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数列的求和,涵盖所有高中数列求和的方法。


数列的求和
一、教学目标:1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式;
2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.熟记一些常用的数列的和的公式.

二、教学重点:特殊数列求和的方法. 三、教学过程:
(一)主要知识: 1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式: S

n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

?na1 (q ? 1) ? n (2)等比数列的求和公式 S n ? ? a1 (1 ? q ) (切记:公比含字母时一定要讨论) (q ? 1) ? ? 1? q
2.公式法:

?k
k ?1
n

n

2

2 2 ? 1 2 ? 2 2? 3 ? ?? n ?

n( n? 1 ) ( 2 n ? 6
2

1)

? n(n ? 1) ? k ? 1 ? 2 ? 3 ?? ? n ? ? ? ? 2 ? ? k ?1
3 3 3 3 3

3.错位相减法:比如 ?an ?等差, ?bn ?等比, 求a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn的和. 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常 见 拆 项 公 式 :

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1
n ? n!? (n ? 1)!?n!



1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

1

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 6.合并求和法:如求 100 2 ? 99 2 ? 98 2 ? 97 2 ? ? ? 2 2 ? 12 的和。 7.倒序相加法: 8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等 (二)主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例 1.求和:① S n ? 1 ? 11 ? 111 ? ? ? 11 ? 1 ? ? ?
n个

② Sn ? (x ? )2 ? (x 2 ?

1 x

1 2 1 ) ? ? ? (x n ? n )2 2 x x

③求数列 1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前 n 项和 S n 思路分析:通过分组,直接用公式求和。

? 1 ? 1 ? 10 ? 10 ? ? ? 10 ? 解:① a k ? 11 ? ? ?
2 k k个

1 (10 k ? 1) 9

1 10(10 n ? 1) 10 n ?1 ? 9n ? 10 1 1 ? n] ? S n ? [(10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1)] ? [(10 ? 10 2 ? ? ? 10 n ) ? n] ? [ 9 9 81 9 9
② Sn ? (x2 ?

1 1 1 ? 2) ? ( x 4 ? 4 ? 2) ? ? ? ( x 2 n ? 2 n ? 2) 2 x x x 1 1 1 ? ( x 2 ? x 4 ? ? ? x 2 n ) ? ( 2 ? 4 ? ? ? 2 n ) ? 2n x x x
x 2 ( x 2 n ? 1) x ?2 ( x ?2 n ? 1) ( x 2 n ? 1)( x 2 n ? 2 ? 1) ? ? 2 n ? ? 2n x2 ?1 x ?2 ? 1 x 2 n ( x 2 ? 1)

(1)当 x ? ?1时, S n ?

(2)当 x ? ?1时, S n ? 4n ③ a k ? (2k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? ? ? [( 2k ? 1) ? (k ? 1)] ?

k[( 2k ? 1) ? (3k ? 2)] 5 2 3 ? k ? k 2 2 2 5 3 5 n(n ? 1)( 2n ? 1) 3 n(n ? 1) S n ? a1 ? a2 ? ? ? a n ? (12 ? 2 2 ? ? ? n 2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ? ? 2 2 2 6 2 2 1 ? n(n ? 1)(5n ? 2) 6

总结:运用等比数列前 n 项和公式时,要注意公比 q ? 1或q ? 1 讨论。 2.错位相减法求和 例 2.已知数列 1,3a,5a ,?, (2n ? 1)a
2 n ?1

(a ? 0) ,求前 n 项和。
0 2 n ?1

思路分析:已知数列各项是等差数列 1,3,5,…2n-1 与等比数列 a , a, a ,?, a 和。 解: S n ? 1 ? 3a ? 5a 2 ? ? ? (2n ? 1)a n ?1

对应项积,可用错位相减法求

?1?

aSn ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? ? ? (2n ? 1)a n

?2?

?1? ? ?2? : (1 ? a)S n

? 1 ? 2a ? 2a 2 ? 2a 3 ? ? ? 2a n?1 ? (2n ? 1)a n

当 a ? 1时, (1 ? a ) S n ? 1 ? 当 a ? 1时, S n ? n 2 3.裂项相消法求和 例 3.求和 S n ?

2a(1 ? a n ?1 ) ? (2n ? 1) n 2 (1 ? a )

Sn ?

1 ? a ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n ?1 (1 ? a) 2

22 42 ( 2n) 2 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1)

思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解: a k ?

( 2k ) 2 ( 2k ) 2 ? 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? 1? ( ? ) (2k ? 1)( 2k ? 1) (2k ? 1)( 2k ? 1) (2k ? 1)( 2k ? 1) 2 2k ? 1 2k ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n(n ? 1) 练习: S n ? a1 ? a 2 ? ? ? an ? n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? n ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

求 Sn ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a

? n(n ? 1) (a ? 1) ? ? 2 答案: S n ? ? a(a n ? 1) ? n(a ? 1) ? (a ? 1) ? a n (a ? 1) 2 ?

