当前位置:首页 >> 数学 >>

2014年宝山杨浦青浦静安等四区二模(理科)


上海市静安、杨浦、青浦、宝山 2013—2014 学年 数学试卷(理科)
2014.04.17 一、填空题 (本大题共有 14 题,满分 56 分) 1、二阶行列式

1? i 0 的值是________.(其中 i 为虚数单位) 1? i 1? i

2、 已知 i, j 是方向分别与 x 轴和 y 轴正方向相同的两个基本单位向量, 则 i ? j ? ________. 3、二项式 ? x ? 1? 的展开式中含 x3 项的系数值为________.
7

4、已知圆锥的母线长为 5,侧面积为 15? ,则此圆锥的体积为________.(结果中保留 ? ) 5、已知集合 A ? y y ? sin x, x ? R , B ? x x ? 2n ? 1, x ? Z ,则 A
2

?

?

?

?

B ? ________.

6、在平面直角坐标系 xOy 中,若圆 x ? ? y ?1? ? 4 上存在 A, B 两点,且弦 AB 的中点为

P ?1, 2? ,则直线 AB 的方程为________.
7、已知 log 2 x ? log 2 y ? 1,则 x ? y 的最小值为________.
* 8、已知首项 a1 ? 3 的无穷等比数列 ?an ? n ? N 的各项和等于 4,则 ?an ? 的公比是____.

?

?

9、 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,O 为坐标原点, ? y ? 2sin ?

M 为 C1 上 的 动 点 , 点 P 满 足 OP ? 2 OM 点 的 轨 迹 为 曲 线 C2 , 则 C2 的 参 数 方 程 为
________. 10、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的 结果为________. 11、从 5 男和 3 女 8 位志愿者中任选 3 人参加冬奥会 火炬接力活动,若随机变量 ? 表示 3 人中女志愿者的人 数,则 ? 的数学期望 E? ? ________. 开始

x ? 1, y ? 1
z ? x? y z ? 20 ?
x? y
是 否 输出

y x

12、在各项不为零的数列 ?cn ? 中,所有满足 ci ? ci ?1 ? 0

y?z

结束

的 正 整 数 i 的 个 数 称 为 这 个 数 列 ?cn ? 的 “ 变 号 数 ” , 已 知 数 列 ?an ? 的 前

n 项和

Sn ? n2 ? 4n ? 4 , bn ? 1 ?

4 ? n ? N* ? ,则数列 ?bn? 的“变号数”为________. an

13 、 已 知 定 义 在 ? 0, ?? ? 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 f ? x ? ? 3 f ? x ? 2? . 当 x ? ?0, 2 ? 时 ,
2 ,设 f ? x ? 在 ? 2n ? 2,2n? 上的最大值为 an ,且数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn , f ? x? ? ? x ? 2 x

则 lim S n ? ________.(其中 n ? N* )
n ??

14、 正方形 S1 和 S2 内接于一个直角 ?ABC 中, 如图所示, 设 ?A ? ? , 若 S1 ? 441, S2 ? 220 , 则 sin 2? ? ________.

A

A

?
F D

?

Q

S1
C
E B

M

S2

P

C

N

B

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 15、在实数集 R 上定义运算 * : x * y ? x ? ?1 ? y ? 。若关于 x 的不等式 x * ? x ? a ? ? 0 的解 集是集合 x ?1 ? x ? 1 的子集,则实数 a 的取值范围是( A. ? 0, 2? B.

?

?

) D.

??2, ?1? ? ?1,0?

C.

?0,1? ?1, 2?

??2,0?


2 2 16、 “ ? ? 1 ”是“ f ? x ? ? sin ?x ? cos ?x 的最小正周期为 ? ”的(

A.充分必要条件 C.必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

17、若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱与球的表面积记为 S1 , S2 ,则 S1 : S2 ? ( A. 1:1 ) B. 2 :1 C. 3: 2 D. 4 :1

? x, 0 ? x ? 1 ? 18、函数 f ? x ? 的定义域为实数集 R , f ? x ? ? ?? 1 ? x 。对于任意的 x ? R 都 ? 1, ? 1 ? x ? 0 ?? ? ?? 2 ?
有 f ? x ? 1? ? f ? x ?1? ,若在区间 ? ?1,3? 上函数 g ? x ? ? f ? x ? ? mx ? m 恰有四个不同的零 点,则实数 m 的取值范围是( )

A. ?0, ? 2

? 1? ? ?

B. ?0, ? 4

? 1? ? ?

