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必修1,4月考复习 函数三角函数


1 若 α 是第二象限的角,且 | cos A、第一象限角

α
2

|= ? cos

α
,则

α
是(C ) D、第四象限角

1

2

2

B、第二象限角

C、第三象限角

2 已知 tan θ = 2 ,则

sin(

π π
2 2

+ θ ) ? cos(π ? θ ) ? θ ) ? sin(π ? θ )

=(

B )A、2

B、-2

C、0

D、

sin(

2 3

3 设 0 ≤ α < 2π ,若 sin α > (A) (

3 cos α ,则 α 的取值范围是(C)

π π

, ) 3 2 ? ?

(B) (

π
3

,π )

(C) (

π 4π
3 , 3

)

(D) (

π 3π
3 , 2

)

46 设函数 f ( x) = sin ? x +

π? ? ( x ∈ R ) ,则 f ( x) ( A 3?
B、在区间 ? ?π, ?



A、在区间 ?

? 2π 7 π ? , 上是增函数 ?3 6 ? ? ?π π? ? ?

? ?

π? 上是减函数 2? ? ? π 5π ? ? ?

C、在区间 ? , ? 上是增函数 8 4

D、在区间 ? , ? 上是减函数 3 6

π
5、函数 y=sin(2x- 6 )的单调递减区间是( D )

7 5 π π π π 5 A.[kπ+ 12 ,kπ+ 12 π]B.[kπ- 12 π,kπ+ 12 ]C.[kπ- 6 ,kπ+ 3 ] D.[kπ+ 3 ,kπ+ 6 π](k∈Z)
6.要得到函数 y = sin(2 x ? A.向右平移

π

π

π
6

6

) 的图像,只需将函数 y = cos 2 x 的图像(B)

个单位 B. 向右平移

π
3

个单位 C. 向左平移

π
6

个单位 D. 向左平移

π
个单位

7 已知函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + ? ) 对任意 x 都有 f ( A. 2 或 0 B. ?2 或 2

π

8 将函数 y = sin(2 x ?

π

C. 0

D. ?2 或 0

+ x) = f ( ? x), 则 f ( ) 等于( 6 6 6

π

π

3
B )

3

) 的图象先向左平移

π

6

,然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则

所得到的图象对应的函数解析式为( D ) . A. y = ? cos x B. y = sin 4 x C.

y = sin( x ? ) 6

π

D. y = sin x

9 已知函数 y = 2sin(ω x + ? )(ω > 0) )在区间 [ 0, ] 的图像如下: 2π 那么 ω = ( B ) y A.1 B.2 C.

1 2

D.

1 3

1 O 1



x

10.函数 y = A sin(ωx + ? )( A > 0,0 < ? < π ) 的图像的两个相邻零点为 ( ?

( , 0) ,且该函数的最大值为 2,最小值为-2,则该函数的解析式为( A ) 2 x π 3x π 3x π A、 y = 2 sin( B、 y = 2 sin( + ) C、 y = 2 sin( + ) + ) 2 4 2 4 2 6

π

π ,0) 和 6
x π + ) 2 6

D、 y = 2 sin(

2

11.若函数 f ( x ) = sin(ω x + ? ) 的图像(部分)如下图所示, 则 ω 和 ? 的取值是( C ) A、 ω = 1, ? =

π
3

B、 ω = 1, ? = ?

π
3
? x )] =

C、 ω =

1 π ,? = 2 6

D、 ω = 1, ? = ?

