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高中竞赛数学讲义第38讲不定方程


第十九讲 不定方程
我们把未知数的个数多于方程的个数、且未知数受到某些限制(整数、正整数)的方程 (组)称之为不定方程(组) 。 通 常不定方程(组)问题有三种类型: (1)判断不定方程(组)是否有解; (2)求不定方程(组)的解; (3)计算不定方程(组)的解的个数。 本讲主要学习二元一次不定方程(组) 、基本二次型不定方程的解法和处理不定方程问题 的一些常用知识和方

法。

A 类例题
例 1.求不定方程 11x+15y=7 的整数解。 分析 注意到(11,15)=1,则存在惟一的一对整数 u,v,使得 11u+15 v=1,x=7u、y=7v

就是方程的一组特解,整数 u,v 可以通过观察试验得到,也可以用转辗相除法求得。若 t 是 整数,则 x=7u+15t,y=7v-11t 也是方程的解。可以证明方程 11x+15y=7 的每一个整数解都 能化为这种形式,x= 7u+15t,y=7v-11t,(t∈Z)是方程的一般解,称为通解。 解 ∵ (11,15) | 7, ∴ 方程有解。

∵15=11×1+4,11=4×2+3,4=3×1+1。 ∴ 11×(-4)+15×3=1,即 11×(-28)+15×21=7, 故方程的解为: ?

? x ? ?28 ? 15t , (t 为任意整数) 。 ? y ? 21? 11t.

说明

求不定方程 ax+by=c 的整数解,先看(a,b) | c 是否成立,不成立则方程无整数
[来源:Zxxk.Com]

解,成立则可以先求方程的一组特解,然后写出方程的通解。

链接

对于二元一次不定方程 ax+by=c, a, b, c∈Z, ab≠0

有下述结论:(1)方程有整数解的充分必要条件是: (a,b) | c; (2)若方程组有一组正整数解 x0,y0,则它的所有正整数解可表
b ? ? x ? x0 ? (a, b) t , 示为: ? (其中 t∈Z) ? a ?y ? y ? t, 0 ? ( a, b) ?

——通常可以在方程两边同时除以(a,b),使得 x,y 的系数互 质。 (3) 若(a,b)=1,且 x0,y0 为不定方程 ax+by=c 的一个解,则方 程的一切解都可以表示成:

? x ? x0 ? bt, ? x ? x0 ? bt, ( t∈Z)。 或? ? ? y ? y 0 ? at, ? y ? y 0 ? at.
其中(x0,y0)是方程 ax+by=c 的一个特解,t 是任意整数。 (4) n 元一次不定方程 a1x1+ a2x2+…+ anxn=c(a1,a2,…,an,c∈Z) 有解的充分必要条件是 1,a2,…,an) | c。 例 2.求不定方程 2x+3y+5z=15(a 的正整数解。 分析
[来源:Zxxk.Com]

比例 1 的方程多一个未知数,可以判断方程有整数解,若求方程的整数解,可以

考虑令 w=2x+3y,先求不定方程 w+5z=15 的整数解,再把 w 的每一个值代入 2x+3y = w 求 解方程。一般情况可以参考链接。但这里求的是方程的正整数解,x,y,z 的可取值范围较小, 如 z 只能取 1、2 两个值,可先考虑范围后讨论求解。 解 因为(2,3,5)=1,所以方程有整数解。

令 u=x+2z,得 2u+3y+z=15, 故 z=15-2u-3y,x=u-2z=5u+6y-30,其中 u,y 是任意整数,且 x>0,z>0, 即 5u+6y-30>0,………① 15-2u-3y>0,………② 由上述两式消去 u 得:-3y+15>0, 从而 0<y<5,即 y=1,2,3,4.

