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2014全国高中数学联赛湖北预赛(高一年级)Word版,全解全析 (1)


2014 全国高中数学联赛预赛(高一年级)
一、填空题(本题满分 90 分,第小题 9 分,直接将答案写在横线上。 )
1、若非空集合 A ? x 3a ? 2 ? x ? 5a ? 4 , B ? x 5 ? x ? 31 ,则能使 A ? A 的所有 a 的集合是_____________. 2、在四边形 ABCD 中, CB ? 2 AC ? 3AD ,

则 ?ADC 与 ?ABC 的面积之比为_______. 3、已知 f ? x ? 是定义在 R 上的函数, f ?1? ? 2 ,且对任意的 x ? R 都有

?

?

?

?

B 成立

f ? x ? 5? ? f ? x ? ? 5 , f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1,则 f ? 2014? ? __________.
4、 在 ?ABC 中,A ? 30 ,2 AB ? AC ? 3BC , 则 ?ABC 的最大角的余弦值为__________. 5、在平面直角坐标内,曲线 x ? 1 ? x ? 1 ? y ? 3 围成的图形的面积是__________. 6、在单调递增数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? 4 ,且 a2 n ?1 , a2 n , a2 n ?1 成等差数列, a2 n ,
2

a2n ?1 , a2 n ? 2 成等比数列, n ? 1,2,3,

.那么, a100 ? _________.

* 7、去掉集合 A ? n , n ? 1000, n ? N 中所有的完全平方和和完全立方数后,将剩下的元

?

?

素按从小到大的顺序排成一个数列,则 2014 是这个数列的第___________项. 8、 若函数 f ? x ? ? log a ? ax ? x ?
2

? ?

3? 则 a 的取值范围是___________. ? 在区间 ?1,2? 上递增, 2?

9 、 若 a ? A 且 a ? 1? A , a ? 1? A , 则 称 a 为 集 合 A 的 孤 立 元 素 . 那 么 , 集 合

M ? ?1,2,3,4,5,6,7,8,9? 的无孤立元素的 4 元子集有__________个.
10、已知 0 ? ? ? ? ? ,且 tan ? ? 3tan ? ,则 u ? ? ? ? 的最大值为________. 2 二、解答题(本题满分 60 分,第小题 20 分。 ) 11、求函数 y ?

?

x x ? 3x ? 2
2

的值域.

第 1 页 共 7 页

12、已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 3 , an ?1 ? an ? 3n ? 3n ? 2 ?
2

1 * ,n? N . n ? n ? 1?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明:

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 ? . an 2

13、已知函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? sin 2x ? 1. (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最值; (Ⅱ)如果函数 f ? x ? 在 ? 0, M? ? 上恰有 2014 个零点,求 M 的取值范围.

第 2 页 共 7 页

2014 全国高中数学联赛湖北预赛(高一年级)参考答案
一、填空题(本题满分 90 分,第小题 9 分,直接将答案写在横线上。 )
1、若非空集合 A ? x 3a ? 2 ? x ? 5a ? 4 , B ? x 5 ? x ? 31 ,则能使 A ? A 的所有 a 的集合是_____________. 解:因为 A ? A B ,所以 A B ? A , A ? B .

?

?

?

?

B 成立

?3a ? 2 ? 5a ? 4 ? 因为集合 A 是非空集合,所以 ?3a ? 2 ? 5 ,解得 3 ? a ? 7 . ?5a ? 4 ? 31 ?
2、在四边形 ABCD 中, CB ? 2 AC ? 3AD ,则 ?ADC 与 ?ABC 的面积之比为_______. 解:因为 CB ? 2 AC ? 3AD ,所以 3 AD ? 2 AC ? AC ? AB , AD ? AC ? 设 AE ?

?

?

1 AB . 3

1 AB ,则有 AD ? EC . 3

D

C

所以四边形 AECD 为平行四边形,

S?ADC S?AEC 1 ? ? . S?ABC S?ABC 3
A E B

3、已知 f ? x ? 是定义在 R 上的函数, f ?1? ? 2 ,且对任意的

x ? R 都有 f ? x ? 5? ? f ? x ? ? 5 , f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1,则 f ? 2014? ? __________.
解:因为 f ? x ? 5? ? f ? x ? ? 5 , f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1 所以 f ? x ? ? f ? x ? 5? ? 5 ? f ? x ? 4? ? 4 ? f ? x ? 3? ? 3 ? f ? x ? 2? ? 2 ? f ? x ? 1? ? 1 . 又因为 f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1,所以 f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1. 所以 f ? 2014? ? f ? 2013 ? 1? ? f ?1? ? 2013 ? 2015 . 4、 在 ?ABC 中,A ? 30 ,2 AB ? AC ? 3BC , 则 ?ABC 的最大角的余弦值为__________. 解:设角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . 因为 2 AB ? AC ? 3BC ,所以 c ? b ? a ? 3a ,即 b ? c ? 4a .
2 2 2 2 2 2 2

