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光学导学


光学导学
1、 光的直线传播;光的反射定律;光的折射定律: 2、 组合平面镜成像;

全反射

横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图 1-2-16 所示的形状,一束平行光垂直地射入平表面 A 上。 试确定通过表面 A 进入的光全部从表面 B 射出的 R/d 的最小值。 已知玻璃的折射为 1.5。 分析: 如图 1-2-17 所示, 从

A 外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射角较从 A 内侧入 射的光线入射角要大, 最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角α 最小。 如果最内侧光在界 面上恰好发生全反射, 并且反射光线又刚好与内侧圆相切, 则其余的光都能保证不仅在外侧 圆界面上,而且在后续过程中都能够发生全反射,并且不与内侧圆相交。因此,抓住最内侧 光线进行分析,使其满足相应条件即可。 解: 当最内侧光的入射角α 大于或等于反射临界角时,入射光线可 全部从 B 表面射出而没有光线从其他地方透出。 R 即要求

sin a ?

1 n

?

O



sin a ?

R R?d

d A
图 1-2-17

B

所以

R 1 ? R?d n R 1 ? d n ?1





1 1 ?R? ? ?2 ? ? ? ? d ? min n ? 1 1.5 ? 1

3、 光的折射 1、 平面折射的视 2、深棱镜的折射与色散 费马原理 费马原理指出,光在指定的两点之间传播,实际的光程总是为最大或保持恒定,这里的 光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。 一平凸透镜的折射率为 n,放置在空气中,透镜面孔的半径为 R。在透镜外主光轴上取 一点 F ? ,OF ? ? f ? (图 1-3-8) 。当平行光沿主光轴入射时,为使所有光线均会聚于 F ? 点。 试问: (1)透镜凸面应取什么形状?(2)透镜顶点 A 与点 O 相距多少?(3)对透镜的孔径 R 有何限制?

解:

根据费马原理,以平行光入射并会聚于 F ? 的所有

y B M (x, y) x A f′ 图 1-3-8 F′

光线应有相等的光程,即最边缘的光线 BF ? 与任一条光线

NMF ? 的光程应相等。由此可以确定凸面的方程。其余问题
亦可迎刃而解。 (1)取 o ? xy 坐标系如图,由光线 BF ? 和 NMF ? 的等 光程性,得

R

n

nx ? ( f ? ? x) 2 ? y 2 ?

f ?2 ? R 2

整理后,得到任一点 M(x,y)的坐标 x,y 应满足的方程为
2

2 2 2 ? n f ?2 ? R 2 ? f ? ? ? ? y 2 ? (nf ? ? f ? ? R ) (n ? 1)? x ? ? ? n2 ?1 n2 ?1 ? ? 2



x0 ?

n f ?2 ? R 2 ? f ? n2 ?1


a?

nf ? ?

f ?2 ? R 2 n2 ?1
,则上式成为

(n 2 ? 1)(x ? x0 ) 2 ? y 2 ? a 2
这是双曲线的方程,由旋转对称性,透镜的凸面应是旋转双曲面。 (2)透镜顶点 A 的位置 应满足

(n 2 ? 1)(x A ? x0 ) 2 ? a 2
a n2 ?1 f ?2 ? R 2 ? f ? n ?1

xA ?xO ?
或者

?

可见,对于一定的 n 和 f ? , x A 由 R 决定。

? (3)因点 F ? 在透镜外,即 x A ? f ,这是对 R 的限制条件,有

f ?2 ? R 2 ? f ? ? f? n ?1

即要求

R ? n2 ?1 f ? n 2 ? 1 f ? 时,有如下结果:

讨论 在极限情形,即 R ?

xA ?

f ? 2 ? (n 2 ? 1) f ? 2 ? f ? ? f? n ?1

即点 A 与点 F ? 重合。又因

xO ?
a=0

n2 f ? ? f ? ? f? n2 ?1
y M θ t Φ A F′ f′ 图 1-3-9 x

故透镜凸面的双曲线方程变为 R N

(n ? 1)(x ? f ?) ? y ? 0
2 2 2

n

θ



y ? ? n ? 1( x ? f ?)
2

双曲线退化成过点 F ? 的两条直线, 即这时透镜的凸面 变成以 F ? 为顶点的圆锥面,如图 1-3-9 所示。考虑任意一条入射光线 MN,由折射定律有

n sin ? ? sin ? t ,由几何关系
1 f ?2 ? R 2

sin ? ? cos? ?

sin ? t ?


nf ? f ?2 ? R 2

?1


?t ?