24 当 y=1 时,由①,②解得 <u<6, 5 故 u=5,从而由 2u+3y+z=15,z=2,故 x=1。即有解 x=1,y=1,z=2。 当 y=2 时,同理得 u=4,x=2,z=1。即有解 x=2,y=2,z=1。 当 y=3 或 4 时,满足①,②的整数 u 不存在。 于是不定方程的正整数解为:(1,1,2),(2,2,1)。 说明 请读者先讨论 z 的取值范围,分别在 z 取 1 或 2 时解二元不定方程。另外建议用

链接的方法先求出正整数解,而后再求正整数解。

链接

解 n 元一次不定方程 a1x1+ a2x2+…+ anxn=c 时,可先顺 c,则方程

次求出(a1,a2)=d2,(d2,a3)=d3,…(d n-1, an)=dn。若 dn 无解;若 dn | c,则方程有解,作方程组 a1x1+ a2x2=d2t2, d2t2+ a3x3=d3t3, …… dn-2t n-2+ a n-1x n-1=d n-1t n-1, d n-1t n-1+ a nx n=c。

求出最后一个方程的一切解, 然后把 t n-1 的每一个值代入倒数第 二个方程, 求出它的一切解, 再把 t n-2 的每一个值代入倒数第三个方 程,求出它的一切解,…,这样做下去即可得到方程的一切解。

例 3.解不定方程组 ? 分析

?5 x ? 7 y ? 2 z ? 24, ?3x ? y ? 4 z ? 4.

两个方程可以消去未知数 z,得到关于 x,y 的方程,解二元一次不定方程,把解

代入方程组中的一个,求出 z 的解即可。 解 由?

?5 x ? 7 y ? 2 z ? 24, 消 去 z 得: ?3x ? y ? 4 z ? 4.

13x+13y=52,即 x+y=4. 观察得方程 x+y=4 的一个特解是 x0=0,y0=4. 故其通解为: ?

?x ? t, (t 是整数) ? y ? 4 ? t.

代入 5x+7y+2z=24 得 z=-2+t,

?x ? t, ? 故原方程的通解为 ? y ? 4 ? t , (t 是整数)。 ? z ? ?2 ? t ?
说明 对于 m 个 n 元一次不定方程组(m<n)成的方程组,可以消去 m-1 个未知数,从

而也消去了 m-1 个不定方程式,将方程组转化为一个 n-m+1 元的一次不定方程。 例 4.求满足方程 2x2+5y2=11(xy-11)的正整数数组(x,y)。 分析 二次不定方程,常考虑分解因式或配方。
[来源:学科网 ZXXK]

把方程 2x2+5y2=11(xy-11)中含有未知数的项移到等号的左边,常数移到等号右边,分 解因式。 解 移项并对方程右边进行因式分解得:

(2x-y) (x-5y)=-112。于是有:

, ?2 x ? y ? ?11, ?2 x ? y ? ?1, ?2 x ? y ? ?121 或? 或? 或 ? , ? x ? 5 y ? 11, ? x ? 5 y ? 121 ? x ? 5 y ? 1, , ?2 x ? y ? 11, ?2 x ? y ? 121 ?2 x ? y ? 1, 或? 或? ? , ? x ? 5 y ? ?11, ? x ? 5 y ? ?1. ? x ? 5 y ? ?121
分别求解,其中的正整数解只有一组(x,y) =(14,27)。

链接

二次或高次不定方程的常见解法

1.因式分解法:对方程的一边进行因式分解,另一边作质因式分 解,然后对比两边,转为求解若干个方程组; 2.不等式估计法:构造不等式关系,确定不定方程中某些未知数 的范围,再分别处理; 3.无限递降法:若关于正整数 n 的命题 P(n)对某些正整数成立, 设 n0 是使 P(n)成立的最小正整数,可以推出:存在 n1∈N*,使得 n1 <n0 并且 P(n1)成立,适合证明不定方程无正整数解。

例 5.求不定方程 14x2-24 xy+21y2+4x-12y-18=0 的整数解。 分析 怎样对右边的多项式分解因式?

