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江苏省南通市通州区石港中学2014届高一上学期期末复习小练习


高一数学小练习 1

姓名

1、已知集合 A=[1,4],B=(—∞, a ) ,若 A ? B,求实数 a 的取值范围 2、期中考试,某班数学优秀率为 70%,语文优秀率为 75%。问:上述两门学科都优秀的百 分率至少为 ? 3、函数 f ( x) = x + x, x ∈ [ ?1, 2 ) 的值域
2

>4、设函数 f ( x ) = 2 x + 3 ,函数 g ( x ) = 3 x ? 5 ,求 f ( g ( x )) =

g ( f ( x)) =

5、下列图象中表示函数关系 y = f ( x) 的有 y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

(1)

(2)

(3)

(4)

6、已知一个函数的解析式为 y = x 2 ,它的值域为[1,4],这样的函数有

个.

7、 若向量 a = (1,2) , b = (1, m) ,若 a ? b = 0 则实数 m 的值为 8、幂函数 y=f(x)的图象过点( 3, 3 ) ,则 f(x)的解析式是 9、函数 y = .

lg(6 ? x) 的定义域是 x ?1 a 是奇函数,则 a 的值为 2 ?1
x

.

10、若 f ( x ) = 1 ?

.

11、已知 2 ≤ 256且 log 2 x ≥
x

1 x ,求函数 f(x)= log 2 ? log 2 2

2

x 的值域. 2

12、某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元.根据 经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每提高 1 元,租不出去的自行车就增加 3 辆. 规定:每辆自行车的日租金不超过 20 元,每辆自行车的日租金 x 元只取整数,并要求 出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用 y 表示出租所有自行车的日净 收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得) . (1)求函数 y = f (x) 的解析式及定义域; (2) 试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元? 日净收入最多为多少元?

11、解:由 2 ≤ 256 得 x≤8,则
x

1 ≤ log 2 x ≤3,……………(3 分) 2

y=f(x)= (log 2 x ? 1)(log 2 x ? 2) = (log 2 x) 2 ? 3 log 2 x + 2 , ………………(8 分) 令 log 2 x = t ,则 t∈ [ ,3] , 则 y= t ? 3t + 2 ,其中对称轴为 t=
2

1 2

3 3 1 ,故当 t= 时,y 有最小值是 ? , 2 2 4 1 ……(16 分) 故 t=3 时,y 最大值 2,故函数值域是 [ ? ,2] 4

12、 (1)当 x ≤6 时, y = 50 x ? 115 ,令 50 x ? 115 > 0 ,解得 x > 2.3 . ∵ x ∈ N,∴ x ≥3,∴ 3 ≤ x ≤6,且 x ∈ N.……………(3 分) 当 6 < x ≤20 时, y = [50 ? 3( x ? 6)]x ? 115 = ?3 x 2 + 68 x ? 115 .……………(6 分)

?50 x ? 115, 综上可知 y = ? 2 ?? 3 x + 68 x ? 115,

(3 ≤ x ≤ 6, x ∈ N ), (6 < x ≤ 20, x ∈ N ).

………………(8 分)

(2)当 3 ≤ x ≤6,且 x ∈ N 时,∵ y = 50 x ? 115 是增函数, ∴当 x = 6 时, y max = 185 元.……………(11 分) 当 6 < x ≤20, x ∈ N 时, y = ?3 x 2 + 68 x ? 115 = ?3( x ? ∴当 = 11 时, ymax = 270 元.……(15 分) 综上所述, 当每辆自行车日租金定在 11 元时才能使日净收入最多,为 270 元.……(16 分)

34 2 811 ) + , 3 3

高一数学小练习 2
? 2 ? x + 2 x ? 1, x ∈ [0, +∞) 1、函数 f ( x ) = ? 的单调增区间是 2 ?? x + 2 x ? 1, x ∈ (?∞, 0) ?
的最大值或最小值是 。
2 3 5

姓名
,函数

: 2、化简下列各式: a > 0 , b > 0 )(1) a 3 a 4 ÷ a 6 = (



1

3 12

2

(2) (a 3 a 4 ) =

; (3) 4a 3 b

?

1 3

? 2 ?1 ?1 ? ÷ ? ? a 3b 3 ? = ? 3 ?



