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人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题


人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题
第一部分
知识点一:函数的基本概念 1、函数的概念: 一般地,设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作:

离开

家的距离

离开家的距离

离开家的距离

离开家的距离

函数及其表示
O
(1) 时间

O
(2)

时间

O
(3)

时间

O
(4)

时间

y ? f ( x),x ? A 。
x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,y 叫函数值,y 的取值范围叫函数的值域。 说明:①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于 x 的每一个值,按照某种确定的对应关系 f,都有唯一的 y 值与它对应,这种对应应为数与数之间的 “一对一”或“多对一”。 ③认真理解 y ? f ( x) 的含义: y ? f ( x) 是一个整体, f ( x) 并不表示 f 与 x 的乘积,它是一种符号,可以 是解析式,也可以是图象,还可以是表格; 2、函数的三要素:定义域,值域和对应法则 3、区间的概念:三种区间:闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等:同时满足(1)定义域相同;(2)对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数: 说明:①在求分段函数的函数值时,首先要确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应关系求 值。 ②分段函数是一种重要的函数,它不是几个函数,而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 ( y y

A、(1)(2)(4) B、(4)(2)(3) 4.下列对应关系:( )

C、(4)(1)(3)

D、(4)(1)(2)

① A ? {1, 4,9}, B ? {?3, ?2, ?1,1, 2,3}, f : x ? x 的平方根 ② A ? R, B ? R, f : x ? x 的倒数 ③ A ? R, B ? R, f : x ? x ? 2
2

④ A ? ??1,0,1 ?, B ? ??1,0,1?, f : A 中的数平方 其中是 A 到 B 的映射的是 A.①③ B.②④

C.③④

D.②③

5.在国内投寄平信,每封信不超过 20 克重付邮资 80 分,超过 20 克重而不超过 40 克重付邮资 160 分,将每封 信的应付邮资(分)表示为信重 x ? 0 ? x ? 40? 克的函数,其表达式为 f ? x ? =____ 6.设函数 f ( x) ? ? ____

? x ? 2 x ? 10 ,则 f (9) = 2 ? x ? 1 x ? 10

, f (15) =

) y y

7.设函数 f ( x) ? ?

? x?2 x ?5 ,若 f ( x) =13,则 x= 2 ?x ? 3 x ? 5




0

x

0

x ) B. y ?

0 (C )

x

0 (D)
2

8.函数 f ? x ? ? ? x

? x ? 1, x ? 1, 则 f ? f ? 4? ? ? ?? x ? 3, x ? 1,

(A) (B) 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( A. y ? 1, y ?

9.下列各组函数是同一函数的有 ① f ( x) ?

x x

x ? 1 ? x ? 1, y ? x ? 1

?2 x3 与 g ( x) ? x ?2x ;② f ( x) ? x 与 g ( x) ? x 2 ;
0

C . y ? x, y ? 3 x 3

D. y ?| x |, y ? ( x ) 2 ( )

3.下列所给 4 个图象中,与所给 3 件事吻合最好的顺序为

1 2 2 ;④ f ( x) ? x ? 2 x ? 1与 g (t ) ? t ? 2t ? 1 。 x0 2 10.作出函数 y ? x ? 6 x ? 7, x ? ?3,6? 的图象
③ f ( x) ? x 与 g ( x ) ?

(1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学; (2)我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速。

1

知识点二:函数定义域的求法 (一)简单函数定义域 1.若 f(x)是整式,则函数的定义域是实数集 R; 2.若 f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集; 3.若 f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合; 4.若 f(x)= x ,因为零的零次幂没有意义,所以底数和指数不能同时为零。 5.若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; 6.若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题 (二)复合函数定义域 1.若已知 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出.
0

(1) y ?

x ?8 ? 3? x

(2) y ?

x2 ?1 ? 1? x2 x ?1

知识点三、函数解析式的常用求法: 1、换元法; 2、待定系数法; 练习:

3、消去法

2.若已知复合函数 f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ,其 f ( x) 的定义域为 g ( x) 在[a,b]上的取值范围.

练习: 1.函数 f ( x) ?

x 1? x

的定义域是( B、 (?1,0)

) C、 (?1,1) ) C. (0, 1] ) B. (??,2] D. (?? ,? ) ? (? D. [?4, 0) D、 (??,1)

A、

(1,??)

1? x ) ? x ,则 f ( x) 的表达式为 1? x 1? x 1? x 1? x A. B. C. 1? x x ?1 1? x 1 x 2.已知 f ( ) ? ,则 f ( x) 的解析式是 x 1? x2 1 3.已知 f ( x ) ? 2 f ( ) ? 3 x ,则 f ( x) 的解析式是 x
1.设函数 f ( 4.已知 f (2 x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,则 f (3) =

( D.



2x x ?1

? x 2 ? 3x ? 4 2.函数 y ? 的定义域为( x A. [?4, 1] B. [?4, 0)
3.已知函数 y ?
1? x 的定义域为( 2 x ? 3x ? 2
2

.

(0, 1]

5.已知 f(x)满足 2 f ( x) ? f (? x) ? x ? 1,求 f(x)的解析式.

A. (??,1]

C . (?? ,? ) ? (?

1 2

1 ,1] 2

1 2

1 ,1] 2


4.函数 f ( x) 的定义域是(0,8),则 f ( x 2 ? 1) 的定义域是( A、 (1,3) B、 (-3,-1) C、 (1,8)

6. 若 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ? x ? 1? ? 2 f ? x ? 1? ? 2x ? 17, 求 f ? x ? .

