S 1 ?

1 2

, S2 ?

2 3

, S3 ?

3 4

,…. 由 此 可 猜 测

Sn =

.?
3

15.直线 y ? a 与函数 f ( x ) ? x ? 3 x 的图象有相异的三个公共点,则 a 的取值范围是______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共计 70 分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ?
1 4 x
2

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (2)求函数 f ( x ) 在[0,2]上的最大值和最小值.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, F 分别为棱 AB E、 和 BC 的中点,EF 交 BD 于 H。 (1)求二面角 B1—EF—B 的正切值; (2)试在棱 B1B 上找一点 M,使 D1M⊥平面 EFB1,并证明你的结论.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) , A , B 分别为顶点,F 为焦点,过 F 作 x 轴

的垂线交椭圆于点 C,且直线 AB 与直线 OC 平行. (1)求椭圆的离心率; (2)已知定点 M( 3 , 0 ) P 为椭圆上的动点,若 ,
? O M P 的重心轨迹经过点 (1,1) ,求椭圆的方程.

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? ln x ? 2 ax . (1)若函数 y ? f ( x ) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线为直线 l,且直线 l 与圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相切,求
2 2

a 的值; (2)当 a ? 0 时,求函数 f(x)的单调区间.

22. (本小题满分 12 分) 已知 y ? 2 px ( p ? 0) ,过点 ( 2, 0 ) 作直线与抛物线交于两点,若两点纵坐标之积为 ? 8 .
2

(1)求抛物线方程; (2)斜率为 1 的直线不经过点 P ( 2, 2 ) 且与抛物线交于 A , B (Ⅰ)求直线 l 在 y 轴上截距 b 的取值范围; (Ⅱ)若 A P , B P 分别与抛物线交于另一点 C , D ,证明: A D , B C 交于一定点 M .

参考答案: ADCCD ABBBC 13.4 14.
n n ?1

AD 15.(-2,2) 16. 0 个或 4 个或无数个

17.解:(1)∵AB∥平面 MNPQ. 平面 ABC∩平面 MNPQ=MN. 且 AB ? 平面 ABC. ∴由线面平行的性质定理知,AB∥MN. 同理可得 PQ∥AB. ∴由平行公理可知 MN∥PQ. 同理可得 MQ∥NP. ∴截面四边形 MNPQ 为平行四边形. (2)∵由(1)可知 MN∥AB.∴ ∵MN=λAB=λa,MC=λAC. 又∵MG∥CD,∴
AM AC ? MQ CD MN AB ? MC AC ? ? .

????3 分

????5 分

????7 分 .

∴MQ=

AC ? MC AC

? CD ?

AC ? ? AC AC

· CD=(1-λ)a,

????9 分

∴MN+MQ=λa+(1-λ)a=a. ∴平行四边形 MNPQ 的周长 2(MN+MQ)=2a 定值. 18. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x ) ?
'

????10 分

? ( x ? 1)( x ? 2 ) 2 ( x ? 1)

????3 分

所以,x ? ( ? 1,1) 时递增, (1, ?? ) 递减。 (2)x ? ( ? 1,1) 时递增, (1, 2 ) 递减
f ( 0 ) ? 0 , f (1) ? ln 2 ?

????6 分

1 4

, f ( 2 ) ? ln 3 ? 1 , 1 4 , f(x)最小值= f ( 0 ) ? 0 。

????9 分 ????12 分

所以,f(x)最大值= f (1) ? ln 2 ?

19.解: (1)连 AC、B1H,则 EF//AC, ∵AC⊥BD,所以 BD⊥EF。 ∵B1B⊥平面 ABCD,所以 B1H⊥EF, ∴∠B1HB 为二面角 B1—EF—B 的平面角。 在 R t ? B1 B H 中 , B1 B ? a , B H ?
2 4 a.

????2 分

? tan ? B1 H B ?

B1 B BH

? 2 2

故二面角 B1—EF—B 的正切值为 2 2

????4 分

(2)在棱 B1B 上取中点 M,连 D1M、C1M。 ∵EF⊥平面 B1BDD1, 所以 EF⊥D1M。 ????6 分 在正方形 BB1C1C 中,因为 M、F 分别为 BB1、BC 的中点, ∴B1F⊥C1M 又因为 D1C1⊥平面 BCC1B1,所以 B1F⊥D1C1, 所以 B1F⊥D1M, ∴D1M⊥平面 EFB1 ????8 分 (3)设 D1M 与平面 EFB1 交于点 N,则 D1N 为点 D1 到平面 EFB1 的距离。 在 Rt△MB1D1 中, D1 B1 ? D1 N ? D 1 M
2

????10 分

? D 1 B1 ? 所 以 D1 N ?

2 a , D1 M ? D 1 B1 D1 M
2

3 2 a,

a,

?

4 3

故点 D1 到平面 EFB1 的距离为

4 3

a.

????12 分

解二: (1)在正方体中,以 DA、DC、DD1 分别为 x、y、 z 轴建立空间直角坐标系 则
A ( a , 0, 0 ), B ( a , a , 0 ), C (0, a , 0 ), E ( a , a 2 ???? ???? a a ? E B1 ? (0, , a ), F B1 ? ( , 0, a ) 2 2 , 0 ), F ( a 2 , a , 0 ), B1 ( a , a , a ),

??????2 分

设平面 EFB1 的一个法向量为 n ? ( x , y , z )
???? ???? ???? 由 n ? E B1 , n ? F B1 ? n ? E B 1 ? 0, ???? a a n ? F B1 ? 0 ? y ? a z ? 0, x ? a z ? 0 2 2 令 z ? 1 ? x ? ? 2, y ? ? 2 ? n ? ( ? 2, ? 2,1) 而 平 面 A B C D 的 一 个 法 向 量 为 m ? (0, 0 1) ? co s ? m , n ? ? m ?n |m |?| n | ?
2

1 (?2) ? (?2) ? 1
2

?