(4) (2a 2 + 3b 4 )(2a 2 ? 3b 4 ) =

1

?

1

1

?

1

; (5) (a 2 ? 2 + a ?2 ) ÷ ( a 2 ? a ?2 ) =

3、若 a + a

?1

= 3 ,则 a 2 ? a 2 =

1

?

1

; a2 ? a

3

?

3 2

=



4、某种储蓄按复利计算利息,若本金为 a 元,每期利率为 r ,设存期是 x ( x ∈ N ) ,本 (1)本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为 利和(本金加上利息)为 y 元。 (2)如果存入本金 1000 元,每期利率为 2.25%,则 5 期后的本利和是 5、已知函数 y = a x + b 的图象如图所示, 求 a 的取值范围是 b 的取值范围是 ; 。 O x y 。 ;

?

6、已知 y = f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x < 0 时, f ( x ) = 1 + 2 x ,则 f ( x )

的解析式是 7、如图,已知函数 y = log a x , y = log b x , y = log c x , y = log d x 的图象分别是曲线 C1,C2,C3,C4,试判断 0,1, a , b , c , d 的大小关系, y 并用“<”连接起来 。 C4 C3 x C2 C1

O

8、如果 f (t ) =

t t 2 , g (t ) = ,证明: f (t ) ? g (t ) = ?2 g (t ) 。 1+ t 1? t

9、求证: (1)函数 f ( x) = ?2 x + 3 在区间(—∞,0]上是单调增函数;
2

(2)函数 f ( x) = ? x + 1 在区间(—∞,+∞)上是单调减函数;
3

(3)函数 f ( x) = 2 ?

3 在区间(—∞,0)和(0,+∞)上都是单调增函数; x 1 (4)函数 f ( x) = x + 在区间(0,1]上是单调减函数,在区间[1,+∞)上是单调增函数。 x

10、已知函数 f ( x) =

2x ?1 ,试讨论函数 f ( x ) 的奇偶性和单调性。 2x + 1

高一数学小练习 3

姓名


1、已知函数 f ( x ) = 2 x + 1, x ∈ [1, 5] ,则函数 f (2 x ? 3) 的表达式是 2、已知函数 f ( x) = x ? 2 x ? 1 ,试判断函数 f ( x ) 的奇偶性是
2



3、已知函数 f ( x ) = a +

1 是奇函数,则 a = 4 +1
x



4、下列函数的定义域: (1) y = log 0.2 (4 ? x) (2) y = log 3



x ?1
x+ 2



5、下列不等式解集分别是(1) 5 (3) log 3 ( x + 2) > 3 6、已知 a ? a
?1

>2


; (2) 3

3? x

<6



(4) lg( x ? 1) < 1



= 1 ,则

(a 3 + a ?3 )(a 2 + a ?2 ? 3) 的值是 a 4 ? a ?4




7、计算 (lg 2)3 + 3lg 2 lg 5 + (lg 5)3 =

8、二次函数的图象顶点为 A(1,16) ,且图象在 x 轴上截得的线段长为 8,则这个二次函 数的解析式是 。 9、经市场调查,某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t ( d ) 的函数,且销售量近

109 1 (1≤t≤100, t ∈ N ) 。前 40 天价格为 f (t ) = t + 22 (1≤t 3 4 t ≤40, t ∈ N ) ,后 60 天价格为 f (t ) = ? + 52 (41≤t≤100, t ∈ N ) 。试写出记该 2
似地满足 g (t ) = ? t + 种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系 。

1 3

10、某店从水果批发市场购得椰子两筐,连同运费总共花了 300 元,回来后发现有 12 个是 坏的,不能将它们出售,余下的椰子按高出成本价 1 元/个售出,售完后共赚得 78 元。问: 这两筐椰子原来共有 个? 11、对于任意的 x1 , x2 ∈ R ,若函数 f ( x ) = 2 x ,试比较 关系。

f ( x1 ) + f ( x2 ) x + x2 与 f( 1 ) 的大小 2 2

12、证明: (1)函数 y = x + 6 x + 4 有两个不同的零点;
2 3 (2)函数 f ( x) = x + 3 x ? 1 在区间(0,1)上有零点。