注意到 242-4×14×21=24(24-49)<0,可知右边的二次多项式不能分解因式,故尝试

配方。 解 原式变形为:2(x-3y+1)2+3(2x-y)2=20,

故 3(2x-y)2?20, 即平方数(2x-y)2?4, 当 (2x-y)2=0,1 时,(x-3y+1)2=10 或 2(x-3y+1)2=17, 均不可能,故(2x-y)2=4,从而 (x-3y+1)2=4, 由此得方程有唯一整数解: (1,0) 。 说明 配成平方和的形式可以构造不等式,估计未知数的范围。

情景再现
1.求不定方程 17x+40y=280 的整数解。 2.求不定方程 50x+45y+36z=10 的整数解。 3.解不定方程 6x+15y+21z+9w=30。 1 1 2 4.设 p 为奇素数,试求 + = 的正整数解。 x y p 5.求不定方程 x2-5xy+6y2-3x+5y-11=0 的整数解。

B 类例题
例 6.方程 x2 +y=x2y-1000 的正整数解为 分析 。 三次的不定方程,但也可以分解因式求解。另外注意到其中 y 是一次的,可以用 x

的分式表示 y。 解1 原方程即 x2y-x2-y-1000=0, 。

即 (x2-1)(y-1)=1001,所以 (x-1)(x+1)(y-1)=7×11×13, 要使正整数 x,y 满足方程,只能取 x=12, 使 x-1=11,x+1=13。 故原不定方程的正整数解为 x=12,y=8,即(12,8) 。 解2 x2+1000 1001 原方程变形为:y= 2 =1+ 2 x -1 x -1 =1+ 7×11×13 。 (x-1)(x+1)

因为 x,y 是正整数,所以(x-1)与(x+1)都是 1001 的约数,只能取 x-1=11,x+1=13 即 x=12。 故原不定方程的正整数解为 x=12,y=8,即(12,8) 。 说明 处理不定方程时要根据具体的情况分析,灵活运用方法。

例 7.证明方程 x2+y2-19xy-19=0 无整数解。 分析 方程可以变形为 x2+y2=19xy+19,左边是两个整数的平方和,右边是 19 的倍数。

证明 方程变形为 x2+y2=19xy+19, ∵ x2+y2=19xy+19≡0(mod19), 而 x2≡a(mod19),y2≡b(mod19),
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其中 a,b 可以取 0,1,4,9,16,6,17,11,7,5。 ∴ 当 a≠0 或 b≠0 时,x2+y2≡0(mod19)不成立, ∴ a = b = 0,∴ x≡0(mod19),y≡0(mod19),

设 x= 19m,y= 19n,m,n∈Z, 则方程变为 19m2+19n2=192mn+1(*) ,等式的左边是 19 的倍数,右边被 19 除余 1,方 程(*)无整数解,则原方程也无整数解。 说明 如果不定方程 F(x1, x2, …,xn)=0 有整数解, 则对任意 m∈N*, 其整数解(x1, x2, …,

xn)满足 F(x1,x2,…,xn)=0(modm)。利用这一必要条件,可以探究不定方程整数解的存在性。 本题也可以考虑运用 Guass 定理: 一个正整数 n 可表示为两个数平方之和的充要条件是 n 的 4k+3 型素因子(如果有的话) 出现的幂次一定是偶数; 引理:设 p 是 4k+3 型的素数,则 x2+1≡0(modp)没有整数解。 例 8.求方程 x2+y2=z2 中 0<z<10 的所有互质的正整数解。 分析 解 勾股方程的正整数解是勾股数。 方程 x2+y2=z2 适合 x>0, y>0, z>0, (x,y)=1, y 是偶数的一切正整数解可表示为:

x=a2-b2,y=2ab,z= a2+b2, 这里 a>b>0,(a,b)=1, 且 a,b 是一奇一偶两个整数。 故 a2+b2<10,a>b>0, ,从而 a=2,b=1,故 x=3,y=4,z=5。 ∴ (x,y,z)= (3,4,5)或(x,y,z)= (4,3,5)。 说明 对于方程 x2 + y2= z2,如果(x,y)=d,则 d2 | z2,从而只需要讨论(x,y)=1 的情