4.倒序相加法求和
0 1 2 n 例 4 求证: C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? (2n ? 1)C n ? (n ? 1)2 n m n?m 思路分析:由 C n 可用倒序相加法求和。 ? Cn 0 1 2 n 证:令 S n ? C n ? 3C n ? 5C n ? ? ? (2n ? 1)C n

(1) (2)
m n?m ? Cn ? Cn

n n ?1 2 1 0 则 S n ? (2n ? 1)C n ? (2n ? 1)C n ? ? ? 5C n ? 3C n ? Cn

0 1 2 n ? (1) ? (2)有 : 2S n ? (2n ? 2)C n ? (2n ? 2)C n ? (2n ? 2)C n ? ? ? (2n ? 2)C n 0 1 2 n ? S n ? (n ? 1)[C n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ] ? (n ? 1) ? 2 n

等式成立

5.其它求和方法 还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。 例 5.已知数列 ?a n ?, a n ? ?2[n ? (?1) n ], 求S n 。 思路分析: a n ? ?2n ? 2(?1) n ,通过分组,对 n 分奇偶讨论求和。 解: a n ? ?2n ? 2(?1) n ,若 n ? 2m, 则S n ? S 2 m ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? 2

? (?1)
k ?1

2m

k

S n ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? ?(2m ? 1)2m ? ?n(n ? 1)
若 n ? 2m ? 1, 则S n ? S 2 m?1 ? S 2 m ? a 2 m ? ?(2m ? 1)2m ? 2[2m ? (?1) 2 m ] ? ?(2m ? 1)2m ? 2(2m ? 1)

? ?4m 2 ? 2m ? 2 ? ?(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2 ? ?n 2 ? n ? 2

(n为正偶数) ?? n(n ? 1) ? Sn ? ? 2 ? ? n ? n ? 2 (n为正奇数)
预备:已知 f ( x) ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a n x n , 且a1 , a 2 , a3 ,? a n 成等差数列,n 为正偶数, 又 f (1) ? n , f (?1) ? n ,试比较 f ( ) 与 3 的大小。
2

1 2

? (a1 ? a n )n ? n 2 ?a ? a ? 2 n ? f (1) ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? n 2 ? n 2 ?? ?? 1 解: ? n d ? 2 f ( ? 1 ) ? ? a ? a ? a ? ? ? a ? a ? n ? 1 2 3 n ?1 n ? ? d ?n 2 ?
?a ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ?? 1 ? a1 ? 1? a n ? 2n ? 1 ? d ?2

f ( x) ? x ? 3x 2 ? 5 x 3 ? ? ? (2n ? 1) x n

1 1 1 1 1 f ( ) ? ? 3( ) 2 ? 5( ) 3 ? ? ? (2n ? 1)( ) n 2 2 2 2 2

可求得 f ( ) ? 3 ? ( ) n?2 ? (2n ? 1)( ) n ,∵n 为正偶数,? f ( ) ? 3

1 2

1 2

1 2

1 2

(四)巩固练习: 1.求下列数列的前 n 项和 S n : (1)5,55,555,5555,…, (10n ? 1) ,…; (2)

5 9

1 1 1 1 , , ,? , ,? ; 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n( n ? 2)
2 3 n

(3) an ?

1 n ? n ?1



(4) a, 2a ,3a ,?, na ,? ; (6) sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ?? ? sin 2 89? .

(5) 1? 3, 2 ? 4,3 ? 5,?, n(n ? 2),?;

n个 n个 ? ? ? ? ? ? 5 解: (1) Sn ? 5 ? 55 ? 555 ? ? ? 55?5 ? (9 ? 99 ? 999 ? ? ? 99? 9) 9

5 ? [(10 ? 1) ? (102 ? 1) ? (103 ? 1) ? ? ? (10n ? 1)] 9 5 50 5 ? [10 ? 102 ? 103 ? ? ? 10n ? n] ? (10n ? 1) ? n . 9 81 9
(2)∵ ∴ Sn ?

1 1 1 1 ? ( ? ), n(n ? 2) 2 n n ? 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? ? ? ). 2 3 2 4 3 5 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2
1 n ? n ?1 ? n ?1 ? n ? n ?1 ? n ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n )

(3)∵ an ?

∴ Sn ?

1 1 1 ? ?? ? 2? 1 3? 2 n ?1 ? n

? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? n ? 1 ? 1 .
(4) Sn ? a ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? na n , 当 a ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ?

n(n ? 1) , 2

2 3 当 a ? 1 时, S n ? a ? 2a ? 3a ? … ? na n ,

aSn ? a 2 ? 2a3 ? 3a 4 ? … ?na n?1 ,
2 3 两式相减得 (1 ? a) Sn ? a ? a ? a ? … ? a ? na

n

n ?1

?

a(1 ? a n ) ? na n ?1 , 1? a

na n ? 2 ? (n ? 1)a n ?1 ? a ∴ Sn ? . (1 ? a ) 2

(5)∵ n(n ? 2) ? n ? 2n ,
2

∴ 原式 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n ) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ?n) ?
2 2 2 2

n(n ? 1)(2n ? 7) . 6

(6)设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2 ? ? sin 2 3 ? ? ??? sin 2 89 ? , 又∵ S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? sin 2 87? ? ?? ? sin 2 1? , ∴ 2S ? 89 , S ?

89 . 2

2.已知数列 {an } 的通项 an ? ?

?6n ? 5 ( n为奇数) ?2
n

(n为偶数)

,求其前 n 项和 S n .

解:奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列, 偶数项组成以 a2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列; 当 n 为奇数时,奇数项有

n ?1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) 2 4(1 ? 4 ) (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n?1 ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 n 当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有 项, 2 n n (1 ? 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) n(3n ? 2) 4(2n ? 1) 2 ∴ Sn ? , ? ? ? 2 1? 4 2 3
? (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? ? ? 2 3 所以, S n ? ? n ? n(3n ? 2) ? 4(2 ? 1) ? 2 3 ? (n为奇数)


(n为偶数)

四、小结:
1.掌握各种求和基本方法; 2.利用等比数列求和公式时注意分 q ? 1或q ? 1 讨论。


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