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湖北省黄冈中学等八校2012届高三3月第二次联考试题(数学文)word版


湖北省

鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、 荆州中学、襄 阳 四中、襄阳五中、孝感高中

八校

2012 届高三第二次联考 数学试题(文科)
考试时间:2012 年 3 月 29 日下午 3:00—5:00
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。全卷满分150分,考试

时间120分钟。

★ 祝考试顺利 ★
注意事项: 1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效。 3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无 效。

第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

1.已知全集 U=R, 集合 A ? x y ? ( ) A. x x ? 0 2.已知复数 A.1
x

?

2 x ? x 2 , 集合 B ? y y ? 2 x , x ? R , (CR A) ? B ? 则

?

?

?

?

?

B. x 0 ? x ? 1

?

?

C.

? x 1<x ? 2?
D.-2

D . x x?2

?

?

3?i ? a ? bi, (a, b ? R) (i 为虚数单位) ,则 a-b=( ) 1? i
B.2 C.-1

?| log 4 ? 1| ?2,| x |? 1 ? 3.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,则 f ( f (27)) =( ) ,| x |? 1 1 ? ?1 ? x 3 1 A.0 B. C.4 D.-4 4
4.已知 {an } 是等比数列, a2 =4, a5 =32,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =( ) A. 8(2 ? 1)
n

B. (4 ? 1)
n

8 3

C.

16 n (2 ? 1) 3

D.

2 n (4 ? 1) 3

5.已知三条不重合的直线 m,n,l,两个不重合的平面α ,β 有下列命题: ①若 m∥n,n ? α ,则 m∥α ②若 l⊥α ,m⊥β ,且 l∥m,则α ∥ β ③若 m ? α ,n ? α ,m∥β ,n∥β ,则α ∥β ④若α ⊥β ,α ? β =m, n ? β ,n

第1页

⊥m,则 n⊥α ; 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2
2 2

C.3

D.4

6.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 离心率为 2,则椭圆离心率为( ) A.

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点与顶点,若双曲线的 2 a b
C.

1 3

B.

1 2

3 3

D.

2 2

7.下列 4 个命题:①命题“若 am2 ? bm2 (a, b, m ? R) ,则 a<b”

1 a ? 1 ”的充要条件 ”是“对任意的正数 x , 2 x ? 8 x 2 2 ③命题“ ?x ? R , x ? x ? 0 ”的否定是: ?x ? R, x ? x ? 0 ” “ ④已知 p,q 为简单命题,则“ p ? q 为假命题”是“ p ? q 为假命题”的充分不必要条
②“ a ? 件;其中正确的命题个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

8. 如下左图是二次函数 f ( x) ? x2 ? bx ? a 的部分图象,则函数 g ( x) ? 2ln x ? f ( x) 在点 (b,g(b))处切线的斜率的最小值是( ) A.1 B. 3 C.2 D. 2 2

y 1

y

O

1

x

-1

O

2

3

4

x

9.已知函数 f(x)的定义域为[-1,4] ,部分对应值如下表,f(x)的导函数 y ? f ?( x) 的图象 如上右图所示。 x f(x) -1 1 0 2 2 0 3 2 4 0

当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 的零点的个数为( )

第2页

A.2

B.3

C.4

D.5

10.已知⊙ O : x2 ? y 2 ? 4 及点 A(1,3) ,BC 为 ? O 的任意一条直径,则 AB ? AC =( ) A.6 B.5 C.4 D.不确定

??? ???? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,请将答案填在答题卡对应题 9 号的位置上。 8 11.如图是湖北省教育厅实施“课内比教学,课外访万家”活动中,七位评委为某位 参加教学比 武的数学教师打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的 平均 数为__________;方差为__________ 12.有一个底面圆的半径为 1,高为 3 的圆柱,点 O1 , O2 分别为这个圆柱上底面和下底面的 圆心,在这个圆柱内随机取一 点 P,则点 P 到点 O1 , O2 的距离都大于 1 的概率为___ 13. 观 察 下 列 等 式 : __ 6 5 5 4 8 8 7

