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泉州市2015届市质检(第一次)数学(理)试卷


准考证号 (在此卷上答题无效)

姓名

保密★启用前

泉州市 2015 届普通中学高中毕业班质量检查理 科 数 学 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若复数 A. 2 2.各项均为正数的等比数列 A.1 C.3

1 ? ai ( i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 2?i
B.-2 C. ?

?an ? 中, a5 ,3a4 ,5a3 成等差数列,且 an ? an?1 (n ? N*) ,则公比 q 的值等于
开始
i ? 3, S ? 1

1 2

D.

1 2

B.2 D.5

3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为 A. log9 10 C.2 B. lg11 D. log3 10
i ? 9?

i ? i ?1

S ? S ? log i (i ? 1)




输出S

结束

4.已知正实数 x, y 满足 ?

? x ? y ? 4, ,若实数 k 满足 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,则 ? x ? y ?1
5 7
B. k 的最小值为 D. k 的最小值为

A. k 的最小值为 1, k 的最大值为 C. k 的最小值为

1 5 , k 的最大值为 2 7 5 , k 的最大值为 5 7

1 , k 的最大值为 5 2

5.若 (1 ? x)5 ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x)2 ? A.-31 B.0

? a5 (1 ? x)5 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值等于
C.1 D.32

6.设 a , b 是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是 A.存在唯一直线 l ,使得 l ? a ,且 l ? b C.存在唯一平面 ? ,使得 a ? ? ,且 b B.存在唯一直线 l ,使得 l

a ,且 l ? b

?

D.存在唯一平面 ? ,使得 a ? ? ,且 b ? ?

2 7.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 ,其中 a ? R ,则“ a ? 0 ”是“ f (?2013) ? f (2015) ”的

A.充分而不必要条件 C.充要条件 8.曲线 y

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件.

在区间 (m, m ? 1)(m ? Z) 内,则实数 m 的值为 ? e x 与曲线 y ? 5 ? x 交点的纵坐标 ...
市单科质检数学(理科)试题 第 1 页(共 16 页)

A.1

B.2

C.3

D.4

9.已知直线 ax ? by ? 2 ? 0 ( a ? 1, b ? 1 )被圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 截得的弦长为 2 3 ,则 ab 的最小值为 A. 2 ? 1 B. 2 ? 1 C. 3 ? 2 2 D. 3 ? 2 2

10.平面向量 a , b 中,|a| ? 0 , b ? ta (t ? R ) . 对于使命题“ ?t ? 1 , | c ? b |?| c ? a | ”为真的平面向量 c ,给出下 列命题: ① ?t ? 1, (c ? a) ? (b ? a) ? 0 ; ③ ?t ? R,(c ? a) ? (c ? b) ? 0 ; 则以上四个命题中的真命题是 A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④ ② ?t ? 1,(c ? a) ? (b ? a) ? 0 ; ④ ?t ? R,(c ? a) ? (c ? b) ? 0 .

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请将答案填在答题卡的相应位置. 11.设集合 M ? ??1,0,1,2? , N ? y y ? 2 ? 1, x ? R ,则 M
x

?

?

N ? _____________.

12.

?

1

?1

e dx ? _____________.
x

AB ? 2 , AD ? AA1 ? 2 .设长方体的截面 13.如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
四边形 ABC1D1 的内切圆为 O ,圆 O 的正视图是椭圆 O ,则椭圆 O 的离心率等于 ______________. 14.单位圆 O 的内接四边形 ABCD 中, AC ? 2 , ?BAD ? 60 ,则四边形 ABCD 的 面积的取值范围为_____________. 15.关于圆周率 ? ,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也 可以通过设计下面的实验来估计 ? 的值:先请 120 名同学,每人随机写下一个都小于 1 的正实数对 ( x, y ) ;再统 计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对 ( x, y ) 的个数 m ; 最后再根据统计数 m 来估计 ? 的值. 假如统计结果是
' '

m ? 94 ,那么可以估计 ? ? _____________. (用分数表示)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光盘习惯”的调查中,随机发放了 120 份问卷. 对收回的 100 份有效问卷进行统计,得到如下 2 ? 2 列联表: 男 女 合计 做不到光盘 45 30 75 能做到光盘 10 15 25 合计 55 45 100

(Ⅰ)现已按是否能做到光盘分层从 45 份女生问卷中抽取了 9 份问卷. 若从这 9 份问卷中随机抽取 4 份,并记
市单科质检数学(理科)试题 第 2 页(共 16 页)

