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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列定义在解题中的潜在功能拓展资料素材 北师大版必修5


数列定义在解题中的潜在功能
高考作为一种选拔性考试,在重视基础知识考查的同时,更加重视对应用能力的考查.作 为中学数学的重点内容之一,等差(比)数列一直是高考考查时重点,特别是近几年,有关 数列的高考综合题,几乎都与等差(比)数列有关.这里我们感兴趣的是等差(比)数列的定 义在解题中的潜在功能, 即遇到数列问题, 特别是证明通项为 an ? a1 ? (n ? 1) d (an ? a1q n?1 ) 或前 n 项和 S n ? an2 ? bn(S n ? a(1 ? q n )), 首先要证明它是等差(比)数列,必要时再进行 适当转化,即将一般数列转化为等差(比)数列. 例 1.设等差数列 ?an ? 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( (A)130 解 (B)170 (C)210 (D)260 ).

若等差数列 ?an ? 前 m 项、次 m 项、又次 m 项和分别为 S1,S2,S3,则 S1,S2,S3 也成等

差数列.事实上,

S1 ? S 3 ?

m(a1 ? a m ) m(a 2 m?1 ? a3m ) m[a1 ? a 2 m?1 ) ? (a n2 ? a3m )] ? ? 2 2 2

?

m(2a m?1 ? 2a 2 m ) m(a m?1 ? a 2 m ) ? 2? ? 2S 2 . 2 2

所以 S1,S2,S3 成等差数列. 因为 30,70,S3m-100 成等差数列,所以 30+S3m-100=140,即 S3m=210.故应选(C). 例 2.设{an}是等差数列, bn ? ( ) n ,已知 b1 ? b2 ? b3 ?
a

1 2

21 1 , b1b2 b3 ? ,求等差数 8 8

列的通项公式. 解 ∵{an}成等差数列,∴{bn}成等比数列,∴ b2 =b1b3.由 b1b2b3=
2

1 1 ,得 b2= . 8 2

17 1 ,b1b3= . 4 8 17 1 1 1 2 x + ? 0 两根.解得 b1 ? 2, b3 ? 或 b1 ? , b3 ? 2. ∴b1,b3 是方程 x - 8 4 8 8
从而有 b1+b3=

-1-

∴a1=-1,d=2 或 a1=3,d=-2. 故 an=a1+(n-1)d=2n-3 或 an=5-2n.
n

例 3.一个数列{an},当 n 为奇数时, an=5n+1;当 n 为偶数时,an=2 2 ,求这个数列的前 2m 项的和. 解:∵a1,a3,a5,…,a2m-1 成等差数列, a2 , a4 , a6 ,?, a2m 成等比数列, ∴S2m= (a1 ? a3 ? ? ? a2m?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2m )

?

m(a1 ? a 2 m ?1 ) ? a 2 ? 2 m?1 ? 5m 2 ? m ? 2 m . 2

例 4.设数列 a1 , a2 ,?, an ,?, 前 n 项和 Sn 与 an 的关系是 S n ? kan ? 1(其中 k 是与 n 无 关的常数,且 k≠1). (1)试写出由 n,k 表示的 an 的表达式; (2)若 lim S
n ??

n

? 1 ,求 k 的取值范围.

解: (1)当 n=1 时,由 a1 ? S1 ? ka1 ? 1 ,得 a1 ?

1 (k ? 1); 1? k

当 n≥2 时,由 an ? S n ? S n?1 ? (kan ? 1) ? (kan?1 ? 1) ? kan ? kan?1 ,得

an k . ? an?1 k ? 1
若 k=0,则 an=1(n=1)或 an=0(n≥2). 若 k≠0,则{an}是首项为

k 1 1 k n?1 ?( ) . ,公比为 的等比数列,所以 an ? 1? k 1 ? k k ?1 k ?1

(2)∵ lim S
n ??

1 k ? 1,? lim a ? 0 ,∴ <1,解得 k< . n n ?? n 2 k ?1 12

例 5.已知数列{an}的前 n 项和的公式是 S n ?

?

( 2n 2 ? n) .

(1)求证: {an}是等差数列,并求出它的首项和公差; (2)记 bn ? sin a n ? sin a n?1 ? sin a n? 2 ,求证:对任意自然数 n,都有 bn ? 证明: (1)当 n=1 时, a1 ? S1 ?

2 (?1) n ?1 . 8

?
4

;当 n≥2 时,

-2-

an ? Sn ? Sn ?1 ?
∴ an ?

?
12

( 2n 2 ? n) ?

?

?
12

( 4n ? 1). an ? an?1 ?

?

12

[2(n ? 1) 2 ? (n ? 1)] = (4n ? 1) ?

?
12

( 4n ? 1) .

?
12

∴{an}是首项为

? ? ,公差为 的等差数列. 4 3

12

[4(n ? 1) ? 1] ?

?
3

.

(2)只要证明{bn}是首项为

2 ,公比为-1 的等比数列. 8

? b1 ? sin a1 ? sin a 2 ? sin a3 ? sin

?
4

? sin

7? 11? ? sin 12 12

?

2 1 18 4 2 ,和 ? (? )(cos ? ? cos ? ) ? 2 2 12 12 8

bn sin an?2 sin(an?1 ? ? ) ? sin an?1 ? ? ? ? ?1 bn?1 sin an?1 sin an?1 sin an?1
∴{bn}是首项为

2 2 ,公比为-1 的等比数列,∴ bn ? (?1) n ?1 . 8 8

例 6.设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所有自然数 n,an 与 2 的等差 中项等于 Sn 与 2 的等比中项. (1)写出数列{an}的前 3 项; (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程) ; (3)令 bn ?