3 1 1 3 1 4 1 1 ? ? 1? 2 , ? ? ? 2 ? 1? , 1? 2 2 2 1? 2 2 2 ? 3 2 3 ? 22 3 1 4 1 5 1 1 ? ? ? 2? ? 3 ? 1? ,?,由以上等式推测到一个一般结论为: 1? 2 2 2 ? 3 2 3 ? 4 2 4 ? 23

__________________ 14.若函数 f(x)=sinω x+ 3 cosω x ( x ? R, ? ? 0) 满足 f(α )=-2,f(β )=0,且|α - β |的最小值为

? ,则函数 f(x)的单调增区间为_____________ 2
2 2

15.已知某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为__________ . 1 1 正视图 1 侧视图

?x ? 3y ? 3? 0 ? 16. 已 知 实 数 x,y 满 足 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 z=2|x|+y 的 取 值 范 围 是 ? y ? ?1 ?
_________

2
俯视图

2

第3页

17.若不等式 a ? |

x x2 ?1 1 |? 2|log2 | , x ? ( , 2) 上恒成立,则实数 a 的取值范围为_ x 2

_

三.解答题:本大题共 5 个小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. (本题满分 12 分)

? ?? ? 1 x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n + 2 2 2 2 ? 3 (1)若 x ? [0, ] ,f(x)= ,求 cos x 的值; 2 3 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a ,求 f(B)
已知向量 m ? (cos

??

的取值范围.

19. (本题满分 12 分) 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 3 项和 S3 =9,且 a1 , a2 , a5 成等比数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式和前 n 项和 Sn (2) Tn 为数列 { 设 最小值。

1 若 求实数 ? 的 } 的前 n 项和, Tn ? ?an?1 对一切 n ? N ? 恒成立, an an ?1

20. (本题满分 13 分) 2012 年春晚歌舞类节目成为春晚顶梁柱,尤其是不少创意组合都被网友称赞很有 新意。王力宏和李云迪的钢琴 PK,加上背景板的黑白键盘,更被网友称赞是行云流水 的感觉。某网站从 2012 年 1 月 23 号到 1 月 30 做了持续一周的在线调查,共有 n 人参 加调查,现将数据整理分组如题中表格所示。 序号 1 2 3 4 5 年龄分组 [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) 组中值 mi 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 频数(人数) x 800 y 1600 z 频率(f) s t 0.40 0.32 0.04

(1) 求 n 及表中 x,y,z,s,t 的值

第4页

(2) 为了对数据进行分析,采用了计算机辅助计算,分析其中一部分计算,见算法流程 图,求输出的 S 值,并说 明 S 的统计意义。 (3)从年龄在[20,30)岁人群中采用分层抽样法抽取 6 人参加元宵晚会活动,其中选取 2 人作为代表发言,求选 开始 取 2 名代表中恰有 1 人年龄在[25,30)岁的概率。

S=0

i=1 输入 mi , f i

s ? s ? mi fi


i=i+1

i ? 5?
是 输出 s

结束

21(本题满分 14 分) 如图,已知点 D(0,-2) ,过点 D 作抛物线 C1 : x2 ? 2 py( p ?[1, 4]) 的切线 l, 切点 A 在第二象限。 (1)求切点 A 的纵坐标; (2)若离心率为

x2 y 2 3 的椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 恰好经过 A 点,设切线 l 交椭圆的 a b 2

另一点为 B,若设切线 l, 直线 OA, 的斜率为 k, k1 , k2 ,①试用斜率 k 表示 k1 ? k2 ②当 k1 ? k2 取得最大值时 OB 求此时椭圆的方程。 y A

x2 ? 2 py

O D B
第5页

x

22. (本题满分 14 分) 已知函数 f(x)=

1 2 mx ? 2 x ? 1 ? ln( x ? 1)(m ? 1) ; 2

(1)求 y=f(x)在点 P(0,1)处的切线方程; (2)设 g(x)=f(x)+x-1 仅有一个零点,求实数 m 的值; (3)试探究函数 f(x)是否存在单调递减区间?若有,设其单调区间为[t,s],试求 s-t 的取值范围? 若没有,请说明理由。

第6页

湖北省八校
2012 届高三第二次联考 数学试题(文科)参考答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 B 6 B 7 B 8 D 9 C 10 A

二、填空题 11、92(2 分); 10.8(3 分) ; 12、

5 ; 9

13、

3 1 4 1 5 1 n?2 1 1 ? ? ? 2? ? 3 ??? ? n ? 1? (n ? N ? ) ; n 1? 2 2 2 ? 3 2 3 ? 4 2 n(n ? 1) 2 (n ? 1)2
5? ? , 2k? ? ](k ? Z ) ; 6 6
15、 ? 2 ? 3 ; 3 16、 [-1,11]; 17、

[2 14、 k? ?
a ?1

三、解答题

第7页

18、解: (1)依题意得 f ( x ) ? sin( x ? 由 x ? [0,

?
6

) ,????????????2 分

?
2

] 得: ? ?

6

? x?

?
6

?

? , sin( x ?
3

?
6

)?

3 ?0, 3

从而可得 cos( x ?

?
6

)?

6 ,????????????4 分 3

则 cos x ? cos[( x ?

?

? ? ? ? ? 2 3 ??6 分 ) ? ] ? cos cos( x ? ) ? sin sin( x ? ) ? ? 6 6 6 6 6 6 2 6
? 3 ,从而 0 ? B ? ,????????10 分 6 2

(2)由 2b cos A ? 2c ? 3a 得: cos B ? 故 f(B)=sin( B ?

?
6

) ? (? , 0]

1 2

????????????12 分

19、解: (1)设 an ? a1 ? (n ? 1)d , Sn ? na1 ? 由 S3 =9 得: a1 ? d ? 3 ①;??2 分

n(n ? 1) d, 2

a1 , a2 , a5 成等比数列得: a1 (a1 ? 4d ) ? (a1 ? d )2 ②;联立①②得 a1 ? 1, d ? 2 ;??4 分
故 an ? 2n ?1; Sn ? n2 (n ? N ? ) ????????????6 分 (2)∵

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ??????????8 分 an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ????????????10 分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 n n 1 由 Tn ? ?an?1 得: ? ? (2n ? 1) ? ? ? ? 2 1 2n ? 1 (2n ? 1) 4n ? ? 4 n 1 1 令 f ( n) ? ,可知 f(n)单调递增,即 ? ? ????????????12 分 1 9 4n ? ? 4 n 1600 20 、 解 : 1 ) 依 题 意 则 有 n= ( =5000,x=5000-(800+2000+1600+200)=400,y=5000 × 0.32 400 400 0.40=2000,z=5000×0.04=200,s= =0.08,t= =0.16????????4 分 5000 5000
∴ Tn ? (2) 依 题 意 则 有 S = 22.5 × 0.08+27.5 × 0.16+32.5 × 0.40+37.5 × 0.32+42.5 × 0.04=32.9; ????????????5 分 S 的统计意义即是指参加调查者的平均年龄。????????????6 分

第8页

(3)∵[20,25)年龄段与[25,30)年龄段人数的比值为

400 1 ? ,??????8 分 800 2

∴采用分层抽样法抽取 6 人中年龄在[20,25)岁的有 2 人, 年龄在[25,30)岁的有 4 人, 设在 [25,30)岁的 4 人分别为 a,b,c,d,在[20,25)岁中的 2 人为 m,n; 选取 2 人作为代表发言的所 有可能情况为(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d), (c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)共有 15 种,其中恰有 1 人在年龄[25,30)岁的代表有 (a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n)共 8 种,????????????12 分

8 ????????????13 分 15 ? x0 2 ? 2 py0 ? 21、解: (1)设切点 A ( x0 , y0 ) ,依题意则有 ? y0 ? 2 解得 y0 ? 2 ,即 A 点的纵坐标 ? y ? |x ? x0 ? x 0 ?
故概率 P ? 为 2??????????3 分 (2)依题意可设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,直线 AB 方程为: a 2 b2

y ? kx ? 2 ? ?