其中能做到光盘的问卷的份数为 ? ,试求随机变量 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过 p ,那么,根据临界值表,最精确的 p 值应为 多少?请说明理由.

n(ad ? bc)2 附:独立性检验统计量 K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ; (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

独立性检验临界值表:

P(K 2 ? k0 )
k0

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.840

0.025 5.024

17.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 , ? ? 最小正周期为 T . (Ⅰ)若 f ' ( x0 ) ? 0 ,试求 T 的最大值及 T 取最大值时相应的函数解析式; (Ⅱ)若将所有满足题设条件的 ? 值按从小到大的顺序排列,构成数列 {?n } ,试求数列 {?n } 的前 n 项和 Sn .

?
2

)有一个零点 x0 ? ?

2 7 ,且其图象过点 A( ,1) .记函数 f ( x ) 的 3 3

18.(本小题满分 13 分) 将一块边长为 10 的正方形纸片 ABCD 剪去四个全等的等腰三角形 ?SEE ' , ?SFF ' , ?SGG ' , ?SHH ' ,再将

F 剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的工艺品包装盒 S ? EFGH , 其中 A, B, C , D 重合于点 O ,E 与 E ' 重合,
与 F ' 重合, G 与 G ' 重合, H 与 H ' 重合(如图所示) . (Ⅰ )求证:平面 SEG ? 平面 SFH ; (Ⅱ )试求原平面图形中 AE 的长,使得二面角 E ? SH ? F 的余弦值恰为 (Ⅲ)指出二面角 E ? SH ? F 的余弦值的取值范围(不必说明理由) .

2 ; 3

市单科质检数学(理科)试题

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19. (本小题满分 13 分) 已知:动圆 M 与圆 F : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 内切,且与直线 l : x ? ?2 相切,动圆圆心 M 的轨迹为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程; (Ⅱ)过曲线 ? 上的点 P( x0 , 2) 引斜率分别为 k1 , k2 的两条直线 l1 , l2 ,直线 l1 , l2 与曲线 ? 的异于点 P 的另一个交点 分别为 A, B . 若 k1k2 ? 4 ,试探究:直线 AB 是否恒过定点?若恒过定点,请求出该定点的坐标;若不恒过 定点,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分)
x 已知函数 f ? x ? ? ex ,记 p : ?x ? R , e ? kx ? 1 .

(Ⅰ )求函数 f ? x ? 的图象在点 P 0, f ?0 ? 处的切线的方程; (Ⅱ )若 p 为真,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ )若[ x ]表示不大于 x 的最大整数,试证明不等式 ln 的值. 21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 14 分.如果多做,则按所做 的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ?

?

?

n ?1 1 1 1 1 ? (n ? N* ) ,并求 S ? [ ? ? ? n n 10 11 12

?

1 ] 100

? ?1 1 ? ?1 1? ?,B ? ? ?. ? 4 ?3 ? ?0 2?

(Ⅰ)若点 P ? 2, ?4 ? 依次经过矩阵 A, B 所对应的变换后得到点 P? ,求点 P? 的坐标; (Ⅱ)若存在矩阵 M 满足 AM ? B ,求矩阵 M . (2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 C 的极坐标方程为

3 ? cos2 ? ? sin ? .直线 l 过点 ? ?1,2 ? 且倾斜角为 ? . 4
(Ⅰ)在直角坐标系下,求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ) 已知直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求线段 AB 的长.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲
市单科质检数学(理科)试题 第 4 页(共 16 页)

已知 a, b, c ? R ? , a ? 2b ? 3c ? 2 3 ,记 a ? b ? c 的最小值为 m .
2 2 2

(Ⅰ) 求实数 m ; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 x ? 3 ? m 和 x2 ? px ? q ? 0 的解集相同,求 p ? q 的值.

2015 届泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6.C 7.B 8.C 9.D 10.A

部分试题考查意图说明: 第 10 题 特殊化地取 a =(1,0) ,则 b =(t,0). 设 c = ( x, y ) ,由 | c ? b |?| c ? a | ,得 ( x ? t )2 ? y 2 ? ( x ?1) 2 ? y 2 ,化简得 x ? 因为 t ? (1, ??) ,所以

t ?1 (t ? 1) . 2

t ?1 ? (1, ??) ,所以命题“ ?t ? 1 , | c ? b |?| c ? a | ”等价于“ x ? 1 ” , 2

所以向量 c = ( x, y ) 满足 x ? 1 . 因为 (c ? a) ? (b ? a) ? (x ?1)( t ?1) ,所以①真,则②假,故排除 B、C. 法一:若③真,则④真,A 与 D 都正确,与选择题“有且只有一个选项正确”矛盾,故③必假,排除 D,选 A. 法二:因为 (c ? a) ? (c ? b) ? (x?1)(t ?1) ? y ,y,x,t 是独立变量,所以④真③假,故选 A.
2

本题用向量及运算的几何意义求解,将更为简捷! 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11. ?2? 12. 2(e? 1) 13.