π
6

12 若 f (sin x ) = 3 ? cos 2 x ,则 f [sin( [解析] 3 + cos 2 x

π
2

13 写出-720°到 720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________.
o o o o 解析: ? 708 ,?348 ,12 ,372

{

}

14.若 cos(2π ? α ) = 2 -3
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t : w j.x t m /w c h w /p k g o y .c x /

5 π 且 α ∈ (? ,0), 则 sin(π ? α ) = _________ 3 2

特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

15 16

新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源:w w j.xk源tgy源m /w cx/ 源 源源 o.c源源 /p 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

函数 f(x)=(

1 |cosx| ) 在[-π,π]上的单调减区间为_________ 3

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

设ω>0,若函数 f(x)=2sinωx 在[-

π π

, , ]上单调递增,则ω的取值范围是_________ 3 4
_①②③____

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

17 .函数 f ( x ) = 3sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象为 C ,则如下结论中正确的序号是 3?

①、图象 C 关于直线 x =

11 ? 2π ? π 对称; ②、图象 C 关于点 ? ,? 对称; 0 12 ? 3 ?
④、 y = 3sin 2 x 的图角向右平移 由

③、 函数 f ( x ) 在区间 ? ?

? π 5π ? , ? 内是增函数; ? 12 12 ?

π 个单位长度可以得到图象 C . 3

18.设函数 f ( x ) = sin(ω x + ? ) (ω > 0 , ? ⑴ 它的周期为 π ; ⑶ 它的图象关于点 (

π
2

<? <

π
2

) ,给出以下四个结论:

⑵ 它的图象关于直线 x =

π
对称;

π
3

, 0) 对称; ⑷ 在区间 (?

π
6

12

, 0) 上是增函数.

以 其 中 两 个 论 断 作 为 条 件 , 另 外 两 个 论 断 作 为 结 论 , 写 出 你 认 为 正 确 的 一 个 命 题 : ____ ⑴ ⑵ ? ⑶ ⑷ __________________ 19 求函数 y = cos x + sin x (| x |≤
2

π
4

) 的最大值和最小值.

x=

π
6

时, ymax =

5 π 1? 2 , x = ? 时, ymin = . 4 4 2

(2)判断 f(x)的奇偶性。 20 已知函数 f ( x ) = log 1 (sin x ? cos x ) (1)求 f(x)的定义域;
2

(2kπ +

π
4

, 2 kπ +

5π ), k ∈ Z 4

3

f(x)为非奇非偶函数. 1.与函数 y = 0.1
lg( 2 x ?1)

的图象相同的函数是 (C )

A. y = 2 x ? 1 ( x >

1 1 1 1 1 ;C. y = ) ;B. y = ( x > ) ; D. y =| | 2 2x ? 1 2x ? 1 2 2x ? 1

2 已知 y = f ( x + 2) 的定义域是 [ a, b ] ,求函数 y = f (x ) 的定义域

[ a + 2, b + 2]
3.定义在 R 上的函数 y = f ( x ) 的值域为 [ a , b ] ,则函数 y = f ( x ? 1) 的值域为( B A. [ a ? 1, b ? 1] ;B. [ a , b ] ;C. [ a + 1, b + 1] ;D.无法确定 4 函数 y = e |ln x| ? | x ? 1 | 的图象大致是( D ) )

5.函数 f ( x ) = log 2 4 x ? x 2 的单调递减区间是(C A. (0, 4) ; B. (0, 2) ; C. (2, 4) ; D. (2, +∞ ) 6.函数 y = log 1 ( x 2 ? 5 x + 6) 的单调增区间为(D
2

(

)





A. ? , ∞ ? ;B. (3, ∞ ) ;C. ? ?∞, ? ;D. ( ?∞, + + 2) 7 函数 f ( x ) = e ?
x

?5 ?2

? ?

? ?

5? 2?

A (0,

1 ) 2

1 的零点所在区间是( ) x 1 B ( ,1) C 2

(1,

3 ) 2

D (

3 ,2) 2
B)

8 已知函数 f ( x ) = ax 2 + bx + 3a + b 是定义域为 [ a ? 1,2 a ] 的偶函数,则 a + b 的值是( A.0;B.