?
2

2、 即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点 F ? ,此时的角θ 就是全反射的临界角。

§1.4、光在球面上的反射与折射 球面镜成像 (1) 球面镜的焦距球面镜的反 射仍遵从反射定律, 法线是 球面的半径。 (2)球面镜成像公式凹镜焦距 f 取正, 凸镜焦距 f 取负;实物 u 取正,虚物 u 取负;实像 v 为正,虚像 v 为负。

O

F

C

图 1-4-1

1 1 1 ? ? u ? f
(3)球面镜多次成像(1)球面折射成像公式 (a)单介质球面折射成像 如图 1-4-5 所示,如果球面左、右 方的折射率分别为 1 和 n, S ? 为 S 的像。 因为 i、r 均很小,行以

图 1-4-2

1

i
?

sin i i ? ?n sin r r
因为

? S uO
图 1-4-5

r

?

n
S?

C v



i ? ? ?? ,r ?? ??
? ? ?r ? n(? ? ? )

代入①式可有 ②

对近轴光线来说,α 、θ 、β 同样很小,所以有

??

x x x ?? ?? u, R, ?
1 n n ?1 ? ? u ? R
f ? R ?n n ?1

代入②式可得

当 u ? ? 时的 v 是焦距 f,所以 (b)双介质球面折射成像 如图 1-4-6 所示,球形折射面两侧的介质折射率分别 n1 和 n2,C 是球心,O 是顶点,球 面曲率半径为 R,S 是物点,

S ? 是像点,对于近轴光线
??

n1i1 ? n2i2 i1 ? ? ? ? , i2 ? ? ? ? ,
联立上式解得

A0 A0 A ?? 0 ? ? v u , R ,

n1 n2 n2 ? n1 ? ? u v r
这是球面折射的成像公 i2 式, 式中 u、 υ 的符号同样遵 循“实正虚负”的法则,对 i2 于 R;则当球心 C 在出射光 的一个侧,(凸面朝向入射 光)时为正,当球心 C 在入 O 射光的一侧(凹面朝向入射 光)时为负。 若引入焦点和焦距概 图 1-4-6 念,则当入射光为平行于主 轴的平行光(u=∝)时,出 射光(或其反向延长线)的交点即为第二焦点,(也称像方焦点),此时像距即是第二焦距

?

?

?

f2

,有 f

n2 R 。当出射光为平行光时,入射光(或其延长线)的交点即第一焦点 ? 2 n ?n 2 1
n R f1 ,有 f ? 1 ,将 f1 、 f 2 代入成像公 1 n ?n 2 1

(即物方焦点),这时物距即为第一焦距 式改写成

f1 f ? 2 ?1 u u
反射定律可以看成折射定律在 n2

? ?n1 时的物倒,因此,球面镜的反射成像公式可以

从球面镜折射成像公式中得到,由于反射光的行进方向逆转,像距υ 和球面半径 R 的正负 规定应与折射时相反,在上述公式中令 n2

? ?n1 ,? ? ?? , R ? ? R ,即可得到球

1 1 2 R ? ? f1 ? f 2 ? R ,对于凹面镜 R ? 0 , 2 ,对于凸面镜 R ? 0 , 面镜反射成像公式 u ?

f1 ? f 2 ?

R 2 ,厚透镜成像。

(C)厚透镜折射成像 设构成厚透镜材料的折射率为 n,物方介质的折射率为 n1 ,像方介质的折射率为 n2 , 前 后 两 边 球 面 的 曲 率 半径 依 次 为 1 和

r

A

r2 ,透镜的厚度为 oo? ? t ,当物点在主
轴上的 P 点时,物距 u

h1
O

? OP ,现在来计

O? r1

P?

P ??

r2
u ??

u
t 图 1-4-7

u?

算像点 P ? 的像距。 S ?

? O?P ,首先考虑第一个球面 AOB

对入射光的折射,这时假定第

二个球面 AOB 不存在,并认为球 AOB 右边,都为折射率等于 n 的介质充满,在这种情况 下,P 点的像将成在 P ?? 处,其像距 ? ? 对于这个球面来说, P ?? 便是虚物。

? OP?? ,然后再考虑光线在第二个球面的折射,

因此对于球面 AOB,物像公式为

n2 n1 n ? n1 ? ? v u r1

n2 n ?n n ? ? 2 u ?t r2 对于球面 AOB,物像公式为 v
这样就可以用二个球面的成像法来求得透镜成像的像距 u。 例 3、有一薄透镜如图 1-4-14, S1 面 是旋转椭球面(椭圆绕长轴旋转而成的曲
1 和 F2 ; S 2 面是球面,其 面) ,其焦点为 F

S1

S2
F1

C

F2

球心 C 与 F2 重合。 已知此透镜放在空气中 时能使从无穷远处于椭球长轴的物点射来 的全部入射光线 (不限于傍轴光线) 会聚于 一个像点上,椭圆的偏心率为 e。 (1)求此透镜材料的折射率 n(要论证) ; 图 1-4-14