C. ? 0, ? 2

? ?

1? ?

D. ? 0, ? 4

? ?

1? ?

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) 19、 (本题共 2 小题,满分 12 分)

PA ? 平面 ABCD , 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形, ?CAD ? 90 ,

PA ? BC ? 1, AB ? 2 , F 是 BC 的中点
(1)求证: DA ? 平面 PAC ; (2)若以 A 为坐标原点,射线 AC , AD, AP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴的正半轴,建立空间 直角坐标系,已经计算得 n ? ?1,1,1? 是平面 PCD 的法向量,求平面 PAF 与平面 PCD 所称 二面角的余弦值。

P

A

D

20、 (本题共 2 小题,满分 14 分)

B

F

C

某公司拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示) ,该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心圆 弧 AD 、弧 BC 以及两条线段 AB 和 CD 围成的封闭图形。花坛设计周长为 30 米,其中大 圆弧 AD 所在的圆的半径为 10 米.设小圆弧 BC 所在圆的半径为 x 米, 圆心角为 ? (弧度) . (1)求 ? 关于 x 的函数关系式; (2)在对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,已知两条 线段的的装饰费用为 4 元/米, 两条弧线部分的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y ,当 x 为何值时, y 取得最大值?

A B

D

? O

C

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 9 分 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1的右焦点为 F (1,0) ,短轴的端点分别为 B1, B2 ,且. a 2 b2

(1)求椭圆的方程;

(2)过点 F 且斜率为的直线 l 交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴 相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分 设函数 g ( x) ? 3 x , h( x) ? 9 x . (1) 解方程: x ? log3 (2g ( x) ? 8) ? log3 (h( x) ? 9) ; (2)令 p( x) ?

g ( x) g ( x) ? 3

, q( x) ?

3 ,求证: h( x ) ? 3
? 2013 ? ? q? ? ? 2014 ?

? 1 ? ? 2 ? p? ? ? p? ?? ? 2014 ? ? 2014 ?
(3)若 f ( x) ?

? 2013 ? ? 1 ? ? 2 ? ? p? ? ? q? ? ? q? ?? ? 2014 ? ? 2014 ? ? 2014 ?

g ( x ? 1) ? a 是实数集 R 上的奇函数,且 f (h( x) ? 1) ? f (2 ? k ? g ( x)) ? 0 g ( x) ? b

对任意实数 x 恒成立,求实数 k 的取值范围.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分
设各项都是正整数的无穷数列满足:对任意,有.记. (1)若数列是首项 a1 (2)若 bn

? 1 ,公比的等比数列,求数列的通项公式;

? 3n ,证明:; ? 1 ,, ?cn ? 是公差为 1 的等差数列.记 d n ? ?2n ? an ,

(3)若数列的首项 a1

Sn ? d1 ? d2 ? ? ? dn ?1 ? dn ,问:使 S n ? n ? 2n?1 ? 50 成立的最小正整数 n 是否存在?并说
明理由.

上海市静安、杨浦、青浦、宝山 2013—2014 学年 数学试卷(理科)参考答案
1.2; 2. 2 ;3.35; 4. 12? ;5. ??1,1? ;6. x ? y ? 3 ? 0 ;7. 2 2 ; 8. 9. ?

1 ; 4

? x ? 4 cos? , 13 10 30 15 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? . ( ? 为参数) ;10. ;11. E? ? 0 ? 8 56 56 56 56 8 y ? 4 sin ? , ?
3 1 ;14. sin 2? ? ;15.D;16.B;17.C;18.D; 2 10

12.3;13.

19. A(0, 0, 0), C (1, 0, 0), B(1, ?1, 0), D(0,1, 0), F (1, ? , 0), P(0, 0,1) .

1 2

(1) 证明方法一: Q 四边形是平行四边形, Q PA ? 平面 ABCD ? PA ? DA ,又
AC ? DA , AC I PA ? A ,? DA ? 平面 PAC .
uuu r 方法二:证得 DA 是平面 PAC 的一个法向量,? DA ? 平面 PAC .

(2) 通过平面几何图形性质或者解线性方程组 , 计算得平面 PAF 一个法向量为 u r m ? (1,2,0) ,
u r r u r r r | m?n | 15 r r ? 又平面 PCD 法向量为 n ? (1,1,1) ,所以 cos ? m, n ?? u 5 | m || n |

? 所求二面角的余弦值为

15 . 5
10 ? 2 x , 10 ? x

20.(1)设扇环的圆心角为 ?,则 30 ? ? ?10 ? x ? ? 2(10 ? x) ,所以 ? ?

