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2012-2013高二数学期末复习测试题二(直线与圆的方程)


2012-2013 高二数学期末复习测试题(直线与圆的方程) 一、选择题 1.直线 y=xcosα +1(α ∈R)的倾斜角的取值范围是( )

? ] 2 ? ? C.[- , ] 4 6
A.[0,

B.[0,π ) D.[0,

? 3? ]∪[ ,π ) 4 4
) )

>2.若圆 x2+y2-ax-2y+1=0 关于直线 x-y-1=0 对称的圆的方程是 x2+y2-4x+3=0,则 a 的值等于( A.0 B.1 C.2 D.±2 2 2 2 3.点 M(x0,y0)是圆 x +y =a (a>0)内不为圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与该圆的位置关系是( A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 4.圆 x2+2x+y2+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点共有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.直线 x+y-1=0 沿 y 轴正方向平移 1 个单位再关于原点对称后,所得直线的方程是( ) A.x+y+2=0 B.x-y-2=0 C.x+y-2=0 D.x-y+2=0 2 2 6.已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x +y -2x=0 上的任意一点,则△ABC 的面积最小值是( A.3- 2 B.3+ 2 C.



6? 2 2

D.

3? 2 2

7.已知三条直线 l1:y= 3 x-1, l2:y=1, l3:x+y+1=0。设 l1 与 l2 的夹角为α ,l1 与 l3 的夹角为β ,则 α +β 等于( ) A.45° B.75° C.105° D.135° 8.将直线 x+y=1 绕(1,0)点顺时针旋转 90°后,再向上平移 1 个单位与圆 x2+(y-1)2=r2 相切,则 r 的 值是( ) A.

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D.1 )

9.若曲线 x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0 关于直线 y-x=0 对称的图形仍是其本身,则实数 a=( A.±

1 2

B.±

2 2

C.

1 2 或2 2

D.-

1 2 或 2 2

10.若圆(x-1)2+(y+1)2=R2 上有仅有两个点到直线 4x+3y=11 的距离等于 1,则半径 R 的取值范围是 ( ) A.R>1 B.R<3 C.1<R<3 D.R≠2 二、填空题 11.圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 。 2 2 12.A 点是圆 C:x +y +ax+4y-5=0 上任意一点,A 点关于直线 x+2y-1=0 的对称点也在圆 C 上,则 实数 a= 。 13.过点 M(0,4) ,被圆(x-1)2+y2=4 截得的线段长为 2 3 的直线方程为 。

1

14.已知两点 M(0,1),N(10,1),给出下列直线方程 ①5x-3y-22=0;②5x-3y-52=0;③x-y-4=0;④4x-y-14=0。在直线上存在点 P 满足|MP|=|NP|+6 的所有 直线方程的序号是 。 三、解答题 15.直线 l 过点 P(2,1),按下列条件求直线 l 的方程 (1)直线 l 与直线 x-y+1=0 的夹角为

? ; 3

(2)直线 l 与两坐标轴正向围成三角形面积为 4。

16.求经过点 A(4,-1),并且与圆 x2+y2+2x-6y+5=0 相切于点 M(1,2)的圆方程。

17.已知曲线 C:x2+y2-2x-4y+m=0 (1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (2)若曲线 C 与直线 x+2y-4=0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点),求 m 的值。

2

18.如图 9-6,已知点 A、B 的坐标分别是(-3,0)(3,0) , ,点 C 为线段 AB 上任一点,P、Q 分别 以 AC 和 BC 为直径的两圆 O1,O2 的外公切线的切点,求线段 PQ 的中点的轨迹方程。

19.如图 9-7,已知圆 C:x2+y2=4,A( 3 ,0)是圆内一点。Q 是圆上一动点,AQ 的垂直平分线交 OQ 于 P,当点 Q 在圆 C 上运动一周时,点 P 的轨迹为曲线 E。 (1)求曲线 E 的方程; (2)过点 O 作倾斜角为θ 的直线与曲线 E 交于 B1、B2 两点,当θ 在范围(0, △AB1B2 的面积 S(θ )的最大值。

? )内变化时,求 2

3

20.已知双曲线 C1 和椭圆 C2:

( x ? 2) 2 ( y ? 1) 2 + =1 有公共的焦点,它们的离心率分别是 e1 和 e2, 49 24



1 1 + =2。 e1 e 2

(1)求双曲线 C1 的方程; (2)圆 D 经过双曲线 C1 的两焦点,且与 x 轴有两个交点,这两个交点间的距离等于 8,求圆 D 的 方程。

4

2012-2013 高二数学期末复习测试体(直线与圆的方程)参考答案 一、选择题 1.D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.A 7.D 8.A 9.B 10.C 二、填空题 11.(x-1) 2 +(y-1) 2=1 12.-10 13.x=0 或 15x+8y-32=0 14.②,③ 三、解答题 15.(1)利用夹角公式求得直线 l 的斜率 k= 3 ? 2 或 ? 3 ? 2 ,所求直线 l 的方程为