2 2

14. (

3 , 3] 2

15.

57 . 15

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查超几何分布、离散型随机变量的分布列、数学期望、统计案例等基础知识,考查运算求解能力、 数据处理能力、应用意识,考查必然与或然思想等. 满分 13 分. 解: (Ⅰ)因为 9 份女生问卷是用分层抽样方法取得的, 所以这 9 份问卷中有 6 份做不到光盘,3 份能做到光盘. 随机变量 ? 的分布列为: ????2 分 因为 ? 表示 9 份问卷中能做到光盘的问卷份数,所以 ? 有 0,1, 2,3 的可能取值.

P(? ? 0) ?

4 C6 15 5 , ? ? 4 C9 126 42

P(? ? 1) ?

3 1 C6 C3 60 20 10 ? ? ? , C94 126 42 21

市单科质检数学(理科)试题

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P(? ? 2) ?

2 2 C6 C3 45 15 5 ? ? ? , 4 C9 126 42 14

P(? ? 3) ?

1 3 C6 C3 6 1 ? ? . 4 C9 126 21

????5 分 随机变量 ? 的分布列可列表如下:

?
P

0

1

2

3

5 42

10 21

5 14

1 21

所以 E? ? 0 ?

5 10 5 1 4 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? . 42 21 14 21 3

????7 分(期望占 2 分)

(Ⅱ) K 2 ?

100(45 ?15 ? 30 ?10) 2 100 n(ad ? bc)2 ? ? ? 3.03 .?10 分 55 ? 45 ? 25 ? 75 33 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
100 ? 3.03 ? 3.840 , 33
???13 分

因为 2.706 ?

所以能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关,即最精确的 p 值应为

0.1 .

17.本小题主要考查三角函数的图象与性质、等差数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识,考查推理论证能力、 运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 有一个零点 x0 ? ?

2 2 ,即其图象过点 B(? , 0) . 3 3 7 3

??1 分

因为函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的最大值为 1,且 A( ,1) 在其图象上, 所以 A( ,1) 是其图象的最高点. 因为 f ' ( x0 ) ? 0 , 所以 x0 ? ?

7 3

??2 分

2 在函数 f ( x ) 的一个单调递减区间内, 3 4 7 3 3 2 3

??3 分 ??5 分 ??6 分

所以 T 的最大值为 [ ? (? )] ? 4 . 由 T ? 4 ,得

2?

2 因为函数 f ( x ) 的图象过点 A ,
所以 sin( 又? ?

?

? 4, ? ?

?

.

7? 7? ? 2? ? ? ) ? 1 ,故 ? ? ? 2k? ? ( k ? Z) , ? ? 2k? ? (k ? Z) , 6 6 2 3
,所以 k ? 1, ? ?

?
2

?
3


第 6 页(共 16 页)

??8 分

市单科质检数学(理科)试题

故 f ( x) ? sin(

?

x? ). 2 3 7 3

?

????9 分

(Ⅱ)由函数 f ( x) ? sin(? x ? ?) 的图象过点 A( ,1) , 得 sin(

7? 7? ? ??) ? 1, ? ? ? 2k1? ? ( k1 ? Z) ?①. 3 3 2 2 , 3
??10 分

由函数 f ( x) ? sin(? x ? ?) 有一个零点 x0 ? ? 得 sin( ?

2? 2? ? ?) ? 0 , ? ? ? ? k2? (k2 ? Z) ?②. 3 3

由①-②得, 3? ? (2 k1 ? k2 )? ?

?
2

( k1、k2 ? Z) ,.

因为 k1 , k2 可取任意整数,所以 2k1 ? k2 可取任意整数, 故有 3? ? k? ?