1 an?1 an ( ? )(n ? N ) ,求 lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ? n). n ?? 2 an an?1
an ? 2 (a ? 2) 2 ? 2S n ,? S n ? n . 2 8



(1)∵

1 1 ? a1 ? S1 ? (a1 ? 2) 2 ,得 a1 ? 2(a1 >0 ) ; a 2 ? S 2 ? S1 ? (a 2 ? a ) 2 ? 2 , 8 8 1 2 解得: a2 ? b(a2 >0); a3 ? S 3 ? S 2 ? (a3 ? 2) ? 8 ,解得: a3 ? 10(a3 >0). 8 1 1 2 (2)当 n≥2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 2) ? (a n ?1 ? 2) , 8 8
即 8an ? (an ? 2) ? (an?1 ? 2) ,即 (an ? 2) ? (an?1 ? 2) ? 0 .
2 2 2 2

? (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 .

-3-

? an ? an?1 >0,? an ? an?1 ? 4 .{an}是首项为 2,公差为 4 的等差数列,
∴ an ? a1 ? (n ? 1) ? d ? 4n ? 2 . (3)? bn ?

1 4n ? 2 4n ? 2 1 1 ( ? ) ? 1 ? 2( ? ), 2 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 4n ? 2 1 1 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? n ? 2( ? ),? lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 1 . n ?? 2 4n ? 2

例 7.已知数列{an}满足条件: a1 ? 1, a2 ? r (r >0) ,且{anan-1}是公比为 q(q>0)的等比 数列.设 bn ? a2n?1 ? a2n (a ? 1,2,?1) . (1)求出使不等式 an an?1 ? an?1an?2 > an?2 an?3 (n ? N) 成立的 q 的取值范围; (2)求 bn 和 lim

1 ,其中 S n ? b1 ? b2 ? ?bn ; n?? S n
19.2

(3)设 r ? 2

? 1, q ?

? log2 bn ?1 ? 1 ,求数列 ? ? 的最大项和最小项的值. 2 log b 2 n ? ?
1? 5 . 2

解: (1) rq n?1 ? rq n > rq n?1 , r >0,q>0,? q 2 ? q ? 1 <0,∴0<q<

(2)? q ?

an?1 ? an? 2 an? 2 b b ? a2 n? 2 a2 n?1q ? a2n q ? ,? n?1 ? n?1 ? ?q. an an?1 an bn a2n?1 ? a2 n a2n?1 ? a2n

又 b1 ? a1 ? a2 ? 1 ? r,?{bn } 是首项为 1+r,公比为 q 的等比数列,?bn ? (1 ? r )q n?1 .

?1 ? q , (0 ? q ? 1), 1 ? ? lim ? ?1 ? r n?? S n ? ?0, (q ? 1)
(3)

log2 bn?1 log2 [(1 ? r )q n ] 1 . ? ? 1? n ?1 log2 bn n ? 20.2 log2 [(1 ? r )q ]
log2 bn ?1 ,则有 c 20 ≤ cn ≤c21. log2 bn

记 cn ?

故{cn}的最大项为 c21=2.25,最小项为 c20=-4. 例 8.设 An 为数列{an}前 n 项的和, An ?

3 (a n ? 1)( n ? N ). 数列{bn}的通项公式为 2

bn ? 4n ? 3(n ? N).

-4-

(1)求数列{an}的通项公式; (2) 若 d ? ?a1 , a2 , a3 , an ??? ? 则称 d 为数列{an}与{bn}的公共项. b1 , b2 , b3 ,?, bn ,??, 将数列{an}与{bn}的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{dn},证明数列 {dn}的通项是 d n ? 32n?1 (n ? N); (3)设数列{dn}中的第 n 项是数列{bn}中的第 r 项,Br 为数列{bn}前 r 项的和,Dn 为数列 {dn}前 n 项的和,Tn=Br-Dn,求 lim 解: (1)当 n=1 时,由 a1 ?

Tn . 4 n ?? ( a ) n

3 (a1 ? 1) ,得 a1=3; 2

当 n≥2 时,由 an ? An ? An ?1 ?

a 3 ( a n ? a n ?1 ) ,得 n ? 3(n ≥2) 2 a n ?1

∴{an}是首项为 3,公比为 3 的等比数列,故 an ? 3n (n ? N). (2)证{dn}是等比数列. 显然 d1=a3=27,设 ai=3 是数列{bn}中的第 m 项,则 3k ? 4m ? 3(k , m ? N ) .
k

? ak ?1 ? 3k ?1 ? 3 ? 3k ? 3(4m ? 3) ? 4(3m ? 2) ? 1;
? ak ?1 不是数列{bn}中的项.而 ak ?2 ? 3k ?2 ? 9 ? 3k ? 9(4m ? 3) ? 4(9m ? 6) ? 3 ? ak ?2 是数列{bn}中的第 m+1 项.
? d m?1 3k ?2 ? ? 9 ,∴{dn}是首项为 27,公比为 9 的等比数列. dm 3k

? d n ? 2T ? 9 n ? 32n?3 (n ? N).
(3)由题意, 3
2 n ?1

? 4r ? 3,? r ?

32 n ?1 ? 3 3 2 n ? (3 ? 1). 4 4

r (b1 ? br ) 3(3 2 n ? 1)(7 ? 3 2 n ?1 ) 27(32 n ? 1) ? , Dn ? , 又 Br ? 2 8 8

? Tn ? Br ? Dn ?

9 ? 3 4 n ? 15 ? 3 2 n ? 6 . 8

-5-

故 lim

Tn 9 ? . 4 n ?? ( a ) 8 n

-6-


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