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机械能守恒定律习题课


单体机械能守恒定律表达式: 单体机械能守恒定律表达式:

Ek1 + E p1 = Ek 2 + E p 2
或用增量式:

?EK + ?EP = 0

机械能守恒定律的应用
应用机械能守恒定律解题的一般步骤: 应用机械能守恒定律解题的一般步骤:
研究对象, (1)确定研究对象,画出过程

示意图; )确定研究对象 画出过程示意图;

(2)受力分析,做功分析,检验守恒条件; )受力分析,做功分析,检验守恒条件;
参考平面,确定物体初、末状态的机械能(势能和动能); (3)选取参考平面,确定物体初、末状态的机械能(势能和动能); )

机械能守恒定律列方程求解。 (4)根据机械能守恒定律列方程求解。 )根据机械能守恒定律列方程求解

例与练

6、小球沿高为h=5m的光滑斜面由静止开始 下滑,求小球到达斜面底端时的速率。 支持力N不做功,只有重力G做功,小球 机械能守恒。 以斜面底面为参考平面。

1 2 E1 = mgh E2 = mv 2 1 2 ∴mgh = mv 2 ∴ v = 2 gh = 10m / s

N

G

例与练

∴v = 2aL = 2gh = 10m/ s
请比较用机械能守恒 定律和用牛顿运动定律 解题的异同。

6、小球沿高为h=5m的光滑斜面由静止开始 下滑,求小球到达斜面底端时的速率。 用牛顿运动定律解题: F合 h a = =g sin θ L= F合=mg sin θ m sin θ
N

G

θ

例与练

1 2 W总 = mgh ∴mgh = mv ? 0 2 N ∴ v = 2 gh = 10m / s
请比较用机械能守恒 定律和用动能定理解题 的异同。
G

6、小球沿高为h=5m的光滑斜面由静止开始 下滑,求小球到达斜面底端时的速率。 用动能定理解题:

从同一高度以相同的初速率向不同方向抛出质 量相同的几个物体,不计空气阻力,则 [ ABC D ] A.它们落地时的动能都相同 B.它们落地时重力的即时功率不一定相同 C.它们运动的过程中,重力的平均功率不一 定相同 D.它们从抛出到落地的过程中,重力所做的 功一定相同

4.

答案:BCD

ACD

例8. 小球A用不可伸长的轻绳悬于O点,在 O点的正下方有一固定的钉子B,OB=d,初始 时小球A与O同水平面无初速释放,绳长为L, 绳的最大承受能力为9mg。为使球能绕B点做完 整的圆周运动,试求d的取值范围?

A

L
D B

O
d

C

一质量为m的质点,系于长为R的轻绳的一端 的轻绳的一端, 一质量为 的质点,系于长为 的轻绳的一端, 的质点 绳的另一端固定在空间的O点 绳的另一端固定在空间的 点 , 假定绳是不可伸 长的、 柔软且无弹性的。 今把质点从O点的正上 长的 、 柔软且无弹性的 。 今把质点从 点的正上 3 8 gR 抛 R 的O 点以水平的速度V = 方离O点的距离为 方离 点的距离为 9 4 1 如图所示。试求; 出,如图所示。试求; (1)轻绳即将伸直时,绳与竖直方向的夹角为 )轻绳即将伸直时, 多少? 多少? 点的正下方时, (2)当质点到达 点的正下方时,绳对质点的拉 )当质点到达O点的正下方时 力为多大? 力为多大? O1 V0
0

(1)θ =

π
2
O 图29 θ R

43 (2)T = mg 9

答:(1)3m/s :( )

(2)3.2N 方向向下 )

系统机械能守恒定律的应用

例7.长为L质量分布均匀的绳子,对称地悬 挂在轻小的定滑轮上,如图所示.轻轻地推动一 下,让绳子滑下,那么当绳子离开滑轮的瞬间, 绳子的速度为

v = gL/2 .

解:由机械能守恒定律,取小滑轮处为
零势能面.

1 L L 1 2 ? 2 × mg ? = ? mg + mv 2 4 2 2 1 ∴v = gL 2

例9、如图示,长为l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为m的小球,为使 轻质硬棒能绕转轴O转到最高点,则底端小球在如图示位置应具有的最小速度 v= 。

4.8 gl
解:系统的机械能守恒,?EP +?EK=0 因为小球转到最高点的最小速度可以为0 ,所以,

1 2 1 ?v? mv + m? ? = mg ? l + mg ? 2l 2 2 ?2?