?
2

( k ? Z) . n? ? ? ( n ? N* ) . 3 6
??11 分 ??13 分

又因为 ? ? 0 ,所以 k ? 0 ,从而 ?n ? 因为数列 {?n } 是首项为

? ? ,公差为 的等差数列, 6 3 ? n(n ? 1) ? ? 2 ? ? n . 所以其前 n 项的和 S n ? n ? ? 6 2 3 6

18.本小题主要考查抛物线的定义、标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求 解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分. 解:(Ⅰ ) 折后 A, B, C , D 重合于一点 O , ∴ 拼接成底面 EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形, ∴ 底面 EFGH 是正方形,故 EG ? FH . 在原平面图形中,等腰三角形 ?SEE ' ∴SE ? SG , ∴EG ? SO . 又 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分

?SGG ' ,

SO, FH ? 平面 SFH , SO

FH ? O ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分

∴EG ? 平面 SFH . 又∵EG ? 平面 SEG , ∴ 平面 SEG ? 平面 SFH .

(Ⅱ ) 由(Ⅰ )知 EG ? FH , EG ? SO , 并可同理得到 HF ? SO , 故以 O 为原点, 分别以 OF , OG, OS 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz . 设原平面图形中, AE ? t , 则底面正方形 EFGH 的对角线 EG ? 2t , ∴ H (?t , 0, 0) , E (0, ?t , 0) , G (0, t , 0) , HE ? (t , ?t ,0) , OG ? (0, t,0) .
市单科质检数学(理科)试题 第 7 页(共 16 页)

在原平面图形中,可求得 SE ? 50 ?10t ? t 2 , 在在 Rt ?SOE 中,可求得 SO ? SE2 ? OE2 ? 50 ?10t , ∴ S (0,0, 10(5 ? t )) , SH ? (?t,0, ? 10(5 ? t )) . 设平面 SEH 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

?y ? x ? ? ?n ? SH ? ?tx ? 10(5 ? t ) z ? 0, t 则? 化简,得 ? , z?? x n ? HE ? tx ? ty ? 0, ? ? ? 10(5 ? t ) ?
令 x ? 10(5 ? t ) ,得 n ? ( 10(5 ? t), 10(5 ? t), ?t) .. . . . . . . . . . . . . .11 分 ∵EG ? 平面 SFH ∴OG 是平面 SFH 的一个法向量, 设二面角 E ? SH ? F 的大小为 ? , 则

cos ? ?

n ? OG n ? OG

?

10(5 ? t ) . 10 ? t

. . . . . . . . . . . . . . .13 分

∵二面角 E ? SH ? F 的余弦值恰为 ∴

2 , 3

10(5 ? t ) 2 5 ? ,解得 t ? 或 t ? ?5 (舍去). 2 3 10 ? t 2 (Ⅲ)二面角 E ? SH ? F 的余弦值的取值范围为 ( ,1) . 2

19.本小题主要考查直线和方程、抛物线的定义、直线与圆、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力,考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 13 分. 解:(Ⅰ)解法一: 因为动圆 M 与圆 F 内切,且与直线 l : x ? ?2 相切, 所以圆心 M 必在直线 l : x ? ?2 的右侧. 设点 M 到直线 x ? ?2 的距离为 d ,则 d ? MF ? 1,| MF |? d ?1 , 所以 MF 等于点 M 到直线 x ? ?1 的距离, 所以点 M 的轨迹是以 F 为焦点,直线 x ? ?1 为准线的抛物线, 故动圆圆心 M 的轨迹方程为 y ? 4 x .
2

???1 分 ???2 分 ???3 分 ????4 分 ????5 分
第 8 页(共 16 页)

市单科质检数学(理科)试题

解法二: (Ⅰ)设点 M ( x, y ) . 因为动圆 M 与圆 F 内切,且与直线 l : x ? ?2 相切, 所以 M ( x, y ) 到直线的距离 d ? MF ? 1,且圆心 M 必在直线 l : x ? ?2 的右侧. ???2 分 因为点 M 到直线 l : x ? ?2 的距离 d ? x ? (?2) ? x ? 2 , ????3 分

MF ?1 ? x ? 2 ,即 MF ? x ? 1 ,
2 2 所以 ( x ? 2) ? y ? x ? 1 ,化简得 y 2 ? 4 x ,

故动圆圆心 M 的轨迹方程为 y 2 ? 4 x . (Ⅱ)因为点 P( x0 ,2) 在抛物线 y 2 ? 4 x 上, 所以 22 ? 4 x0 ,解得 x0 ? 1 ,故 P(1, 2) . 解法一: 若直线 AB 的斜率不存在,则 k1 , k2 异号,与 k1k2 ? 4 矛盾, 故设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,并设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b , k1 ?