13、设 a , b 均为不等于 1 的正数,证明: (1) log a b =
b

1 m log N m ; (2) log an b = log a b( m ∈ R, n ∈ R, n ≠ 0) ; (3) a a = N log b a n

(4) log a a = b ; (5) 94 26)设 a 、 b 、 c 都是不等于 1 的正数,且 ab ≠ 1 ,求证: (P

a logc b = b logc a 。

14、画出下列函数的图象: (1) y = 1 +

x +x
2

(2) y = x 2 ? x

15、如图所示,在一张边长为 20cm 的正方形铁皮的 4 个角上,各剪去一个边长是 xcm 的小 正方形,折成一个容积是 ycm2 的无盖长方体铁盒,试写出用 x 表示 y 的函数关系式,并指 出它的定义域。

16、讨论下列函数的奇偶性与单调性: (1) y = lg(1 + x ) + lg(1 ? x ) (2) y = ln

1? x 1+ x

高一数学小练习 4
1、 (设 a = 0.3 , b = 2 , c = log
2 0.3

姓名


2

2 ,则 a 、 b 、 c 的大小关系是
?

2、如果 f ( x ) = x + 1 ,则 f ( f ( f ( f (L f ( x ) L))))( n ∈ N ) 的表达式

14 244 4 3
n个f



3、若关于 x 的方程 3tx 2 + (3 ? 7t ) x + 4 = 0 的两个实根α,β满足 0<α<1<β<2,则实数 t 的取值范围是 。

4、 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 在区间[0, +∞]上是单调增函数, f (1) < f (lg x) , 若 则 x 的取值范围是 . 2 5、已知函数 y=ax -3x+2,若函数只有一个零点,则 a 的值是

.

6、已知 f ( x) = ( m ? 1) x 2 + mx + 1 是偶函数,则 f (x) 在区间[-2,1]上的最大值与最小值的 和等于 . .

7、 若函数 y = a 与函数 y = 2 x ? 1 的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 8、设 a = ( ,sin α ) , b = (cos α , ) ,且 a // b ,则锐角 α 为 9、函数 y = a sin x + 1 的最大值是 3,则它的最小值_______ 。 10、已知 sin α ? cos α =

r

3 2

r

1 3

r

r



1 π π , 且 < α < , 则 cos α ? sin α = 8 4 2



11、已知 O 为原点,点 A、B 的坐标分别为 a,0) (0, a ) 其中常数 a > 0 ,点 P 在线段 AB ( , 上,且 AP = t AB ( 0 ≤ t ≤ 1 ),则 OA · OP 的最大值为 12、把函数 y = cos( x + 的最小值为 13、已知 a , b 是两个互相垂直的单位向量, 且 c ? a = 1 , c ? b = 1 , c = 的正实数 t , c + t a + b 的最小值是 14.设函数 f ( x ) = sin(ωx + ? )(ω > 0,? ①它的图象关于直线 x = 对称;④在区间[ ?

4π ) 的图象向右平移 θ ( θ >0)个单位,所得的函数为偶函数,则 θ 3

2 ,则对任意

1 t

π
2

<? <

π
2

) ,给出以下四个论断:

π
12

对称; ③它的最小正周期是 π ;②它的图象关于点(

π
,0)

π
6

3

,0 ]上是增函数.以其中两个论断作为条件,余下论断作为结论,写出
_ ,结论_ (填序号)

一个正确的命题:条件_

15 、 已 知 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 y = f ( x) 满 足 条 件 : 对 于 任 意 的 x, y ∈ R ,

f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) ,求证: (1) f (0) = 0 ; (2) f ( x ) 是奇函数。请写出几个满足上
述条件的函数。

16、如图,已知过原点 O 的直线与函数 y = log8 x 的图象交于 A,B 两点,分别过 A,B 作

y 轴的平行线与函数 y = log 2 x 的图象交于 C,D 两点。
(1)试利用相似形的知识,证明 O,C,D 在同一条直线上; (2)当 BC∥ x 轴时,求 A 点的坐标。 y

y = log 2 x
C A

D B

O

x1

x2

y = log 8 x x

17、已知 a ∈ R ,函数 f ( x) = x x ? a . 、 (2)当 a >2 时,求函数 y = f ( x ) 在区间 [1,2] 上的最小值; (1)当 a =2 时,写出函数 y = f ( x ) 的单调递增区间;

(3)设 a ≠ 0 ,函数 f (x ) 在 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、n 的取值范 围.(用 a 表示)

17、解:(Ⅰ)当 a = 2 时, f ( x ) = x | x ? 2 |= ?

