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2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及详细解答(湖北卷)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. i 为虚数单位,则 ( A.

1? i 2 ) ?( 1? i

) C. ? i D. i

?1

B. 1

3. 设 U 为全集, A, B 是集合,则“存在集合 C 使得 A ? C, B ? CU C 是“ A ? B ? ? ”的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



4.根据如下样本数据

x

3 4.0

4 2.5 )

5
? 0 .5

6 0.5

7
? 2 .0

8
? 3 .0

y

? ? bx ? a ,则( 得到的回归方程为 y
A. a ? 0, b ? 0 B. a ? 0, b ? 0

C. a ? 0, b ? 0

D. a ? 0.b ? 0

5.在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2) , (2,2,0) , (1,2, 1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

A.①和②

B.③和①

C. ④和③

D.④和②

?x ? 0 ?x ? y ? 1 ? 7.由不等式 ? y ? 0 确定的平面区域记为 ?1 , 不等式 ? , 确定的平面区域记为 ? 2 , ? x ? y ? ?2 ?y ? x ? 2 ? 0 ?
在 ?1 中随机取一点,则该点恰好在 ? 2 内的概率为( )

8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数 学典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h , 计算其体积 V 的近似公式 v ? 圆锥体积公式中的圆周率 ? 近似取为 3.那么近似公式 v ? 似取为( A. ) B.

1 2 L h. 它实际上是将 36

2 2 L h 相当于将圆锥体积公式中的 ? 近 75
355 113

22 7

25 8

C.

157 50

D.

10.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 若 ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围为( )

1 (| x ? a 2 | ? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ) , 2

二.填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答 案天灾答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
(一)必考题(11—14 题) 11.设向量 a ? (3,3) , b ? (1, ?1) ,若 a ? ? b ? a ? ? b ,则实数 ? ? ________.

?

? ?

?

13.设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成 a 的 3 个数字按从小到大排成的 三 位 数 记 为 I ? a ? , 按 从 大 到 小 排 成 的 三 位 数 记 为 D ? a ? ( 例 如 a ? 815 , 则 I ? a ? ? 158 ,

D ? a ? ? 851 ) . 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个 a ,输出的结果
b ? ________.

14. 设 f ?x ? 是 定 义 在 ?0,??? 上 的 函 数 , 且 f ?x ? ? 0 , 对 任 意 a ? 0, b ? 0 , 若 经 过 点

?a, f ?a??, ?b, f ?b?? 的直线与 x 轴的交点为 ?c,0? ,则称 c 为 a, b 关于函数 f ?x ? 的平均数,记为
M f (a, b) ,例如,当 f ?x? ? 1( x ? 0) 时,可得 M f (a, b) ? c ?
平均数. (1)当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的几何平均数; (2)当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

a?b ,即 M f (a, b) 为 a , b 的算术 2

2 ab ; a?b

(二)选考题 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图, P 为⊙ O 的两条切线,切点分别为 A, B ,过 PA 的中点 Q 作割线交⊙ O 于 C , D 两点,若

QC ? 1, CD ? 3, 则 PB ? _____.

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程)

?x ? t ? 已知曲线 C1 的参数方程是 ? 3t ?t为参数? ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 ?y ? 3 ?
坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 ,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为_______.


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