2

2

因为 a ? b ? c ? 3bc ,所以 b ? 3c , a ? c .
2 2 2

所以 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 ?? . 2ac 2

5、在平面直角坐标内,曲线 x ? 1 ? x ? 1 ? y ? 3 围成的图形的面积是__________.
第 3 页 共 7 页

y

3 ? ?2 x ? 3, ? 2 ? x ? ?1, ? 解:依题意得 y ? ?1, ?1 ? x ? 1, ,如图 ? 3 ??2 x ? 3,1 ? x ? . 2 ?

1

3 2

O
1

3 2

x

结合图象可知,该曲线所围成图形的面积为两个梯形面积之和,等于 5. 6、在单调递增数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? 4 ,且 a2 n ?1 , a2 n , a2 n ?1 成等差数列, a2 n ,

a2n ?1 , a2 n ? 2 成等比数列, n ? 1,2,3,

.那么, a100 ? _________.

解:因为 ?an ? 单调递增, a1 ? 0 ,所以 an ? 0 . 因为 a2 n ?1 , a2 n , a2 n ?1 成等差数列, a2 n , a2 n ?1 , a2 n ? 2 成等比数列, 所以 ?

? ?a2 n ?1 ? a2 n ?1 ? 2a2 n . 2 ? ?a2 n ? a2 n ? 2 ? a2 n ?1

因为 a2 n ?

a ? a ? a2 n ? a2 n ? 2 a2 n ?1 ? a2 n ?1 , ? 2n ?2 2n 2 2 a2 n ? 2 ? a2 n ? 2 2
,数列

所以 a2 n ?

?

a2 n 是等差数列.

?

易得 a3 ? 6 , a4 ? 9 ,所以 a4 ? a2 ? 1. 所以 a2 n ? n ? 1 , a2 n ? ? n ? 1? , a100 ? 512 ? 2601 .
2 * 7、去掉集合 A ? n , n ? 1000, n ? N 中所有的完全平方和和完全立方数后,将剩下的元

?

?

素按从小到大的顺序排成一个数列,则 2014 是这个数列的第___________项.
2 2 3 3 3 2 3 2 解:因为 44 ? 2014 ? 45 , 12 ? 2014 ? 13 ,且 1 ? 1 , 4 ? 8 , 9 ? 27 ,
3 2

所以有 1,2,3,…,2014 中删去了 44+9=53 个数. 因为 2014-53=1961,所以 2014 是这个数列的第 1961 项. 8、 若函数 f ? x ? ? log a ? ax ? x ?
2

? ?

3? 则 a 的取值范围是___________. ? 在区间 ?1,2? 上递增, 2?

? ?0 ? a ? 1, ? 1 1 ?1 解: (ⅰ)当 0 ? a ? 1 时,只需 ? ,解得 ? a ? . ? 2, 8 4 ? 2a 1 ? 4a ? ? 0. ? ? 2
第 4 页 共 7 页

? ?a ? 1, ? ?1 (ⅱ)当 a ? 1 时,只需 ? ? 1, ,解得 a ? 1 . ? 2a 1 ? a ? ? 0. ? ? 2
综上, a 的取值范围是 ? , ? 8 4

? 1 1? ? ?

?1, ?? ? .

9 、 若 a ? A 且 a ? 1? A , a ? 1? A , 则 称 a 为 集 合 A 的 孤 立 元 素 . 那 么 , 集 合

M ? ?1,2,3,4,5,6,7,8,9? 的无孤立元素的 4 元子集有__________个.
解: (ⅰ)4 个元素均相邻,由枚举法可得,有 6 个符合题意的集合. (ⅱ)4 个元素中 2 个元素相邻,另 2 个元素也相邻,但 4 个元素不相邻,由枚举法可得, 有 15 个符合题意的集合. 综上,集合 M 共有无孤立元素的 4 元子集 21 个. 10、已知 0 ? ? ? ? ? 解:因为 0 ? ? ? ? ? 所以 0 ? ? ? ? ?