1 (2) 花坛的面积为 ? (102 ? x2 ) ? (5 ? x)(10 ? x) ? ? x2 ? 5x ? 50, (0 ? x ? 10) . 2

装饰总费用为 9? ?10 ? x ? ? 8(10 ? x) ? 170 ? 10x , 所以花坛的面积与装饰总费用的比 y = 令 t ? 17 ? x ,则 y ?
? x 2 ? 5 x ? 50 x 2 ? 5 x ? 50 =? , 170 ? 10 x 10(17 ? x)

39 1 324 3 12 ? (t ? ) ≤ ,当且仅当 t=18 时取等号,此时 x ? 1,? ? . 10 10 t 10 11

答:当 x ? 1 时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. 21. (1)依题意不妨设 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) ,则 FB1 ? (?1, ?b) , FB2 ? (?1, b) .
2 2 2 由 FB1 ? FB2 ? ?a ,得 1 ? b ? ?a . 又因为 a ? b ? 1,解得 a ? 2, b ? 3 .所以椭圆 C 的

方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

(2)依题意直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? ? 4 3
8k 2 4k 2 ? 12 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
所以弦 MN 的中点为 P( 所以 MN ?
2

4k 2 ?3k , ). 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

12(k 2 ? 1) 64k 4 4(4k 2 ? 12) . ? (k ? 1)[ ? ]? 4k 2 ? 3 (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2
直线 PD 的方程为 y ?

3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ), 4k 2 ? 3 k 4k 2 ? 3

3 k 2 (k 2 ? 1) k2 k2 ,0) ,所以 DP ? 由 y ? 0 ,得 x ? ,则 D( 2 . 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k 2 ? 3
3 k 2 (k 2 ? 1) DP k2 1 1 4k 2 ? 3 ? 1 ? ? 1? 2 所以 . 2 2 12(k ? 1) MN 4 k ?1 4 k ?1 4k 2 ? 3
2 又因为 k ? 1 ? 1,所以 0 ?

1 1 1 1 ? 1 .所以 0 ? 1? 2 ? . k ?1 4 k ?1 4
2

所以

DP MN

的取值范围是 (0, ) .

1 4

x x x x 22. (1) 3 ? (2 ? 3 ? 8) ? 9 ? 9 , 3 ? 9 , x ? 2

(2) p(

1007 1 3 1 1007 1 3 1 ) ? q( ) ? ? . ) ? p( ) ? ? , q( 2014 2 6 2 2014 2 2 3 2

因为 p( x) ? p(1 ? x) ?

3x 3x ? 3

?

31? x 31? x ? 3

?

3x 3x ? 3

?

3 3x ? 3

?1,

q( x) ? q(1 ? x) ?
所以, p (

9x 91? x 9x 3 ? ? ? x ?1 x 1? x x 9 ?3 9 ?3 9 ?3 9 ?3

1 2 2013 1 ) ? p( ) ? ? ? p( ) ? 1006 ? , 2014 2014 2014 2 1 2 2013 1 q( ) ? q( ) ? ? ? q( ) ? 1006 ? . 2014 2014 2014 2 1 2 2013 1 2 2013 p( ) ? p( ) ? ? ? p( ) = q( ) ? q( ) ? ? ? q( ). 2014 2014 2014 2014 2014 2014

(3)因为 f ( x) ?

? ( x ? 1) ? a 是实数集上的奇函数,所以 a ? ?3, b ? 1 . ? ( x) ? b

f ( x ) ? 3(1 ?

2 ) , f ( x) 在实数集上单调递增. 3 ?1
x

由 f (h( x) ? 1) ? f (2 ? k ? g ( x)) ? 0 得 f (h( x) ? 1) ? ? f (2 ? k ? g ( x)) ,又因为 f ( x) 是实数集 上的奇函数,所以, f (h( x) ? 1) ? f (k ? g ( x) ? 2) , 又因为 f ( x) 在实数集上单调递增,所以 h( x) ? 1 ? k ? g ( x) ? 2 即 32 x ? 1 ? k ? 3 x ? 2 对任意的 x ? R 都成立,
x 即k ? 3 ?

1 对任意的 x ? R 都成立, k ? 2 . 3x

23.(1) b1

? aa1 ? a1 ? 1 , bn ? a an ? a 2n ?1 ? 2 2

n ?1

?1

?

