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第6单元-不等式、推理与证明-数学(理科)-新课标


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新课标·人教A版
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第六单元

不等式、推理与证明

第33讲 不等关系与不等式

第34讲
第35讲

一元二次不等式及其解法
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第36讲 基本不等式

第37讲 合情推理与演绎推理
第38讲 直接证明与间接证明 第39讲 数学归纳法

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单元网络

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核心导语
一、不等式的性质与解法 1.比较法——判断或证明两个数的大小的基本方法. 2.三个“二次”——注意二次函数的图像、一元二次方程 的根、一元二次不等式的密切联系. 二、简单的线性规划问题 1.平面区域——根据特殊点的位置确定不等式表示的区 域. 2.实际问题——解题的关键是列出线性约束条件,写出 目标函数.

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核心导语
三、基本不等式 1.证明——应用基本不等式的技巧合理拆分项或构造因 式. 2.三个条件——一正、二定、三相等. 四、推理与证明 综合应用——常与立体几何、解析几何、数列、函数、不 等式等知识综合.

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使用建议
1.编写意图 (1)重视不等式本身的知识和方法的讲解,并加强练习力 度,使学生掌握好不等式本身的重要知识和方法,为不等式的 应用打下良好的基础. (2) 二元一次不等式 ( 组 ) 所表示的平面区域和简单的线性 规划问题,是高考重点考查的知识点,我们没有把探究点设置 为简单的线性规划问题,而是设置为目标函数的最值 (这样可 以涵盖线性规划和非线性规划)、含有参数的平面区域以及生 活中的优化问题,这样在该讲就覆盖了高考考查的基本问题.

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使用建议
(3) 对于推理与证明,在编写过程中尽量体现以学生为主 体,在试题的选择上,以便于学生以自主学习、自主探究为出 发点,培养学生的创新能力. 2.教学指导 (1)在各讲的复习中首先要注意基础性, 这是第一位的复习 目标.由于各讲的选题偏重基础,大多数例题、变式题学生都 可以独立完成, 在基础性复习的探究点上要发挥教师的引导作 用,引导学生独立思考并完成这些探究点,教师给予适度的指 导和点评.

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使用建议
(2)要重视实际应用问题的分析过程、建模过程.应用问 题的难点是数学建模,本单元涉及了较多的应用题,在这些 探究点中教师的主要任务就是指导学生如何通过设置变量把 实际问题翻译成数学问题,重视解题的过程. (3)不等式在高考数学中涉及各个部分,要循序渐进地解 决,在涉及不等式的综合运用时,我们的选题都很基础,在 这样的探究点中不要试图一步到位,不等式的综合运用是整 个一轮复习的系统任务,在本单元只涉及基本的应用,不要 拔高.

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使用建议
(4)推理与证明是培养学生良好思维习惯,学习和运用数学 思想方法,形成数学能力的重要一环.要站在数学思想方法的 高度,对多年来所学习的数学知识和数学方法进行较为系统的 梳理和提升,务必使学生对数学发现与数学证明方法有一个较 为全面的认识. 3.课时安排 本单元共 7 讲,一个 45 分钟滚动基础训练卷,建议 8 个课 时完成复习任务.

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基 础 自 主 梳 理 考 点 互 动 探 究 易 错 易 混 透 析

第33讲 不等关系与不等式

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考试大纲
了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组) 的实际背景.

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第33讲
基 础 自 主 梳 理

不等关系与不等式

—— 知识聚焦 ——
1.不等关系与不等式

不等量 (1)现实世界与日常生活中,与等量关系一样,________
关系也是自然界中存在着的基本数量关系. (2) 用数学符号 ____________________ 连接两个数或代 >,<,≥,≤,≠ 数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子, 叫作不等式. 2.两个实数大小的比较 (1)作差法: 设 a, b∈R, 则 a>b?a-b>0, a<b?a-b<0. a a >1 (2)作商法:设 a>0,b>0,则 a>b?________ ,a<b?b<1. b

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第33讲
基 础 自 主 梳 理

不等关系与不等式

3.不等式的性质

b<a 对称性). 性质 1:a>b?________(
性质 2:a>b,b>c?________( 传递性). a>c

a+c>b+c 可加性). 性质 3:a>b?____________( ac>bc ;a>b,c<0?________( ac<bc 可 性质 4:a>b,c>0?________
乘性). 以上是不等式的基本性质,以下是不等式的运算性质.

a+c>b+d 加法法则). 性质 5:a>b,c>d?____________(
性质 6:a>b>0,c>d>0?________( ac>bd 乘法法测).

an>bn 乘方法则). 性质 7:a>b>0,n∈N*?________(
a> b 开方法则). 性质 8:a>b>0,n∈N ,n≥2?________( 1 1 性质 9:ab>0,a>b?________( 倒数法则). a<b
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*

n

n

第33讲
基 础 自 主 梳 理

不等关系与不等式

—— 正本清源 —— ? 链接教材
1.[教材改编] 完成一项装修工程,请木工需付工资每 人 50 元, 请瓦工需付工资每人 40 元, 现有工人工资预算 2000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,则工人人数满足的关系式是 ________.
? ?5x+4y≤200, ? * ? x , y ∈ N ?

[答案]

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第33讲
基 础 自 主 梳 理

不等关系与不等式

2 . [ 教 材 改 编 ] 已 知 a , b 为 实 数 , 则 (a + 3)(a - 5)________(a+2)(a-4)(填“>”“<”或“=”).

[答案]



[解析] ∵(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15) -(a2-2a-8)=-7<0,∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).

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第33讲
基 础 自 主 梳 理

不等关系与不等式

1 3.[教材改编] 若0<a<b,且a+b=1,则将a,b, 2 , 2ab,a2+b2从小到大排列为________________.

1 2 [答案] a<2ab<2<a +b2<b
1 1 1 [解析] ∵0<a<b,a+b=1,∴b>2,a<2.令 a=4,b 3 3 2 1 9 10 5 1 2 2 =4, ∴2ab=8, a +b =16+16=16=8, ∴a<2ab<2<a +b2<b.

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第33讲
基 础 自 主 梳 理

不等关系与不等式

π π 4.[教材改编] 若-2<α<β<2 ,则 α-β 的取值范围是 ________.
[答案] (-π,0)

π π π π [解析] 由-2<α <2,-2<-β <2,α<β,得-π<α -β<0.

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第33讲
基 础 自 主 梳 理

不等关系与不等式

?

易错易混

5.不等式两边同乘一个数,要注意不等式符号是否改变 a>b?ac>bc? ? a b ? 给出推理过程: ?ac>bd?d>c ,其中错误 c>d?bc>bd? ? 之处的个数为________.

[答案] 3

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第33讲
基 础 自 主 梳 理

不等关系与不等式

[解析] a>b?ac>bc,c>d?bc>bd 都是在不等式的两 边同乘一个实数,只有当该实数为正数时,不等号才不改 变方向,故这两步都错误;由于不等式具有传递性,所以 a b 得出 ac>bd 是正确的; 由 ac>bd?d>c 是在不等式 ac>bd 的 两边同除以 cd,由于不知 cd 的正负,故这一步也是错误 的.

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第33讲
基 础 自 主 梳 理

不等关系与不等式

?

通性通法
6.比较两个数大小的方法:(1)差值法;(2)商值法. 1 1 (1)若 ab>0, 且 a>b, 则a与b的大小关系是________. (2)1618 与 1816 的大小关系是________ .

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第33讲
基 础 自 主 梳 理

不等关系与不等式

[答案]

1 1 (1)a<b

(2)1618>1816

1 1 b-a [解析] (1)∵a>b,∴b-a<0.又 ab>0,则a-b= ab 1 1 <0,即a<b.
16 2 1618 16 ×16 16 16 8 16 64 8 2 8 (2) 1816 = 1816 = 18 × 16 = 9 × 2 = 81 × 28 =

1288 18 16 > 1 ,故 16 > 18 . 81

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第33讲

不等关系与不等式

?

探究点一
例1

比较两个数(式)的大小

(1)[2014· 甘肃武威四校联考] 已知实数 a,b, )

c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a,b,
考 点 互 动 探 究

c 的大小关系是( A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b

(2)[2014· 洛阳期末] 已知 a1, a2∈(0, 1), 记 M=a1a2, N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N B.M>N D.不确定
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)

第33讲

不等关系与不等式

[思路点拨]

(1)先把 c-b 表示的代数式配方, 再由已

知条件求得 b-a 表示的代数式,即可得出 a,b,c 的大小 关系;(2)先求 M 与 N 的差,因式分解后判断其符号.
考 点 互 动 探 究

[答案] (1)A

(2)B

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第33讲

不等关系与不等式

[解析] (1)∵c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,∴c≥b. 由 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,得 (b+c)-(c-b)=(6-4a+3a2)-(4-4a+a2), 即 2b=2+2a2,
考 点 互 动 探 究

12 3 ∴b=1+a ,∴b-a=1+a -a=(a-2) +4>0,
2 2

∴b>a,则 c≥b>a. (2)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1= a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1). 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0, ∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0.
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第33讲

不等关系与不等式

[总结反思]

(1)作差法的一般步骤是:作差,变形,

定号,得出结论.
考 点 互 动 探 究

(2)作商法的一般步骤是:作商,变形,判断商与 1 的大小,得出结论.

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第33讲

不等关系与不等式

变式题

ln 2 ln 3 ln 5 若 a= ,b= ,c= ,则( 2 3 5 B.c<b<a D.b<a<c

)

A.a<b<c
考 点 互 动 探 究

C.c<a<b

[答案]

C

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第33讲

不等关系与不等式

ln 2 ln 3 ln 5 [解析] 由 a= 2 ,b= 3 ,c= 5 ,得 a,b,c 都是 正数.
考 点 互 动 探 究

b 2ln 3 ∴ a=3ln 2=log89>1,即 b>a; a 5ln 2 c =2ln 5=log2532>1,即 a>c,则 c<a<b.

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第33讲

不等关系与不等式

?

探究点二
例2

不等式的性质

[2014· 大庆二模] 若 a<b<0,则下列不等式中不能成 ) 1 1 B. > a-b a D.a2>b2

立的是(
考 点 互 动 探 究

1 1 A.a>b C.|a|>|b|

[答案] B

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第33讲

不等关系与不等式

1 1 [解析] ∵a<b<0,∴ab>0,∴a>b成立. ∵a<b<0,∴|a|>|b|和 a2>b2 均成立. 1 1 b 对于 B, - = . a-b a a(a-b) 又∵a<b<0,∴a-b<0,a<0,b<0, 1 1 b ∴ <0,即 < ,故选 B. a(a-b) a-b a

考 点 互 动 探 究

[总结反思]

解决此类问题常用两种方法:一是直接

使用不等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错 误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特 别注意前提条件.
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第33讲

不等关系与不等式

变式题 已知 a,b,c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下 列选项中一定成立的是( A.ab>ac
考 点 互 动 探 究

)

B.c(b-a)<0 D.ac(a-c)>0

C.cb2<ab2

[答案]

A

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第33讲

不等关系与不等式

[解析]

由c<b<a,且ac<0,知a>0,c<0,但b的符号

不确定,故C错误. b<a?b-a<0? ? ?? 由b>c,a>0?ab>ac,故A正确.又 ? c<0 ? c(b-a)>0,故B错误. a>c?a-c>0? ? ??ac(a-c)<0,故D错误. 又 ? ac<0 ?

考 点 互 动 探 究

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第33讲

不等关系与不等式

?

探究点三

不等式性质的应用

例 3 已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围.

[思路点拨] 把 f(-1)和 f(1)作为已知,利用不等式的性质
考 点 互 动 探 究

求解.

解:方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系 数). 又f(-2)=4a-2b,∴4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a -2b=(m+n)a+(n-m)b.
? ? ?m+n=4, ?m=3, 于是? 解得? ∴f(-2)=3f(-1)+f(1). ? ? n - m =- 2 , n = 1 , ? ?
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第33讲

不等关系与不等式

又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故5≤f(-2)≤10. 方法二:
考 点 互 动 探 究

1 ? a=2[f(-1)+f(1)], ? ?f(-1)=a-b, ? 由? 得? ? ?f(1)=a+b, ?b=1[f(1)-f(-1)], 2 ? ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故5≤f(-2)≤10.

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第33讲

不等关系与不等式

[总结反思]

解决不等式与函数综合的问题,应注意

不等式性质成立的条件和函数性质的应用.
考 点 互 动 探 究

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第33讲

不等关系与不等式

变式题 范围.
考 点 互 动 探 究

若α,β满足

试求α+3β的取值

解:设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β. 由
? ?x+y=1, ? ? ?x+2y=3,

解得

? ?x=-1, ? ? ?y=2,

即α+3β=2(α+2β)-(α+

β). ∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,∴1≤α+ 3β≤7.

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第33讲

不等关系与不等式

误区警示

13.忽视不等式性质成立的条件致误
) B.ac>bd D.d-a<c-b

【典例】若a>b,c>d,则下列不等式成立的是( A.a+d>b+c a b C.c >d

[答案]
易 错 易 混 透 析

D

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第33讲

不等关系与不等式
[解析] 不妨设a=3,b=2,c=-2,d=-3,则a

a +d=b+c=0,故A错;ac=-6,bd=-6,故B错; c = - 3 2 , b d =- 2 3 ,故C错.a>b,c>d,据

①同向不等式的可知性 有a+c>b+d,即c-b>d-a,即d -a<c-b.
[易错点析] ①当a>b,d<c时,没有a+d>b+c成立,忽 视了两不等式同向这个条件,只有同向不等式才可以相加; 若a>b,c>d,不等式ac>bc也未必成立,当a>b>0,c>d>0 时,才有ac>bd成立;同理C也错,在不等式的性质中没有两 个不等式相除的性质.

易 错 易 混 透 析

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第33讲
的是(

不等关系与不等式
(1)已知a>b,则下列不等式一定成立 )

【跟踪练习】 A.lg a>lg b B.a2>b2 1 1 C.a<b D.2a>2b

(2)若a,b,c为实数,则下列命题为真的是(
易 错 易 混 透 析

)

A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a<b<0,则a2>ab>b2 1 1 C.若a<b<0,则a<b b a D.若a<b<0,则a>b
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第33讲

不等关系与不等式

[答案] (1)D

(2)B

[解析] (1)显然 A,C 不是对于一切实数都成立.函数 y=2x 在 R 上为增函数,所以 D 正确.a2>b2 等价于|a|>|b|, 显然 B 也错误,故选 D. (2)对于选项 A,当 c=0 时,ac2=bc2;取 a=-2,b =-1,知选项 C,D 错,故选 B.