1 ;C.1;D. ? 1 3

9 若 f ( x ) 是奇函数,且在 ( 0, +∞ ) 内是增函数,又 f (3) = 0 ,则 xf ( x ) < 0 的解集是( D )

A. {x ? 3 < x < 0或x > 3} ;B. {x x < ?3或0 < x < 3} C. {x x < ?3或x > 3} ; D. {x ? 3 < x < 0或0 < x < 3}
10 已知 a

= log 2 0.3, b = 2 0.1 , c = 0.21.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( C )
B. c < a < b C. a < c < b D. b < c <

A. a < b < c

a

4

11 若 x ∈ (e?1,,a = ln x,b = 2 ln x,c = ln 3 x ,则( C 1) A. a < b < c ;B. c < a < b ;C. b < a < c ;D. b < c < a 12 函数 f ( x) = [解析] [3, +∞ ) 13 若函数 y = f ( x ) 的值域是 [ ,3] ,则函数 F ( x ) = f ( x ) + [解析] [ 2,



x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)
的定义域为 .

2 3

1 的值域是 f ( x)

10 ] 3

14 已知函数 f ( x) = ? [解析] 2; 15 设函数 f ( x ) = [解析] 3;

?2 x ? 3 ( x ≥ 0)
2 ? x + 1 (x < 0)

,则 f ? f (1) ? = ? ?

{

x 2 + bx + c, x ≤ 0, 若 f ( ?3) = f (0) , f ( ?1) = ?2 ,则关于 x 的方程 f ( x ) = x 的解的个数为 2, x > 0.

x +1 16 不论 a 为何正实数,函数 y = a ? 2 的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_________

[解析] (?1,1) ;因为函数 y = a x 的图象通过定点 (0,1) ,故函数 y = a x +1 ? 2 的图象一定通过定点 (?1,1) 17 函数 f(x)=lnx+2x -6 的零点个数为

18 已知二次函数 f (x ) 满足 f ( 2 x + 1) = 4 x 2 ? 6 x + 5 ,求 f (x )

f ( x ) = x 2 ? 5 x + 9( x ∈ R )
19 已知函数 f (x ) 满足 f ( x) + 2 f ( ) = 3 x ,求 f (x )

1 x

f ( x) =

2 ? x ( x ≠ 0) x

20 已知奇函数 f (x ) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f ( m ? 1) + f ( 2m ? 1) > 0 ,求实数 m 的取值范围。 [思路点拨]欲求 m 的取值范围,就要建立关于 m 的不等式,可见,只有从

f ( m ? 1) + f (2m ? 1) > 0 出发,所以应该利用 f (x ) 的奇偶性和单调性将外衣“ f ”脱去。
[解析] Q f (x ) 是定义在 (?2,2) 上奇函数

∴ 对任意 x ∈ (?2,2) 有 f ( ? x ) = ? f ( x )
由条件 f ( m ? 1) + f (2 m ? 1) > 0 得 f ( m ? 1) > ? f (2 m ? 1) = f (1 ? 2 m )

5

Q f (x ) 是定义在 (?2,2) 上减函数

1 2 <m< 2 3 1 2 ∴ 实数 m 的取值范围是 ? < m < 2 3
∴ ?2 > 1 ? 2m > m ? 1 > 2 ,解得 ?

21 已知函数 f ( x) =

ax 2 + 1 (a、b、c∈Z)是奇函数,又 f (1) = 2 , f ( 2) < 3 ,求 a、b、c 的值. bx + c

[解析] a = 1 b = 1 c = 0 ;由 f(-x)=-f(x) , , ,得-bx+c=-(bx+c). ∴c=0,由 f(1)=2,得 a+1=2b,由 f(2)<3,得

4a + 1 <3, a +1 1 解得-1<a<2.又 a∈Z,∴a=0 或 a=1.若 a=0,则 b= ,与 b∈Z 矛盾.∴a=1,b=1,c=0. 2

22 若函数 y = lg 3 ? 4 x + x 2 的定义域为 M。当 x ∈ M 时,求 f ( x ) = 2 [解析] y = lg 3 ? 4 x + x 2 ,∴ 3 ? 4 x + x > 0 ,
2