????5 分

?6 分

???7 分

y1 ? 2 y ?2 , , k2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

由 k1k2 ? 4 ,得 y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 4[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1] ????①, 将 y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b 代入①,得:

(k 2 ? 4) x1x2 ? (kb ? 2k ? 4)( x1 ? x2 ) ? b2 ? 4b ? 0 .????②
联立方程组 ?

????9 分

? y ? kx ? b, ? y ? 4x
2

,消去 y ,得 k x ? (2kb ? 4) x ? b ? 0 ,
2 2 2

4 ? 2kb b2 , x x ? , 1 2 k2 k2 代入②,得 (b ? 2)( k ? b ? 2) ? 0 . 因为 A, B 均异于点 P(1, 2) ,且直线与抛物线最多两个交点, 所以 P(1, 2) 不在直线 AB 上, k ? b ? 2 , 所以 b ? ?2 ,此时直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 , 由直线 AB 的方程 y ? kx ? 2 可知直线 AB 恒过定点 (0, ?2) .
所以 x1 ? x2 ? 解法二:
市单科质检数学(理科)试题

????10 分 ???11 分 ???12 分 ???13 分

第 9 页(共 16 页)

因为左右开口的抛物线上两点连线的斜率必不为零, 所以设直线 AB 的方程为 x ? my ? n ,并设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 则 x1 ? my1 ? n, x2 ? my2 ? n , k1 ?

???7 分

y1 ? 2 y ?2 . , k2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

由 k1k2 ? 4 ,得 y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ? 4[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1] ????①, 将 x1 ? my1 ? n, x2 ? my2 ? n 代入①,得

(4m2 ?1) y1 y2 ? (4mn ? 4m ? 2)( y1 ? y2 ) ? 4n2 ? 8n ? 0 ???②,
联立方程组 ?

?9 分

? x ? my ? n,
2 ? y ? 4x

,消去 x ,得 y ? 4my ? 4n ? 0 ,
2

所以 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4n , 代入②,得-4n(4m ?1) ? 4m(4mn ? m ? 2) ? 4n ? 8n ? 0 ,
2 2

????10 分

化简,得 (2m ? n)(2m ? n ? 1) ? 0 . 因为 A, B 均异于点 P(1, 2) ,且直线与抛物线最多两个交点, 所以 P(1, 2) 不在直线 AB 上, 2m ? n ? 1 , 所以 2m ? n ? 0 ,此时直线 AB 的方程可化为 x ? m( y ? 2) . 由直线 AB 的方程 x ? m( y ? 2) 可知直线 AB 恒过定点 (0, ?2) . 解法三:

???11 分 ???12 分 ???13 分

直线 PA 的方程为 y ? 2 ? k1 ( x ? 1) ,直线 PB 的方程为 y ? 2 ? k2 ( x ? 1) ,??7 分

联立方程组 ?

? y ? 2 ? k1 ( x ? 1),
2 ? y ? 4x

,消去 x ,得 y ? 2 ? k1 (

y2 ? 1) , 4

整理,得 k1 y 2 ? 4 y ? 8 ? 4k ? 0 , 所以 y1 ? 2 ?

8 ? 4k1 4 ? 2k1 (2 ? k1 ) 2 ,即 y1 ? ,代入 y ? 2 ? k1 ( x ? 1) ,得 x1 ? , k1 k1 k12
????9 分

故 A(

(2 ? k1 )2 4 ? 2k1 , ), k12 k1 (2 ? k2 )2 4 ? 2k2 , ), k2 2 k2
市单科质检数学(理科)试题

同理,得 B(

第 10 页(共 16 页)

因为 k1k2 ? 4 ,所以 k 2 ?

(k ? 2) 2 4 , k1 ? 2) , ,故 B( 1 4 k1

??10 分

所以直线 AB 的斜率 k ?

y2 ? y1 y2 ? y1 4k1 4 ,??11 分 ? ? ? x2 ? x1 1 y 2 ? 1 y 2 y1 ? y2 (k1 ? 2)2 2 1 4 4
4k1 4k1 (k1 ? 2)2 x?2, ( x ? ) ,即 y ? 2 (k1 ? 2) 2 (k1 ? 2) 4
????12 分 ????13 分

直线 AB 的方程为 y ? (k1 ? 2) ?