易 错 易 混 透 析
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第33讲

不等关系与不等式

—— 教师备用例题 ——
例1 【配例1使用】比较大小:3x2-x+1与2x2+x-1.

解:∵3x2-x+1-2x2-x+1=x2-2x+2=(x-1)2+ 1>0,∴3x2-x+1>2x2+x-1.

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第33讲

不等关系与不等式
例2 【配例2使用】已知三个不等式: c d ①ab>0;②bc>ad;③ a > b .以其中两个作为条件,余下

一个作为结论,则可以组成多少个真命题?并写出这些命 题.

解:可以组成下列三个真命题. c d 命题一:若ab>0,a>b,则bc>ad. c d 命题二:若ab>0,bc>ad,则a>b. c d 命题三:若a>b,bc>ad,则ab>0.

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第33讲

不等关系与不等式
例3 【配例3使用】已知12<a<60,15<b<36,求a-b

a 及b的取值范围.

解:∵15<b<36,∴-36<-b<-15, ∴12-36<a-b<60-15,即-24<a-b<45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 <b< ,∴ <b< ,∴ <b<4. 36 15 36 15 3

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基 础 自 主 梳 理 考 点 互 动 探 究 高 考 热 点 解 读

第34讲 一元二次不等式及其 解法

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考试大纲
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函 数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式, 会设计求解的程序框图.

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第34讲
基 础 自 主 梳 理

一元二次不等式及其解法

—— 知识聚焦 ——
1.一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为 2 的不等 式叫作一元二次不等式. 2. 一元二次不等式与相应的二次函数以一元二次方程的 关系如下表

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第34讲
基 础 自 主 梳 理

一元二次不等式及其解法
判别式 Δ =b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像

Δ>0

Δ=0

Δ<0

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第34讲
基 础 自 主 梳 理

一元二次不等式及其解法
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根

有两相异实根

有两相等实根 b 没有实数根 x1,x2(x1<x2) x1=x2=- 2a ________ ________ R

一元二次不等式
>x2或x<x1} ax2+bx+c>0 {x|x ________

(a>0)的解集 一元二次不等式 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ________ {x |x1<x<x2} ________ ________

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第34讲
基 础 自 主 梳 理

一元二次不等式及其解法

—— 正本清源 —— ? 链接教材
1 . [ 教 材 改 编 ] 不 等 式 - x2 - x + 2≥0 的 解 集 是 ________.

[答案] {x|-2≤x≤1}
[解析] 原不等式化为x2+x-2≤0,故所求解集为{x| -2≤x≤1}.

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第34讲
基 础 自 主 梳 理

一元二次不等式及其解法

2.[教材改编] 已知集合A={x|3x-2-x2<0},B={x|x -a<0},若B?A,则实数a的取值范围是________.

[答案] (-∞,1]

[解析] 不等式3x-2-x2<0化为x2-3x+2>0?x>2 或x<1. 由不等式x-a<0,得x<a.又B?A,所以a≤1.

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第34讲
基 础 自 主 梳 理

一元二次不等式及其解法

3.[教材改编]

若关于x的不等式m(x-1)>x2-x的解集

为{x|1<x<2},则实数m的值为________.

[答案] 2
[解析] 由题意知1,2是方程m(x-1)=x2-x的根,

将2代入方程解得m=2.

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第34讲
基 础 自 主 梳 理

一元二次不等式及其解法
4.[教材改编] 若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正

根和一负根,则a的取值范围为________.

[答案] -1<a<1
[解析] 令f(x)=x2+ax+a2-1, ∴该二次函数的图像的开口向上.又方程x2+ax+a2 -1=0有一正根和一负根,∴f(0)<0,即a2-1<0,∴ -1<a<1.

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第34讲
基 础 自 主 梳 理

一元二次不等式及其解法

?

易错易混
5.解不等式的两个易错点:二次项系数为负;二次项

系数为0. (1)不等式x(1-2x)>0的解集是________; 1 (2)不等式(ax-1)(x+2)<0 (- <a≤0)的解集是 2 ________.

[答案] ? ?x ?
? ? ? ?

1 (1)(0, ) 2

1 (2)当- <a<0时, 2

1? x>-2或x<a?;当a=0时,{x|x>-2} ?
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第34讲
基 础 自 主 梳 理

一元二次不等式及其解法

[解析] (1)由x(1-2x)>0,得x(2x-1)<0,解得0<x< 1 2. 1 1 (2)当- <a<0时,不等式(ax-1)(x+2)<0可化为(x- a ) 2 1 (x+2)>0,解得x>-2或x< a .当a=0时,不等式(ax-1)(x+2) <0可化为x+2>0,解得x>-2.

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第34讲
基 础 自 主 梳 理

一元二次不等式及其解法

?

通性通法
6.求一元二次不等式中参数的值的两个方法:判别

式;根与系数的关系. (1)若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R,则常数a 的取值范围是________. (2)若关于x的不等式ax2+3x+c≥0的解集为[1,2],则 a=________,c=________.

1 [答案] (1)(-∞,-4] (2)-1 -2

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第34讲
基 础 自 主 梳 理

一元二次不等式及其解法

[解析]

? ?a<0, 1 ? (1)由题意得 ?a≤-4. ? Δ = 1 + 4 a ≤ 0 ?

(2)由题意得,方程 ax2+3x+c=0 的两根为 1,2. 3 c 由根与系数的关系可得 1+2=-a,1× 2=a,解得 a= -1,c=-2.

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第34讲
基 础 自 主 梳 理

一元二次不等式及其解法

7.一元二次不等式的两个应用:不等式在R上恒成 立;不等式的解集为R. (1)已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则 实数a的取值范围是________. (2)若不等式mx2+2mx+1>0的解集为R,则m的取值范 围________.

[答案] (1)(0,8) (2)[0,1)

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第34讲
基 础 自 主 梳 理

一元二次不等式及其解法

[解析] (1)∵不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立, ∴Δ =a2-4× 2a<0,解得0<a<8. (2)①当m=0时,1>0显然成立.
? ?m>0, ②当m≠0时,由条件知? 2 ? ?Δ=4m -4m<0,

解得0<m<1, 由①②知0≤m<1.

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第34讲

一元二次不等式及其解法

?

探究点一
例1 )

一元二次不等式的解法
不等式-2x2+x+3<0的

(1)[2014· 珠海二检]

解集是(
考 点 互 动 探 究

A.{x|x<-1 }
? ? 3? C.?x?-1<x<2? ? ? ?

? ? 3? B.?x?x>2? ? ? ? ? ? 3? D.?x?x<-1或x>2? ? ? ?

(2)[2014· 山东文登期末] 已知一元二次不等式f(x)<0 的解集为 ________.
? ? 1? ?x?x<-1或x> ? 2? ? ?

,则f(10x)>0的解集为

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第34讲

一元二次不等式及其解法
[思路点拨] (1)把不等式化为ax2+bx+c>0(a>0)的形式,

求出相应二次方程的两根,从而得出不等式的解集;(2)由已 知得到不等式f(x)>0的解集,即得到10x的取值范围,从而
考 点 互 动 探 究

得出原不等式的解集.

[答案] (1)D (2){x|x<-lg 2}

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第34讲

一元二次不等式及其解法

[解析] (1)不等式-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0,
? ? 3? ? ∴不等式-2x +x+3<0的解集是?x ?x<-1或x>2?. ? ? ? (2)由已知一元二次不等式f(x)<0的解集为
2

考 点 互 动 探 究

? ?x ? ? ?x ?

? 1? ? ?x<-1或x>2? ? ? ? 1? ? ?-1<x<2?, ? ?

,得一元二次不等式f(x)>0的解集为

1 ∴不等式f(10 )>0应满足-1<10 <2,
x x

解得x<-lg 2, 即不等式f(10x)>0的解集为{x|x<-lg 2}.
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第34讲

一元二次不等式及其解法

[总结反思]

解一元二次不等式的一般步骤是:①化

为标准形式(a>0);②确定判别式Δ的符号;③若Δ≥0,则 求出该不等式对应的二次方程的根,若Δ<0,则对应的
考 点 互 动 探 究

二次方程无根;④结合二次函数的图像得出不等式的解 集.

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第34讲

一元二次不等式及其解法

变式题 解关于x的不等式:x2-(3+a)x+3a>0.
解:∵x2-(3+a)x+3a>0,
考 点 互 动 探 究

∴(x-3)(x-a)>0. ①当a<3时,x<a或x>3,不等式的解集为{x|x<a或 x>3}; ②当a=3时,不等式为(x-3)2>0,不等式的解集为 {x|x∈R且x≠3}; ③当a>3时,x<3或x>a,不等式的解集为{x|x<3或 x>a}.

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第34讲

一元二次不等式及其解法

? 探究点二 一元二次不等式恒成立问题 ? 考向一 形如f(x)≥0(x∈R)
例2 (1)[2014· 武汉调研] 若一元二次不等式2kx2+ 3 kx- <0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( ) 8 A.(-3,0] C.[-3,0] B.[-3,0) D.(-3,0) )

考 点 互 动 探 究

(2)[2014· 泉州四校联考] 设a为常数,?x∈R,ax2 +ax+1>0,则a的取值范围是( A.(0,4) C.(0,+∞) B.[0,4) D.(-∞,4)

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第34讲

一元二次不等式及其解法

[答案] (1)D (2)B
[解析] 式,得k≠0.
考 点 互 动 探 究

3 (1)由不等式2kx +kx- 8 <0为一元二次不等
2 2

3 又不等式2kx +kx-8<0对一切实数x都成立, ? ? ?k<0, ?k<0, 所以 ? 2 即? 2 3 ? k -4× 2k× (- )<0, ?k +3k<0, ? 8 ? 解得-3<k<0.

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第34讲

一元二次不等式及其解法

(2)设f(x)=ax2+ax+1.当a=0时,f(x)=1>0对任意 x∈R恒成立. 当a≠0时,要使对任意x∈R,f(x)>0恒成立,则
考 点 互 动 探 究
? ?a>0, ? 2 ? Δ = a -4a<0, ?

解得0<a<4.

综上知,a的取值范围是[0,4).

[总结反思] 解决含参一元二次不等式恒成立问题,通 常有两种方法:一是函数性质法,借助相应的函数图像, 构造含参数的不等式(组);二是分离参数法,把不等式等 价转化,使之转化为求函数的最值问题.

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第34讲

一元二次不等式及其解法

? 考向二

形如f(x)≥0(x∈[a,b])
:x y=x(1-y).若对任

例3 (1)在R上定义运算 范围是( )

意x>2,不等式(x-a) x≤a+2都成立,则实数a的取值
考 点 互 动 探 究

A.[-1,7] C.(-∞,7]

B.(-∞,3] D.(-∞,-1]∪[7,+∞) 设函数f(x)=x2-1,对任意

(2)[2014· 郑州模拟]

? 3 3? x 2 ? ? - ,- x∈ 2 , f - 4 m f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则 4? m ?

实数m的取值范围是________.

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第34讲

一元二次不等式及其解法

[思路点拨]

(1)先由定义得到一元二次不等式,讨论

其相应的二次函数在区间(2,+∞)上的最小值都不小于 0, 从而确定参数的范围;(2)把变量与参数分离,将问题转化 1 3 2 3 2 3 3 2 m2-4m ≤-x2-x +1,再求-x2-x +1 在区间[-2,-4] 上的最小值.

考 点 互 动 探 究

[答案]

(1)C

(2)(-∞,-

3 3 ]∪[ ,+∞) 2 2

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第34讲

一元二次不等式及其解法

[解析] x)≤a+2,

(1)不等式(x-a)

x≤a+2可化为(x-a)(1-

即x2-(a+1)x+2a+2≥0. 设函数f(x)=x2-(a+1)x+2a+2,其图像的对称轴方
考 点 互 动 探 究

a+1 程为x= 2 , 则问题转化为对任意x>2,函数f(x)≥0都成立,即 a+1 ? ? a + 1 ? >2, ? 2 ? ≤2, ? 2 或? a+1 ? ? ?f(2)≥0 f( )≥0, ? ? 2 解得a≤3或3<a≤7, 所以实数a的取值范围是(-∞,7].
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第34讲

一元二次不等式及其解法

考 点 互 动 探 究

(2)由于f(x)=x2-1,则不等式可化为 x2 2 2 2 2 2-1-4m (x -1)≤(x-1) -1+4(m -1), m 1 3 2 2 即问题可转化为不等式 2 -4m ≤- 2 - x +1, m x 3 3 x∈[-2,-4]恒成立. ? 3 3? 3 2 设y=- x2 - x +1,则在区间 ?-2,-4? 上,y取得最 ? ? 5 小值-3, 1 5 1 2 所以 m2 -4m ≤- 3 ,即 3m2 (3m2+1)(4m2-3)≥0,解 3 3 得m≤- 2 或m≥ 2 .
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第34讲

一元二次不等式及其解法

? 考向三
例4

形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])

[2014· 云南联考] 已知 a∈[-1,1],不等式 x2

+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,求 x 的取值范围.
考 点 互 动 探 究

[思路点拨] 可把 x 当作 a 的系数,把不等式化为关于 a 的不等式, 则问题转化为一次函数在区间[-1, 1]恒成立.

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第34讲

一元二次不等式及其解法

解:原不等式可化为 (x-2)a+x2-4x+4>0. 设 f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则 f(a)可看成关于 a 的 一次函数.
考 点 互 动 探 究

由 f(a)>0 对于任意 a∈[-1,1]恒成立,则
? ?f(-1)>0, ? ? ?f(1)>0,
2 ? ?x -5x+6>0, 即? 2 ? ?x -3x+2>0,

解得 x<1 或 x>3,即 x 的取值范围是(-∞,1)∪(3, +∞).

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第34讲

一元二次不等式及其解法

?

探究点三
例5

一元二次不等式的应用

某商品每件成本价为80元,售价为100元,

考 点 互 动 探 究

每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),则售出 8 商品数量就增加 x成,要求售价不能低于成本价. 5 (1)设该商店一天的营业额为y元,试求y与x之间的 函数关系式y=f(x),并写出定义域; (2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260元,求 x的取值范围.

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一元二次不等式及其解法

[思路点拨] (1)根据商品的原售价及销售量表示出降 价后的售价及销售量,进而求得函数关系式;(2)可根据营 业额的取值范围,列出不等式,解不等式得 x 的取值范围.
考 点 互 动 探 究

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第34讲

一元二次不等式及其解法

解: (1)若售价降低 x 成, 则降价后的商品售价为 100(1 8 x - )元,售出商品数量为 100(1+ x)件, 10 50
考 点 互 动 探 究

由题意,得 y 与 x 之间的函数关系式为 8 x y=100(1- )·100(1+ x)=20(10-x)(50+8x). 10 50 因为售价不能低于成本价, x 所以 100(1-10)-80≥0,解得 x≤2, 所以 y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2].