(2)如果将此透镜置于折射率为 n? 的介质中,并能达到上述的同样的要求,椭圆应满足什么 条件? 分析 : 解此题的关键在于是正确 地运用椭圆的几何性质及折射定律。 解: (1)根据题设,所有平行于旋转 椭球长轴的入射光线经旋转椭球面和球 面两次折射后全部都能会聚于同一像点, 可作出如下论证:如果经椭球面折射后射 向球面的光线都射向球心 C,即射向旋转 椭球面的第二焦点 F2 ,则可满足题设要 求。光路图如图 1-4-15 所示:PA 为入射 线,AC 为经椭球面折射后的折射线,BN 为 A 点处椭球面的法线,i 为入射角,r 图 1-4-15

P

N
i

S1

S2

rr
F1

l

?

C F2

AF 1 与法线的夹角也是 r,由正 为折射角。根据椭圆的性质,法线 BN 平分 ?F 1 AF 2 ,故
弦定律可得

F1 A sin i F A sin i ? ? n, 2 ? ?n F1 B sin r F2 B sin r
从而可求得

n?

F1 A ? F2 A 2a 1 ? ? F1 A ? F2 B 2c e

2a 为长轴的长度,2c 为焦点间的距离;即只要 n 满足以上条件,任意入射角为 i 的平行于 旋转椭球长轴的入射光线都能会聚于 C(即 F2 )点。 (2)如果透镜置于折射率为 n? 的介质中,则要求

sin i n 1 ? ? sin r n ? e
即椭圆的偏心率 e 应满足

e?

n? n

由于椭圆的 e<1,如果 n? ? n 就无解。只要 要求。 1.5.3、组合透镜成像

n? ? n ,总可以找到一个椭球面能满足

如果由焦距分别为 f1 和 f 2 的 A、B 两片薄透镜构成一 个透镜组 (共主轴) 将一个点光源 S 放在主轴上距透镜 u 处, 在透镜另一侧距透镜 v 处成一像 S ? (图 1-5-4)所示。对这 一成像结果,可以从以下两个不同的角度来考虑。 因为 A、B 都是薄透镜,所以互相靠拢地放在一起仍可 看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是 f,则应有

A B

S

S?

u 图 1-5-4

v

1 1 1 ? ? u ? f



另一个考虑角度可认为 S ? 是 S 经 A、 B 两个透镜依次成像的结果。 如 S 经 A 后成像 S1 , 设 S1 位于 A 右侧距 A 为 ?1 处,应有

1 1 1 ? ? u ?1 f1

② ,所以

因为 S1 位于透镜 B 右侧 ?1 处,对 B 为一虚物,物距为?1 ,再经 B 成像

1 1 1 ? ? u ?1 f1



由②、③可解得

1 1 1 ? ? ? ?1 ? f2
比较①、④两式可知



1 1 1 1 ? ? ? u ? f1 f 2
如果 A、B 中有凹透镜,只要取负的 f1 或 f 2 代入即可。 例 4、 焦距均为 f 的二凸 透镜 L1 、L2 与两个圆形平面 反射镜 M 1 、 M 2 放置如图

M1

L1
A

L2
F1?
O

M2 F2?

F1

F2

1-5-22 。二透镜共轴,透镜 f f f f f f f f 的主轴与二平面镜垂直,并 2 2 通过二平面镜的中心,四镜 的直径相同,在主轴上有一 图 1-5-22 点光源 O。 1、画出由光源向右的一条光线 OA(如图 1-5-22 所示)在此光学系统中的光路。 2、分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置(O 点除外)形成 光源 O 的能看到的像,哪些是实像?哪些是虚像。 3、 现在用不透

M1

明板把 L1 和 L2 的下 半部(包括透镜中 心)都遮住,说出这 些像有什么变化。 P

L1

L2

M2

A

F1
f

F1?

O

F2

F2?
f

Q

2 2 解: 1、光线 OA 的第一次往返光 图 1-5-23 路如图 1-5-23 所示。 当光线由图中左方返回经 O 点后,将继续向右下方进行,作第二次往返。第二次往返的光路 在图中未画出,可按图中光路对称于主轴画出。以后,光线重复以上两种往返光路。

2、向右发出的光线: F2 处成实像,右方无限远处成虚像; F1 处成实像;P 处( M 1 左

?

f 方 2 处主轴上)成虚像。
向左发出的光线: F1 处成实像;左方无限远处成虚像; F2 处成实像;Q 处( M 2 右方

?