所以直线 AB 恒过定点 (0, ?2) . 解法四: 设 A(t12 , 2t1 ), B(t22 , 2t2 ) , 则 k1 ?

????7 分

2t1 ? 2 2t ? 2 2 2 , k2 ? 2 , ????8 分 ? ? 2 2 t1 ? 1 t1 ? 1 t2 ? 1 t2 ? 1 2 2 4 , k1k2 ? ? ? t1 ? 1 t2 ? 1 t1t2 ? t1 ? t2 ? 1 4 又 k1k2 ? 4 ,所以 ? 4 ,整理,得 t1t2 ? t1 ? t2 ? 0 ,????10 分 t1t2 ? t1 ? t2 ? 1 2 直线 AB 的斜率 k ? , ????11 分 t1 ? t2 2 所以直线 AB 的方程为 y ? 2t1 ? ( x ? t12 ) , t1 ? t2
即 (t1 ? t2 ) y ? 2t1t2 ? 2x , (t1 ? t2 )( y ? 2) ? 2 x , 所以直线 AB 过定点 (0, ?2) . 解法五: 因为 k1k2 ? 4 且 k1 , k2 具有任意性,不妨取 k1 ? 1, k2 ? 4 , 此时直线 PA 的方程为 y ? x ? 1 ,直线 PB 的方程为 y ? 4 x ? 2 . 联立方程组 ? ??12 分 ????13 分

? y ? x ?1 ,解得 A ?1, 2 ? ,此时点 A 与点 P 重合(虽不合是题意,但属极限位置情况,估且作 2 ? y ? 4x

为一种情况) ;

1 ? ? y ? 4x ? 2 ? x ?1 ? x ? ?1 ? 联立方程组 ? 2 ,解得 ? 或? 4 ,所以 B ? ,1? . ?4 ? ? y ? 4x ? y ? 2 ? y ? ?1 ?
从而得到 k1 ? 1, k2 ? 4 时直线 AB 的方程为 y ? 4 x ? 2 . ????①

市单科质检数学(理科)试题

第 11 页(共 16 页)

再取 k1 ? ?1, k2 ? ?4 , 此时直线 PA 的方程为 y ? ? x ? 3 ,直线 PB 的方程为 y ? ?4 x ? 6 . 联立方程组 ?

? y ? ?x ? 3 ? x ?1 ? x ? 9 ,解得 ? 或? ,所以 A ? 9, ?6? ; 2 ? y ? 4x ? y ? 2 ? y ? ?6

9 ? ? y ? ?4 x ? 6 ? x ?1 ? x ? ?9 ? 联立方程组 ? ,解得 ? 或? 4 ,所以 B ? , ?3 ? . 2 ?4 ? ? y ? 4x ? y ? 2 ? y ? ?3 ?
从而得到 k1 ? ?1, k2 ? ?4 时,直线 AB 的方程为 4 x ? 9 y ? 18 ? 0 .??②???7 分 联立①②,解得交点坐标为 ? 0, ?2 ? . 特殊化地猜想:直线 AB 恒过定点 ? 0, ?2 ? . 以下给出具体的证明: 若直线 AB 的斜率不存在,则 k1 , k2 异号,与 k1k2 ? 4 矛盾, 故设直线 AB 的方程为 y ? mx ? 2 , 联立方程组 ? ????9 分 ????8 分

? y ? mx ? 2 ,消去 y ,得 m2 x2 ? ? 4m ? 4? x ? 4 ? 0 . 2 ? y ? 4x
4m ? 4 4 , x1 x2 ? 2 , 2 m m 4 , m 8 . m
????11 分

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

代入直线方程,可得: y1 ? y2 ? m ? x1 ? x2 ? ? 4 ?

y1 y2 ? ? mx1 ? 2 ?? mx2 ? 2 ? ? m 2 x1 x2 ? 2m ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ?

k1 ? k AP ?

y1 ? 2 y ?2 , , k2 ? kBP ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

8 8 16 ? ? 4 ? ?4 y1 ? 2 y2 ? 2 y1 y2 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 4 m m m 因为 k1k2 ? . ? ? ? ? 4, 4 4m ? 4 4 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 m2 m2 m ?
满足题意要求,所以直线 AB 恒过 ? 0, ?2 ? .??13 分

20.本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的的运算及导数的应用、全称量 词与存在量词等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能 力以及应用意识,考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、
市单科质检数学(理科)试题 第 12 页(共 16 页)

有限与无限思想、特殊与一般思想等.满分 14 分. 解: (Ⅰ )因为 f ? ? x ? ? ex , ??1 分

所以 f ? ? 0? ? 1 ,即函数的图象在点 P 0, f ?0 ? 处的切线的斜率为 1. ??2 分 又因为切线过切点 P ? 0,1? , 所以函数 f ? x ? 的图象在点 P ? 0,1? 处的切线方程为 y ? x ? 1 . (Ⅱ )令 h ? x ? ? e ? kx ? 1 ,则 h? ? x ? ? ex ? k .
x

?