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第34讲

一元二次不等式及其解法

(2)由题意,得 20(10-x)(50+8x)≥10 260,x∈[0,2], 化简,得 8x2-30x+13≤0, 1 13 解得2≤x≤ 4 , 1 所以 x 的取值范围是[2,2].

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第34讲

一元二次不等式及其解法

[总结反思]

解不等式应用题,一般可按如下四步进

行:①阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准 不等关系;②引进数学符号,用不等式表示不等关系;③
考 点 互 动 探 究

解不等式;④回答实际问题.

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第34讲

一元二次不等式及其解法
国家为了加强对烟酒生产的宏观调控,实行

变式题

征收附加税政策, 现知某种酒每瓶 70 元, 不征收附加税时, 每年大约销售 100 万瓶,若政府征收附加税,每销售 100
考 点 互 动 探 究

元要征税 R 元,则每年的销售量将减少 10R 万瓶,要使每 年在此项经营中所收附加税的金额不少于 112 万元,求 R 的取值范围.

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一元二次不等式及其解法

解:设销量为每年 x 万瓶,则销售收入为每年 70x 万元, 从中征收的税金为 0.7xR 万元,其中 x=100-10R. 由题意, 得 0.7(100-10R)R≥112, 整理得 R2-10R+16≤0,
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解得 2≤R≤8. 故当 2≤R≤8 时,每年在此项经营中所收附加税的金额不少 于 112 万元.

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第34讲

一元二次不等式及其解法

创新应用 汇问题

4.一元二次不等式与二次函数、二次方程的交

【典例】已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像 过 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足 a2+(y1+y2)a+y1y2 =0. (1)证明:y1=-a 或 y2=-a;
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(2)证明: 函数 f(x)的图像必与 x 轴有两个不同的交点; (3)若关于 x 的不等式 f(x)>0 的解集为{x|x>m 或 x<n, n<m<0},求关于 x 的不等式 cx2-bx+a>0 的解集.

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第34讲

一元二次不等式及其解法

[思路]

(1)分解因式求解;(2)利用图像求得;(3)根据解

集的端点值与对应方程根的关系求解.

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第34讲

一元二次不等式及其解法

解答 (1)证明:∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0, ∴(a+y1)(a+y2)=0,得 y1=-a 或 y2=-a. (2)证明:当 a>0 时,二次函数 f(x)的图像开口向上, 又图像上的点 A,B 的纵坐标都为-a 且小于零, ∴函数 f(x)的图像与 x 轴有两个不同的交点. 当 a<0 时,二次函数 f(x)的图像开口向下,又图像上 的点 A,B 的纵坐标都为-a 且大于零,
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∴函数 f(x)的图像与 x 轴有两个不同的交点. 综上可知,二次函数 f(x)的图像与 x 轴有两个不同的 交点.

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一元二次不等式及其解法

(3)∵ax2+bx+c>0 的解集为{x|x>m 或 x<n,n<m<0}, 根据一元二次不等式的解集的特点可知, a>0, 并且关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 m,n, b ? ?m+n=-a, ∴? ∵a>0,∴c>0, c ?m· n=a>0. ? b m+n a b ∴ m· n =-c =-c . a

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第34讲

一元二次不等式及其解法
2 2

m+n 1 b a 2 由cx -bx+a>0?x - c x+ c >0?x + mn ·x+mn>0 1 1 ?x+mx+n>0, 1 1 又∵n<m<0,∴-n<-m, 1 1 ∴x>-m或x<-n.
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故不等式cx2-bx+a>0的解集为
? 1 1 ? {x x>-m或x<-n}. ?

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一元二次不等式及其解法

[方法解读] 一元二次不等式与一元二次方程以及二次函 数图像之间存在着紧密的联系,利用数形结合的思想是解决 此类题的关键.

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第34讲

一元二次不等式及其解法

【跟踪练习】

(1)若不等式ax2+bx-2<0的解集为 )

? 1 ? - 2< x < {x 4},则ab=( ?

A.-28 C.28

B.-26 D.26

(2)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x) >x的解集为(1,2),若f(x)的最大值大于1,则实数a的取
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值范围为________.
[答案] (1)C (2)a<0

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一元二次不等式及其解法
1 [解析] (1)∵-2, 是方程 ax2+bx-2=0 的两根, 4 ?-2 1 1 =- , ? ? a =(-2)× ?a=4, 4 2 ∴? ∴? ∴ab=28. ? ?b=7, ?-b=-7, 4 ? a (2)由于不等式 f(x)>x 的解集为(1, 2), 且二次函数 f(x)

的二次项系数为 a,则可设 f(x)-x=a(x-1)(x-2),且 a
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<0, ∴f(x)=ax2+(1-3a)x+2a(a<0). -a2+6a-1 因此 f(x)max= . 4a -a2+6a-1 依题意可知, >1,且 a<0,解得 a<0. 4a
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第34讲

一元二次不等式及其解法

—— 教师备用例题 ——
例 1 【配例 1 使用】求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的 解集.

解:∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0.令(4x+a)(3x-a)=0, a a 得x1=- ,x2= . 4 3 a a ①当a>0时,- 4 < 3 ,则原不等式的解集为 ? ?x ?
? a a? ? ?x<-4或x>3?; ? ?

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第34讲

一元二次不等式及其解法
②当a=0时,12x2>0,则原不等式的解集为

? ?x ?

? ? ? ?x∈R且x≠0?; ? ?

③当a<0时,- ? ?x ?
? a? ? a ?x<3或x>-4?. ? ?

a 4



a 3

,则原不等式的解集为

综上所述,当a>0时,不等式的解集为
? ? a a? ? ?x ?x<-4或x>3?; ? ? ? 当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};

? 当a<0时,不等式的解集为?x ?

? a? ? a ?x<3或x>-4?. ? ?

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第34讲

一元二次不等式及其解法
例 2 【配例 3 使用】已知 f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当

x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

解:方法一:f(x)=(x-a)2+2-a2,则该二次函数的图 像的对称轴方程为 x=a. ①当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在区间[-1,+∞)上单调 递增, f(x)min=f(-1)=2a+3.要使 f(x)≥a 恒成立, 只需 f(x)min≥a,即 2a+3≥a,则-3≤a<-1. ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2. 由 2-a2≥a,得-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围是[-3,1].
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第34讲

一元二次不等式及其解法
方法二: 令 g(x)=x2-2ax+2-a.由已知得, x2-2ax+2-a≥0

在区间[-1,+∞)上恒成立, ?Δ >0, ? 2 即 Δ=4a -4(2-a)≤0 或?a≤-1, 解得-3≤a≤1. ?g(-1)≥0, ? 故 a 的取值范围是[-3,1].

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第34讲

一元二次不等式及其解法
例 3 【配例 5 使用】行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作



要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫作刹车距 离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离 s(m)与汽车的车 v2 nv 速 v(km/h)满足关系式:s=100+400(n 为常数,且 n∈N),做
? ?6<s1<8, 了两次刹车试验,有关试验数据如图所示,其中? ? ?14<s2<17.

(1)求 n 的值. (2)要使刹车距离不超过 12.6 m,则行驶的最大速度是多 少?
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第34讲

一元二次不等式及其解法

? 40n 1600 ?6<100+ 400 <8, 解:(1)依题意得? ?14<70n+4900<17, 100 400 ? ? ?5<n<10, 解得?5 又 n∈N,所以 n=6. 95 <n<14. ? ?2 3v v2 (2)s = 50 + 400 ≤ 12.6 v2 + 24v - 5040≤0 84≤v≤60,因为 v≥0,所以 0≤v≤60. 故行驶的最大速度为 60 km/h.



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基 础 自 主 梳 理 考 点 互 动 探 究 数 学 思 想 方 法

第35讲 一元二次不等式(组) 与简单的线性规划问题

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考试大纲
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示 二元一次不等式组. 3. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题, 并能加以解决.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题 基 础 自 主 梳 理

——知识聚焦 ——
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式 Ax+By+C>0 Ax+By+C≥0 不等式组 表示区域 直线 Ax+By+C=0 某一侧的所有点组成 的平面区域 不包括_______ 边界 包括________ 边界

各个不等式所表示的平面区域的 ________ 公共部分

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题 基 础 自 主 梳 理

2.线性规划中的基本概念
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量 x,y 组成的 ________ 不等式(组) 由关于 x,y 的 ________不等式组成的不等式组 一次 关于 x,y 的函数 ________,如 z=2x+3y 等 解析式 关于 x,y 的一次 ________解析式

解( x,y) 满足线性约束条件的 ________
由所有可行解组成的 ________ 集合

最大值 最小值 使目标函数取得 ________或 ________的可行解
在线性约束条件下求线性目标函数的 ________或 最大值 ________的问题 最小值

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题 基 础 自 主 梳 理

—— 正本清源 —— ? 链接教材
1.[教材改编] 不等式 x-2y≥0 表示的平面区域是 ________.

[答案] 直线 x-2y=0 及其右下方区域
[解析] 画出直线 x-2y=0,取(1,0)代入,得 x-2y =1>0, 即点(1, 0)在不等式 x-2y≥0 表示的平面区域内, 则不等式 x-2y≥0 表示的平面区域为直线 x-2y=0 及其 右下方区域(如图阴影所示).

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题 基 础 自 主 梳 理

2.[教材改编] 在平面直角坐标系中,不等式组 ?x+y-2≤0, ? ?x-y+2≥0,表示的平面区域的面积是________. ?y≥0 ?

[答案] 4
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示的阴影部分, 1 则所求面积是2×4×2=4.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题 基 础 自 主 梳 理

?y≤2, ? 3.[教材改编] 已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ?x-y≤1, ? 则 z=3x+y 的最大值为________.

[答案] 11
[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示), 当直线 y=-3x+z 经过点 A 时,z 取得最大值.
? ?x-y=1, ? ?x=3, 由? 得? 故 zmax=3× 3+2=11. ? ? ?y=2, ?y=2,

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题 基 础 自 主 梳 理

4.[教材改编] 投资生产 A 产品时,每生产 100 吨需要 资金 200 万元,需场地 200 平方米;投资生产 B 产品时,每 生产 100 吨需要资金 300 万元,需场地 100 平方米.现某单 位可使用资金 1400 万元,场地 900 平方米,则上述要求可 用不等式组表示为________(用 x,y 分别表示生产 A,B 产 品的吨数).
? ?200x+300y≤1400, ?200x+100y≤900, [答案] ? . ?x≥0, ? ?y≥0

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题 基 础 自 主 梳 理

[解析 ] 设生产 A 产品 x 吨,生产 B 产品 y 吨,则 ? ?200x+300y≤1400, ?200x+100y≤900, ? ?x≥0, ? ?y≥0.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题 基 础 自 主 梳 理

?

易错易混
5. 不等式表示平面区域的易错点: 不等号与平面区域的

关系. (1) 不等式- x + 2y - 3 > 0 位于直线 x - 2y + 3 = 0 的 ________方.
? ?-x+y≤0, (2)若用阴影表示不等式组? 所形成的平面区 ? ? 3x-y≤0

域,则该域中的夹角的大小为________.

[答案]

(1)右下

(2)15°
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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题 基 础 自 主 梳 理

[解析] (1)在坐标系中画出直线 x-2y+3=0,用特殊点 可确定满足-x+2y-3>0 的区域在直线 x-2y+3=0 的左上 方. (2)作出两条直线 x-y=0 和 3x-y=0,利用特殊点确 定平面区域,根据直线的斜率,可得阴影部分中的夹角为 15 °.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题 基 础 自 主 梳 理

?

通性通法
6.确定线性目标函数最优解的方法:转化为求直线截

距的最值. ?y≤2x, ? (1)若变量 x, y 满足约束条件?x+y≤1,则 x+2y 的最大 ?y≥-1, ? 值是________. ?x≥0, ? (2)若 x,y 满足约束条件?x+2y≥3,则 z=x-y 的最小 ?2x+y≤3, ? 值是________.

5 [答案] (1)3

(2)-3
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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题 基 础 自 主 梳 理

[解析] (1)画出不等式组表示的平面区域(可行域)如图所示.

1 1 2 z 设 z=x+2y,当直线 y=-2x+2过点 M(3,3)时,z 取得最大 5 5 值3,故 x+2y 的最大值是3.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题 基 础 自 主 梳 理

(2)画出不等式组表示的平面区域 (可行域)如图中阴影部分所 示.

当直线 z=x-y 过点(0,3)时,z 取得最小值-3.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

?

探究点一
例 1

二元一次不等式(组)表示的平面区域

在平面直角坐标系中,满足不等式 x2-y2≤0 )

的点(x,y)的集合所对应的平面区域是(
考 点 互 动 探 究

图 6351
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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[ 思路点拨 ] 把不等式 x2 - y2 ≤ 0 转化为两个不等式组
? ?x-y≤0, ? ?x-y≥0, ? 或? 然后求解. ? ? x + y ≥0 x + y ≤0 , ? ?

考 点 互 动 探 究

[答案] D
[ 解析 ] x - y ≤ 0
? ?x-y≥0, ? 故选 ? x + y ≤0 , ?
2 2

(x - y)(x + y)≤0

? ?x-y≤0, ? 或 ? x + y ≥0 ?

D.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[ 总结反思 ] 在确定二元一次不等式表示的平面区域 时,可用特殊值法.在直线的某一侧任取一点(x0,y0)(若原 点不在直线上,则取点(0,0)最简便),把它的坐标代入 Ax
考 点 互 动 探 究

+By+C,根据其符号即可判断二元一次不等式 Ax+By+ C>0(或 Ax+By+C<0)表示直线哪一侧.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

变式题
考 点 互 动 探 究

?x-y+5≥0, ? 若不等式组?y≥a, 表示的平面区域是 ?0≤x≤2 ? )

一个三角形区域,则 a 的取值范围是( A.a<5 B.a≥7 C.5≤a<7 D.a<5 或 a≥7
[答案] C

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[解析]

? ?x-y+5≥0, 如图所示,不等式组? 表示的平面区 ? 0≤ x ≤2 ?

域是一个梯形区域, 则由题意可知, a 的取值范围是 5≤a<7.
考 点 互 动 探 究

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

? ?