D、 (1,3)∪(-3,-1) ) D、 [7,9] 7.函数 f ( x) 是二次函数,且 f (0) ? 2 , f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ,求 f ( x) 的解析式。

5.函数 f (2 x ? 1) 的定义域是[1,4],则 f ( x) 的定义域是( A、 [3,4] B、 [1,4] C、 [3,9]

y?
6.函数

( x ? 1)0 x ?x
的定义域是_____________________。

7.求下列函数的定义域

2

知识点四、函数值域的常用求法: 1、分离常数法; 2、配方法; 练习

3、判别式法;

4、换元法

第二部分 函数的单调性
一、 知识点回顾 1、概念 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.如果对于区间 D 上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单 调减区间. 注意:函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质 ;必须是对于区间 D 内的任意两个 .... 自变量 x1、x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . 2、图象的特点:如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 3、函数单调区间与单调性的判定方法: ①定义法, 任取 x1、 x2∈D, 且 x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形 (通常是因式分解和配方) ; 定号 (即判断差 f(x1)-f(x2) 的正负);下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). ②图象法(从图象上看升降); ③复合函数的单调性,复合函数 f\[g(x)\]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如 下:(同增异减) 函数 单调性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增

?? x ( x ? 0) 1 ? 2 1.下列四个函数:① y ? 3 ? x ;② y ? 2 ;③ y ? x ? 2 x ? 10 ;④ y ? ? 1 . x ?1 ? ( x ? 0) ? ? x
其中值域为 R 的函数有 ( A.1 个 B.2 个 2. 选用合适的方法下列函数的值域 ) C.3 个 D.4 个

4x ? 3 (1) y ? x?2

(2) y ? x ? 4 1 ? x

(3) y ?

2x ?x?2

2

x

2

? x ?1

2 x2 ?1 y? 2 x ?1 (4)

(5) y ? 2 x 2 ? 4 x ? 3

(6) y ? 1 ? 2 x ? x

u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)]

,?) 的值域 3.求函数 y ? x ? 4x ? 6( x ??15
2

4.求函数 y ?

2x 2 ? 2x ? 3 的值域. x2 ? x ?1

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集. ④常用结论。 A、两个增(减)函数的和仍为增(减)函数; B、一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数; C、互为反函数的两个函数具有相同的单调性; 4、基本初等函数的单调性. 解:①正比例函数:y=kx(k≠0) 当 k>0 时,函数 y=kx 在定义域 R 上是增函数;当 k<0 时,函数 y=kx 在定义域 R 上是减函数. ②一次函数:y=kx+b(k≠0) 当 k>0 时,函数 y=kx+b 在定义域 R 上是增函数;当 k<0 时,函数 y=kx+b 在定义域 R 上是减函数.

k (k≠0) x k k 当 k>0 时,函数 y= 的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞),不存在单调递增区间;当 k<0 时,函数 y= 的单调递 x x
③反比例函数:y= 增区间是(-∞,0),(0,+∞),不存在单调递减区间. ④二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0) 当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 的单调递减区间是(-∞, ?

b b ],单调递增区间是[ ? ,+∞); 2a 2a

3

b b 当 a<0 时,函数 y=ax +bx+c 的单调递减区间是[ ? ,+∞),单调递增区间是(-∞, ? ]. 2a 2a
2

14.函数 f(x)=x2-2ax+m 在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,求实数 a 的值.

知识点练习 1.函数 y=-x2 的单调减区间是( ) A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.(-∞,0) D.(-∞,+∞) 2.若函数 f(x)定义在[-1,3]上,且满足 f(0)<f(1),则函数 f(x)在区间[-1,3]上的单调性是( ) A.单调递增 B.单调递减 C.先减后增 D.无法判断 3.已知函数 y=f(x),x∈A,若对任意 a,b∈A,当 a<b 时,都有 f(a)<f(b),则方程 f(x)=0 的根( ) A.有且只有一个 B.可能有两个 C.至多有一个 D.有两个以上 4.设函数 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则( ) A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a) 2 C.f(a +a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a) 5.下列四个函数在(-∞,0)上为增函数的是( )Xkb1.com |x| x2 x ①y=|x|; ②y= ; ③y=- ; ④y=x+ . x |x| |x| A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 6.下列说法中正确的有( ) ①若 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是增函数; ②函数 y=x2 在 R 上是增函数; 1 ③函数 y=- 在定义域上是增函数; x 1 ④y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). x A.0 个 B.1 个新 课一 网 C.2 个 D.3 个 7.函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时,f(x)为增函数,当 x∈(-∞,-2]时,函数 f(x)为减函数,则 m 等于( ) A.-4 B.-8 C.8 D.无法确定 8.函数 f(x)在 R 上是增函数,若 a+b≤0,则有( ) A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b) B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b) C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) x x 9.下列四个函数:①y= ;②y=x2+x;③y=-(x+1)2;④y= +2.其中在(-∞,0)上为减函数的是( ) x-1 1-x A.① B.④ C.①④ D.①②④ b 10.函数 y=- 在(0,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是________. x 11.函数 f(x)=4x2-kx-8 在[5,8]上是单调函数,则 k 的取值范围是________. 3 12.函数 f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,那么 f(a2-a+1)与 f( )的大小关系为________. 4 13.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0. (1)求 b 与 c 的值; (2)试证明函数 f(x)在区间(2,+∞)上是增函数.

15.(1)画出已知函数 f(x)=-x2+2x+3 的图象; (2)证明函数 f(x)=-x2+2x+3 在区间(-∞,1]上是增函数; (3)当函数 f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数 m 的取值范围.

16.已知 f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f(x-1)<f(1-3x),求 x 的取值范围.

ax+1 17.设函数 y=f(x)= 在区间(-2,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围. x+2

4


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