? ?
2 2

,且 tan ? ? 3tan ? ,则 u ? ? ? ? 的最大值为________. , tan ? ? 3tan ? ,

?
2



1 ? tan ?? ? ? ? tan ?
2

tan ?? ? ? ? ? tan ?

? tan ? .

所以 tan ?? ? ? ? ?

2 tan ? ? 1 ? 3tan 2 ?

1 ? 3tan ? tan ?

?

? 3 , u 的最大值为 . 6 3

二、解答题(本题满分 60 分,第小题 20 分。 )
11、求函数 y ?

x x 2 ? 3x ? 2

的值域.

解:函数的定义域为 ? ??,1? (ⅰ)当 x ? 0 时, y ? 0 .

? 2, ??? .

(ⅱ)当 0 ? x ? 1 或 x ? 2 时, y ?

1 . 2 3 ? ?1 x2 x

y

令t ?

1 1 ? 1? ,则 y ? g ? t ? ? , t ? ? 0, ? 2 x 2t ? 3t ? 1 ? 2?

?1, ?? ? ,

第 5 页 共 7 页

O

1 2

1

t

此时 g ? t ? ?

1 ? 1? 在 ? 0, ? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减, g ?t ? ? ? 0, ??? . 2t ? 3t ? 1 ? 2 ?
2

(ⅲ) 当 x ? 0 时, 同 (ⅱ) 得 g ?t ? ? ? 此时 g ? t ? 单调递减, g ? t ? ? ? ?1,0? . 综上, y ?

1 ,t ? ? ??,0? , 2t ?3 t ? 1
2

y O 1 t

x x 2 ? 3x ? 2
知 数

的值域为 ? ?1, ?? ? . 列

12





?an?







a1 ? 3



an ?1 ? an ? 3n2 ? 3n ? 2 ?

1 * ,n? N . n ? n ? 1?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明:

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 ? . an 2
2

(Ⅰ)解:因为 an ?1 ? an ? 3n ? 3n ? 2 ?

1 , n ? n ? 1?

所以 an ?1 ? an ? ? n ? 1? ? n ? 1 ? ?
3 3

1 ? ?1 ? ?. ? n n ?1?

因为 an ? an ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 1 ? ?
3 3

1? ? 1 ? ?,n ? 2 ? n ?1 n ?
? ? a2 ? a1 ? ? a1 ? n3 ? n ? 1 . n

所以 an ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? (Ⅱ)证明:因为

1 n n ? 4 ? 2 an n ? n ? 1 ? n 2 ? 1?2 ? n 2
? 1? 1 1 ? ? ? 2 ? 2 , ? ? n ? n ? 1?? n ? n ? 1? 2 ? n ? n ? 1 n ? n ? 1 ? n
2 2

所以

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1? 1 ? 1 ? ?1 ? 2 ?? . an 2 ? n ? n ? 1 ? 2

13、已知函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? sin 2x ? 1. (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最值;
第 6 页 共 7 页

(Ⅱ)如果函数 f ? x ? 在 ? 0, M? ? 上恰有 2014 个零点,求 M 的取值范围. (Ⅰ)解: f ? x ? ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? 1 . (ⅰ)当 0 ? sin 2 x ? 1 时, f ? x ? ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? 1. 令 t ? 1 ? sin 2 x ,则 f ? x ? ? g ?t ? ? ?t 2 ? t , t ? ?1, 2 ? .

?

?

? ? ? g ?t ? 在 ? ?1, 2 ? 上单调递减, g ? t ? ? ? 2 ? 2,0? .
(ⅱ)当 ?1 ? sin 2 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? 1.
2 令 t ? 1 ? sin 2 x ,则 f ? x ? ? g ?t ? ? t ? t ? 2 , t ? ?1, 2 ? .

?

?

? ? ? g ?t ? 在 ? ?1, 2 ? 上单调递增, g ? t ? ? ?0, 2 ? .
综上, f ? x ? 的最大值为 2 ,最小值为 2 ? 2 . (Ⅱ) f ? x ? 的周期 T ? ? . 由(Ⅰ)知,当且仅当 sin 2 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 . 当 x ? ? 0,? ? 时, f ? x ? 有且仅有两个零点

? ,? . 2

因为 2014÷2=1007, 所以当 1007 ? M ? 1007.5 时, f ? x ? 在 ? 0, M? ? 上恰有 2014 个零点.

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