探究点二 求目标函数的最值 考向一 求线性目标函数的最值
例2 ?y≤1, ? 若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0, 则 z ?x-y-2≤0, ? )

考 点 互 动 探 究

=x-2y 的最大值是( A.4 B.3 C.2 D.1
[答案] B

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[解析] 如图所示,画出约束条件表示的可行域,当直 线 z=x-2y 经过直线 x+y=0 与 x-y-2=0 的交点 A(1, -1)时,z 取到最大值 3.
考 点 互 动 探 究

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[总结反思] 求目标函数 z=ax+by 的最大值或最小值, 先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函 数的最值.
考 点 互 动 探 究

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

变式题

已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y

的取值范围是________.(答案用区间表示)
考 点 互 动 探 究

[答案] (3,8)
[解析] 根据已知条件画出可行域,如图所示. 当直线 2x-3y=z 经过 A 点时,z 取得最大值;当直线 2x -3y=z 过 C 点时,z -2),
? ?x-y=3, 取得最小值.由? 得 ? x + y =- 1 , ?

A(1,

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题
? ?x-y=2, 由? 得 ? x + y = 4 , ?

C(3,1).故 z 的最大值为 8,最小值

为 3,所以 z 的取值范围为(3,8).
考 点 互 动 探 究

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

?

考向二
例 3

求非线性目标函数的最值
[2014· 衡阳六校联考 ] 已知实数 x , y 满足 )

考 点 互 动 探 究

?2x+y-2≥0, ? ?x-2y+4≥0,则 x2+y2 的最小值是( ?3x-y-3≤0, ? A.2 2 5 C. 5 B.5 4 D.5

[思路点拨] 画出平面区域, x2+y2 表示平面区域上的点 到原点的距离的平方,找出满足条件的点.
[答案] D
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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[解析] 根据题意作出不等式组表示的平面区域如图所 示.

考 点 互 动 探 究

结合图形可知,该平面区域内的所有点与原点的距离 的最小值等于原点到直线 2x + y - 2 = 0 的距离,即为 |2×0+0-2| 2 2 2 4 2 2 = ,因此, x + y 的最小值是 ( ) =5. 2 2 5 5 2 +1
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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[总结反思] 当目标函数是非线性的函数时,常利用目 标函数的几何意义来解题,常见代数式的几何意义有: ① x2+y2 表 示 点 (x , y) 与 原 点 (0 , 0) 的 距 离 ,
考 点 互 动 探 究

(x-a)2+(y-b)2表示点(x,y)与点(a,b)的距离; y-b y ②x表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率, 表示点 x -a (x,y)与点(a,b)连线的斜率.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

变式题

[2014· 咸阳一模] 设实数 x,y 满足

考 点 互 动 探 究

?x-y-2≤0, ? y ?x+2y-4≥0,则 的最大值是________. x ?2y-3≤0, ? 3 [答案] 2
[解析] 不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

y y-0 y 易知x= ,即x表示区域内的点与原点连线的斜率. x-0 显然 A 点与原点连线的斜率的值最大.
考 点 互 动 探 究
? ?x+2y-4=0, 由? 得 ? 2 y - 3 = 0 , ?

3 A(1,2),

3 y 所以x的最大值为 . 2

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

?

考向三
例 4

求线性规划中的参数
[2014·临 沂 一 模 ] 实 数 x , y 满 足

考 点 互 动 探 究

?x≥1, ? ?y≤a(a>1),若目标函数 z=x+y 取得最大值 4,则实 ?x-y≤0, ? 数 a 的值为( A.4 ) C.2 3 D. 2

B.3

[答案]

C

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[解析] 作出可行域如图所示,则可行域为△ABC 的内 部及边界,当直线 z=x+y 经过点 A(a,a)时,z 取得最大 值 4,即 4=a+a=2a,所以 a=2.
考 点 互 动 探 究

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[总结反思]

在约束条件是线性的情况下, 线性目标函

数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值,当求解目标 中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件.
考 点 互 动 探 究

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

变式题

?y≥0, ? 已知实数 x,y 满足?y-x+1≤0, 若 z=y- ?y-2x+4≥0, ?

ax 取得最大值时的最优解有无数个,则 a 的值为________.
考 点 互 动 探 究

[答案] 1

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[解析] 依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平 面区域,如图所示.要使目标函数 z=y-ax 取得最大值时 的最优解有无数个,则直线 z=y-ax 必平行于直线 y-x+
考 点 互 动 探 究

1=0,于是 a=1.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

?

探究点三
例 5

线性规划的实际应用

[2014· 黄冈模拟] 某研究所计划利用宇宙飞船

进行新产品的搭载实验,计划搭载 A,B 两种新产品,该 研究所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验
考 点 互 动 探 究

费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关 数据如下表:

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

产品 A(件) 研制成本与搭载费用之

产品 B(件) 30 5 60 计划最大投资金额 300 万元 最大搭载质量 110 千 克

考 点 互 动 探 究

和(万元/件) 产品质量(千克/件) 预计收益(万元/件)

20 10 80

试问:如何安排这两种产品的件数,才能使总预计 收益达到最大?最大收益是多少?

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[思路点拨]

设出搭载的 A,B 两产品分别为 x,y 件,

列出约束条件和目标函数,画出可行域,求得最优解.
解:设搭载 A 产品 x 件,B 产品 y 件,预计收益 z=80x +60y(万元),
考 点 互 动 探 究

? ?20x+30y≤300, ?10x+5y≤110, 则? 作出可行域,如图所示. ?x≥0, ? ?y≥0,

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题
? ? ?20x+30y=300, ?x=9, 由? 解得? ? ? ?10x+5y=110, ?y=4,

即 M(9,4).由图易得,当直线 z=80x+60y 经过 M 点时,z 取得最大值,所以 zmax=80× 9+60× 4=960(万元),
考 点 互 动 探 究

故搭载 A 产品 9 件,B 产品 4 件,可使得总预计收益 最大,且最大收益为 960 万元.
[总结反思] 解线性规划实际应用问题的一般步骤: (1)

分析题意,设出未知量;(2)列出约束条件,确定目标函数; (3)画出可行域;(4)判断最优解;(5)求出目标函数的最值, 并根据实际问题作答.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

变式题

[2014· 洛阳一模] 某企业生产甲、乙两种产品,

已知每生产 1 吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;每生 产 1 吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨.已知每销售 1
考 点 互 动 探 究

吨甲产品可获得利润 1 万元, 1 吨乙产品可获得利润 3 万元, 该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产 1 吨, 乙产品至 少要生产 2 吨,若消耗 A 原料不超过 13 吨,消耗 B 原料不 超过 18 吨,则该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲 产品的产量应是( A.1 吨 C.3 吨
[答案] A
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)

B.2 吨 11 D. 3 吨

第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[解析] 设该企业在这个生产周期内生产 x 吨甲产品, 生产 y 吨乙产品,预计收益为 z=x+3y(万元). ? ?3x+y≤13, ?2x+3y≤18, 由题意可知,? ?x≥1, ? ?y≥2, 作出可行域,如图所示.

考 点 互 动 探 究

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

考 点 互 动 探 究

16 由图可知,当直线 z=x+3y 经过点 A(1, 3 )时所获利 润最大,此时甲产品的产量为 1 吨.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

误区警示

14.含参数的线性规划问题的易错点

?y≥1, ? 【典例】已知实数 x,y 满足?y≤2x-1,如果目标函 ?x+y≤m, ? 数 z=x-y 的最小值为-1,则实数 m=________.

易 错 易 混 透 析

[答案] 5

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[解析]

显然,当 m<2 时,不等式组表示的平面区

域是空集;当 m=2 时,不等式组表示的平面区域只包含 一个点 A(1,1).显然都不符合题意.故必有 m>2,此时 ?y≥1, ? 不等式组 ?y≤2x-1, 所表示的平面区域如图 6352 所 ?x+y≤m ? 示, ①平面区域为一个三角形区域,
易 错 易 混 透 析

m+1 2m-1 其顶点为 A(1,1),B(m-1,1),C( 3 , 3 ). 由 图 可 知 , ②当直线y=x-z经过点C时,z取得最小值 ,
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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

易 错 易 混 透 析

图 6352 m+1 2m-1 2-m 2-m 最小值为 3 - 3 = 3 .由题意,得 3 =- 1,解得 m=5.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[易错点析] ①画可行域时因为含有变化的区域导致 可行域画不出;②不能确定目标函数取得最值的情况.

易 错 易 混 透 析
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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

【跟踪练习】

(1)当点M(x,y)在如图6353所示的 )

三角形ABC内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最 大值的一个最优解为(1,2),则实数k的取值范围是(

易 错 易 混 透 析

图6353 A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.[-1,1] C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1)
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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

(2) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 若 不 等 式 组 ?y≥0, ? ?y≤2x, 表示一个三角形区域,则实数 k 的取值 ?y≤k(x-1)-1 ? 范围是________.

易 错 易 混 透 析

[答案] (1)B

(2)(-∞,-1)

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[解析] (1)易知目标函数所表示的直线的斜率为-k,当直线 z=kx+y 所表示的斜率不比直线 BC 的斜率小,不比直线 AC 的 斜率大时, 点 C(1, 2)可以成为 z 取得最大值的一个最优解. ∵kAC =1,kBC=-1,∴-1≤-k≤1,解得-1≤k≤1.
? ?y≥0, (2) 不等式组 ? 表示的平面区域为如图所示的阴影部 ? y ≤ 2 x ?

分.直线 y=k(x-1)-1 过定点(1,-1),由图易知,当直线的 斜率 k∈(-∞,-1)时,原不等式组表示的平面区域是一个三角
易 错 易 混 透 析

形区域.

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

—— 教师备用例题 ——
例 1 【配例 1 使用】不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )

[答案] C
[ 解 析 ] 不 等 式 转 化 为 C.
? ?x-2y+1≥0, ? ? ?x+y-3≤0



? ?x-2y+1≤0, ? 故选 ? ?x+y-3≥0,

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

例 2 【配例 2 使用】设双曲线 4x2-y2=1 的两条渐近 线与直线 x= 2围成的三角形区域(包含边界)为 D,P(x, 1 y)为 D 内的一个动点,则目标函数 z=2x-y 的最小值为 ( ) 3 2 5 2 A.-2 B.- 2 C.0 D.- 2

[答案] B

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题
[解析] 曲线 4x2-y2=1 的两条渐近线的方程为 2x-y

=0,2x+y=0,与直线 x= 2围成的三角形区域如图中的 1 阴影部分所示,所以目标函数 z=2x-y 在点 P( 2,2 2) 1 3 处取得最小值为 × 2-2 2=- 2. 2 2

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

?0≤x≤2, ? 例 3 【配例 3 使用】若 x,y 满足?0≤y≤2,则(x-1)2 ?x-y≥1, ? +(y-1)2 的取值范围是________.

[答案]

?1 ? ? ,2 ? ?2 ?

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

[解析] 由不等式组作出可行域如图所示, (x-1)2+(y -1)2 表示点(1,1)到可行域内的点的距离的平方. 根据图像可得(x-1) +(y-1)
2 2

?1 ? ? 的取值范围是 2,2?. ? ?

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

例 4 【配例 5 使用】预计用 2000 元购买单价为 50 元 的桌子和 20 元的椅子,希望使桌子和椅子的总数尽可能得 3 多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的2倍,问桌 子、椅子应各买多少?

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

解:设桌子、椅子分别应买 x 张、y 张,目标函数 z=x ?50x+20y≤2000, ? ?y≥x, ? 3 +y,把所给的条件表示成不等式组,即?y≤2x, ? ? x ≥0 , ? ?y≥0. 根据约束条件,作出可行域(如图所示).

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

? 200 ? ?x = 7 , ?50x+20y=2000, 由? 解得? 所以 A 点的坐标为 ? 200 y = x , ? ? y= , 7 ? 200 200 ( 7 , 7 ).

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第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

50x+20y=2000, x=25, ? ? ? ? 由? 3 解得? 75 所以 B 点的坐标为 y = x, y= , ? ? 2 ? 2 ? 75 (25, ). 2 由图可知,目标函数 z=x+y 在可行域内的最优解为 75 (25, ),但注意到 x∈N*,y∈N*,故取 y=37. 2 故应买桌子 25 张,椅子 37 张.

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基 础 自 主 梳 理 考 点 互 动 探 究 易 错 易 混 透 析

第36讲 基本不等式

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考试大纲

1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

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第36讲
基 础 自 主 梳 理

基本不等式

—— 知识聚焦 ——
a+b 1.基本不等式 ab≤ 2

a ,b∈R+ (1)基本不等式成立的条件: ________ .
a=b . (2)等号成立的条件:当且仅当________
2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥________( 2ab a,b∈R). b a 2 (2)a+b≥________( a,b 同号). a+b2 (3)ab≤ 2 (a,b∈R). a+b2 a2+b2 (4) 2 ≤ 2 (a,b∈R).
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第36讲
基 础 自 主 梳 理

基本不等式

3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则________ 为 a,b 的算术平均, ab为 a, 2 b 的几何平均,于是,基本不等式可以表述为: 两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它 ____________________________________________________ 们的几何平均 . ________________ 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最

2 p 小值是________( 简记:积定和最小).
(2)如果2 x+y 是定值 q,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最 q 大值是________( 简记:和定积最大). 4
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第36讲
基 础 自 主 梳 理

基本不等式

—— 正本清源 —— ? 链接教材
1 1 . [ 教 材 改 编 ] 函 数 y = x + x (x > 0) 的 值 域 为 ________.

[答案] [2,+∞)
1 1 [解析] ∵x>0,∴y=x+x≥2,当且仅当 x=x ,即 x 1 =1 时取等号,故函数 y=x+x(x>0)的值域为[2,+∞).

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第36讲
基 础 自 主 梳 理

基本不等式

2.[教材改编] 一段长为 40 的篱笆围成一个矩形菜园, 则菜园的最大面积是________.

[答案] 100
[解析] 设矩形菜园的长为 x,宽为 y,则 2(x+y)=40, 即 x+y=20, x+y2 ∴ 矩形的面积 S=xy≤ 2 =100,当且仅当 x=y=10 时,等号成立,故菜园的最大面积是 100.

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第36讲
基 础 自 主 梳 理

基本不等式

3.[教材改编] 已知 x,y∈R+,且 x+4y=1,则 x· y的 最大值为________.

1 [答案] 16
1 1 x+4y 2 1 [解析] xy=4x·4y≤4( 2 ) =16,当且仅当 x=4y= 1 1 1 2,即 x=2,y=8时取等号.

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第36讲
基 础 自 主 梳 理

基本不等式

4.[教材改编] 若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是________.