4 n?1 ; 2

(2)根据反证法排除 a1 证明:假设 a1 ①当 a1

? 1 和 a1 ? 3 (a1 ? N * )

? 2 ,又 an ? N * ,所以 a1 ? 1 或 a1 ? 3 (a1 ? N * )

? 1 时, b1 ? aa1 ? a1 ? 1 与 b1 ? 3 矛盾,所以 a1 ? 1;
*

②当 a1 ? 3 (a1 ? N

) 时,即 a1 ? 3 ? b1 ? aa1 ,即 a1 ? aa1 ,又 an ? an?1 ,所以 a1 ? 1 与

a1 ? 3 (a1 ? N * ) 矛盾; 由①②可知 a1 ? 2 .
(3)首先

?an ?是公差为 1 的等差数列,证明如下:

an?1 ? an ? n ? 2, n ? N * 时 an ? an?1 ,
所以 an

? an?1 ? 1 ? an ? am ? (n ? m) , (m ? n , m、n ? N * )

? aan?1 ?1 ? aan ?1 ? [an?1 ? 1 ? (an ? 1)] 即 cn?1 ? cn ? an?1 ? an

由题设 1 ? an?1 ? an 又 an?1 ? an 即

? 1 ? an?1 ? an ? 1

?an ?是等差数列.又 ?an ?的首项 a1 ? 1 ,所以 an ? n ,

S n ? ?(2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ) ,对此式两边乘以 2,得 2S n ? ?22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1
两式相减得 S n

? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ? 2 n?1 ? n ? 2 n?1 ? 2

S n ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 , S n ? n ? 2n?1 ? 50 即 2 n?1 ? 52 ,当 n ? 5 时, 2 n ?1 ? 64 ? 52 ,即
存在最小正整数 5 使得 S n

? n ? 2n?1 ? 50 成立.

注:也可以归纳猜想后用数学归纳法证明 a n

? n.


相关文章:
2014年宝山杨浦青浦静安等四区二模(文科)
2014年宝山杨浦青浦静安等四区二模(文科)_数学_高中教育_教育专区。2014年宝山杨浦青浦静安等四区二模(文科)上海市静安、杨浦、青浦、宝山 2013—2014 学年 联合高...
2014年上海高三数学四区(静安区杨浦区青浦区宝山区)联...
姓名: 备注: 打印日期: 2014 年 4 月 6 日星期日 2013 年静安杨浦青浦宝山区高三二模(理科) (满分 150 分,答题时间 120 分钟) 2013.04. 一、填空...
2014年上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区高三二模数学...
上海市静安杨浦青浦宝山 2013—2014 学年联合高考模拟考试 理科数学试卷(满分 150 分,完卷时间 120 分钟) 2014.4 一、填空题 (本大题共有 14 题,...
...静安宝山青浦四区2014届高三下学期质量调研(二模)数...
上海市杨浦静安宝山青浦四区2014届高三下学期质量调研(二模)数学理试题_数学_高中教育_教育专区。 +申请认证 文档贡献者 潘玉清 一线教师 85722 6352081 4.1 ...
上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014届高三下学期质...
上海市静安杨浦青浦宝山四区2014届高三下学期质量调研(二模)数学理试题_数学_高中教育_教育专区。上海市静安杨浦青浦宝山四区 2014 届高三 下学期质量...
【2014杨浦区等四区二模】上海市杨浦、静安、宝山、青...
2014杨浦区等四区二模】上海市杨浦静安宝山青浦四区2014届高三下学期质量调研 地理 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。高考模拟。一模,二模,三模 ...
2014年上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区高三二模数学...
2014年上海市静安杨浦青浦宝山四区高三二模数学试卷(文科)及答案_数学_高中...四区 2013 学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 说明 1.本...
0.2014年二模:静安杨浦青浦宝四区
静安杨浦青浦宝山 2013 学年度联合高考模拟考试 文理科数学试卷(满分 150 分,完卷时间 120 分钟) 2014.4 一、填空题 (本大题共有 14 题,满分 56 分)考生...
2014高三数学—杨浦静安青浦宝山二模(理)
2014高三数学—杨浦静安青浦宝山二模(理)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。二模卷静安杨浦青浦宝山 2013—2014 学年数学试卷(理科)一、填空题 (本大题共...
...2014年上海市杨浦、静安、宝山、青浦四区高考物理二...
【详解详析】 2014年上海市杨浦静安宝山青浦四区高考物理二模试卷_高考_高中...(新的物质)的化学性质理应发生改变,B 错误; C、放射性元素发生衰变的快慢不...
更多相关标签: