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2014届湖南省农业大学附中高考数学一轮复习单元训练:《推理与证明》(新人教A版) Word版含解析


高考数学一轮复习单元训练:推理与证明
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知 a,b ? R ,且 a ? b,a ? b ? 2 ,则( ) A.

1 ? ab ? C. ab ?
a 2 ? b2 2

B. ab ? 1 ? D.

a 2 ? b2 2

a 2 ? b2 ?1 2

a 2 ? b2 ? ab ? 1 2

【答案】B 2. 个连续自然数按如下规律排成下表, n 根据规律, 2009 到 2011 的箭头方向依次为( 从

)

A.↓ → B.→ ↑ C.↑ → D.→ ↓ 【答案】B 3.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b?R,则 a-b=0? a=b”类比推出“若 a,b?C,则 a-b=0? a=b”; ②“若 a,b,c,d?R,则复数 a+bi=c+di? a=c,b=d”类比推出“若 a,b,c,d?Q, 则 a+b=c+d? a=c, b=d”; ③若“a,b?R,则 a-b>0? a>b”类比推出“若 a,b?C,则 a-b>0? a>b”. 其中类比结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 4.如图,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 中点,BF⊥CE 于 F,那么 S△BFC:S 正方形 ABCD=( )

A.1:3 【答案】C ( A. )

B.1:4
2

C.1:5

D.1: 6

5.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n an (n ? 2) ,而 a1 ? 1 ,通过计算 a2 , a3 , a4 ,猜想 an 等于

2 (n ? 1) 2

B.

2 n(n ? 1)

C.

2 2 ?1
n

D.

2 2n ? 1

【答案】B 6.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f(x),如果 f ′(x0)=0,那么 x=x0 是函数 3 3 f(x)的极值点,因为函数 f(x)=x 在 x=0 处的导数值 f ′(0)=0,所以,x=0 是函数 f(x)=x 的极值点.以上推理中( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 【答案】A

7.传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题:把 1,3,6,10,? 叫做三角形数;把 1,4,9,16,? 叫做正方形数,则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A.16 B.25 C.36 D.49 【答案】C 3 2 8.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,定义:设 f″(x)是函数 y=f′(x) 的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的“拐 点” .有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’ ;任何一个三次函数都有对称中心;且 1 3 1 2 5 1 ‘拐点’ 就是对称中心. 请你将这一发现为条件, ” 若函数 g (x) x - x +3x- + = , 3 2 12 1 x- 2 则 g(

1 2 3 4 2010 ) ? g( ) ? g( ) ? g( ) ??? g( ) 的值是( 2011 2011 2011 2011 2011

)

A.2010 B.2011 C.2012 D.2013 【答案】A 9.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍) :

则第 9 行中的第 4 个数是( ) A.132 B.255 【答案】C

C.259

D.260

10. 给出命题: a, b 是正常数, a ? b ,x, y ? (0, ??) , 若 且 则

a 2 b 2 ( a ? b )2 a b (当且仅当 ? ? ? x y x? y x y 1 2 9 时等号成立). 根据上面命题,可以得到函数 f ( x) ? ? ( x ? (0, ) )的最小值及取 2 x 1 ? 2x 最小值时的 x 值分别为( )
A.11+6

2,

1 2 B.11+6 2 , 5 13

C.5,

2 13

D.25,

1 5
)

【答案】D 11.正整数按下表的规律排列,则上起第 2005 行,左起第 2006 列的数应为(

A. 20052 【答案】D

B. 20062

C. 2005 ? 2006

D. 2005 ? 2006

12.已知 f ? x ? 是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的 k ,若 f ? k ? ? k 成立,则
2

f ? k ? 1? ? ? k ? 1? 成立,下列命题成立的是(
2

)
2

A.若 f ? 3? ? 9 成立,则对于任意 k ? 1 ,均有 f ? k ? ? k 成立; B.若 f ? 4 ? ? 16 成立,则对于任意的 k ? 4 ,均有 f ? k ? ? k 成立;
2

C.若 f ? 7 ? ? 49 成立,则对于任意的 k ? 7 ,均有 f ? k ? ? k 成立;
2

D.若 f ? 4 ? ? 25 成立,则对于任意的 k ? 4 ,均有 f ? k ? ? k 成立。
2

【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.对于函数 f ( x) ? ?2 cos( x ? [0, ? ]) 与函数 g ( x) ? ①函数 f ( x) 的图像关于 x ?