? x( x ? 2), x ≥ 2 ? x(2 ? x), x < 2 由图象可知,单调递增区间为(- ∞ ,1],[2,+ ∞ ) (开区间不扣分) a 2 a2 (Ⅱ)因为 a > 2 ,x∈[1,2]时,所以 f(x)=x(a-x)=-x2+ax= ?( x ? ) + 2 4 a 3 当 1 < ≤ ,即 2 < a ≤ 3 时, f ( x) min = f ( 2) = 2a ? 4 2 2 a 3 当 > ,即 a > 3 时, f ( x) min = f (1) = a ? 1 2 2 ?2a ? 4, 2 < a ≤ 3 f ( x) min = ? ?a ? 1, a > 3 ? x( x ? a ), x ≥ a (Ⅲ) f ( x ) = ? ? x(a ? x), x < a ①当 a > 0 时,图象如右图所示 ? a2 ( 2 + 1)a ?y = 由? 得x = 4 2 ? y = x( x ? a ) ?
∴0 ≤ m <

②当 a < 0 时,图象如右图所示

a ,a < n ≤ 2

2 +1 a …………………(13 分) 2

? a2 (1 + 2) ?y = ? 由? 得x = a 4 2 ? y = x( a ? x ) ?


1+ 2 a ≤ m < a, 2

a < n ≤ 0 ……………… (16 分) 2

高一数学小练习 5

姓名

1、已知扇形的周长为 8cm,圆心角为 2rad,该扇形的面积 。 2、已知半径为 240mm 的圆上,有一段弧的长是 500mm,此弧所对的圆心角的弧度 数 。 3、蒸汽机的直径为 1.2m,以 300r/min(转/分)的速度作逆时针旋转,求: ; (2)轮周上一点 1s 内所经过的路程 。 (1)飞轮 1s 内转过的弧度数 4、α是第二象限角,化简 tan α

1 ?1 = sin 2 α
2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α
2



化简: (1) cos α tan α =

; (2)

5、化简: (1)θ为第二象限角, tan 1 ? sin

θ=



(2)α为第四象限角

1 ? cos α 1 + cos α + = 1 + cos α 1 + cos α

6、化简: (1) sin( ?1071o ) sin 99o + sin( ?171o ) sin( ?261o ) = (2) 1 + sin(α ? 2π ) sin(π + α ) ? 2 cos 2 ( ?α ) = 7、已知 cos(75 + α ) =
o

1 ,且—180°<α<—90°,则 cos(15o ? α ) = 3 3π 8、已知 tan α = 3, π < α < ,则 cos α ? sin α = 。 2 sin α + cos α 9、 (1)设 tan α = 2 ,计算 = ; sin α ? cos α 1 1 (2)设 tan α = ? ,计算 = 。 2 2 sin α ? sin α cos α ? 2 cos 2 α π 1 5 2 π (3)已知 sin( x + ) = ,则 sin( π ? x ) + sin ( ? x ) = 。 6 4 6 3
(4)已知 sin α + cos α =



2 ,则 sin α cos α =



sin 4 α + cos 4 α =
10、若角θ的终边经过点 P( 4a , ?3a ) a ≠ 0 ) ( ,则 sin θ = cos θ = 。 11、求证:

sin α 1 ? cos α = 1 + cos α sin α

12、求证: (1) 1 + tan α =
2
2 2 2

1 4 4 2 2 ; (2) sin α ? cos α = sin α ? cos α ; 2 cos α
2

(3) tan α sin α = tan α ? sin α 1

13、求证: (1) 2(1 ? sin α )(1 + cos α ) = (1 ? sin α + cos α ) ;
2

(2) sin

2

α + sin 2 β ? sin 2 α sin 2 β + cos 2 α cos 2 β = 1

14、化简:

1 ? 2sin10o cos10o cos10o ? 1 ? cos 2 170o

15、求下列函数的定义域: (1) y = tan

x 2

(2) y =

1 1 ? tan x

16、已知函数 y = 2sin(2 x ?