[答案] [9,+∞)

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第36讲
基 础 自 主 梳 理

基本不等式
[解析] 方法一:ab=a+b+3≥2 ab+3,当且仅当 a=b

时取等号,∴( ab)2-2 ab-3≥0, ∴ ab≥3,∴ab≥9.故当 a=b=3 时,取等号. a+3 方法二:设 S=ab.∵ab=a+b+3,∴b= .由 b>0, a-1 知 a>1,即 a-1>0, a+3 a2+3a 4 ∴S=a· = =(a-1)+ +5≥9, a-1 a-1 a-1 当且仅当(a-1)2=4,即 a=3 时取等号,此时 b=3.

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第36讲
基 础 自 主 梳 理

基本不等式

?
件.

易错易混
5. 基本不等式的应用: 注意字母的正负以及取等号的条 给出下列函数: 1 1 1 ①y=x+x;②y=lg x+lg x;③y= x2+1+ 2 . x +1 当 x 取正数时,y 的最小值为 2 的是________(填序号).

[答案] ①

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第36讲
基 础 自 主 梳 理

基本不等式
1 [解析] 对于①, y=x+x ≥2 1 x· x =2(当且仅当 x=1 时

取等号). 1 对于②,∵x>0,∴lg x∈R,∴y=lg x+lg x≥2(当且仅 1 1 当 x=10 时取等号)或 y=lg x+lg x≤-2 当且仅当 x=10时取 等号. 对于③,∵y= x2+1+ 1 ≥2(当且仅当 x2+1=1, 2 x +1

即 x=0 时取等号),又 x>0,∴y>2.

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第36讲
基 础 自 主 梳 理

基本不等式

?

通性通法
6. 应用基本不等式的技巧: 配凑成“和为常数”或“积

为常数”. (1) 已知 0<x<1 ,则 x(3 - 3x) 取得最大值时 x 的值为 ________. (2)若 x>1,则 x+ 4 的最小值为________. x-1

1 [答案] (1)2

(2)5

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第36讲
基 础 自 主 梳 理

基本不等式

1 1 9 [解析] (1)由题意可知,x(3-3x)= ×3x(3-3x)≤ × = 3 3 4 3 1 ,当且仅当 3 x = 3 - 3 x ,即 x = 4 2时等号成立. 4 4 (2)∵x>1,∴x-1>0,∴x+ =x-1+ +1≥4+1 x-1 x-1 =5, 4 当且仅当 x-1= ,即 x=3 时等号成立. x-1

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第36讲

基本不等式

?

探究点一
例1 A.2

利用基本不等式求最值
)

x2+2 (1)函数 y= (x>1)的最小值是( x-1 3+2 3 B.2 3-2

考 点 互 动 探 究

C.2

D.2 2 1 (2)已知 x>0,y>0,且 x + y =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2)
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)

第36讲

基本不等式
p (1)转化为 x+ x 的形式求解;(2)x+2y

[思路点拨]

2 1 转化为(x+2y)( x +y )的形式后,再展开求解.
考 点 互 动 探 究

[答案] (1)A

(2)D

[解析] (1)∵x>1,∴x-1>0, x2+2 x2-2x+1+2(x-1)+3 ∴y= = = x-1 x-1 (x-1)2+2(x-1)+3 3 =(x-1)+ +2≥2 3+2, x -1 x-1 当且仅当 x-1= 3 ,即 x= 3+1 时取等号. x-1

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第36讲

基本不等式

2 1 (2)∵x>0,y>0 且x +y =1, 2 1 4y x 4y x ∴ x + 2y = (x + 2y)( x + y ) = 4 + x + y ≥ 4 + 2 x ·y = 4y x 8,当且仅当 x =y,即 x=4,y=2 时取等号,∴(x+2y)min= 8. 要使 x+2y>m2+2m 恒成立,只需(x+2y)min>m2+2m,即 8>m2+2m,解得-4<m<2.

考 点 互 动 探 究

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第36讲

基本不等式

[总结反思] 利用基本不等式求最值时,一定要注意“一 正、二定、三相等”,以及条件的转化和应用.
考 点 互 动 探 究

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第36讲

基本不等式

变式题 值为( A.1
考 点 互 动 探 究

(1)[2014· 福建质检] 若直线 ax+by=ab(a>0,

b>0)过点(1,1),则该直线在 x 轴、y 轴上的截距之和的最小 ) B. 2 C.4 D.8

1 1 (2)[2014· 天津河东区一模] 已知 x>1,y>1,且4ln x,4, ln y 成等比数列,则 xy( A.有最大值 e C.有最小值 e ) B.有最大值 e D.有最小值 e

[答案] (1)C (2)C

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第36讲

基本不等式
[解析] (1)因为 a>0,b>0, 1 1 且直线 ax+by=ab 过点(1,1),所以 a+b=ab,即a+b

=1.
考 点 互 动 探 究

又该直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a,b, 故该直线在 x 轴、y 轴上的截距之和为 1 1 b a a+b=a+b(a+b)=2+a+b≥2+2 b a 仅当a=b,即 a=b=2 时,等号成立. b a a·b=4,当且

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第36讲

基本不等式

考 点 互 动 探 究

(2)因为 x>1,y>1,所以 ln x>0,ln y>0. 1 1 1 1 又4ln x,4,ln y 成等比数列,所以4ln x·ln y=42,即 1 ln x·ln y= . 4 (ln x+ln y) 1 由基本不等式, 得 = ln x · ln y ≤ = 4 4 (ln xy)2 ,当且仅当 ln x=ln y,即 x=y 时取等号, 4 所以 ln xy≥1,得 xy≥e,故选 C.
2

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第36讲

基本不等式

?

探究点二
例2

不等式与函数的综合问题

a 设函数 f(x)=x+ ,x∈[0,+∞). x +1

(1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最小值;
考 点 互 动 探 究

(2)当 0<a<1 时,求函数 f(x)的最小值. a 解:(1)把 a=2 代入 f(x)=x+ 中,得 f(x)=x+ x+1
2 2 =x+1+ -1. x+1 x+1 2 由于 x∈[0,+∞),所以 x+1>0, >0, x +1 所以 f(x)≥2 2-1, 2 当且仅当 x+1= ,即 x= 2-1 时,f(x)取得最 x+1 小值,且最小值为 2 2-1.
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第36讲

基本不等式

a a (2)因为 f(x)=x+ =x+1+ -1, 此时再利用(1) x+1 x+1 中的方法,取不到等号. a a 设 x1>x2≥0, 则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x - =(x1 x1+1 2 x2+1
? ? a ? ? 1 - -x2)· . ? (x1+1)(x2+1)? ? ?

考 点 互 动 探 究

由于 x1>x2≥0,所以 x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1, 所以(x1+1)(x2+1)>1.又 0<a<1, a 所以 <1,所以 f(x1)-f(x2)>0, (x1+1)(x2+1) 即 f(x1)>f(x2),所以 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增. 所以 f(x)min=f(0)=a.
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第36讲

基本不等式

ax2+bx+c [总结反思] 可利用基本不等式求形如 y= dx+e 的值域,但在求解的过程中要注意运用基本不等式时,等
考 点 互 动 探 究

号是否成立,若等号不成立,则可以利用函数的单调性求 解.

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第36讲

基本不等式

变式题

已知 f(x)=32x-(k+1)3x+2,当 x∈R 时,f(x)

恒为正值,则 k 的取值范围为________.
考 点 互 动 探 究

[答案] (-∞,2

2-1)

[解析] 由 f(x)>0 恒成立,得 32x-(k+1)3x+2>0 恒成立, 2 2 即 k+1<3x+ x恒成立.又 3x+ x≥2 2(当且仅当 3x= 2时, 3 3 等号成立),∴k+1<2 2,即 k<2 2-1.

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第36讲

基本不等式

?

探究点三

基本不等式的实际应用

例 3 [2014· 湖北卷] 某项研究表明: 在考虑行车安 全的情况下, 某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的
考 点 互 动 探 究

车辆数,单位:辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同 速度 v 行驶,单位:米/秒)、平均车长 l(单位:米)的值 76 000v 有关,其公式为 F= 2 . v +18v+20l (1) 如果不限定车型, l = 6.05 ,则最大车流量为 ________辆/小时; (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最 大车流量增加________辆/小时.

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第36讲

基本不等式
(2)100

[答案] (1)1900

考 点 互 动 探 究

[解析] (1)依题意知,l>0,v>0,所以当 l=6.05 时, 76 000v 76 000 76 000 F= 2 = ≤ = 121 v +18v+121 121 v+ v +18 2 v· v +18 1900, 当且仅当 v=11 时,取等号. (2)当 l=5 时, 76 000v F= 2 = v +18v+100 76 000 ≤2000, 100 v+ v +18

当且仅当 v=10 时,取等号,此时比(1)中的最大车流 量增加 100 辆/小时.
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第36讲

基本不等式

[总结反思]

(1)解实际应用题的基本思路是: ①设变

量时, 一般把要求的变量定义为函数; ②根据实际问题抽
考 点 互 动 探 究

象出函数的解析式后,再利用基本不等式求得函数的最 值;③在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题 有意义的自变量的取值范围)内求解.

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第36讲

基本不等式

变式题 [2014· 福建卷] 要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价 是(
考 点 互 动 探 究

) A.80 元 C.160 元
[答案] C

B.120 元 D.240 元

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第36讲

基本不等式

[ 解析 ]
3

设底面矩形的一边长为 x. 由容器的容积为 4

4 m ,高为 1 m,得另一边长为 x m.
考 点 互 动 探 究

记容器的总造价为 y 元,则 4 4 y=4× 20+2x+x ×1×10=80+20x+x ≥80+ 4 20×2 x·x =160, 4 当且仅当 x=x ,即 x=2 时等号成立. 因此,当 x=2 时,y 取得最小值 160,即容器的最低总 造价为 160 元,故选 C.
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第36讲

基本不等式

误区警示

1 2 【典例】 已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则a+b的
[答案] 3+2 2

15.忽视基本不等式等号成立的条件错误

最小值是________.

[解析]

∵a>0,b>0,且 ①a+b=1,

1 2 1 2 b 2a ∴②a+b=a+b(a+b)=1+2+a+ b ≥
易 错 易 混 透 析

b 2a a· b =3+2 2, b 2a 当且仅当a= b , 即 a= 2-1, b=2- 2 时取等号, 1 2 故a+b的最小值为 3+2 2. 3+2
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第36讲

基本不等式

a+b2 1 1 [易错点析] ①处误由 a+b=1, 得 ab≤ = .②处由a 2 4 2 2 1 2 +b≥2 ab,而导致两次应用基本不等式致误,误由a+b≥2 1 2 1 8=4 2,得a+b的最小值为 4 2,或者不能将 a+b=1 与a 2 1 2 1 2 +b有效结合,得出a+b=a+b(a+b).
易 错 易 混 透 析
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第36讲

基本不等式

【跟踪练习】 (1)下列各函数中, 最小值为 4 的个数 为( ) 4 4 ①y=x+ x;②y=sin x+sin x(0<x<π );③y=ex+4e
-x

;④y=log3x+4logx3. A.4 B.3 C.2 D.1 9 (2)函数 y= 2 +4sin2x 的最小值是________. sin x
[答案] (1)D (2)13

易 错 易 混 透 析

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第36讲

基本不等式
[解析] (1)①中, 由于 x 的符号不确定, 故不满足条件;

②中,0<sin x≤1,而应用基本不等式时等号成立的条件为 sin x=2,故不满足条件;③正确;④中 log3x,logx3 的符 号不确定,故不满足条件.综上只有③满足条件. 9 (2)令 sin x=t,t∈(0,1],则 y= t +4t,此时利用基本 9 不等式时,等号取不到故设 x1>x2,且 x1,x2∈(0,1],则x 1 9 1 1 9 + 4x1 - x - 4x2 = 9( x - x ) + 4(x1 - x2) = (x1 - x2)( 4 - x x ) 2 1 2 1 2 9 <0,故 y= t +4t 在区间(0,1]上是减函数,故当 t=1 时,
2

易 错 易 混 透 析

ymin=13.

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第36讲

基本不等式

—— 教师备用例题 ——
1 1 例 1 【配例 1 使用】(1)若 lg x+lg y=2,则x +y 的最小 值是( ) 1 A.20 ) 9 A.3 B.4 C.2 11 D. 2 1 B.5 1 C.2

D.2

(2)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值 是(

[答案]

(1)B

(2)B

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第36讲

基本不等式

1 1 [解析] (1)∵lg x+lg y=lg xy=2,∴xy=100,∴ x+ y≥2 1 1 xy=5,当且仅当 x=y=10 时,等号成立. x+2y2 (2)方法一:由题意可得,x+2y=8-x· (2y)≥8- , 2 当且仅当 x =2y 时,等号成立,整理得 (x+2y)2+4(x+2y)- 32≥0, 即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0,又 x+2y>0, ∴x+2y≥4. 方法二: 依题意, 得(x+1)(2y+1)=9, ∴(x+1)+(2y+1)≥ 2 (x+1)(2y+1)=6, 当且仅当 x+1=2y+1,即 x=2,y=1 时取等号,故 x+ 2y 的最小值是 4.
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第36讲

基本不等式

16x 例 2 【配例 2 使用】设 f(x)= 2 (x>0). x +8 (1)求 f(x)的最大值; 21 (2)证明:对任意实数 a,b,恒有 f(a)<b -3b+ . 4
2

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第36讲

基本不等式
16 8 x· x =2 2,

16x 16 解:(1)f(x)= 2 = ≤ 8 x +8 x+ x 2 8 当且仅当 x=x ,即 x=2

2时,等号成立,

所以 f(x)的最大值为 2 2. 21 32 3 2 (2)证明:b -3b+ 4 =b-2 +3,当 b=2时,b2-3b + 21 有最小值 3. 4 2,∴对任意实数 a,b,恒

由(1)知,f(a)有最大值 2 21 2 有 f(a)<b -3b+ . 4

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第36讲

基本不等式
例 3 【配例 3 使用】桑基鱼塘是某地一种独具地方特

色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项 目,该项目准备购置一块 1800 m2 的矩形地块,中间挖出三 个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影 部分所示)种植桑树,池塘周围的基围宽均为 2 m,如图所 示,设池塘所占的总面积为 S m2. (1)试用 x 表示 S. (2)当 x 取何值时,S 最大?并求出 S 的最大值.