形,此时易知 x,y,z 两两互素。这种两两互素的正整数组(x,y,z)称为方程的本原解。 例 9.设 p 为质数,a,n∈N *,并且 2p+3p =an。证明:n = 1。 分析 从最小的质数 2 开始分析,从中寻找规律。当 p=2 时, a =22+32=13,则 n=1;
n n n

当 p=3 时, a =23+33=35,则 n=1;当 p=5 时, a =25+35=275=25×11,则 n=1,…… 证明 当 p=2 时, a =13,故 n=1;
n

当 p>2 时,质数 p 为奇数, a n =2p+3 p =5(2p-1-2p-2×3+…+3p-1), 故 5 | 2p+3p,若 n>1,则有 5 | (2p-1-2p-2×3+…+3p-1), 注意到 A=2p-1-2p-2×3+…+3p-1≡2p-1+2p-1+…+2p-1≡p×2p-1(mod5), 故 5 | p×2p-1,从而 5 | p,结合 p 为质数,知 p=5, 此时 a n =52×11,与 n>1 矛盾。所以命题成立。 说明 在归纳过程中,可以发现 a n 总是 5 的倍数,且只有 p=5 时, a n 是 25 的倍数,

从而在式子上找到答案。

情景再现
6.试证:不定方程 x 2 ? 3 y n ? ?1(n 是正整数)没有正整数解。 7.设 a,b,c,d 为正整数,ab=cd。证明: a 4 ? b 4 ? c 4 ? d 4 不是素数。 8.求所有的整数对(x,y),使得 x3=y3+2y2+1。

C 类例题
例 10.证明不定方程 x2 + y2=3(z2 + w2)没有非零整数解。 分析 解 无穷递降法 注意方程 x2 + y2=3(z2 + w2)的特点,若(x,y,z,w)是方程的非零解,则(|x|,|y|,|z|,

|w|)也是方程的非零解,不妨设(x0,y0,z0,w0)为方程的非零解,其中 x0?0,y0?0,z0?0, w0?0,x0+y0+z0+w0>0, 则 x02 + y02=3(z02 + w02)≡0(mod3), ∵ ∴ x02 + y02≡0(mod3),∴ x02≡0(mod3), y02≡0(mod3),

x0≡0(mod3), y0≡0(mod3), ∵∵

设 x0=3x1,y0=3y1,则 3(x12 + y12)= z02 + w02≡0(mod3), 同理 z0≡0(mod3), w0≡0(mod3),

设 z0=3z 1,w0=3w1,则可得 x12 + y12=3(z12 + w12),说明(x1,y1,z1,w1)也是方程 x2 + y2=3(z2 + w2)的非负非零解, 其中 x1?0, y1?0, z1?0, w1?0, 且 x0+y0+z0+w0>x1+y1+z1+w1 >0;继续以上过程,可得到一系列的非负非零解,使得 x0+y0+z0+w0>x1+y1+z1+w1>…> xn+yn+zn+wn>…>0。而且上述过程可以进行无限次,于是就有无限项的严格递减的正整数 数列

x0+y0+z0+w0,x1+y1+z1+w1,…,xn+yn+zn+wn,… 这是不可能的,因为 x0+y0+z0+w0=m 是一个有限大的正整数,数列后一项至少比前一项 小 1,则 xm+ym+zm+wm?0, 所以方程 x2 + y2=3(z2 + w2)没有非零整数解。 说明 无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解,使得它比已选择的解 “严格地

小”,由此产生矛盾。 例 11.证明:边长为整数的直角三角形的面积不能是平方数。 分析 解 反证法 假设结论不成立,在所有面积为平方数的勾股三角形中选取一个面积最小的,设其