?
2

1 2 x ? ln x 有下列命题: 2

对称;

②函数 g ( x) 有且只有一个零点; ③函数 f ( x) 和函数 g ( x) 图像上存在平行的切线; ④若函数 f ( x) 在点 P 处的切线平行于函数 g ( x) 在点 Q 处的切线, 则直线 PQ 的斜率为

1 . 2 ??

其中正确的命题是 。 (将所有正确命题的序号都填上) 【答案】②③④ 14.由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③正方形是平行四边形,根据 “三段论”推理出一个结论,则这个结论是 ; 【答案】正方形的对角线相等 15.观察下列等式: 13 ? 23 ? 32 , 13 ? 23 ? 33 ? 62 , 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 ,?,根据上述 规律,第五个等式为____________. ..... 【答案】 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? 212 16. [ n ] 表示不超过 n 的最大整数.

S1 ? [ 1] ? [ 2] ? [ 3] ? 3, S 2 ? [ 4] ? [ 5] ? [ 6] ? [ 7] ? [ 8] ? 10, S3 ? [ 9] ? [ 10] ? [ 11] ? [ 12] ? [ 13] ? [ 14] ? [ 15] ? 21, ?,
那么 S n ? .

【答案】 S n ? n(2n ? 1) 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知: sin 2 30 ? ? sin 2 90 ? ? sin 2 150 ? ?

3 2

sin 2 5 ? ? sin 2 65 ? ? sin 2 125 ? ?

3 2 3 2

通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明。 【答案】一般性的命题为 sin 2 (? ? 60? ) ? sin 2 ? ? sin 2 (? ? 60? ) ? 证明:左边 ?

1 ? cos(2? ? 1200 ) 1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 1200 ) ? ? 2 2 2

3 ? [cos(2? ? 1200 ) ? cos 2? ? cos(2? ? 1200 )] 2 3 ? 2 ?
所以左边等于右边 18.a, b 是两个不相等的正数, 且满足 a 3 ? b 3 ? a 2 ? b 2 , 求所有可能的整数 c,使得 c ? 9ab . 【答案】由 a 3 ? b 3 ? a 2 ? b 2 得 a 2 ? ab ? b 2 ? a ? b ,所以 ab ? (a ? b) 2 ? (a ? b) ? 0 , 由此得到 a ? b ? 1 .

1 4 (a ? b) 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? (a ? b) ,故1 ? a ? b ? . 4 3 4 又因为 ab ? (a ? b) 2 ? (a ? b) , 令 t ? a ? b ? (1, ) 则 ab ? t 2 ? t . 3 4 当 t ? 1 时, t 2 ? t 关于 t 单调递增,所以 0 ? ab ? , 0 ? 9ab ? 4 . 9 因此 c 可以取 1,2,3.
又因为 19.设曲线 C : f ( x) ? ln x ? ex(e ? 2.71828?) , f ?( x) 表示 f ( x) 的导函数。 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)数列 ?an ? 满足 a1 ? e, an ?1 ? 2 f ?( f ( x) 的极值;

1 ) ? 3e ,求证:数列 ?an ? 中的任意 an

三项都不能构成等差数列; (Ⅲ) 对于曲线 C 上的不同两点 A( x1, y1 ), B ( x2, y2 )(0 ? x1 ? x2 ) , 是否存在唯一 x? ? ( x1, x2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 f ?( x? ) ?证明的结论。 【答案】 (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??)

f ?( x) ?