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第36讲

基本不等式
x-6 解:(1)由题中图形知,3a+6=x,∴a= 3 , 1800 1800 故池塘所占的总面积 S= x -4· a+2a( x -6)=

x-6 5400 5400 10 800 16x a( x -16)= 3 ( x -16)=1832- x + 3 , 10 800 16x 即 S=1832- x + 3 (6<x<300). 10 800 16x (2)由 S=1832- x + 3 , 10 800 16x 得 S≤1832-2 240=1352, x · 3 =1832-2× 10 800 16x 当且仅当 x = 3 ,x=45∈(6,300)时,等号成立. 故当 x 为 45 时,S 最大,且 S 的最大值为 1352.
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第37讲 合情推理与演绎推理

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考试大纲
1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单 的推理,了解合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式, 并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

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第37讲
基 础 自 主 梳 理

合情推理与演绎推理

—— 知识聚焦 ——
1.推理

已知的判断 来确定一个新 (1)定义:根据一个或几个 _____________ 思维过程 就是推理. 的判断的__________
(2)分类:推理一般分为合情推理 ________与演绎推理 ________. 2.合情推理 (1)定义:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联

猜想 的推理叫作合 归纳、类比 ,然后提出________ 想,再进行____________
情推理. (2) 分 类 : 数 学 中 常 用 的 合 情 推 理 有 归纳推理 ________ 和

类比推理 ________ .
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第37讲
基 础 自 主 梳 理

合情推理与演绎推理

(3)归纳和类比推理的定义、特征及步骤
名称 归纳推理 根据某类事物的 类比推理 由两类对象具有

部分对象 ________具有某些
特征,推出该类事物 定 义 的全部对象 ________都具有 这些特征的推理,或 者由个别事实概括 出一般结论的推理, 叫作归纳推理

某些类似 ________特征和其
中一类对象的某些 已知特征,推出另一 类对象也具有这些 特征的推理,叫作类 比推理

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第37讲
基 础 自 主 梳 理

合情推理与演绎推理

(续表)
名 称 特 点 归纳推理 类比推理

部分 到________ 整体 、 由________ 个别 到________ 一般 的 由________
推理
相似性或一致性 ①通过观察部分对象 ________发现 ①找出两类事物之间的_____________ ;

特殊 到_______ 由________ 特殊 的推理



某些相同性质 _____________;

性质 去 推 测 ② 用 一 类 事 物 的 ______

另一类事物的性质 ,得出一个明确 骤 ②从已知的相同性质 ________中推 ______________________ 一个明确表述的 的命题(猜想) 出________ 一般性命题(猜想)

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基 础 自 主 梳 理

合情推理与演绎推理

3.演绎推理 (1)模式:三段论
一般原理 ; ①大前提——已知的________ 特殊情况 ; ②小前提——所研究的________ 特殊情况 做出的判断. ③结论——根据一般原理,对________ 一般 到________ 特殊 (2)特点:演绎推理是由________ 的推理.

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合情推理与演绎推理

—— 正本清源 —— ? 链接教材
1 . [ 教材改编 ] 关于归纳推理下列说法正确的有 ________(填序号). ①归纳推理是一般到一般的推理; ②归纳推理是一般到个别的推理; ③归纳推理的结论一定是正确的; ④归纳推理的结论未必正确.
[答案] ④

[解析] 归纳推理是从特殊到一般的推理, 其结论未必 正确.
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第37讲
基 础 自 主 梳 理

合情推理与演绎推理

an 2.[教材改编] 数列{an}满足 a1=1,an+1= (n∈N*), 1+an 则归纳出数列的通项公式为________.

1 [答案] an=n(n∈N*)
1 1 1 an [解析] 由 a1=1, an+1= , 得 a2=2, a3=3, a4=4, …, 1+an 1 归纳猜想 an=n(n∈N*).

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基 础 自 主 梳 理

合情推理与演绎推理

3.[教材改编] 一切奇数都不能被 2 整除,2100+1 不能被 2 整除,其演绎推理的“三段论”的形式为________.

[答案] 一切奇数都不能被 2 整除,……大前提;2100 +1 是奇数, ……小前提; 所以 2100+1 不能被 2 整除. …… 结论

[解析] 由三段论的形式可知.

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第37讲
基 础 自 主 梳 理

合情推理与演绎推理

4. [教材改编] 由“等腰三角形的两底角相等, 两腰相等” 可以类比推出正棱锥的类似性质是________.

[答案] 正棱锥的各侧面与底面所成二面角相等, 各侧 面都是全等的三角形(或各侧棱相等).
[ 解析 ] 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧 面类比.

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基 础 自 主 梳 理

合情推理与演绎推理

?

易错易混
5.归纳推理:归纳不准确导致错误. x [2014· 陕西卷] 已知 f(x)= ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn 1+x

+1

(x)=f(fn(x)),n∈N+,则 f2014(x)的表达式为________.

x 1+x x x [解析] 由题意,得 f1(x)=f(x)= ,f2(x)= = , x 1+x 1+2x 1+ 1+x x x f3(x)= ,…,由此归纳推理可得 f2014(x)= . 1+3x 1+2014x

x [答案] 1+2014x

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第37讲
基 础 自 主 梳 理

合情推理与演绎推理

?

通性通法
6.类比推理:要善于抓住发现两类事物的相似性,并

尽量找到本质的相似性. 在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,则它们的 面积比为 1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长 比为 1∶2,则它们的体积比为________.

[答案] 1∶8
[解析] ∵两个正三角形是相似三角形,∴它们的面积比是相 似比的平方.同理,两个正四面体的体积比为棱长比的立方,∴ 它们的体积比为 1∶8.

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合情推理与演绎推理

?

探究点一
例 1

类比推理

在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1

+ a2 + ?+ an = a1 + a2 + ?+ a19 - n(n < 19 , n∈N*) 成
考 点 互 动 探 究

立. 类比以上性质, 相应地在等比数列{bn}中, 若 b9=1, 则成立的等式是( ) A.b1·b2·?·bn=b1·b2·?·b17-n(n<17, n∈N*) B.b1·b2·?·bn=b1·b2·?·b18-n(n<18,n∈N*) C . b1 + b2 +?+ bn = b1 + b2 +?+ b17 - n(n < 17 , n∈N*) D . b1 + b2 +?+ bn = b1 + b2 +?+ b18 - n(n < 18 , n∈N*)
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第37讲

合情推理与演绎推理

[思路点拨]
考 点 互 动 探 究

通过等差、等比数列的性质以及已知条

件通过类比推理得到结论.

[答案] A

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合情推理与演绎推理

[解析] 在等差数列{an}中,由 a10=0 得,a1+a19= a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0, ∴a1+a2+…+an+…+a19=0,即 a1+a2+…+an
考 点 互 动 探 究

=-a19-a18-…-an+1. 又∵a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1,∴a1 +a2+…+an=-a19-a18-…-an+1=a1+a2+…+a19-
n.

若 a9=0,同理可得 a1+a2+…+an=a1+a2+…+ a17-n(n<17,n∈N*), 相应的,在等比数列{bn}中,可得 b1b2?bn=b1b2? b17-n(n<17,n∈N*).
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第37讲

合情推理与演绎推理

[总结反思]

(1)类比推理是由特殊到特殊的推理,其一

般步骤为:①找出两类事物之间的相似性(或一致性);②用
考 点 互 动 探 究

一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的 命题(猜想).

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第37讲

合情推理与演绎推理

“在平面几何中, 若△ABC 的三边长分别为 a, 1 b,c,内切圆的半径为 r,则三角形的面积 S△ABC= (a+b+ 2
考 点 互 动 探 究

变式题

c)r”, 拓展到空间, 类比以上叙述可得结论: 在立体几何中, 若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内 切球的半径为 r,则四面体的体积为________.

1 [答案] 3(S1+S2+S3+S4)r

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第37讲

合情推理与演绎推理

[解析] 三角形的面积类比为四面体的体积, 三角形的边 长类比为四面体四个面的面积,内切圆的半径类比为内切球 1 的半径.故 V 四面体 ABCD=3(S1+S2+S3+S4)r.

考 点 互 动 探 究

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第37讲

合情推理与演绎推理

?

探究点二

归纳推理

例 2 如图 6371 所示, 用全等的小正方体木块叠放立 体图形,按照这样的规律继续逐个叠放下去,那么在第 7
考 点 互 动 探 究

个叠放的立体图形中小正方体木块数应是(

)

图 6371 A.25 B.66 C.91 D.120

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第37讲

合情推理与演绎推理

[ 思路点拨 ] 根据前三个立体图形中小正方体木块 的个数及其个数的规律猜想求得.
考 点 互 动 探 究

[答案] C
[解析] 图中前三个立体图形中,用到的小正方体木块数依次 为 1,2+1× 4,3+(1+2)× 4, 按照前三个立体图形所反映出来的规律,归纳推理可知,第 7 个叠放的立体图形中用到的小正方体木块数应是 7 + (1 + 2 + 3 +…+6)× 4=91.

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第37讲

合情推理与演绎推理

[总结反思]

(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象

的推理, 因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围. (2) 归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观
考 点 互 动 探 究

察、经验或试验的基础之上的.归纳的一般步骤:①对有 限的资料进行观察、分析、归纳整理;②提出带有规律性 的结论,即猜想;③检验猜想.

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第37讲

合情推理与演绎推理

变式题

观察下列等式:

①cos 2α =2cos2α -1; ②cos 4α =8cos4α -8cos2α +1;
考 点 互 动 探 究

③cos 6α =32cos6α -48cos4α +18cos2α -1; ④cos 8α =128cos8α -256cos6α +160cos4α -32cos2 α +1; ⑤cos 10α =mcos10α -1280cos8α +1120cos6α +ncos4 α +pcos2α -1.从而推测 m-n+p=________.
[答案] 962

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合情推理与演绎推理
[解析] 观察可知,m=29=512,p=2× 52=50. 又当 α=0 时,m-1280+1120+n+p-1=1,∴n=-

400,∴m-n+p=962.
考 点 互 动 探 究

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第37讲

合情推理与演绎推理

?

探究点三
例 3

演绎推理
)

“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行

四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是(
考 点 互 动 探 究

A.① B.② C.③ D.①和②

[答案] B
[解析] 由演绎推理的三段论可知,①是大前提;②是小前提; ③是结论.

[总结反思] 后再找结论.

演绎推理的一般模式为三段论, 应用三段

论解决问题时,首先应该明确什么是大前提,小前提,然

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第37讲

合情推理与演绎推理

变式题

有一段演绎推理是“若直线平行于平面, 则该

直线平行于平面内所有直线;已知直线 b∥平面 α,直线 a ?平面 α,则直线 b∥直线 a”,结论显然是错误的,这是 因为(
考 点 互 动 探 究

)

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
[答案] A
[解析] 由演绎推理的三段论可知答案应为 A.

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第37讲

合情推理与演绎推理

创新应用

5. 背景问题中的合情推理的应用

【典例】古希腊的数学家研究过各种多边形数,如三 n(n+1) 角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为 = 2 1 2 1 n + n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了 2 2 部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 1 三角形数 N(n,3)= n2+ n, 2 2 正方形数 N(n,4)=n2, 3 2 1 五边形数 N(n,5)=2n -2n,
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第37讲

合情推理与演绎推理
六边形数 N(n,6)=2n2-n ?? 可以推测 N(n , k) 的表达式,由此计算 N(10 , 24) =

________.

思路
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从已知的部分 k 边形数观察一般规律写出 N(n,

k),然后求 N(10,24).

[答案] 1000

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第37讲

合情推理与演绎推理
1 2 1 3 2 [解析] 由 N(n,3)=2n +2n,N(n,4)=n ,N(n,5)=2

k-2 4-k 1 n2-2n,N(n,6)=2n2-n,可以推测:N(n,k)= 2 n2+ 2 n. 24-2 4-24 ∴ N(10 , 24) = 2 × 100 + 2 × 10 = 1100 - 100 = 1000.

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第37讲

合情推理与演绎推理

[方法解读] 合情推理是根据已有的事实,经过观察、分 析、 比较、 联想, 再进行归纳、 类比, 然后提出猜想的推理. 因 此要合乎情理地进行推理,充分挖掘已有的事实,寻求规律, 还要充分比较类比源和类比对象的共有属性,不能盲目地进 行类比.

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第37讲

合情推理与演绎推理

【跟踪练习】 (1)观察如图 6372 所示的图形中小正方形 的个数,则第 6 个图中有________个小正方形.

图 6372 (2)观察下列等式: 1=1,
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2+3+4=9, 3+4+5+6+7=25, 4+5+6+7+8+9+10=49, ?? 照此规律,第 n 个等式为__________________.
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第37讲

合情推理与演绎推理

[答案] (1)28

(2)n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2

[解析] (1)由图可知,前 5 个图形中分别有 3,6,10,15, 21 个小正方形,它们分别为 1+2,1+2+3,1+2+3+4,1 +2+3+4+5,1+2+3+4+5+6, 故第 6 个图中的小正方形的个数为 1+2+3+…+7=
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7(1+7) =28. 2 (2)∵1 = 12 , 2 + 3 + 4 = 9 = 32 , 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 = 52,…, ∴第 n 个等式为 n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2.
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第37讲

合情推理与演绎推理

—— 教师备用例题 ——
例 1 【配例 1 使用】给出下面各类比推理(其中 Q 为 有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0 b∈C,则 a-b=0 a=b”; a= c , a=b”类比推出“若 a,

②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di a=c,b=d”; ③“若 a,b∈R,则 a-b>0 b∈C,则 a-b>0 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

b=d”类比推出“若 a,b,c,d∈Q,则 a+b 2=c+d 2 a>b”类比推出“若 a,

a>b” .其中,类比结论正确的个数是

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第37讲

合情推理与演绎推理

[答案] C

[解析]

①②正确,③错误.因为两个复数如果不全是

实数时,所以不能比较大小.

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第37讲

合情推理与演绎推理

1+x 例 2 【配例 2 使用】设 f(x)= ,又记 f1(x)=f(x), 1-x fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,…,则 f2014(x)等于( 1 A.-x C. x-1 x+1 B.x D. 1+x 1-x )

[答案] A

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第37讲

合情推理与演绎推理

1+x 1+ 1- x 1+x 1 [解析] 由题意可知, f2(x)=f = =-x , f3(x) 1-x 1+x 1- 1-x 1 1-x x-1 1 =f-x= = , 1 x+1 1+x x -1 1+ x +1 1+x f4(x)= =x,f5(x)=f1(x)= , x -1 1-x 1- x+1 归纳得 f4k+i(x)=fi(x),k∈N*,i=1,2,3,4, 1 ∴f2014(x)=f2(x)=-x .
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第38讲 直接证明与间接证明

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考试大纲
1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法; 了解综合法和分析法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证 法的思考过程、特点.

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第38讲
基 础 自 主 梳 理

直接证明与间接证明

—— 知识聚焦 ——
1.直接证明 (1)定义:直接从原命题的条件逐步推得结论成立的证明 方法.

