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全国2015届高三最后一次模拟数学(理)试卷


2015 年高考理科数学最后一模(全国新课标 II 卷)
说明: 一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选 考两部分. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改 动,用橡皮将答案擦干净后,再涂其他答案. 四、考试结束后,将本试

卷与原答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求. (1)已知集合 A={x|x -5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则集合 A∩B= (A){x|2≤x≤3} (C){x|2<x≤3} 1-i 1+i ( 2) 2+ 2= (1+i) (1-i) (A)-1 (B)1 (C)-i (D)i (B){x|2≤x<3} (D){x|-1<x<3}
2

(3)若向量 a、b 满足|a|=|b|=2,a 与 b 的夹角为 60?,a·(a+b)等于 (A)4 (B)6 (C)2+ 3 (D)4+2 3

(4)等比数列 {an } 的前 n项和为S n , 且4a1 ,2a2 , a3 成等差数列,若 a1=1,则 S4 为 (A)7 (B)8 (C)16
1 正视图 侧视图

(D)15

(5)空间几何体的三视图如图所示,则该几何体 的表面积为 (A)8+2 5 (C)8+2 3 (B)6+2 5 (D)6+2 3

2

2 俯视图

1

(6)(x -

2

1

6

x

) 的展开式中的常数项为 (B)-15 (C)20 (D)-20
开始

(A)15

(7)执行右边的程序框图,则输出的 S 是 (A)5040 (B)4850
2

(C)2450

(D)2550

i=0,S=0 S=S+i i=i+2 i≥100? 是 输出 S 结束

?x +4x+3,x≤0, (8)已知函数 f (x)=? 则方程 f (x)+1=0 x>0, ?3-x, 的实根个数为

(A)3

(B)2

(C)1

(D)0


x2 y2 (9)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)一个焦点到一条渐近线 a b
1 的距离等于焦距的 ,则双曲线的离心率为 4 (A) 5 2 2 3 (B) 3 (C) 5 (D) 3 2

(10)偶函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+2)为奇函数,且 f(1)=1,则 f(89)+f(90) 为 (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1

(11)某方便面厂为了促销,制作了 3 种不同的精美卡片,每袋方便面随机装入一张卡片, 集齐 3 种卡片可获奖,现购买该方便面 5 袋,能获奖的概率为 (A)

31 81

(B)

33 81

(C)

48 81

(D)

50 81

(12)给出下列命题: 1 log 0.5 3 ? 2 3 ? ( ) 0.2 ; ○ 3 函数 f ( x) = ln ○
1

1 3

2 函数 f ( x) ? log4 x ? 2sin x 有 5 个零点; ○

5 x?4 x ? 的图像以 (5, ) 为对称中心; 12 x ? 6 12

4 已知 a、b、m、n、x、y 均为正数,且 a≠b,若 a、m、b、x 成等差数列,a、n、b、 ○

y 成等比数列,则有 m> n,x<y.
其中正确命题的个数是

2

(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. (13)由直线 x=1,y=1-x 及曲线 y=e 围成的封闭图形的面积为_________. (14)数列{an}的通项公式 an=nsin
x


2

+1,前 n 项和为 Sn,则 S2 015=__________.

?x-y+5≥0, ? (15)已知 x、y 满足?x+y≥0, 若使得 z=ax+y 取最大值的点(x,y)有无数个,则 a ? ?x≤3,
的值等于___________. (16)已知圆 O: x +y =8,点 A(2,0) ,动点 M 在圆上,则∠OMA 的最大值为__________. 三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题为 选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知 f(x)=sin(2x-
2 2

5? 2 )+2cos x. 6

(Ⅰ)写出 f(x)的对称中心的坐标和单增区间; (Ⅱ)△ABC 三个内角 A、B、C 所对的边为 a、b、c,若 f(A)=0,b+c=2.求 a 的 最小值.

(18) (本小题满分 12 分) 某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究,对于高二年 级 800 名学生上学期期末数学和物理成绩,按优秀和不优秀分类得结果:数学和物理都 优秀的有 60 人,数学成绩优秀但物理不优秀的有 140 人,物理成绩优秀但数学不优秀的 有 100 人. (Ⅰ)能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关 系? (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,从全体高二年级学生成绩中,有放回地随机 抽取 3 名学生的成绩,记抽取的 3 个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数 为 X,求 X 的分布列和期望 E (X). 附:

n(ad-bc)2 P(K2≥k0) 0.010 0.005 K= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
2

0.001

3

k0

6.635

7.879

10.828

(19) (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC -A1B1C1 中,已知 AB⊥侧面 BB1C1C,BC= 2 ,AB=BB1=2,∠BCC1 ? B1 = ,点 E 在棱 BB1 上. A1 4 (Ⅰ)求证:C1B⊥平面 ABC; (Ⅱ)若 BE=λ BB1,试确定 λ 的值,使得二面 5 角 A-C1E -C 的余弦值为 . 5 (20) (本小题满分 12 分)
C C1 E

B

A

设抛物线 y =4mx(m >0)的准线与 x 轴交于 F1, 焦点为 F2;以 F1 、F2 为焦点,离心率 e= 1 2 2 6 的椭圆与抛物线的一个交点为 E( , ); 2 3 3

2

自 F1 引直线交抛物线于 P、 Q 两个不同的点, 点 P 关于 x 轴的对称点记为 M, 设 F1P ? (Ⅰ)求抛物线的方程和椭圆的方程; (Ⅱ)若 ? ? [ ,1) ,求|PQ|的取值范围.