?

??3 分

①当 k ? 0 时,恒有 h? ? x ? ? ex ? k ? 0 , 所以 h ? x ? 在 (??, ??) 递增, 又因为 h ? 0? ? 0 , 所以当 x ? 0 ,都有 h ? x ? ? 0 ,即命题 p 为真. ②当 k ? 0 时, 令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? ln k ;令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? ln k ;令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? ln k . 所以 h( x) 在 (??,ln k ) 递减,在 (ln k , ??) 递增, 故当 x ? ln k 时, h ? x ? 取得最小值 h ? ln k ? ? k ? k ln k ?1 . 令 m ? x ? ? x ? x ln x ?1,则 m? ? x ? ? ? ln x . 因为 m? ? x ? ? 0 ? x ? 1 , m? ? x ? ? 0 ? 0 ? x ? 1 , 所以 m ? x ? 在区间 [1, ??) 单调递减,在区间 (0,1] 单调递增, 当 k ? 0 且 k ? 1 时, ??5 分 ??4 分

h ? ln k ? ? m(k ) ? m(1) ? 0 ,存在 x ? ln k ,使得 e x ? kx ? 1 ,命题 p 为真;??7 分
当 k ? 1 时, h ? x ? 的最小值 h ? ln k ? ? k ? k ln k ?1 ? 0 , 所以 h ? x ? ? 0( x ? R) ,命题 p 为假. 综合①②知,若 p 为真,实数 k 的取值范围为 {k | k ? R, k ? 1} . (Ⅲ )由(Ⅱ )知, e ? x ? 1 对 x ? R 恒成立,
x

??8 分 ??9 分

市单科质检数学(理科)试题

第 13 页(共 16 页)

所以,当 x ? 1 ? 0 时,有 ln ? x ?1? ? x . 令x ? 由 ln ?

1 ? n ?1 ? 1 ( n ? N* ) ,即证得, ln ? ? (n ? N* ) . ? n ? n ? n

??10 分

? n ?1 ? 1 * ? ? (n ? N ) 得: ? n ? n 1 1 1 1 11 12 13 101 101 ? ? ? ? ? ln ? ln ? ln ? ? ln ? ln . 10 11 12 100 10 11 12 100 10 1 ? n ? 1 * 在 ln ? x ? 1? ? x( x ? ?1) 中,令 x ? ? ( n ? N ) 得, ln ? ?? , n ? n ?1 ? n
所以

??11 分 ??12 分

1 1 1 ? ? ? 10 11 12

?

1 10 11 12 ? ln ? ln ? ln ? 100 9 10 11 ? 1 100 ? ln , 100 9

? ln

100 100 ? ln .??13 分 99 9

因此 ln

101 1 1 1 ? ? ? ? 10 10 11 12

又因为 2 ? ln 所以 2 ?

101 100 ? 3, 2 ? ln ?3. 10 9 ? 1 1 1 1 ? 3 ,则 S ? [ ? ? ? 100 10 11 12 ? 1 ] ? 2 .??14 分 100

1 1 1 ? ? ? 10 11 12

21. (1)选修 4—2:矩阵与变换 本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的运算等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分 7 分 解:(Ⅰ) 解法一: 因为 ?

? ?1 1 ?? 2 ? ? ?6 ? ? 1 1 ?? ?6 ? ? 14 ? ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? , ? 4 ?3 ?? ?4 ? ? 20 ? ? 0 2 ?? 20 ? ? 40 ?
????4 分

所以点 P? 的坐标为 ?14,40? . 解法二:

? 1 1 ?? ?1 1 ? ? 3 ?2 ? BA ? ? ?? ??? ?, ? 0 2 ?? 4 ?3 ? ? 8 ?6 ?

????2 分

? BA ? ?

