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浙江省瑞安市十校2012届高三上学期期中联考试题(数学理)


浙江省瑞安市十校 2012 届高三上学期期中联考试题 (数学理)
一、选择题(本大题有 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分) 1.设集合 M ? {x | x2 ? x ? 0}, N ? {x || x |? 2}, 则( A. M ? N ? ? 2.设复数 B. M ? N ? M ) D. M ? N ? R

C. M ? N ? M ( )

z 满足 iz ? 2 ? i (i 为虚数单位) z ? ,则
B. 1 ? 2i C. 1 ? 2i ) C.关于点 (

A. ?1 ? 2i

D. ?1 ? 2i

3.函数 y ? 1 ? cos 2 x 的图象( A.关于 x 轴对称 B.关于原点对称

?

4 2 ? ? ? ? ? ? 4. 设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a ? ? b 与 ? b ? 2a 共线,则实数 ? 的值等于(

, 0) 对称

D.关于直线 x ?

?

对称 )

?

?

A.

2

B.

1 2

C. ?2

D. ?

1 2

5. 如面是一个算法的程序框图,当输入的 x 值为 3 时,输出 y 的结 果恰好是 A. y ? x C. y ? 3

1 ,则空白框处的关系式可以是 ( ) 3
3

B. y ? 3

?x

x

D. y ? x

1 3

6、下列函数中,在 (0, A f ( x) ? sin x ? x

?
2

) 上有零点的函数是(
B f ( x ) ? sin x ?
2



2

?

x 2

C f ( x) ? sin x ? x
2

D f ( x ) ? sin x ?

?

x

7、如果对于任意实数 x, ? x ? 表示不小于 x 的最小整数,例如 ? 1.1 ?? 2, ? ?1.1 ?? ?1 ,那么 “ | x ? y |? 1 ”是“ ? x ??? y ? ”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

-1-

8、设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,过点 F2 的直线交双曲线 a 2 b2


右支于不同的两点 M 、 N .若△ MNF 为正三角形,则该双曲线的离心率为( 1

A. 6

B. 3

C. 2

D.

3 3
??? ??? ? ?

9、已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小值 为 ( ) B. ?3 ? 2 C. ?4 ? 2 2 D. ?4 ? 2 A. ?3 ? 2 2

10、若设函数 f ( x) 的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M ( M ? D) ,有

x ? l ? D ,且 f ( x ? l ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数。如果定义域为 R 的函数

f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ?| x ? a2 | ?a2 ,且 f ( x) 为 R 上的 4 高调函数,那么
实数 a 的取值范围是( A. 0 ? a ? 1 ) C. ? 1 ? a ? 1 D. ? 2 ? a ? 2 B. ? 2 ? a ? 2

二.填空题: 本大题有 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 把答案填在答题卷的相应位置. 11.在△ABC 中,若∠B=60°,sinA=

1 ,BC=2,则 AC= 3



12 . 若 公 比 为 q 等 比 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn 满 足 : an ?1 = a1 Sn + 1(n ∈ N*), 则 q = ______ ▲___ 13. 曲线 y ?

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3 ? 3?



14 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ?x ? 满 足 f ?x ? ? ? ▲ .

lo g2 ?8 ? x ?, x ? 0 , 则 f ?3? 的 值 为__ ? f ?x ? 1? ? f ?x ? 2?, x ? 0 ?

15、若数列 ?an ? 的通项公式 an ?

1 ,记 Cn ? 2(1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ,试通过计算 (n ? 1)2


C1 , C2 , C3 的值,推测出 Cn ?

16.非零向量 a, b 满足 2a ? b ? a ? b ,| a | ? | b |? 2 ,则 a 与 b 的夹角的最小值是__ ▲ 17.在平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上恒有 ax ? 2by ? 2 ,则动点 P (a, b) 所形成平面区域 的面积为__▲ _
-2-

? ?

? ?

? 2 ?2 ?

?

?

?

?

?

三、解答题: (共 5 大题 72 分) 18、 (14 分)已知函数 f ( x) ?

3 sin x cos( x ?

?
3

)?

3 . 4

(Ⅰ) 求函数 f (x) 的单调递增区间; (Ⅱ) 已知 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a , b, c ,若 f ( A) ? 0 , a ? 3, b ? 2 ,求

?ABC 的面积 S

19、 (14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PA=AB= 2,M, N 分别为 PA, BC 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 PCD; (Ⅱ)求 MN 与平面 PAC 所成角的正切值.

20、 (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? t ? 0 , an ?1 ?

3an ,? , n ? 1 2, 2an ? 1

(1)若 t ?

?1 ? 3 ,求证 ? ? 1? 是等比数列并求出 {an } 的通项公式; 5 ? an ?