(

)

x+2

? 3 × 4 x 的最值及相应的 x 的值。

(

)

解得: x < 1或x>3} M ={ ,∴ M = {x < 1或x>3}

f ( x ) = 2 x + 2 ? 3 × 4 x = 4 × 2 x ? 3 × (2 x ) 2
令2 x =M = {x < 1或x>3} t, ∵ ,∴ t > 8或0 < t < 2
∴f(x)= 4 t ? 3t = ?3( t ? ) +
2 2

2 3

4 3

( t > 8或0 < t < 2 )

由二次函数性质可知:

4? ? 当0 < t < 2时,f(x) ∈ ? - 4, ? ; 当t > 8时,f(x) ∈ (- ∞,-160) 3? ? 2 4 3 当 2 = t = , 即:x = log 2 时, f ( x ) = 3 3
x 2 3 综上可知:当 x = log 2 时, f(x)取到最大值为 2

4 ,无最小值。 3

23 定义在 R 上的函数 y = f (x ) , f (0) ≠ 0 ,当 x>0 时, f ( x ) > 1 ,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)·f(b). (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)求证:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围. [解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”,从关键等式和不等式的特点入手。 [解析](1)证明:令 a=b=0,则 f(0)=f 2(0).

6

又 f(0)≠0,∴f(0)=1. (2)证明:当 x<0 时,-x>0, ∴f(0)=f(x)·f(-x)=1.

∴f(-x)=

1 >0.又 x≥0 时 f(x)≥1>0, f ( x)

∴x∈R 时,恒有 f(x)>0. (3)证明:设 x1<x2,则 x2-x1>0. ∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. 又 f(x1)>0,∴f(x2-x1)·f(x1)>f(x1). ∴f(x2)>f(x1).∴f(x)是 R 上的增函数. (4)解:由 f(x)·f(2x-x2)>1,f(0)=1 得 f(3x-x2)>f(0).又 f(x)是 R 上的增函数, ∴3x-x2>0.∴0<x<3.

备选题 1 已知函数 y = x 2 ? 4ax + 2a + 6( a ∈ R ) ,若 y ≥ 0 恒成立,求 f (a ) = 2 ? a a + 3 的值域 [解题思路]应先由已知条件确定 a 取值范围,然后再将 f (a ) 中的绝对值化去之后求值域 [解析]依题意, y ≥ 0 恒成立,则 ? = 16a 2 ? 4( 2a + 6) ≤ 0 ,解得 ? 1 ≤ a ≤ 所以 f (a ) = 2 ? a ( a + 3) = ?( a + 域是 [?

3 , 2

3 2 17 3 19 ) + ,从而 f ( a ) max = f ( ?1) = 4 , f ( a ) min = f ( ) = ? ,所以 f (a ) 的值 2 4 2 4

19 , 4] 4

2 二次函数 f (x ) 满足 f ( x + 1) ? f ( x ) = 2 x ,且 f (0) = 1 。 ⑴求 f (x ) 的解析式; ⑵在区间 [?1,1] 上, y = f (x ) 的图象恒在 y = 2 x + m 的图象上方,试确定实数 m 的范围。 [解题思路](1)由于已知 f (x ) 是二次函数,故可应用待定系数法求解;(2)用数表示形,可得求 2 x + m < f ( x ) 对 于 x ∈ [?1,1] 恒成立,从而通过分离参数,求函数的最值即可。 [解析]⑴设 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ,则

f ( x + 1) ? f ( x ) = [ a ( x + 1) 2 b( x + 1) + c ] ? ( ax 2 + bx + c ) = 2ax + a + b

与已知条件比较得: ?