f 2 处主轴上)成虚像。

3、向右发出的光线只在 F2? 处成实像。向左发出的光线只在 F1 处成实像。两像均比未 遮住时暗。 长度为 4mm 的物体 AB 由图 1-5-49 所示的光学系统成像,光学系统由一个直角棱镜、一 个会聚透镜和一个发散透镜组成,各有关参数和几何尺寸均示于图中。求: 1、像的位置; f2=-10cm f1=-20cm 2、 像的大小, 并作图说明是实像还是虚像, B A 10cm 是正立还是倒立的。 6cm 5cm 解: 解法 1 L1 1、分析和等效处理 6cm L2 45? 根据棱镜玻璃的折射率,棱镜斜面上的全 n=1.5 f2 反射临界角为 f
1

1 ? c ? arcsin ? 42 ? n

图 1-5-49

注意到物长为 4mm,由光路可估算, 6cm 5cm 进入棱镜的近轴光线在斜面上的入射角大 多在 45?左右,大于临界角,发生全反射, L1 6cm L2 所以对这些光线而言,棱镜斜面可看成是 10cm 45? N=1.5 反射镜,本题光路可按反射镜成像的考虑 方法,把光路“拉直” ,如图 4-3-34 的示。 现在,问题转化为正立物体经过一块 图 1-5-50 垂直于光轴、厚度为 6cm 的平玻璃板及其 后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。 2、求像的位置 厚平玻璃板将使的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像,它成为光学系统后面部 分光路的物,故可称为侧移的物。利用沿光轴的光线和与光轴成 a 角的光线来讨论就可求出 这个移动的距离。 设轴上物点为 B, 由于厚度平玻璃板的作用而形成的 ? ? 像点(即侧像的物点)为 B ? (图 1-5-51) 。画出厚平玻 ? d ? 璃板对光线的折射,由图可知

?l ? d (cot? )


B

?
?l

d

?

B?

D

d ? D(tan? ? tan ? )
图 1-5-51

所以 当 a 为小角度时

? tan ? ? ?l ? D?1 ? ? ? tan? ?
tan ? sin ? 1 ? ? tan ? sin ? n

故得

? 1? ?l ? D?1 ? ? ? 2cm ? n?

这也就是物 AB 与它通过厚平玻璃板所成的像之间的距离。 这个像对透镜 L1 来说就是物,而物距

u1 ? [(6 ? 2) ? 6 ? 10]cm ? 20cm
可见,物证好在 的左方焦平面上,像距即为

?1 ? ?
再考虑透镜 L2 ,这是平行光线入射情况

u2 ? ?
所以必成像于这个发散透镜 L2 左侧焦平面上(虚像) 。

? 2 ? f 2 ? ?10cm
整个光路的最后成像位置就是在 的左侧 10cm 处。 3、求像的大小和虚、实、正、倒情况 可用作图法求解,如图 1-5-52 所示(为了图示 清楚,图中把物高加大了) 。 连接 A?O1 并延长,便得到发自 A? 的光线经 A? 后的平行光线的方向。过 L2 的光心 O1 作 A?O1 的平 行线,它与 L1 交于 C 点,则 A?C 即为从 A? 出发经 过 L1 折射又通过 L2 光心的光线。反向延长 O2 C 与
A?

A??

f2 L1 L2

B?

B ??

C

?
O2

O1

f1

图 1-5-52

L2 左侧焦面的交点 A?? 就是 A? 由 L1 经 L2 所成的像
点。令 L2 左侧焦面与光轴的焦点为 B ?? , A ??B ?? 就是 A?B ? 的像。这是一个正立的虚像。由图 可得

A??B?? ? f 2 tan?
A?B? ? f1 tan?
而 A?B ? 与 AB 等高,所以像的大小为

A??B?? ?

f2 f1

A?B? ? 2mm

A1
A

B1
B

解法 2 关于物体经棱镜(折射、反射、再折射)后,所成像

A2 B2

A? B?

P

C1 C2

Q C3
R

图 1-5-53

的位置及大小可采用视深法处理。 如图 1-5-53 所示,AB 发出的与 PQ 面近乎垂直的小光束经 PQ 面折射后成像于 A1 B1 这是视 深问题, A1 , B1 与 PQ 面的距离均为 A,B 与 PQ 面的距离的 n 倍,即

C1 B1 ? nC1 B

A1 B1 ? AB , (像与物的大不相同)

A1 B1 经 PQ 面的折射成像于 A2 B2 ,大小不变,且
C2 B2 ? C2 B1 ? C2C1 ? C1 B1 ? PC1 ? nC1 B

A2 B2 经 PQ 面的折射成像于 A?B ? ,大小不变,且
C3 B ? ?
?

1 C1Q ? PC1 ? nC1 B n 1 ? PQ ? C1 B n

?

1 1 C 3 B2 ? C 3 C 2 ? C 2 B 2 n n

?

?

?

? 6 ? ?? ? 6 ?cm ? 10cm ? 1.5 ?
由此即可求出这个像 A?B ? 作为透镜 L1 的物距。其它部分的求解同解法 1。


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