综合法 和________ 分析法 . (2)直接证明的方法:________
2.综合法的定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一

推理论证 结论 成立,这 系列的________ ,最后推导出所要证明的________
种证明方法叫作综合法.

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第38讲
基 础 自 主 梳 理

直接证明与间接证明

3.分析法的定义

结论 出 发 , 逐 步 寻 求 使 它 成 立 的 从 要 证 明 的 ________ 充分条件 ________,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显
成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明 方法叫作分析法. 4.反证法的定义

原命题 不成立(即在原命题 结论 假设________ ________的条件下,________ 矛盾 ,因此说明假 不成立),经过正确的推理,最后得出________ 原命题 成立,这种证明方法,叫作反 设错误,从而证明了________
证法.

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第38讲
基 础 自 主 梳 理

直接证明与间接证明

—— 正本清源 —— ? 链接教材
1. [教材改编] 命题“对于任意角 θ, cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明过程为 cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ )(cos2θ+ sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ,则该证明应用了________.

[答案] 综合法
[解析] 易知证明过程是由条件到结论, 所以应用了综 合法.

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第38讲
基 础 自 主 梳 理

直接证明与间接证明

2.[教材改编] 用分析法证明不等式 n+ n+4<2 n+2 (n>0)时,最后推得的显然成立的最简不等式是________.

[答案] 0<4
[ 解 析 ] 要 证 n + n+4 <2 即证 0<4. n+2 , 需 证 2n + 4 + 2

n2+4n<4(n+2),需证 n2+4n<n+2,需证 n2+4n<(n+2)2,

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第38讲
基 础 自 主 梳 理

直接证明与间接证明

3.[教材改编] 在△ABC 中,若内角 A,B,C 成等差数列, 且 b= 3a,则用综合法推得△ABC 的形状是________.

[答案] 直角三角形
[解析] 因为 A,B,C 成等差数列,所以 2B=A+C.又 A+ B+C=180°, 解得 B=60°.由 b= 3a, 根据正弦定理得 sin B 1 = 3sin A,得 sin A=2,所以 A=30°(因为 b>a 且 B=60°, 所以 A≠150°),所以 C=90°,即△ ABC 是直角三角形.

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第38讲
基 础 自 主 梳 理

直接证明与间接证明

4.[教材改编] 用反证法证明“ 3, 5, 7不可能成等差 数列”时,第一步应假设:_____________________________.

[答案]

3, 5, 7成等差数列

[解析] 根据反证法的特点,第一步应假设: 3, 5, 7成 等差数列.

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第38讲
基 础 自 主 梳 理

直接证明与间接证明

?

易错易混
5.证明方法的两个易错点:分析法证明的书写格式;

反证法的假设. (1)用分析法证明不等式 3+ 7<2 把“ 3+ 7<2 5成立时, ________ 5”作为已知条件.(填“能”或“不能”)

3 3 (2)用反证法证明“如果 a>b,那么 a> b” ,则假设内 容应是________.

[答案] (1)不能

(2) a≤ b

3

3

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第38讲
基 础 自 主 梳 理

直接证明与间接证明
5,需证明不等式( 3

[解析] (1)要证明不等式 3+ 7<2 + 7)2<(2 + 7<2 5”作已知条件使用.

5)2,逐步推出结论成立的充分条件,并不能把“ 3 3 3

(2)用反证法证明时,应假设结论不成立,即 a≤ b.

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第38讲
基 础 自 主 梳 理

直接证明与间接证明

?

通性通法
6.证明的两种常见方法:综合法;分析法. (1)证明“若 a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则 a>b”应选用

的方法是________. (2) 证 明 不 等 式 2 + 7 < 3 + 6 最 合 适 的 方 法 是 ________.

[答案] (1)综合法

(2)分析法

[解析] (1)当 x<0 时,b=ex,∴0<b<1. 又∵a=lg 2+lg 5=1,∴a>b. (2) 要证明不等式 2 + 7< 3 + 6 ,只需证明不等式 ( 2 + 7)2<( 3+ 6)2,逐步推出结论成立的充分条件.
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第38讲

直接证明与间接证明

?

探究点一

综合法

a2 b2 c2 例 1 设 a,b,c>0,证明: b + c + a ≥a+b+c.
考 点 互 动 探 究

[思路点拨] 利用基本不等式和不等式的性质进行证 明. 证明:∵a,b,c>0, a2 b2 c2 ∴ b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c, a2 b2 c2 三式相加得, b + c + a +a+b+c≥2(a+b+c)(当
且仅当 a=b=c 时,等号成立), a 2 b2 c 2 即 b + c + a ≥a+b+c.
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第38讲

直接证明与间接证明

[总结反思]

综合法是利用已知条件和一些常见的结论

找到正确的出发点, 逐步递推, 最后推出所要证明的结论. 综
考 点 互 动 探 究

合法的优点是便于叙述.

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第38讲

直接证明与间接证明

变式题 设 f(x)=3ax2+2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)>
考 点 互 动 探 究

b 0,f(1)>0,求证:a>0 且-2<a<-1.

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第38讲

直接证明与间接证明

证明:∵f(0)>0,∴c>0. 又∵f(1)>0,∴3a+2b+c>0.① 又 a+b+c=0,∴b=-a-c,代入①式得,
考 点 互 动 探 究

3a-2a-2c+c>0,即 a-c>0,∴a>c,∴a>c>0. b 又∵a+b=-c<0,∴1+a<0, b ∴a<-1. 又 c=-a-b,代入①式得,2a+b>0, b b b ∴2+a>0,∴a>-2,故-2<a<-1. b 综上可知,a>0 且-2<a<-1.
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第38讲

直接证明与间接证明

?

探究点二

分析法
1 1 a +a2- 2≥a+a
2

例 2 用分析法证明:若 a>0,则 -2.
考 点 互 动 探 究

证明:要证 只需证
2

1 1 a2+a2- 2≥a+a-2,

1 1 a +a2+2≥a+a+ 2. 1 1 a2+ 2+2>0,a+a+ 2>0, a
2

因为 a>0,所以 所以只需证

1 1 2 a +a2+2 ≥a+a+ 22,

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第38讲

直接证明与间接证明
2

1 即 a + 2+4+4 a
2

1 1 2 a + 2≥a + 2+4+2 a a
2

1 2a+a,

考 点 互 动 探 究

1 2 1 只需证 a +a2≥ 2 a+a, 1 1 2 1 2 只需证 a +a2≥2a +a2+2, 1 即只需证 a2+ 2≥2. a 1 因为 a2+a2≥2 1 a2·a2=2 成立,

所以原不等式成立.

[总结反思] 分析法往往先从所要证的结论出发, 运用 逆向思维进行分析,找到结论成立的充分条件,得证结论.

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第38讲

直接证明与间接证明

变式题 2.

|a|+|b| 已知非零向量 a,b,且 a⊥b,求证: ≤ |a+b|

考 点 互 动 探 究

证明:∵a⊥b,∴a· b=0. |a|+|b| 要证 ≤ 2,只需证|a|+|b|≤ 2|a+b|, |a+b| 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a· b+b2), 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2|a|2+2|b|2, 只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0, 即(|a|-|b|)2≥0,显然成立,故原不等式得证.

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第38讲

直接证明与间接证明

?

探究点三
例3

反证法

设数列{an}是公比为 q 的等比数列, Sn 是它的

前 n 项和.
考 点 互 动 探 究

(1)求证:数列{Sn}不是等比数列. (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?

[思路点拨] 得出结论.

(1)假设数列{Sn}是等比数列,推出矛盾;

(2)先分类讨论,再假设{Sn}是等差数列,推出矛盾,从而

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第38讲

直接证明与间接证明

解:(1)证明:假设数列{Sn}是等比数列,则 S2 2=S1S3,
2 2 即 a2 1(1+q) =a1·a1·(1+q+q ).

因为 a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 解得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾,
考 点 互 动 探 究

所以数列{Sn}不是等比数列. (2)当 q=1 时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列. 当 q≠1 时,假设{Sn}是等差数列,则 2S2=S1+S3, 即 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 解得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾. 综上可知,当 q=1 时,数列{Sn}是等差数列;当 q≠1 时,数 列{Sn}不是等差数列.

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第38讲

直接证明与间接证明

[总结反思]

反证法的一般步骤:(1)分清命题的条件与

结论;(2)假设命题的结论不成立;(3)由假设出发,应用演绎
考 点 互 动 探 究

推理,推出矛盾;(4)断定产生矛盾的原因在于假设不成立, 从而间接地证明了原命题成立.

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第38讲

直接证明与间接证明
2

π 变式题 已知 a,b,c 均为实数,且 a=x -2y+ ,b 2 π π =y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,求证:a,b,c 中至少有一个 3 6
考 点 互 动 探 究

大于 0.

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第38讲

直接证明与间接证明

考 点 互 动 探 究

证明:假设 a,b,c 都不大于 0,即 a≤0,b≤0,c≤0. π π π ∵a=x2-2y+2,b=y2-2z+3,c=z2-2x+6, π 2 π 2 π 2 ∴a+b+c=x -2y+ +y -2z+ +z -2x+ =(x-1)2+(y- 2 3 6 1)2+(z-1)2+(π -3)≤0.① 又∵(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,π -3>0, ∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π -3)>0.② 显然①式与②式矛盾,故假设不成立,即 a,b,c 中至少有一 个大于 0.

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第38讲

直接证明与间接证明

?

探究点四

放缩法

1 1 1 1 例 4 若 n∈N+, 且 n≥2, 求证: 2-n+1<22+32+?
考 点 互 动 探 究

1 +n2<1.
证明:当 n≥2 时,n(n-1)<n2<n(n+1), 1 1 1 1 1 即n- <n2< -n, n+1 n-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ 22 + 32 + … + n2 > 2 - 3 + 3 - 4 + … + n - = - n+1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 2 + 2 + …+ 2 <1 - + - +…+ - =1-n n 2 2 3 n+1 2 3 n-1 n <1,故原不等式成立.
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第38讲

直接证明与间接证明

[总结反思]

放缩法的依据是不等式的传递性,运用放

缩法证明不等式时,要注意适度放缩,放的过大或过小都不
考 点 互 动 探 究

能达到证明的目的.常用的方法有:(1)舍去或添加一些项; (2)将分子或分母放大或缩小.

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第38讲

直接证明与间接证明

变式题 的最小值.

求使 x+ y≤a x+y(x>0,y>0)恒成立的 a

考 点 互 动 探 究

x+ y 解:设 u= = x+y 1+ 2 xy . x+y

( x+ y)2 = x+y

x+y+2 xy = x+y

∵x>0,y>0,∴x+y≥2 ∴ 2 xy ≤1,即 x+y 1+

xy(当且仅当 x=y 时,等号成立),

2 xy ≤ 2, x+y

∴a 的最小值为 2.

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第38讲

直接证明与间接证明

解题模板

7. 正确选用合理的数学证明方法

a+b 【典例】 若 a, b, c 是不全相等的正数, 求证: lg 2 b+c c+a +lg +lg >lg a+lg b+lg c. 2 2
[思路] 观察不等式的结构,可以通过对数运算,将对 数符号去掉,因此选择分析法证明较好.
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第38讲

直接证明与间接证明

a+ b b+c c+a [解答] 要证 lg 2 +lg 2 +lg 2 >lg a+lg b+lg c 成立, a+b b+c c+a 即证 lg · · >lg abc 成立,(2 分) 2 2 2 即证 a+b b+c c+a · · >abc 成立.(4 分) 2 2 2

a+b 因为 a,b,c 是不全相等的正数,所以 2 ≥ ab>0,
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b+c c+a 2 ≥ bc>0, 2 ≥ ac>0,(8 分) 且三个不等式中的等号不能同时成立,(10 分) a+b b+c c+a 所以 · · >abc 成立,从而原不等式成立.(12 分) 2 2 2

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第38讲

直接证明与间接证明

[解题模板]

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第38讲

直接证明与间接证明

—— 教师备用例题 ——

例 1 【配例 1 使用】已知 a,b,c 都是实数,求证: 1 2 2 2 a +b +c ≥3(a+b+c)2≥ab+bc+ca.

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第38讲

直接证明与间接证明
证明:∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 三式相加得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca(当且仅当 a=b=c

时,等号成立), ∴3a2+3b2+3c2≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b 1 +c)2,∴a2+b2+c2≥ (a+b+c)2. 3 ∵a2+b2+c2≥ab+bc+ca, ∴ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)≥ab + bc + ca + 2(ab + bc +ca),∴(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca), ∴原命题得证.

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第38讲

直接证明与间接证明

1 1 例 2 【配例 2 使用】 已知 a, b>0, b-a>1.求证: 1+a 1 > . 1-b
证明:要证 1+a> 1 只需证 1+a> , 1-b 只需证 (1 + a)(1 - b)>1(1 - b>0) ,只需证 1 - b + a - ab>1, a-b 1 1 只需证 a-b>ab,只需证 ab >1,即b-a>1. 1 1 1 由于 a,b>0,b-a>1 成立,故 1+a> 成立. 1-b
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1 成立, 1-b

第38讲

直接证明与间接证明

例 3 【配例 3 使用】已知 a,b,c∈(0,1),求证:(1 1 -a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于4.

1 证明:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 同时大于 , 4 1 1 1 即(1-a)b>4,(1-b)c>4,(1-c)a>4. ∵a,b,c∈(0,1), 1 ∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>64①.

1-a+a2 1 1 1 又(1-a)a≤ 2 =4,(1-b)b≤4,(1-c)c≤4,当 1 且仅当 a = b = c = 时,等号成立,∴ (1 - a)a(1 - b)b(1 - 2 1 c)c≤64,这与①式矛盾,故原命题成立.

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第39讲 数学归纳法

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考试大纲
了解数学归纳法的原理, 能用数学归纳法证明一些简单的 数学命题.

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第39讲
基 础 自 主 梳 理

数学归纳法

—— 知识聚焦 ——
1.数学归纳法 概念: 设命题 p(n)是与正整数 n 有关的命题, 如果满足: ①?n0∈N*,命题 p(n0)成立; ②当假设命题 p(k)(k∈N*,k≥n0)成立时,可以推出命题 p(k+1)也成立. 那么,可以断定命题 p(n)对一切满足 n≥n0 的正整数 n 成立.

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第39讲
基 础 自 主 梳 理

数学归纳法

2.用数学归纳法证题的步骤

n0(n0∈N*) 时命题成 (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值__________
立. (2)(归纳递推)假设___________________ n=k(k≥n0,k∈N*) 时命题成立,证 n=k+1 时命题也成立. 明当________

n≥n0 ,且 n∈N*时, (3)(归纳总结)根据(1)(2)可知,当________
命题成立.