?2a = 2, ?a = 1, 解之得, ? 又 f (0) = c = 1 , ?a + b = 0 ?b = ?1

∴ f ( x) = x 2 ? x + 1
⑵由题意得: x 2 ? x + 1 > 2 x + m 即 m ≤ x 2 ? 3 x + 1 对 x ∈ [ ?1,1] 恒成立, 易得 m < ( x 2 ? 3 x + 1) min = ?1 3 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f

( f ( x) ? x

2

+ x ) = f ( x) ? x 2 + x.

7

(I)若 f (2) = 3 ,求 f (1) ;又若 f (0) = a ,求 f ( a ) ; (II)设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) = x0 ,求函数 f ( x ) 的解析表达式

解:(I)因为对任意x ∈ R,有f(f(x)-x2 + x) = f ( x) ? x 2 + x 所以f(f(2)-22 + 2) = f (2) ? 22 + 2 又由f(2)=3,得f(3-22 + 2) 3 ? 2 2 + 2, 即f (1) = 1 = 若f(0)=a,则f(a ? 02 + 0) = a ? 0 2 + 0, 即f (a ) = a

(II)因为对任意x ∈ R,有f ( f ( x) ? x 2 + x) = f ( x) ? x 2 + x. 又因为有且只有一个实数x0,使得f ( x0 ) = x0 所以对任意x ∈ R, 有f ( x) ? x 2 + x = x0
2 在上式中令x = x0,有f ( x0 ) ? x0 + x0 = x0 2 又因为f ( x0 ) = x0,所以x0 ? x0 = 0,故x0 =0或x0 =1

若x0 =0,则f ( x) ? x 2 + x = 0,即f ( x) = x 2 ? x 但方程x 2 ? x = x有两个不相同实根,与题设条件矛盾。故x0 ≠ 0 若x0 =1,则有f ( x) ? x 2 + x = 1, 即f ( x) = x 2 ? x + 1.易验证该函数满足题设条件。 综上,所求函数为f ( x) = x 2 ? x + 1 (x ∈ R) ?2 x + b 4 已知定义域为 R 的函数 f ( x) = x +1 是奇函数。 2 +a
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若对任意的 t ∈ R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) + f (2t 2 ? k ) < 0 恒成立,求 k 的取值范围; [解析](Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) = 0 ,即

b ?1 1 ? 2x = 0 ? b = 1∴ f ( x) = a+2 a + 2 x +1

1 1? 1? 2 又由∴ f , (1) = ? f ( ?1) 知 = ? 2 ? a = 2. a+4 a +1
(Ⅱ)[解法一]由(Ⅰ)知 f ( x ) =

1 ? 2x 1 1 =? + x ,易知 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上 x +1 2+2 2 2 +1 f (t 2 ? 2t ) + f (2t 2 ? k ) < 0

为减函数。又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:

等价于 f (t 2 ? 2t ) < ? f (2t 2 ? k ) = f ( k ? 2t 2 ) ,因 f ( x ) 为减函数,由上式推得:

t 2 ? 2t > k ? 2t 2 .即对一切 t ∈ R 有: 3t 2 ? 2t ? k > 0 ,
从而判别式 ? = 4 + 12k < 0 ? k < ? . [解法二]由(Ⅰ)知 f ( x ) =

1 3

1 ? 2x .又由题设条件得: 2 + 2 x +1

8

1 ? 2t 2 + 2t
即 (2

2

? 2t

2

? 2 t +1

=

1 ? 2 2t 2 + 22 t

2

?k

2

? k +1

< 0,
2

2t 2 ? k +1

+ 2)(1 ? 2t

2

? 2t

) + (2t

? 2t +1

+ 2)(1 ? 22t

2

?k

) < 0,

整理得 2

3t 2 ? 2t ? k

> 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k > 0
1 3

上式对一切 t ∈ R 均成立,从而判别式 ? = 4 + 12k < 0 ? k < ? .


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