1 1 ? ex 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? , ?e ? x x e

1 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 递增;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 递减。 e e 1 1 所以,当 x ? 时 f ( x) 有极大值 f ( ) ? ?2 , f ( x) 无极小值。 e e
当0 ? x ? (Ⅱ)∵ an ?1 ? 2 f ?(

1 1 ) ? 3e ? 2an ? e ,∴ an ?1 ? 2 f ?( ) ? 3e ? 2an ? e , an an

∴ an ?1 ? e ? 2(an ? e) ,∴ ?an ? e? 是首项为 2e ,公比为 2 的等比数列, ∴ an ? e ? 2e ? 2n ?1 ? e ? 2n ,∴ an ? e(2n ? 1) 。 假设数列 ?an ? 中的存在三项 ar , as , at (r ? s ? t ) 成等差数列,则 2as ? ar ? at , 即 2e(2 s ? 1) ? e(2 r ? 1) ? e(2t ? 1) ,∴ 2 s ?1 ? 2r ? 2t ,∴ 2 s ? r ?1 ? 1 ? 2t ? r , ∵ s ? r ? 1 ? N ? , t ? r ? N ? ,∴ 2 s ? r ?1 是偶数, 1 ? 2t ? r 是奇数,矛盾, ∴数列 ?an ? 中的任意三项都不能构成等差数列。 (Ⅲ)存在唯一 x? ? ( x1, x2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 f ?( x? ) 。 证明如下:

AB 的斜率 k AB ? f ?( x? ) ?

ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 ? ?e x2 ? x1 x?

? x? (ln x2 ? ln x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0 。
设函数 g ( x) ? x(ln x2 ? ln x1 ) ? ( x2 ? x1 )( x1 ? x ? x2 ) , 则 g ( x1 ) ? x1 (ln x2 ? ln x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? x1 (ln 设函数 h( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 1) ,则 h?( x) ?

x2 x2 ? ? 1) 。 x1 x1
l 1? x ?1 ? ? 0, x x

∴ h( x) 在 (1, ??) 上递减,∴ h( x) ? h(1) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ? 0 , ∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴

x2 x x ? 1 ,∴ ln 2 ? 2 ? 1 ? 0 ,∴ g ( x1 ) ? 0 , x1 x1 x1

同理可证 g ( x2 ) ? 0 ,∴ g ( x) 在区间 ( x1, x2 ) 内有零点 x? 又∵ ln x2 ? ln x1 ? 0 ,∴ g ( x) 在区间 ( x1, x2 ) 内是增函数 ∴ g ( x) 在区间 ( x1, x2 ) 内有唯一的零点 x? ,

故存在唯一 x? ? ( x1, x2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 f ?( x? ) 。
b 2 ? ac ? 3. a

20.已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,求证: 【答案】因为 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,

所以 a ? 0 , c ? 0 ,要证明原不等式成立,只需证明 b 2 ? ac ? 3a r, 即证 b 2 ? ac ? 3a 2 ,从而只需证明 (a ? c) 2 ? ac ? 3a 2 , 即 (a ? c)(2a ? c) ? 0 , 因为 a ? c ? 0 , 2a ? c ? a ? c ? a ? a ? b ? 0 , 所以 (a ? c)(2a ? c) ? 0 成立,故原不等式成立. 21.如图,已知 PA ? 矩形 ABCD 所在平面, M,N 分别是 AB,PC 的中点. 求证: (1) MN ∥ 平面 PAD ; (2) MN ? CD .

【答案】 (1)取 PD 的中点 E ,连结 AE,NE . ∵ N,E 分别为 PC,PD 的中点.
∴ EN 为 △PCD 的中位线,

1 1 ∴ EN ∥ CD , AM ? AB ,而 ABCD 为矩形, 2 2
∴ CD ∥ AB ,且 CD ? AB . ∴ EN ∥ AM ,且 EN ? AM . ∴ AENM 为平行四边形, MN ∥ AE ,而 MN ? 平面 PAC , AE ? 平面 PAD , ∴ MN ∥平面 PAD .

(2)∵ PA ? 矩形 ABCD 所在平面, ∴ CD ? PA ,而 CD ? AD , PA 与 AD 是平面 PAD 内的两条直交直线, ∴ CD ? 平面 PAD ,而 AE ? 平面 PAD , ∴ AE ? CD . 又∵ MN ∥ AE ,∴ MN ? CD . 22.已知 a, b, c ? R ,求证:
?

a 2 ? b2 ? c2 a ? b ? c ? 。 3 3
,只需证: ,

【答案】证明:要证

只需证:

只需证: 只需证: ,而这是显然成立的,

所以

成立。


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