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第39讲
基 础 自 主 梳 理

数学归纳法

—— 正本清源 —— ? 链接教材
1.[教材改编] 用数学归纳法证明“1+a+a2+?+
n +2 1 - a an+1= (a≠1)”.当验证 n=1 时,上式左端计算所 1-a

得为________.
[答案] 1+a+a2
[解析] 当 n=1 时,等式左端有 3 项,故当 n=1 时, 等式左端所得的项为 1+a+a2.

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第39讲
基 础 自 主 梳 理

数学归纳法

2.[教材改编] 用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明时的起始值 n0 应取 ________.

[答案] 5
[解析] 当 n=1 时,21=12+1; 当 n=2 时,22<22+1;当 n=3 时,23<32+1; 当 n=4 时,24<42+1;而当 n=5 时,25>52+1. ∴n0=5.

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第39讲
基 础 自 主 梳 理

数学归纳法

3.[教材改编] 凸 n(n≥3,n∈N*)边形有 f(n)条对角线,凸 n+1 边形有 f(n+1)条对角线,则 f(n+1)=f(n)+________.
[答案] n-1
[解析] ∵f(4)=f(3)+2,f(5)=f(4)+3,f(6)=f(5)+4,…, ∴f(n+1)=f(n)+n-1.

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第39讲
基 础 自 主 梳 理

数学归纳法

?

易错易混
4.数学归纳法的求解过程:当 n=k+1 时,添加的项

数容易出错.
4 2 n + n 用数学归纳法证明 1+2+3+?+n2= ,则当 n= 2

k+1 时等式的左端应在当 n=k 时的基础上加上________.

[答案] (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2

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第39讲
基 础 自 主 梳 理

数学归纳法

[解析] ∵当 n=k 时,等式左端=1+2+3+…+k2, 当 n=k+1 时, 等式左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+… +(k+1)2, ∴当 n=k+1 时, 等式的左端应在当 n=k 时的基础上加上 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.

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第39讲
基 础 自 主 梳 理

数学归纳法

?

通性通法
5.数学归纳法可以证明整除问题 用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被

x+y 整除”,在第二步时,正确的证法是:假设当________ 时命题成立,证明当________时命题也成立.

[答案] n=k(k 是正奇数)

n=k+2

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第39讲

数学归纳法

?

探究点一
例1

用数学归纳法证明等式

考 点 互 动 探 究

对于 n∈N*,用数学归纳法证明:1· n+2· (n- 1 1)+3·(n-2)+?+(n-1)·2+n· 1=6n(n+1)(n+2).
1 证明:(1)当 n=1 时,1× 1=1, ×1×(1+1)× (1+ 6 2)=1,所以等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,等式成立, 1 即 1· k + 2· (k - 1) + 3· (k - 2) + … + (k - 1)· 2 + k· 1= 6 k(k+1)(k+2),

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第39讲

数学归纳法

则当 n=k+1 时, 1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+…+[(k+1)-
考 点 互 动 探 究

1]· 2+(k+1)· 1=1· k+2(k-1)+3(k-2)+…+(k-1)· 2+k· 1+ 1 1 1+2+3+…+k+(k+1)=6k(k+1)(k+2)+2(k+1)(k+1+1) 1 =6(k+1)(k+2)(k+3), 即当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,当 n∈N*时等式都成立.

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第39讲

数学归纳法

[总结反思]

用数学归纳法证明等式问题的关键点为:

(1)弄清等式两边的构成规律;(2)在第二步证明时,要充分利
考 点 互 动 探 究

用假设,正确写出归纳证明的步骤,使问题得证.

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第39讲

数学归纳法
*

1 1 变式题 用数学归纳法证明:对任意的 n∈N ,1-2+3 1 1 1 1 1 1 -4+?+ - = + +?+2n. 2n-1 2n n+1 n+2
考 点 互 动 探 究

1 1 1 证明: (1)当 n=1 时, 左边=1- = = =右边, 2 2 1+1 ∴等式成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即 1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+…+ - 2k = + +…+ 2k-1 k+1 k+2 1 2k,

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第39讲

数学归纳法

则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+…+ - + - = 2k-1 2k 2k+1 2k+2
考 点 互 动 探 究

1 1 1 1 1 + +…+ + - = 2k 2k+1 2k+2 k+1 k+2 1 1 1 1 1 1 + +…+ + + - = 2k 2k+1 k+1 2k+2 k+1+1 k+1+2 1 1 1 1 1 + +…+ + + , 2k 2k+1 2(k+1) k+1+1 k+1+2 即当 n=k+1 时,等式也成立, 由(1)(2)知,对任意的 n∈N*等式都成立.

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数学归纳法

?

探究点二
例2

用数学归纳法证明不等式

用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数 n,

考 点 互 动 探 究

2n+1 1 1 1 不等式(1+3)(1+5)?(1+ )> 2 均成立. 2n-1
1 4 5 证明:(1)当 n=2 时,左边=1+ = ,右边= . 3 3 2 ∵左边>右边,∴不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥2,且 k∈N*)时,不等式成立, 2k+1 1 1 1 即(1+3)(1+5)?(1+ )> 2 , 2k-1 则当 n=k+1 时,

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第39讲

数学归纳法
? 1 2k+1 2k+2 1 1 1 ? ? (1+3)(1+5)?(1+ )?1+2(k+1)-1? > · ? 2 2k-1 ? 2k+1 ?

2k+2 4k2+8k+4 = = > 2 2k+1 2 2k+1
考 点 互 动 探 究

4k2+8k+3 2k+3· 2k+1 2(k+1)+1 = = , 2 2 2k+1 2 2k+1 ∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立.

[总结反思]

用数学归纳法证明不等式时, 一般有两种

具体形式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是 给出两个式子, 按要求比较它们的大小, 此时往往要先对 n 取几个值分别验证比较,以免出现判断失误,然后猜出从 某个 n 值开始都成立的结论.
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数学归纳法

变式题

已知 m 为正整数,用数学归纳法证明:当 x>

-1 时,(1+x)m≥1+mx.
证明:(1)当 m=1 时,原不等式成立; 当 m=2 时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x. 因为 x2≥0,所以左边≥右边,原不等式成立. (2)假设当 m=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立, 即(1+x)k≥1+kx, 则当 m=k+1 时, 因为 x>-1,所以 1+x>0, 所以(1+x)k 1=(1+x)k·(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+


考 点 互 动 探 究

kx2≥1+(k+1)x, 所以(1+x)k 1≥1+(k+1)x,


即当 m=k+1 时,不等式也成立. 综合(1)(2)知,对一切正整数 m,不等式都成立.
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数学归纳法

?

探究点三
例3

归纳—猜想—证明

1 1 数列{an}满足 an>0,Sn= an+a ,求 S1,S2, 2 n

猜想 Sn,并用数学归纳法证明.
考 点 互 动 探 究

[思路点拨]

根据前两项或者三项, 猜想 Sn, 再利用数

学归纳法证明自己的猜想.

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数学归纳法

解:∵an>0,∴Sn>0, 1 1 由 S1=2a1+a ,a1=S1,得 S2 1=1. 1
考 点 互 动 探 究

又 Sn>0,∴S1=1. 1 1 由 S2=2a2+a 及 a2=S2-S1=S2-1, 2 1 1 得 S2=2S2-1+ ,整理得 S2 2=2, S2-1 ∴S2= 2. 同理可求得 S3= 3.由此猜想 Sn= n. 用数学归纳法证明如下: (1)当 n=1 时,上面已求出 S1=1,结论成立. (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,结论成立,即 Sk= k.
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数学归纳法

1 1 1 1 那么, 当 n=k+1 时, Sk+1=2ak+1+ =2Sk+1-Sk+ = ak+1 Sk+1-Sk 1 1 Sk+1- k+ , 2 Sk+1- k
考 点 互 动 探 究

整理得 S2 k+1=k+1,∴Sk+1= k+1, 故当 n=k+1 时,结论成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N*,Sn= n都成立.

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第39讲

数学归纳法

[总结反思]

“归纳—猜想—证明”属于探索性问题的

一种,一般要先经过观察、计算、归纳,然后猜想出结论,
考 点 互 动 探 究

再用数学归纳法证明.在用这种方法解决问题时,应保证猜 想的正确性和数学归纳法的步骤的完整性.

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第39讲

数学归纳法

变式题

已知等差数列{an}的公差 d 大于 0,且 a2,a5

是方程 x2-12x+27=0 的两根,数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 1 且 Tn=1- bn. 2
考 点 互 动 探 究

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; 1 (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 试比较b 与 Sn+1 的大小, n 并说明理由.

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数学归纳法

? ?a2+a5=12, 解:(1)由已知得? ? ?a2a5=27.

又∵数列{an}的公差大于 0, ∴a5>a2,∴a2=3,a5=9,
考 点 互 动 探 究

a5-a2 9-3 ∴ d= = =2,∴a1=1, 3 3 ∴an=1+(n-1)× 2=2n-1. 1 2 ∵Tn=1-2bn,∴b1=3, 1 当 n≥2 时,Tn-1=1- bn-1, 2 1 1 ∴bn=Tn-Tn-1=1- bn-1- bn-1, 2 2 1 2 1 化简得 bn= bn-1, ∴数列{bn}是首项为 , 公比为 的等比数列, 3 3 3
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数学归纳法

2 1- 2 2 即 bn= · n 1= n,∴an=2n-1,bn= n. 3 3 3 3 1+(2n-1) 1 3n 2 2 (2)由(1)可知,Sn= n=n ,∴Sn+1=(n+1) ,b = . 2 2 n 1 以下比较b 与 Sn+1 的大小. n 1 3 1 当 n=1 时,b =2,S2=4,∴b <S2; 1 1 1 9 1 当 n=2 时,b =2,S3=9,∴b <S3; 2 2 1 27 1 当 n=3 时,b = 2 ,S4=16,∴b <S4; 3 3 1 81 1 当 n=4 时,b = 2 ,S5=25,∴b >S5; 4 4 ?? 1 猜想:当 n≥4 时,b >Sn+1.
n

考 点 互 动 探 究

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数学归纳法

下面用数学归纳法证明: ①当n=4时,不等式成立. ②假设当n=k(k∈N ,k≥4)时, >Sk+1,
*

1

bk

考 点 互 动 探 究

3k 即 >(k+1)2. 2 3k+1 3k 那么,当n=k+1时, = =3× >3(k+1)2=3k2+6k+3 bk+1 2 2 1 =(k2+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2=S(k+1)+1, ∴当n=k+1时,不等式也成立. 1 由①②可知,当n≥4时, >Sn+1都成立.

bn

综上所述,当n=1,2,3时, <Sn+1;当n≥4时, >Sn+1.

1

1

bn

bn

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第39讲

数学归纳法

解题模板

8. 用数学归纳法解决问题的答题规范

1 【典例】已知数列{an},{bn}满足:a1= ,an+bn=1, 4 bn bn+1= . (1-an)(1+an) (1)求 b1,b2,b3; 1 (2)设 cn= ,求数列{cn}的通项公式. bn-1
审 题 答 题 模 板

[思路]

(1)代入求出 b1,b2,b3;

(2)归纳猜想、利用数学归纳法证明.

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数学归纳法
(1)由题意可知,

[解答]

1 bn bn bn+1= = = .(2 分) (1-an)(1+an) bn(2-bn) 2-bn 1 3 4 5 ∵a1= ,a1+b1=1,∴b1= ,∴b2= ,b3= .(4 分) 4 4 5 6 n +2 (2)由(1)中数据,猜想 bn= ,用数学归纳法证明如下: n +3 3 1+2 ①当 n=1 时,b1=4= ,∴当 n=1 时,等式成立. 1+3
审 题 答 题 模 板

(5 分) k+2 ②假设 n=k(k∈N )时,bk= ,(6 分) k+3
*

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数学归纳法
k+3 (k+1)+2 1 = = ,(8 k+2 k+4 (k+1)+3 2- k+3

1 则 n=k+1 时,bk+1= = 2-bk 分) ∴n=k+1 时,等式也成立.

n+2 故对任意 n∈N ,bn= 成立,(10 分) n+3
*

1 ∴cn= =-n-3.(12 分) bn-1
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数学归纳法

[解题模板]

审 题 答 题 模 板
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数学归纳法

—— 教师备用例题 ——

n 例 1 【配例 2 使用】用数学归纳法证明:1+2≤1+ 1 1 1 1 * + + … + n≤ +n(n∈N ). 2 3 2 2

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数学归纳法

证明:(1)当 n=1 时, 3 1 3 ∵ ≤1+ ≤ ,∴不等式成立. 2 2 2 当 n=2 时, 1 1 1 5 ∵2<1+ + + < ,∴不等式成立. 2 3 4 2 k (2)假设当 n=k(k≥2, k∈N )时, 不等式成立, 即 1+2<1 1 1 1 1 +2+3+…+2k<2+k,
*

则当 n=k+1 时,

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数学归纳法

1 1 1 1 1 1 k 1+ + +…+ k+ k + k +…+ k >1 + + 2 3 2 2 +1 2 +2 2 2 +2k k+1 2 · k+1=1+ 2 , 2
k

1

1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + … + 2k + k + k +…+ k < +k+ 2 +1 2 +2 2 +2k 2 1 1 2k·2k=2+(k+1), 即 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)可知,不等式对所有 n∈N*都成立.

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数学归纳法

例 2 【配例 3 使用】设正整数数列{an}满足 a1=2,a2 1 =6,当 n≥2 时,|a2 - a a |< n n-1 n+1 2an-1. (1)求 a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式.
解:(1)当 n=2 1 2 时,|a2-a1a3|< a1. 2

由 a1=2,a2=6, 35 37 得|36-2a3|<1,解得 2 <a3< 2 . ∵a3 为正整数,∴a3=18. (2)由(1)中数据猜想 an=2× 3n 1,下面用数学归纳法证


明. (i)当 n=1,2 时,等式成立.
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数学归纳法
(ii)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,等式成立,即ak=

2× 3k-1, 则ak-1=2× 3k 2 .


当n=k+1时,由|a

2 k

-ak-1·ak+1|<

1 a ,整理得 2 k-1

? a2 ? 1 1 1 1 ? k ? k k k - a + < ,则 |2× 3 - a |< , 2 × 3 - < a <2 × 3 + k 1 + + k 1 ?a - ? 2 2 2 k 1 2. ? k 1 ?

又∵ak+1为正整数, ∴ak+1=2× 3k,即当n=k+1时,等式也成立. 由(i)(ii)知,对于 n∈N*,an=2× 3n 1.


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