? 2 ? ? 3 ?2 ?? 2 ? ? 14 ? ??? ?? ? ? ? ? , ? ?4 ? ? 8 ?6 ?? ?4 ? ? 40 ?
????4 分

所以点 P? 的坐标为 ?14,40? . (Ⅱ) 解法一:

? ?a ? c ? 1, ? ?b ? d ? 1, ?a b? ? ?1 1 ?? a b ? ? 1 1 ? ? 设M ? ? ,则有 ,即 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 4 ?3 ?? c d ? ? 0 2 ? ?c d? ? 4a ? 3c ? 0, ? ?4b ? 3d ? 2.
市单科质检数学(理科)试题 第 14 页(共 16 页)

??6 分

? a ? 3, ? b ? 5, ? 解得 ? ? c ? 4, ? ? d ? 6.
解法二: 因为 det A ?

所以 M ? ?

? 3 5? ?. ? 4 6?

????7 分

?1 1 ? 3 1? ? ?1 ,所以 A?1 ? ? ?, 4 ?3 ? 4 1?
?1

??6 分

又因为 M ? A B ,所以 M ? ?

? 3 1?? 1 1 ? ? 3 5 ? ?? ??? ?. ? 4 1?? 0 2 ? ? 4 6 ?

??7 分

21(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想、 函数与方程思想.满分 7 分. 解:(Ⅰ)当 ? ? 0 时,方程 ? cos2 ? ? sin ? 可化为 ?2 cos2 ? ? ? sin ? , 从而得到方程 y ? x2 ; ??1 分

当 ? ? 0 时 , 因 为 sin ? ? 0 有 解 , 所 以 曲 线 C 过 极 点 , 极 点 对 应 的 直 角 坐 标 (0, 0) 也 满 足 方 程

y ? x2 .
综上可知,曲线 C 的直角坐标方程为 y ? x2 .

??2 分 ???3 分

? 3 ? x ? ? 1 ? t cos ? , ? x ? ?1 ? ? ? ? 4 直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 2 ? t sin 3 ? ? y ? 2? ? ? ? 4 ?
(Ⅱ) 解法一:

2 t, 2 ( 为参数).??4 分 t 2 t 2

? ? x ? ?1 ? ? 将? ? y ? 2? ? ?

2 t 2 代入 y ? x2 ,整理,得 t 2 ? 2t ? 2 ? 0 , 2 t 2

????5 分

因为 ? ? 2 ? 8 ? 0 ,所以直线 l 与曲线 C 相交. 设交点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,
市单科质检数学(理科)试题 第 15 页(共 16 页)

则 t1 ? t2 ? ? 2, t1t2 ? ?2 , 所以 AB ? t1 ? t 2 ? 解法二: 由倾斜角知直线 l 的斜率为-1, 所以其对应的方程为: y ? 2 ? ?( x ? 1) ,即 y ? ? x ? 1 .

??6 分
2

?t1 ? t2 ?

? 4t1t2 ? 2 ? 8 ? 10 .

????7 分

?5 分

联立 ?

? y ? ?x ?1 2 ,整理得 x ? x ? 1 ? 0 . 2 y ? x ?

??6 分

因为 ? ? 1 ? 4 ? 0 ,所以直线 l 与曲线 C 相交. 设交点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ? ?1, x1 x2 ? ?1, 所以 AB ? 1 ? k
2

x2 ? x1 ? 1 ? k 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10 . ???7 分

21(3)选修 4—5:不等式选讲 本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思 想、化归与转化思想等.满分 7 分. 解:(Ⅰ)由柯西不等式,可得 (a2 ? b2 ? c2 )[1 ? ( 2) 2 ? ( 3) 2] ? ( a ? 2 b ? 3 c )2 , 整理,得 a ? b ? c ? 2 ,
2 2 2

??2 分

当且仅当
2

a b c 3 6 ? ? 时取等号,即 a ? ,b ? , c ? 1时,等号成立,?3 分 1 3 3 2 3
2 2

所以 a ? b ? c 的最小值 m ? 2 . (Ⅱ)不等式 x ? 3 ? m 即 x ? 3 ? 2 ,

????4 分

由 x ? 3 ? 2 或 x ? 3 ? ?2 ,解得 x ? 5 或 x ? 1 .(也可观察数轴得到解集) ??5 分 所以不等式 x ? px ? q ? 0 的解集为 {x | x ? 1或x ? 5} ,
2

则 x ? 5 和 x ? 1 是关于 x 的方程 x ? px ? q ? 0 的两根,
2

由韦达定理,得 p ? ?6 , 故 p ? ?6 .

????7 分

市单科质检数学(理科)试题

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