1 边长为 x<y<z,且2错误!未定义书签。xy 是平方数。则必有(x,y)=1。因为 x2+y2=z2,故存在 整数 a>b>0,a,b 一奇一偶,(a,b)=1,使得(不妨设 y 是偶数) :x=a2-b2,y=2ab,z= a2+b2。 1 由于 错误!未定义书签。xy =(a-b)(a+b)ab 是平方数,而知 a-b,a+b,a,b 两两互素,故它 2 们都是平方数,即:a=p2,b=q2,a+b=u2,a-b=v2。 所以 u2-v2=2q2,即(u-v)( u+v)= 2q2。 因 u,v 是奇数,易知(u-v,u+v)= 2,于是 u-v 和 u+v 中有一个是 2r2,另一个是(2s)2, 1 1 而 q2=4r2s2。另一方面,由 a=p2,b=q2,a+b=u2,a-b=v2 得:p2= a=2( u2+v2)= 4[( u+v)2+( u -v)2]= 1 22 [(2r ) +(2s)4]= r4+ s4。 4

1 所以,以 r2,2s2,p 为边的三角形都是直角三角形,其面积等于 r2×2s2 是平方数,但 2 q2 b 1 (rs) = 4 =4<(a2-b2)ab =2错误!未定义书签。xy,
2

于是构造出一个面积更小的勾股三角形,矛盾! 例 12.a 是一个给定的整数,当 a 为何值时,x,y 的方程 y3+1=a(xy-1)有正整数解? 在有正整数解时,求解该不定方程。 分析 解 分类讨论 若有质数 p | x3、p | xy-1,则 p | x,从而 p | 1,矛盾。所以(x3,xy-1)=1。所以 xy

-1 | y3+1,当且仅当 xy-1 | x3(y3+1)。 因为 x3(y3+1)= (x3y3-1) + (x3+1),显然 xy-1 | x3y3-1, 所以 xy-1 | y3+1,当且仅当 xy-1 | x3 +1。
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(1)若 y=1,则 a=

2 ? Z .所以 x=2 或 x=3,a=2 或 1。 x ?1

(2)类似地,若 x=1,则

2 ? Z .所以 y=2 或 y=3,a=9 或 a=14. y ?1

* ,不妨设 x ? y ? 1 . (3)由于有条件○

若 x=y,则 a=

y3 ?1 1 ? y? ? Z ,所以 x=y=2,a=3. 2 y ?1 y ?1

若 x>y,则因为 y 3 ? 1 ? 1(mody), xy ? 1 ? ?1(mody) , 所以存在 b ? N ,使得: y 3 ? 1 ? ( xy ? 1)(by ? 1) 。

1 y3 ?1 y3 ?1 1 ?1. 所以 by-1= ,by-1< ? 2 ? y? y ?1 xy ? 1 y ? 1 y ?1
因为 y ? 2, b ? N , 所以必有 b=1.所以 y 3 ? 1 ? ( xy ? 1)( y ? 1) 。 故 y 3 ? xy 2 ? xy ? y, y 2 ? xy ? y ? 1 . 所以 x ?

y2 ?1 2 ? y ?1? ? N 。所以 y=2 或 y=3。 y ?1 y ?1

当 y=2 时,x=5;当 y=3 时,x=5.对应的 a 为 1 或 2。
* 知 x=2,y=5;以及 x=3,y=5 也是原方程的解,对应的整数 a 是 14 或 9。 由条件○

综上,当 a=1、2、3、9、14 时,原不定方程有正整数解,它们分别是: (3,1) , (5,2) ; (2,1) , (5,3) ; (2,2) ; (1,2) , (3,5) ; (1,3) , (2,5) 。

情景再现
9.求证:若 n ? 7(mod8),则 n 不能表示为 3 个平方数的和。 10.求不定方程组 ?

? x ? y ? z ? 0,
3 3 3 ? x ? y ? z ? ?18,

的整数解。

11.对整数 n,用 f(n)表示 n2+2 被 4 除的余数, 证明方程 x2 +(-1)yf(z)=10y 没有整数解。

习题 21
1.求不定方程 7x-15y=31 的解。

2.求不定方程组 ?

?x ? 2 y ? 3z ? 10, 的解。 ?x ? 2 y ? 5z ? 4.