(2)若 a n ?1 ? a n 对一切 n ? N * 都成立,求 t 的取值范围。

-3-

21 、 (15 分 ) 如 图 , 已 知 直 线 l1 : y ? 2 x ? m(m ? 0) 与 抛 物 线 C1 : y ? a 2 ( a 0 )和 圆 x ?

C2 : x2 ? ( y ? 1)2 ? 5 都相切, F 是 C1 的焦点.
(1)求 m 与 a 的值; (2)设 A 是 C1 上的一动点,以 A 为切点作抛物线 C1 的切线 l ,直线 l 交 y 轴于点 B ,以

FA, FB 为邻边作平行四边形 FAMB , 证明: 点
M 在一条定直线上;
(3)在(2)的条件下,记点 M 所在的定直线 为 l2 ,直线 l2 与 y 轴交点为 N ,连接 MF 交抛 物线 C1 于 P, Q 两点,求 ?NPQ 的面积 S 的取 值范围.

22、 (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ln( x ? 1)(a ? R). (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)试判断是否存在实数 a (a ? 1) ,使 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 1 ? ln 2 无公共点(其 中自然对数的底数为无理数且=2.71828…).

-4-

数学(理科)参考答案

解(Ⅰ) f ( x) ?

3 sin x(cos x cos

?

? 3 ? sin x sin ) ? 3 3 4

?

3 3 3 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x sin x cos x ? sin 2 x ? 4 4 2 2 4 3 ? sin(2 x ? ) ……………………………………………… 4 分 2 3

?

令 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ,得 k? ?

5? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 12 12

所以函数 f (x) 的单调递增区间为 ?k? ?

? ?

5? ?? , k? ? ?, k ? Z ……7 分 12 12?

(Ⅱ)? f ( A) ? 0 ,? 又 a ? b ,故 A ? 由

? 5? 3 ? sin(2 A ? ) ? 0 ,解得 A ? 或 A ? , 3 6 2 3

?
3

…………………………………………9 分

? ? a b ? ,得 sin B ? 1 ,则 B ? , C ? ,………… 12 分 2 6 sin A sin B
1 3 absin C ? .……………………………………14 分 2 2

所以 S ?

19、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PA=AB=2,M, N
-5-

分别为 PA, BC 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 PCD; (Ⅱ)求 MN 与平面 PAC 所成角的正切值. 解: (Ⅰ)取 PD 的中点 E,连接 ME, CE. P ∵M, N 分别为 PA, BC 的中点, 1 1 E ∴ ME // AD , NC // AD ,∴ ME//NC , M 2 2 ∴MNCE 是平行四边形,∴MN∥CE,……………4 分 A ∵CE?平面 PCD,MN?平面 PCD, F ∴MN∥平面 PCD.…………………………………6 分 B C N (Ⅱ)作 NF⊥AC 于 F,连接 MF. ) ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥NF,又∵PA∩AC=A, ∴NF⊥平面 PAC,∴∠FMN 是 MN 与平面 PAC 所成的角.………10 分 在 Rt△MFN 中, NF ? FC ?

D

1 2 2 3 2 , AF ? AC ? FC ? , MA ? PA ? 1 ,∴ NC ? 2 2 2 2

22 , 2 NF 11 ∴ tan ?FMN ? .……………………………………………14 分 ? MF 11 MF ? MA 2 ? AF 2 ?
20、 (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? t ? 0 , an ?1 ?

3an ,? , n ? 1 2, 2an ? 1

(1)若 t ?

?1 ? 3 ,求证 ? ? 1? 是等比数列并求出 {an } 的通项公式; 5 ? an ?

(2)若 a n ?1 ? a n 对一切 n ? N * 都成立,求 t 的取值范围。 解: (1) 由题意知 a n ? 0, ,

1 a n ?1

?

2a n ? 1 1 1 2 , ? ? , a n 3a n 3 3a n
……………………………… 4 分

1 an ?1

? 1? 1 ? 1 ? ? ? 1? , ? 3 ? an ? ?

1 2 ?1 ? a1 3

所以数列 ?

?1 ? 2 1 ? 1? 是首项为 ,公比为 的等比数列;……………5 分 3 3 ? an ?
n ?1

1 ? 5 ?? 1 ? ? 1 ? ? ? 1?? ? an ? 3 ?? 3 ?
(2)由(1)知

?

3n 2 , an ? n 3 ?2 3n

……………………8 分
n ?1

1 an ?1

? 1 1? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? ? 1? , ? 1 ? ? ? 1?? ? ?a ? a 3? n ? t ?? 3 ? n ?

……………10 分

-6-

由 a1 ? 0, an ?1 ?