??? ?

? F1Q .

??? ?

1 2

(21) (本小题满分 12 分) 已知 f (x)=e (x-a-1)-
x

x2
2

+ax.

(Ⅰ)讨论 f (x)的单调性; (Ⅱ)若 x≥0 时,f (x)+4a≥0,求正整数 a 的值. 2 3 参考值:e ≈7.389,e ≈20.086 请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,∠C=90?,BC=8,AB=10,O 为 BC 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径作半圆与 BC 边、AB
4 F A

E

C

D

O

B

边分别交于点 D、E,连结 DE. (Ⅰ)若 BD=6,求线段 DE 的长; (Ⅱ)过点 E 作半圆 O 的切线,切线与 AC 相交于点 F,证明:AF=EF. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ?x=-3+ 3t ? x2 y2 已知椭圆 C: + =1,直线 l:? (t 为参数) . 4 3 ?y=2 3+t ? (Ⅰ)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程; (Ⅱ)设 A(1,0),若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其到直线 l 的距离相等, 求点 P 的坐标. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x)=|x-1|. (Ⅰ)解不等式 f (x)+f (x+4)≥8; (Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求证:f (ab)>|a|f (

b ). a

5

理科数学参考答案

一、选择题: CABDA ACBBD DC 二、填空题: 3 (13) e- ; (14)1007; 2 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)化简得:f(x)=cos(2x+ 对称中心为:(

(15)-1;

(16)

? . 4

? )+1 3

????????3 分

,1) 12 (k ?z ) 2? ? , k ? ? ] (k ?z ) 单增区间为:[k ? ? 3 6 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:

k?

?

?

?????????6 分

f(A ) ? cos(2A ?

?
3

)? 1 ? 0

cos(2A ?

?
3

)? ?1

?0 ? A ? ?, ?
? 2A ?

?
3

? 2A ?

?
3
3

?

7? . 3
?????????9 分

?
3

? ?
2

于是: A ?

?

根据余弦定理: a

? b 2 ? c 2 ? 2bc cos

?
3

( = 4 ? 3bc ? 4 ? 3

b ?c
2

)2 ? 1

当且仅当 b ? c ? 1 时,a 取最小值 1. (18) (Ⅰ)由题意可得列联表: 物理优秀 数学优秀 60 数学不优秀 100 总计 200
2

?????????12 分

物理不优秀 140 500 600

总计 160 640 800

800(60×500-140×100) 因为 k= =16.667>10.828. 160×640×200×600

????????6 分

6

所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关. (Ⅱ)每次抽取 1 名学生成绩,其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率 0.375.将 频率视为概率,即每次抽取 1 名学生成绩,其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率 3 3 为 .由题意可知 X?B(3, ),从而 X 的分布列为 8 8 X 0 1 2 3 125 225 135 27 p 512 512 512 512 9 E (X)=np= . ?????????12 分 8 (19)解: (Ⅰ)因为 BC= 2 ,CC1=BB1=2,∠BCC1= ? , 4 ????????2 分

在△BCC1 中,由余弦定理,可求得 C1B= 2 , 2 2 2 所以 C1B +BC =CC1,C1B⊥BC. 又 AB⊥侧面 BCC1B1,故 AB⊥BC1, 又 CB∩AB=B,所以 C1B⊥平面 ABC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC,BA,BC1 两两垂直, 以 B 为空间坐标系的原点, 建立如图所示的坐标系, 则 B (0,0,0),A (0,2,0),C ( 2 ,0,0), → C A = (0 , 2 ,- 2 ) , → C E =→ C B +λ → BB = → C B+
1 1 1 1 1

???????5 分
B1 z C1 E A1

λ → CC1 =(- 2 λ ,0, 2 λ - 2 ), 设平面 AC1E 的一个法向量为 m=(x,y,z),则有 ?m·→ ?2y- 2 z=0, C1A =0, ? 即? ? → ? 2 λ x+( 2 - 2 λ )z=0, ?m· C1E =0, ?