1 3

? tan ? m , n ? ? 2 2

故二面角 B1—EF—B 的正切值为 2 2 (2)设 M ( a , a , z ), 则 M D 1 ? ( ? a , ? a , a ? z )
????? ???? ????? ???? ????? ???? D 1 M ? 平 面 E F B1 ? M D 1 ? E B 1 , M D 1 ? F B 1 ? M D 1 ? E B 1 ? 0, ????? ???? 1 2 a M D 1 ? F B1 ? 0 ? ? a ? a ( z ? a ) ? 0 ? z ? 2 2

????6 分

?????

? 存 在 M (a, a,

a 2

), 使 D 1 M ? 平 面 E F B 1
b a

????12 分
y b
2 2

20.解: (1)直线 A B 的斜率 k A B ?
2 2

,将 x ? c 代入椭圆方程得

? 1?

c a

2 2

?

b a

2 2

,???2 分

得点 C ( c ,

b

a

) ,于是 k O C ?

b

,由

b a

?

b

2

得b ? c

???4 分

ac
c

ac
2

? 椭圆的离心率为

c a

?

c ?b
2

?
2

???6 分

2

(2)设椭圆方程为

x

2 2

?

y b

2 2

?1,

2b

设动点 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) , ? O M P 重心 G 的坐标为 ( x , y ) , 则有 x ?
x0 ? 3 3 ,y ? y0 3

,于是有 x 0 ? 3 x ? 3, y 0 ? 3 y ,

???8 分

代入椭圆方程并整理得
9 ( x ? 1) ? 1 8 y ? 2 b ? 0 ,
2 2 2

???10 分

因轨迹经过点 (1,1) ,得 b ? 9 ,
2

? 椭圆方程为

x

2

?

y

2

?1

???12 分

18

9

1 21.解:(1)依题意有,f′(x)= -2a.

x

因此过(1,f(1))点的直线的斜率为 1-2a,又 f(1)=-2a, 所以,过(1,f(1))点的直线方程为 y+2a=(1-2a)(x-1). 即(2a-1)x+y+1=0 又已知圆的圆心为(-1,0),半径为 1, |1-2a+1| 依题意, =1, 2 (2a-1) +1 1 解得 a= . 2 (2)依题知 f(x)=lnx-2ax 的定义域为(0,+∞), 1 又知 f′(x)= -2a

x

1 因为 a>0,x>0,令 -2a>0,则 1-2ax>0

x

1 所以在 x∈(0, )时,f(x)=lnx-2ax 是增函数; 2a 1 在 x∈( ,+∞)时,f(x)=lnx-2ax 是减函数. 2a 22.解: (1)设两交点坐标分别为 (
y1
2

2p
y1 y1
2

, y1 ) , (

y2

2

2p

, y 2 ) ,因直线经过点 ( 2, 0 ) ,故有

?

y2 y2
2

,即

y1 y 2 2p

2

? 2 y1 ?

y 2 y1 2p

2

? 2 y 2 ,化简得

?2

?2

2p

2p

y1 y 2 2p

( y 2 ? y 1 ) ? 2 ( y 1 ? y 2 ) ,易知 y 1 ? y 2

? y1 y 2 ? ? 4 p ,? p ? 2

???4 分

即抛物线方程为 y ? 4 x
2

(2)(Ⅰ)将直线方程 y ? x ? b 代入 y ? 4 x 得
2

y ? 4 y ? 4 b ? 0 ,由 ? ? 16 ? 16 b ? 0 得 b ? 1 ,
2

又斜率为 1 经过点 P ( 2, 2 ) 的直线截距为 0 , 于是直线 l 在 y 轴上截距 b 的取值范围是 ( ? ? , 0 ) ? (0,1)
y1 4
2

???8 分
y4 4
2

(Ⅱ)设 A , B , C , D 的坐标分别为 ( 则直线 A B 的斜率 k A B ?
y1 ? y 2 y1 4
2

, y 1 ), (
4

y2 4

2

, y 2 ), (

y3 4

2

, y 3 ), (

, y4 ) ,

?

y2 4

2

?

y1 ? y 2

? 1 ,? y1 ? y 2 ? 4

同理知直线 A C , B D , A D , B C 的斜率分别为 于是由 A , P , C 三点共线得
4 y1 ? y 3 ? y1 ? 2 y1 4
2

4 y1 ? y 3

,

4 y2 ? y4

,

4 y1 ? y 4

,

4 y2 ? y3



?2

化简得 y1 y 3 ? 2 ( y1 ? y 3 ) ? 8 ? 0 以 4 ? y 2 替换 y 1 得 y 2 y 3 ? 2 ( y 2 ? y 3 ) ? 0 同理由 B , P , D 三点共线得 y1 y 4 ? 2 ( y1 ? y 4 ) ? 0 再由 A , D , M 及 B , C , M 共线分别得到
y1 y 4 ? n ( y1 ? y 4 ) ? 4 m ? 0 y2 y3 ? n ( y 2 ? y3 ) ? 4 m ? 0

① ②

③ ④

将①②式分别代入③④式得
(2 ? n )( y1 ? y 4 ) ? 4 m ? 0 (2 ? n )( y 2 ? y 3 ) ? 4 m ? 0

易知 m ? 0, n ? 2 ,即 A D 与 B C 交于点 (0, 2 ) .


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