2 x ? 2; p

由e ?

x2 y2 3 得 2 ? 2 ? 1① 4b b 2

由(1)可得 A (?2 p , 2) ,将 A 代入①可得 b ?

p ? 4 ,故椭圆的方程可简化为

x2 y2 ? ? 1 ;????????????5 分 4 p ? 16 p ? 4
? ? y ? kx ? 2 ? ? x2 y2 ? ? ? 1 消去 Y 得: 联立直线 AB 与椭圆的方程: ? 4 p ? 16 p ? 4 ? ? 2 ?k ? ? p ? ?
16k ? ? xA ? xB ? 4k 2 ? 1 ? (4k 4 ? k 2 ) x2 ? 16k 3 x ? 16 ? 0 ? ? ,则 ? x x ? ?16 ? A B 4k 4 ? k 2 ?

第9页

k1 ? k2 ? ?

y1 y2 ? x1 x2

kx1 ? 2 kx2 ? 2 ? x1 x2 ????????????10 分 x1 ? x2 x1 x2

? 2k ? 2

? 2k ? 2k 3
又∵ k ?

?2 ;即 ( p ?[1, 4]) ,∴k∈[-2,-1] p

k1 ? k2 ? 2k ? 2k 3 , k ?[?2, ?1] ????????????12 分
(3)由 k1 ? k2 ? 2k ? 2k 3 , k ?[?2, ?1] 可知 f (k ) ? 2k ? 2k 3 , k ?[?2, ?1] 上为单调递增函

x2 y 2 ? ? 1 ???14 数,故当 k=-1 时, k1 ? k2 取到最大值,此时 P=4,故椭圆的方程为 32 8
分 22、解: (1)∵点 P 在函数 y=f(x)上,由 f(x)=

1 2 mx ? 2 x ? 1 ? ln( x ? 1)(m ? 1) 得: 2

1 ? y? |x ?0 ? ? 1 故切线方程为:y=-x+1??????3 分 x ?1 1 2 (2)由 g(x)=f(x)+x-1= mx ? x ? ln( x ? 1) 可知:定义域为 (?1, ??) ,且 g(0)=0,显然 2 f ?( x) ? mx? 2 ?
x=0 为 y=g(x)的一个零点; 则 g ?( x) ? mx ? 1 ?

1 ? x ?1

mx[ x ? (

1 ? 1)] m ??????5 分 x ?1

①当 m=1 时, g ?( x) ?

x2 ? 0 ,即函数 y=g(x)在 (?1, ??) 上单调递增,g(0)=0,故仅有一 x ?1

个零点,满足题意。????????????6 分 ②当 m>1 时,则 x

1 ? 1 ? 0 ,列表分析: m 1 1 1 ( ?1, ? 1) ?1 ( ? 1, 0) m m m
+ 0 极大值 -

0 0 极小值 0

(0, ??)


g ?( x )
g(x)

?

1 g ( ? 1) m

?

?

第 10 页

又∵x→-1 时,g(x)→- ? ,∴g(x)在 ( ?1,

1 ? 1) 上有一根,这与 y=g(x)仅有一根矛盾, m

故此种情况不符题意。????????????9 分 (3)假设 y=f(x)存在单调区间,由 f(x)=

1 2 mx ? 2 x ? 1 ? ln( x ? 1)(m ? 1) 得: 2

f ?( x) ? mx ? 2 ?

1 mx 2 ? (m ? 2) x ? 1 ? ( x ? ?1) ,????????????10 分 x ?1 x ?1
1 2 1 ? ?1 ,h(-1)=m+2-m-1 m

令 h( x) ? mx2 ? (m ? 2) x ?1 ∵ ? ? m2 ? 4 ? 0, x对=- +

=1>0,∴h(x)=0 在 (?1, ??) 上一定存在两个不同的实数根 s,t, ?????????12 分 即, h( x) ? mx2 ? (m ? 2) x ?1 ? 0 的解集为(t,s),即函数 f(x)存在单调区间[t,s],则 s -t= ( s ? t ) ? 4ts ? 1 ?
2

4 ,由 m≥1 可得:s-t ? (1, 5] ????????????14 m2



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