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解题技巧


1、解析几何解题技巧之合理设参
在做解析几何习题时,容易陷入任何问题首先就设直线方程以及直线与圆锥曲线的交点坐标,然后联立直线方程与圆锥曲线方程的一个僵硬套路中 去.可以看出,这种解题方式其实是“动直线驱动”的.事实上,有很多问题可以直接由“动点驱动” ,也就是说对这类问题直接引入参数表达动点 要比表达动直线更加直接.下面就通过一些“动点”驱动的例题诠释这一技巧.

于是

,解得

由截距式方程易得直线 l 的方程是:

1





2

2、解析几何解题技巧之“垂径定理” 我们都知道垂径定理是圆的重要性质,其内容为: 已知圆中有一条非直径的弦,那么这条弦垂直于过其中点的直径. 对于椭圆也有类似的性质,我们称之为椭圆的“垂径定理”,描述如下:

点差法是证明这一性质的最好方法: 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
3

4

由椭圆的垂径定理与已知条件,有

于是

解得 于是直线 l 的方程为 友情提示,在考试的时候如果应用了椭圆的垂径定理,记得用点差法叙述一下证明过程哦! 最后给出一组练习题.

5

3、解析几何解题技巧之极坐标 解析几何问题的基本解题思路,就是借助点的坐标来表达条件,设直线的方程将坐标统一为横坐标或 纵坐标,最后利用直线方程与椭圆方程的联立进行消参.但是,在实际的解题实践中,很多几何条件并不 方便借助点的直角坐标来表达,此时恰当地引入极坐标处理问题会大幅简化运算.一般适用于极坐标表达 的条件有:垂直、特殊三角形等等. 例 1、利用极坐标表达垂直. (2014 年高考北京卷理科数学第 19 题)已知椭圆 C:x +2y =4. (1)求椭圆 C 的离心率; 2 2 (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与圆 x +y =2 的位 置关系,并证明你的结论.
2 2

例 2、利用极坐标表达特殊三角形. (2014 年北京东城二模)已知椭圆a 2 +b 2 =1 的一个焦点为 F(2,0),且离心率为 (1)求椭圆方程; (2)斜率为 k 的直线 l 过点 F,且与椭圆交于 A、B 两点,P 为直线 x=3 上的一点,若三角形 ABP 为等边 三角形,求直线 l 的方程.
x2 y2
6 3



6

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