2

O

24 ∴ v= gl = 4.8 gl 5

v

如图所示,一固定的楔形木块, 如图所示,一固定的楔形木块,其斜面的倾角 θ=30o,另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮。 另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮。 一柔软的细线跨过定滑轮,两端分别与物块A、 一柔软的细线跨过定滑轮,两端分别与物块 、 B连接,A的质量为 ,B质量为 ,开始时将 连接, 的质量为 的质量为4m, 质量为 质量为m, 连接 B按在地面上不动,然后放开手,让A沿斜面下 按在地面上不动, 按在地面上不动 然后放开手, 沿斜面下 滑而B上升 物块A与斜面间无摩擦 设当A沿 上升。 与斜面间无摩擦。 滑而 上升。物块 与斜面间无摩擦。设当 沿 斜面下滑距离s后 细绳突然断了,求物块B上 斜面下滑距离 后,细绳突然断了,求物块 上 升的最大距离H 升的最大距离

例与练

(思考题)如图所示,物体A、 B用绳子连接穿过定滑轮,已知 mA=2mB, 绳子的质量不计,忽略 一切摩擦,此时物体A、B距地 面高度均为H,释放A,求当物 体A刚到达地面时的速度多大? (设物体B到滑轮的距离大于H)

例 10. 一根内壁光滑的细圆管,形状如下图所示,放在竖直平面内,一个小球自A口 的正上方高h处自由落下,第一次小球恰能抵达B点;第二次落入A口后,自B口射 出,恰能再进入A口,则两次小球下落的高度之比h1:h2= ______

4:5
解:第一次恰能抵达B点,不难看出 由机械能守恒定律 mg h1 =mgR+1/2·mvB12 第二次从B点平抛 R=vB2t R=1/2·gt 2 v B1=0

∴h1 =R h B

vB 2 = gR / 2
mg h2 =mgR+1/2·mvB22 h2 =5R/4 h1 :h2 = 4:5

A O

如图所示, 、 两球质量分别为 两球质量分别为4m和 如图所示,A、B两球质量分别为 和5m,其间 其间 用轻绳连接,跨放在光滑的半圆柱体上(半圆柱 用轻绳连接,跨放在光滑的半圆柱体上 半圆柱 体的半径为R). 体的半径为 .两球从水平直径的两端由静止 释放.已知重力加速度为g,圆周率用π表示。 释放.已知重力加速度为 ,圆周率用π表示。 当球A到达最高点 到达最高点C时 当球 到达最高点 时,求: (1)球A的速度大小. 的速度大小. 球 的速度大小 (2)球A对圆柱体的压力 球 对圆柱体的压力

机械能守恒定理的应用
【例7】将质量为M和3M的两小球 和B分别拴在一根 】将质量为 和 的两小球A和 分别拴在一根 的两小球 细绳的两端,绳长为L,开始时B球静置于光滑的水平 细绳的两端,绳长为 ,开始时 球静置于光滑的水平 桌面上,A球刚好跨过桌边且线已张紧,如图所 球下落时拉着B球沿桌面滑动 示 . 当 A球下落时拉着 球沿桌面滑动 , 桌面的高为 , 球下落时拉着 球沿桌面滑动,桌面的高为h, 球着地后停止不动, 且h<L.若A球着地后停止不动,求 :(1)B球刚滑 < . 球着地后停止不动 ) 球刚滑 出桌面时的速度大小. 球和A球着地点之间的 出桌面时的速度大小 . ( 2)B球和 球着地点之间的 ) 球和 距离. 距离.

【例4】一条长为L的均匀链条,放在光滑水平桌面上, 一条长为L的均匀链条,放在光滑水平桌面上, 链条的一半垂于桌边,如图所示? 链条的一半垂于桌边,如图所示?现由静止开始使链 条自由滑落,当它全部脱离桌面时的速度为多大? 条自由滑落,当它全部脱离桌面时的速度为多大? 解析】因桌面光滑,链条虽受桌面的支持力, 【解析】因桌面光滑,链条虽受桌面的支持力,但支 持力对链条不做功, 持力对链条不做功,在链条下滑过程中只有重力对链 条做功, 条做功,故链条下滑过程中机械能守恒 设链条总质量为m,由于链条均匀, m,由于链条均匀 设链条总质量为m,由于链条均匀,因此对链条所研 究部分可认为其重心在它的几何中心,选取桌面为零 究部分可认为其重心在它的几何中心, 势能面,则初、末状态的机械能分别为: 势能面,则初、末状态的机械能分别为: 初态: 初态: Eko = 0, E p 0 = ? 1 ? mg L ? ? ?
2? 4?

末态: 末态: E = 1 mv 2 , E = ?mg L kt t pt 2 2

1 L 1 2 L 1 o ? mgL = mvt ? mg 3gL 2 4 2 2 vt = 2

? 例题6:如图所示,半径为r,质量不计的圆盘与地 面垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固 定轴O,在盘的最右边缘固定一个质量为m的小 球A,在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量 也为m的小球B.放开盘让其自由转动,问: ? (1)A球转到最低点时的线速度是多少? ? (2)在转动过程中半径OA向左偏离竖直方 向的最大角度是多少?
A B


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