3an 1 1 知 an ? 0 ,故 an?1 ? an 得 ……………11 分 ? 2an ? 1 an?1 an
1 t 1 3
n ?1

即 ( ? 1)( ) ? 1 ? ( ? 1)( )
n

1 t

1 3

?1

得 ? 1 ? 0 ,又 t ? 0 ,则 0 ? t ? 1 …………14 分

1 t

21 . (15 分 ) 如 图 , 已 知 直 线 l1 : y ? 2 x ? m(m ? 0) 与 抛 物 线 C1 : y ? a 2 ( a 0 )和 圆 x ?

C2 : x2 ? ( y ? 1)2 ? 5 都相切, F 是 C1 的焦点.
(1)求 m 与 a 的值; (2)设 A 是 C1 上的一动点,以 A 为切点作抛物线 C1 的 切线 l ,直线 l 交 y 轴于点 B ,以 FA ,FB 为邻边作平行四 边形 FAMB ,证明:点 M 在一条定直线上; (3)在(2)的条件下,记点 M 所在的定直线为 l2 ,直 线 l2 与 y 轴交点为 N ,连接 MF 交抛物线 C1 于 P, Q 两 点,求 ?NPQ 的面积 S 的取值范围. 21、解: (1) d ?

| m ? 1| ? 5 ,又 m ? 0 ? m ? ?6 ………………2 分 5

? y ? ax 2 1 2 消去 y 得: ax ? 2 x ? 6 ? 0 ?? ? 0 即 a ? …………4 分 ? 6 ? y ? 2x ? 6
(2)设 A( x0 ,

x0 2 x2 x 3 ) , F (0, ) 切线 AB 的方程为 y ? 0 ? 0 ( x ? x0 ) ………………6 分 2 6 6 3 x0 2 x2 即 B(0, ? 0 ) ………………7 分 6 6

令x ? 0, y ??

因此直线 BM 的方程为 y ? 令 x ? x0 则 y ? ?

x02 ? 9 x2 x ? 0 ………………8 分 6 x0 6

3 2

3 ? 点 M 在直线 y ? ? ………………10 分 2

3 x2 2 (3)设直线 MP 的方程为 y ? kx ? (k ? 0) 代入 y ? 得: x ? 6kx ? 9 ? 0 2 6

? x1 ? x2 ? 6k ,? x1 ? x2 ? ?9

…………12 分

-7-

又 S ?NPQ ?

1 3 | PN | (| xP | ? | xQ |) ? | xP ? xQ | ? 9 1 ? k 2 (k ? 0) …………14 分 2 2
…………14 分

? S ? (9, ??)

22、 (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ln( x ? 1)(a ? R). (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)试判断是否存在实数 a (a ? 1) ,使 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 1 ? ln 2 无公共点(其 中自然对数的底数为无理数且=2.71828…). 22.解: (1)函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ln( x ? 1)(a ?R) 的定义域是 (1, ??). ……………1 分
a f ?( x) ? 2 x ? a ? ? x ?1 2 x( x ? a?2 ) 2 ,………………………………………………3 分 x ?1 2 x( x ? a?2 ) 2 ? 0 在 (1, ??) 上恒成立, x ?1 a?2 ) 2 ?0; x ?1

a?2 ? 1, f ?( x) ? ①若 a ? 0 ,则 2

? a ? 0 时, f ( x) 的增区间为 (1, ??) ………………………………………………5 分

a?2 a?2 ②若 a ? 0 ,则 ? 1 ,故当 x ? (1, ] 时, f ?( x) ? 2 2 a?2 当时 x ?[ , ??) 时, f ?( x) ? 2
? a ? 0 时, f ( x) 的减区间为 (1,

2 x( x ?

2 x( x ?

a?2 ) 2 ? 0 ,…………………………………7 分 x ?1

a?2 a?2 ], f ( x) 的增区间为 [ , ??). ………………8 分 2 2

(2) a ? 1 时,由(1)可知,
f ( x) 在 (1, ??) 上的最小值为 f (

a?2 a2 a ) ? ? ? 1 ? a ln . …………………10 分 2 4 2

a?2 a2 a ) ? ? ? 1 ? a ln (a ?[1, ??)), 2 4 2 a a 1 1 3 则 g ?(a) ? ? ? ln ? 1 ? g ?(1) ? ? ? ln ? 1 ? ? ? ln 2 ? 0, 2 2 2 2 2
设 g (a) ? f (

? g (a) ? ?
? g (a)max

a2 a ? 1 ? a ln 在 [1, ??) 上单调递减, 4 2 3 ? g (1) ? ? ln 2 ,……………………………………………………13 分 4
3 1 4 ? ln 2 ? 1 ? ln 2 ? ln ? 0, 4 4 e

? g (a)max ? 1 ? ln 2 ?

存在实数 a (a ? 1) 使 f ( x) 的最小值大于 1 ? ln 2, 故存在实数 a (a ? 1) ,使 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 1 ? ln 2 无公共点.…15 分

-8-

-9-


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