B C

A

y

x 2 (λ -1) 令 z= 2 ,取 m=( ,1, 2 ),???9 λ 分 又平面 C1EC 的一个法向量为 n=(0,1,0), 1 m·n 5 1 ___________ 所以 cos ?m,n?= = __________ = ,解得 λ = . |m||n| 2(λ -1)2 5 2 +3 2 ? λ

所以当 λ = 分 (20)解:

1 5 时,二面角 A-C1E-C 的余弦值为 . 2 5

?????????12

7

(Ⅰ)由题设,得:

4 24 ? ? 1 2 9a 9b 2
a2-b2 1 = a 2

① ②

由①、②解得 a =4,b =3, 椭圆的方程为

2

2

x2
4

?

y2
3
2

? 1
??????????4 分

易得抛物线的方程是:y =4x. (Ⅱ)记 P (x1,y1)、Q (x2,y2) 、M (x1,-y1) , 由 F1P ?

??? ?

? F1Q 得:y1=λ y2

??? ?

3 ○ * ○ 4 ○ 5 ○ ??????????7 分 ??????????8 分

设直线 PQ 的方程为 y=k(x+1),与抛物线的方程联立,得:

ky 2 ? 4y ? 4k ? 0
y1 y2=4 y1+y2=

4

k
4? (? ? 1)2

3○ 4○ 5 消去 y1,y2 得: k 2 ? 由○

| PQ |?

1?

1

k2

| y 2 ? y1 |

* 得:| 由方程○

PQ |? (1 ?
2

1

k
4

) 2

16 ? 16k 2 |k |

化简为:| PQ | ?

16 ? 16k

k4
? 16 ?

,代入 λ :

| PQ |2 ?

(? ? 1)4

(? 2 ? 2? ? 1)2

?2
1

?2

? 16

? (? ?
1 2

?

? 2)2 ? 16
5 ? ( 2, ] ? 2 1
??????????11 分

∵ ? ? [ ,1) ,∴ ? ?

| PQ | ? 于是: 0 ?
2

17 4

那么:|

PQ | ? (0,

17 ] 2

??????????12 分

8

(21)解: x x (Ⅰ)f ?(x)=e (x-a)-x+a=(x-a)(e -1), 由 a>0,得: x∈(-∞,0)时,f ?(x)>0,f (x)单增; x∈(0,a)时,f ?(x)<0,f (x)单减; x∈(a,+∞)时,f ?(x)>0,f (x)单增. 所以,f (x)的增区间为(-∞,0),(a,+∞);减区间为(0,a). 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,x≥0 时,fmin(x)=f (a)=-e + , 2 所以 f (x)+4a≥0,得 e - -4a≤0. 2 分
a a a

????5

a2

a2

????7

令 g (a)=e - -4a,则 g?(a)=e -a-4; 2 a a 令 h(a)=e -a-4,则 h?(a)=e -1>0,所以 h(a)在(0,+∞)上是增函数, 2 又 h(1)=e-5<0,h(2)=e -6>0,所以? a0∈(1 ,2) 使得 h(a0)=0, 即 a∈(0,a0)时,h(a)<0,g?(a)<0;a∈(a0,+∞)时,h(a)>0,g?(a)>0, 所以 g (a)在(0,a0)上递减,在(a0,+∞)递增.
a

a2

又因为 g (1)=e- 所以:a=1 或 2.

1 9 2 3 -4<0,g (2)=e -10<0,g (3)=e - -12>0, 2 2 ????12 分

(22)解: (Ⅰ)∵BD 是直径,∴∠DEB=90?, BE BC 4 24 ∴ = = ,∵BD=6,∴BE= , BD AB 5 5 18 2 2 在 Rt△BDE 中,DE= BD -BE = . 5
A

????5 分

E F

C

D

O

B

(Ⅱ)连结 OE,∵EF 为切线,∴∠OEF=90?, ∴∠AEF+∠OEB=90?, 又∵∠C=90?,∴∠A+∠B=90?,又∵OE=OB,∴∠OEB=∠B, ∴∠AEF=∠A,∴AE=EF. ????10 分

9

(23)解: (Ⅰ)C:? 分 (Ⅱ)设 P(2cos θ , 3sin θ ), 则|AP|= (2cos θ -1) +( 3sin θ ) =2-cos θ , |2cos θ -3sin θ +9| 2cos θ -3sin θ +9 P 到直线 l 的距离 d= = . 2 2 由|AP|=d 得 3sin θ -4cos θ =5, 又 sin θ +cos θ =1, 得 sin θ = =- 4 . 5 故 P(- 8 3 3 , ). 5 5 ?????10 分
2 2 2 2

?x=2cos θ , ?y= 3sin θ

(θ 为参数) ,l:x- 3y+9=0.

?????4

3 , cos θ 5

(24)解:

? ?-2x-2,x≤-3, -3≤x≤1, (Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ?2x+2, x≥1. ? 当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. ????4 分 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}. ????5 分
(Ⅱ)f (ab)>|a|f (

b )即|ab-1|>|a-b|. a

????6 分 因为|a|<1,|b|<1, 2 2 2 2 2 2 2 2 所以|ab-1| -|a-b| =(a b -2ab+1)-(a -2ab+b )=(a -1)(b -1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|. 故所证不等式成立. ????10 分

10


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