π
4

)

(1)画出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象; (2)写出函数的单调增区间。

高一数学小练习 6
1、函数 y = 2sin( x ?

姓名

1 2

π
4

) 的最大值=

,取得最大值的 x 的集合是

2、求函数 y =

1 3 sin x + cos x 的最大值= 2 2



2 cos10o ? sin 20o 3、 = cos 20o
4、在△ABC 中, (1)已知 cos A = (2)已知 sin A =



4 12 , cos B = ,则 cos C = 5 13



3 5 , cos B = ,则 cos C = 5 13 3 1 5、在锐角三角形 ABC 中, sin A = , tan( A ? B ) = ? ,则 sin B = 5 3 cos C = π π 1 7 6、已知 α ∈ (0, ) , β ∈ ( , π ) , cos β = ? , sin(α + β ) = ,则 sin α = 2 2 3 9 2 π 1 π 7、若 tan(α + β ) = , tan( β ? ) = ,则 tan(α + ) = 。 5 4 4 4 sin(2 A + B ) sin B 8、求证: ? 2 cos( A + B ) = sin A sin A



9、求证: (1) cos(α + β ) cos(α ? β ) = cos 2 α ? sin 2 β ; (2) sin(α + β )sin(α ? β ) = sin 2 α ? sin 2 β

10、已知 sin(α + β ) = a , sin(α ? β ) = b ,求证: (1) sin α cos β =

1 1 ( a + b) ; (2) cos α sin β = (a ? b) 2 2

11、设,都是锐角, (1)判断 sin(α + β ) 与 sin α + sin β 的大小,并说明理由; (2)判断

cos(α + β ) 与 cos α + cos β 的大小,并说明理由

12、 如图, △ABC 中, ∠B 为直角, DE⊥AB 于 E, AC⊥DC, BC=1。 若∠BAC=30°, 设 (1) ∠DAC=45°,试求△ADE 的各边之长,由此推出 75°的三角函数值; (2)设∠BAC= α,∠DAC=β(α,β,α+β均为锐角) ,试由图推出求 sin(α + β ) 的公式。 D

C 45° 30° A E 1 B

13、在斜三角形 ABC 中,求证: tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

14、 (1)若 α + β = 45o ,求证: (tan α + 1)(tan β + 1) = 2 ; (2)若 (tan α + 1)(tan β + 1) = 2 ,求 α + β 的值。

15、 (1)求证:

1 + sin 2θ ? cos 2θ = tan θ ; 1 + sin 2θ + cos 2θ
o o

(2)求证: sin 50 (1 + 3 tan10 ) = 1

16、化简 sin (α ?
2

π

) + sin 2 (α + ) ? sin 2 α 6 6

π

17、 (1)已知 cos α =

4 4 4 ,求 sin α + cos α 的值; 5 1 (2)已知 sin α + cos α = ,求 sin 2α 的值; 2

(3)已知 α ∈ ?

? 3π ? , 2π ? ,化简 1 ? sin α + 1 + sin α ; ? 2 ?

(4)已知 tan(α ?

β
2

)=

1 α 1 , tan( β ? ) = ? ,求 tan(α + β ) 的值。 2 2 3

18、求证: (1) ? sin

? ?

α
2

? cos

α?

2

? = 1 ? sin α 2?

1 2 =? tan θ tan 2θ π 3π (3) tan(α + ) + tan(α + ) = 2 tan 2α 4 4
(2) tan θ ? (4) sin θ (1 + cos 2θ ) = sin 2θ cos θ

19、已知坐标平面内 OA = (1,5) , OB = (7,1) , OM = (1, 2) ,P 是直线 OM 上一个动点。 当 PA PB 取最小值时,求 OP 的坐标,并求 cos ∠APB 的值。

uuu r

uuu r

uuuu r

uuu uuu r r

uuu r

20、已知向量 a=( 3 ,-1) b=( ,

1 3 , )(1)求证:a⊥b , 2 2
2

(2)是否存在不等于 0 的实数 k 和 t ,使 x=a+( t —3)b,y=— k a+ t b,且 x⊥y?如 果存在,试确定 k 与 t 的关系;如果不存在,请说明理由。


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