3.求不定方程 5x-14y=11 的正整数解。 4.求方程 x2-dy2=1(d<-1)的非负整数解。 5.求不定方程 4x2-4xy-3y2=21 的正整数解。 6.求不定方程 x 2 ? 18xy ? 35 ? 0 的正整数解。 7.将一个四位数的数码相反顺序排列时为原来的 4 倍,求原数。 8.求不定方程 3x+2y+8z=40 的正整数解。 9.证明:对任意整数 a,b,5a?7b?0,方程组 ?

? x ? 2 y ? 3z ? 7u ? a, 有非负整数解。 ? y ? 2 z ? 5u ? b,

10. 是否存在正整数 x,y,z,u,v,使得其中每一个都大于 200, 并且 x2+ y2+ z2+ u2+ v2= xyzuv -65。 11.求不定方程 5 x ? 3 y ? 2 的正整数解。

“情景再现”解答:
1.(17,40)=1, ∵40=17×2+6,17=6×2+5,6=5×1+1。 ∴ 1=6-5×1=6-(17-6×2)×1=(40-17×2)×3-17, 即 40×3- 17×7=1,∴ 17×(-280×7)+40×3×280=280, ∴ 方程 17x+40y=280 的整数解是(-1960+40t,840-17t),t∈Z。 ∵ (50,45)=5,(5,36)=1,故方程有解。 原方程化为: ?

?50x ? 45y ? 5t , ?10x ? 9 y ? t , 即? ?5t ? 36z ? 10. ?5t ? 36z ? 10.

这里 t 是参数,在第一个方程中,将 t 看作常量, 在第二个方程中将 t 看作变量, 分别解得: ?

? x ? t ? 9 k1 , ?t ? ?70 ? 36 k 2 , 和? ? y ? ?t ? 10 k1 , ? z ? 10 ? 5k 2 .

这里 k1,k2 是任意整数,消去 t 得方程的通解:

? x ? ?70 ? 9k1 ? 36k 2 , ? ? y ? 70 ? 10k1 ? 36k 2 , ? z ? 10 ? 5k . 2 ?
3.原不定方程化为:2x+5y+7z+3w=10. 因为(2,5)=1,(1,7)=1,(1,3)=1,所以原不定方程有解,且方程化为:

? 2 x ? 5 y ? t1 , ? ?t1 ? 7 z ? t 2 , 这里 t1 , t 2 是参数,在方程的左边将 它们看成变量,在方程的右边将它们 ?t ? 3w ? 10. ?2
看成常量,分别解之得:

? x ? 3t1 ? 5k1 , ?t1 ? ?6t 2 ? 7k 2 , ? ? ? y ? ?t1 ? 2k 2 ; ? z ? t 2 ? k 2 ;
这里 k1 , k 2 , k 3 是任意整数,

?t 2 ? 1 ? 3k 3 , ? ?w ? 3 ? k 3 .

? x ? ?18 ? 5k1 ? 21k 2 ? 54k 3 , ? y ? 6 ? 2k ? 7 k ? 18k , ? 1 2 3 消去 t1 , t 2 得原不定方程的解为: ? ? z ? 1 ? k 2 ? 3k 3 , ? ?w ? 3 ? k 3 .
4.去分母得 2xy=p(x+y),即 4xy-2px-2py+p2= p2,

所以 (2x-p)( 2y-p)= p2,因为 p 为奇素数,所以(x,y)= (p,p), p+1 p+p2 p+p2 p+1 或(x,y)= ( , ),或(x,y)= ( , )。 2 2 2 2 5.原方程变为:(x-2y)(x-3y)+(x-3y)-4(x-2y)=11, 所以(x-2y+1)(x-3y-4)=7. 所以 ?

? x ? 2 y ? 1 ? ?1, ? x ? ?22, ? x ? 0, 从而解得? 或? ? x ? 3 y ? 4 ? ?7. ? y ? ?11; ? y ? 1.