( 3 ? 2) x ? y ? 5 ? 2 3 ? 0 或 ( 3 ? 2) x ? y ? 2 3 ? 5 ? 0 。
(2)易得 x+2y-4=0。 16.解 圆 x2+y2+2x-6y+5=0 的圆心为 C(-1,3),设所求圆的圆心为 O(a,b),半径为 r。AM 的中垂线方程为 x-y-2=0 ①,直线 MC 的方程为:x+2y-5=0 ②, 解①、②得圆心 O(a,b)的坐标是 O(3,1),半径 r=|OM|= 5 , 故所求圆方程为(x-3)2+(y-1)2=5。 17.解 (1)由 D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0,得 m<5。 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 OM⊥ON 得 x1x2+ y1y2=0。 将直线方程 x+2y-4=0 与曲线 C:x2+y2-2x-4y+m=0 联立并消去 y 得

8 4m ? 16 1 ① ,x1x2= ② , 又 由 x+2y-4=0 得 y= (4-x), ∴ 5 5 2 1 1 5 8 x1x2+y1y2=x1x2+ (4-x1)? (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0。将①、②代入得 m= . 2 2 4 5
5x2-8x+4m-16=0 , 由 韦 达 定 理 得 x1+x2= 18.解 作 MC⊥AB 交 PQ 于点 M,则 MC 是两圆的公切线,∴|MC|=|MQ|,|MC|=|MP|,即 M 为 PQ 的 中点。设 M(x,y),则点 C,O1,O2 的坐标分别是(x,0),( 识得:∠O1MO2=90°, ∴有|O1M|2+|O2M|2=|O1O2|2,即: (x-

?3? x 3? x ,0)( ,0) 。连 O1M,O2M,由平几知 2 2

?3? x 2 2 3? x 2 2 ?3? x 3? x 2 2 2 ) +y +(x) +y =( ) ,化简得 x +4y =9。又∵点 C(x,0)在线段 AB 上,且 2 2 2 2

AC, BC 是圆的直径,∴-3<x<3。 故所求的轨迹方程为 x2+4y2=9(-3<x<3)。

19.解 (1)∵P 在 AQ 的垂直平分线上,又在半径 OQ 上,∴|PQ|=|PA|,且|OP|+|PA|=|OQ|=2, 故 P 点的轨迹是以 O、A 为焦点,长轴长为 2,中心在(

3 ,0)的椭圆: 2

3 2 y2 (x)+ =1 1 2 4

5

(2)设 OB1=x,则 AB1=2-x,在△OAB1 中,由余弦定理得|AB1|2=|OB1|2+|OA|2-2|OB1|?|OA| cosθ , 即(2-x)2=x2+3-2 3 x?cosθ ,解得 x=

1 4 ? 2 3 cos?

,

同理可得

1 4 ? 2 3 cos?

?| OB2 | ,

S(θ )=S △AB1B2 =S △ AOB1 +S △ AOB2 =

1 1 |OA|?|OB1|sinθ + |OA|?|OB2|sin(π -θ ) 2 2
1 sin ? sin ? |OA|( + ) 2 4 ? 2 3 cos? 4 ? 2 3 cos?

=

=

1 3 sin ? = 2 3 sin ? ? 1 3 sin ? ?

1 3 sin ?



1 2

当且仅当 3 sinθ =

1 3 sin ?

,即θ =arcsin

3 时取等号, 3

∴当θ =arcsin

1 3 时,Smax(θ )= 。 2 3

20.解 (1)椭圆 C2 的两个焦点坐标为 F1(-7,1),F2(3,1),离心率 e2= 由

5 。 7

5 1 1 + =2 可知双曲线 C1 的离心率 e1= , 3 e1 e 2

∴c2=25,a2=9,b2=c2 – a2=16, 故双曲线 C1 的的方程为

( x ? 2) 2 ( y ? 1) 2 =1。 9 16

(2)∵圆 D 经过双曲线的两个焦点,∴圆心 D 在直线 x= -2 上。 设圆 D 的方程为(x+2)2+(y-b)2=52+(b-1)2,整理得:x2+y2+4x-2by+2b-22=0, 令 y=0,得 x2+4x+2b-22=0。 设圆 D 与 x 轴的两个交点为(x1,0),(x2,0),则 x1+x2= -4,x1x2=2b-22。
2 依题意|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 =8,

即 16 - 4(2b-22)=64,解得 b=5。 所以圆的方程为(x+2)2+(y-5)2=41。

6


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