故方程的整数解为(-22,-11)、(0,1)。
2 2 n 6.证明: x ? 1 ? 3 y 可得 x ? 1 是 3 的倍数。

2 2 将 x=3k,x=3k+1,x=3k+2 代入 x ? 1 知: x ? 1 皆不是 3 的倍数。

故原不定方程无解。 7 . 证 明 : 由 ab=cd 得 : a=us,b=vt,c=vs,d=ut, 其 中 u,v,s,t 都 是 正 整 数 。 因 此

a 4 ? b 4 ? c 4 ? d 4 = (us) 4 ? (vt) 4 ? (vs) 4 ? (ut) 4

=( u 4 ? v 4 )( s 4 ? t 4 )不是素数。 8.注意到:当 y>0 或 y<-3 时,均有 y 3 ? y 3 ? 2 y 2 ? 1 ? ( y ? 1) 3 ,此时 y 3 ? 2 y 2 ? 1不 是完全立方数,故原方程无解。 考虑 y=0,-1,-2,-3 的情形,分别代入得:方程的全部整数解为: (-2,-3) , (1,-2) , (1,0) 。 9.假设 n 可以表示为 x,y,z 的平方和,即 x2 + y2+ z2=n≡7(mod8), 则 x,y,z 中必有一奇数。 不妨设 x 是奇数,则 x2≡1(mod8),从而有 y2+z2≡6(mod8),即 y,z 同奇同偶。 若 y,z 同奇时,则显然不成立;若 y,z 同偶,则由 y≡4(mod8),矛盾。 故假设不成立,即 n 不能表示为 3 个平方数的和。 10.解:由原方程组中 x+y+z=0 得 z=-(x+y), 代入 x 3 ? y 3 ? z 3 ? ?18 得:xy(x+y)=6,故 xyz=-6,x、y、z 都是 6 的约数,并且只有一个是负数,从而得其整数解为:x=-3,y=2,z=1。

“习题 21”解答:
1. ?

? x ? 63 ? 15t , (t 为整数)。 ? y ? ?31 ? 7t.

? x ? ?5 ? 8t , ? 2. ? y ? 3 ? t , (t 为整数)。 ? z ? 3 ? 2t. ?
3. ?

?x ? 5 ? 14t , (t为整数,且 t ? 0) 。 ? y ? 1 ? 5t.

4.当 y≠0 时,x2-dy2>1,方程 x2-dy2=1(d<-1)无非负整数解,当 y=0 时,x2 =1, 则 x=1,所以方程的非负整数解为 x=1,y=0。 5.由 4x2-4 xy-3y2=21 得:(2x+y)(2x-3y)=21,故解为: ?

? x ? 8, ? x ? 3, ? ? y ? 5, ? y ? 1.

2 6.由 x ? 18xy ? 35 ? 0 得: 18 y ?

? x ? 1, ? x ? 35, 35 ? x ,x 是 35 的约数,得 ? 。 ? x ? y ? 2,? y ? 2.

7.设原数为 abcd ,依题意得方程:4 ? abcd = dcba. 因为两个数的位数相同,故 1 ? a ? 2 ,且 a 为偶数,故 a=2. 由题意得:d 只能为 9 或 8,但 d=9 不可能,因为方程左边的个位数为 6,而右边个位数为 2,

故 d=8.从而 32+40c+400b=2+10b+100c, 即 13b-2c=-1.观察法得 b=1,c=7,故所求原数为 2178。 8.显然此方程有整数解.先确定系数最大的未知数 z 的取值范围,因为 x,y,z 的最小值为 1,所以 1 ? z ? ?

32 ? 3 x ? 40 ? 3 ? 2 ? . ? 4 .当 z=1 时,原方程变为:3x+2y=32.即 y= ? 2 8 ? ?

由上式知:x 是偶数,且 2 ? x ? 10 ,故方程有 5 组正整数解,分别为:

? x ? 2, ? x ? 4, ? x ? 6, ? x ? 8, ? x ? 10, ? ? ? ? ? ? y ? 13; ? y ? 10; ? y ? 7; ? y ? 4; ? y ? 1.
当 z=2 时,原方程变为:3x+2y=24,即 y=

24 ? 3 x . 2

故方程有 3 组正整数解: ?

? x ? 2, ? y ? 9;

? x ? 4, ? ? y ? 6;

? x ? 6, ? ? y ? 3.

当 z=3 时,原方程变为:3x+2y=16,即 y

16 ? 3x . 2

故方程有 2 组正整数解: ?

? x ? 2, ? y ? 5;

? x ? 4, ? ? y ? 2.
8 ? 3x . 2

当 z=4 时,原方程变为:3x+2y=8,即 y

故方程有 1 组正整数解: ?

? x ? 2, ? y ? 1.

故原方程有 11 组正整数解(见下表所列): x y z 2 13 1 4 10 1 6 7 1 8 4 1 10 1 1 2 9 2 4 6 2 6 3 2 2 5 3 4 2 3 2 1 4

9.略证:令 u= ? ? ,由 5a?7b?0 知,v=b-5u 只能是 0,1,2,3,4 中的一个.由条件 5 a-7u ?

?b ? ? ?

7b 7v ? 7u ? . 5 5 7v ? 0; 5

当 v=0 时,取 y=z=0,x=a-7u,则 x ?

7 ? 2 ? ?1, 即x ? 0 ; 5 14 ? 3 ? ?1, 即x ? 0; 当 v=2 时,取 y=0,z=1,x=a-7u-3,则 x ? 5 21 ? 5 ? ?1,即x ? 0 ; 当 v=3 时,取 y=z=1,x=a-7u-5,则 x ? 5 28 ? 6 ? ?1, 即x ? 0 . 当 v=4 时,取 y=0,z=2,x=a-7u-6,则 x ? 5
当 v=1 时,取 y=1,z=0,x=a-7u-2,则 x ? 10.解:存在这样的正整数。易知(x,y,z,u,v)=(1,2,3,4,5)是原方程的正整数解。 一般地,设(x,y,z,u,v)是原方程的正整数解,并且 x<y<z<u<v.则将原方程视为关于 x 的一元二 次方程,可知(yzuv-x,y,z,u,v)也是原方程的正整数解,由对称性可知:(y,z,u,v,yzuv-x)也是解, 并且满足条件 y<z<u<v<yzuv-x.依此递推方式,可得原方程的无穷多组正整数解,并且后一步 构造的解中,最小的数比前一组中最小的数大。 故存在满足条件的正整数解。 11.解:显然 x=1,y=1 是原方程的解,若 x ? 1,则 y ? 1。 因为 5 x ? 1(mod4), 3 y ? (?1) y (mod4) ,1- (?1) y ? 2(mod4) , 所以 y=2 y1 +1 是奇数( y1 ? N ) 。 因为 3 y ? 0(mod9) ,所以 5 x ? 2(mod9) 。 因为 5 ? ?1(mod9),5 ? 1(mod9),5 ? 2(mod9) ,
3 6 5

所以 5

6 q ?5

? 55 ? 2(mod9) ,正整数 x 为 6q+5 形式的整数。
6 x 5 5

因为 5 ? (?2) ? 1(mod7) ,所以 5 ? 5 ? (?2) ? 3(mod7) ,
6

而3 ? 3
y

2 y1 ?1

? 2 y1 ? 3 ? 6 ? 5 ? 3(mod7) ,
2(mod7)。此时原方程无解。

x y 故对任意不为 1 的正整数 x,y, 5 ? 3

综上,原方程只有一组正整数解: (1,1) 。

备选题 12、求方程 xm=22n+1+2n+1 的三元正整数解(x,m,n)。 (2003 年土耳其数学奥林匹克)

13、证明:不存在一对正整数 x,y 满足方程 3y2=x4+x。 (2004 年韩国数学奥林匹克)

14、已知 x,y 是质数。求不定方程 xy-yx=xy2-19 的解。 (2004 年巴尔干数学奥林匹克)

15、求有多少个正整数对(m,n) ,使得 7m+3n=102004,且 m 整除 n。 (2004 年日本数学奥 林匹克)

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