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第一讲直线与圆王桂新


第一讲
类型一 直线方程 1.直线方程常用的三种形式

直线与圆

(1)点斜式 y-y0=k(x-x0),注意 k 的存在性; (2)斜截式 y=kx+b,注意 k 的存在性; x y (3)截距式 + =1,注意截距为 0 的形式. a b 2.直线与直线的位置关系的判定方法 (1)给定两条直线 l1:y=k1x+b1 和 l2:y=k2x+b2,则有下列结论: l1∥l2?k1=k2 且 b1≠b2;l1⊥l2?k1· k2=-1; (2)若给定的方程是一般式,即 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x+B2y+C2=0,则有下列结 论: l1∥l2?A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1≠0; l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. [例 1] (2012 年高考浙江卷)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+ 1)y+4=0 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 跟踪训练 直线 2x+11y+16=0 关于点 P(0,1)对称的直线方程是( A.2x+11y+38=0 B.2x+11y-38=0 C.2x-11y-38=0 D.2x-11y+16=0 类型二 圆的方程 1.标准方程:已知圆心(a,b),半径 r, (x-a)2+(y-b)2=r2 2.一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
1

)

D E 1 其圆心(- ,- ),半径 r= 2 2 2

D2+E2-4F.

[例 2] (2012 年杭州五校联考)过圆 x2+y2=4 外一点 P(4, 2)作圆的两条切线, 切点分别为 A、 B,则△ABP 的外接圆的方程是( A.(x-4)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+1)2=5 ) B.x2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=5

跟踪训练 (2012 年长春高三摸底)已知关于 x,y 的方程 C:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆; (2)在(1)的条件下,若圆 C 与直线 l:x+2y-4=0 相交于 M、N 两点,且|MN|= m 的值. 4 5 ,求 5

类型三 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系判断; (2)若动直线恒过定点,且定点在圆内则动直线与圆必相交. 2.圆与圆的位置关系 设两圆圆心分别为 O1、O2,半径分别为 r1、r2,则|O1O2|>r1+r2?两圆相离; |O1O2|=r1+r2?两圆外切; |r1-r2|<|O1O2|<r1+r2?两圆相交; |O1O2|=|r1-r2|?两圆内切; |O1O2|<|r1-r2|?两圆内含.
2

[例 3] (1)(2012 年高考天津卷)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2 +(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3 ] B.(-∞,1- 3 ]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2 ] D.(-∞,2-2 2 ]∪[2+2 2,+∞) (2)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于( A.3 3 C. 3 跟踪训练 1.(2012 年高考山东卷)圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为( A.内切 C.外切 B.相交 D.相离 ) ) B.2 3 D.1 )

2. 由直线 y=x+2 上的点 P 向圆 C: (x-4)2+(y+2)2=1 引切线 PT(T 为切点), 当|PT|最小时, 点 P 的坐标是( A.(-1,1) 3 ) B.(0,2) C.(-2,0) D.(1,3)

(2012 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直

线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最 大值是________.

4.

已知对于圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点 P(x,y),不等式 x+y+m≥0 恒成立,则实数 m 的

取值范围是________.

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第二讲

椭圆、双曲线、抛物线

类型一 椭圆 1.定义式:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). x2 y2 2.标准方程:焦点在 x 轴上: 2+ 2=1(a>b>0); a b y2 x2 焦点在 y 轴上: 2+ 2=1(a>b>0); a b 焦点不确定:mx2+ny2=1(m>0,n>0). c 3.离心率:e= = a b 1-( )2<1. a

2b2 4.过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为 . a x2 y2 [例 1] (2012 年高考安徽卷)如图, 点 F1(-c, 0), F2(c, 0)分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) a b 的左、右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线 a2 交直线 x= 于点 Q. c (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

4

跟踪训练 x2 y2 1. 已知圆 M: x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为 2, 椭圆 C: 2+ =1 的左焦点为 F(-c, a 3 0),若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切,则 a 的值为( A. 3 4 B.1 C.2 ) D.4

x2 y2 2.(2012 年山东师大附中一测)点 P 是椭圆 + =1 上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、 25 16 右焦点,且△PF1F2 的内切圆半径为 1,当 P 点在第一象限时,P 点的纵坐标为( 8 A. 3 5 B. 8 3 C. 8 8 D. 5 )

类型二 双曲线 1.定义式:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|). 2.标准方程 x2 y2 焦点在 x 轴上: 2- 2=1(a>0,b>0), a b y2 x2 焦点在 y 轴上: 2- 2=1(a>0,b>0), a b 焦点不明确:mx2+ny2=1(mn<0). 3.离心率与渐近线问题 (1)焦点到渐近线的距离为 b; c (2)e= = a b 1+( )2>1, a

注意:若 a>b>0,则 1<e< 2, 若 a=b>0,则 e= 2, 若 b>a>0,则 e> 2.; b (3)焦点在 x 轴上,渐近线的斜率 k=± , a a 焦点在 y 轴上,渐近线的斜率 k=± ; b x2 y2 (4)与 2- 2=1 共渐近线的双曲线方程可设为 a b x2 y2 - =λ(λ≠0). a2 b2

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x2 y2 [例 2] (1)(2012 年高考湖南卷)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的 a b 渐近线上,则 C 的方程为( x2 y2 A. - =1 20 5 ) x2 y2 B. - =1 5 20 x2 y2 C. - =1 80 20 x2 y2 D. - =1 20 80

x2 y2 (2)(2012 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 - 2 =1 的离心率为 5, m m +4 则 m 的值为________.

跟踪训练 x2 y2 1.(2012 年合肥模拟)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F,作圆 x2+y2=a2 的切线 a b FM 交 y 轴于点 P,切圆于点 M,则双曲线的离心率是( A. 2 C.2
2 2

)

B. 3 D. 5

x y 2.已知双曲线 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线与双 a b π 曲线一个交点为 P,且∠PF1F2= ,则双曲线的渐近线方程为__________________. 6 类型三 抛物线 1.定义式:|PF|=d. 2.根据焦点及开口确定标准方程.注意 p>0 时才有几何意义,即焦点到准线的距离. [例 3] (2012 年高考福建卷)如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点均在 抛物线 E:x2=2py(p>0)上.

(1)求抛物线 E 的方程;
6

(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相交于点 Q,证明以 PQ 为直径的圆恒 过 y 轴上某定点.

跟踪训练 1.(2012 年郑州模拟)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其 准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )

A.y2=9x

B.y2=6x

C.y2=3x

D.y2= 3x

x2 2. (2012 年高考陕西卷)已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同 4 的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.

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7

3.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l,焦点为 F,圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,圆 M π 与 y 轴相切,过原点 O 作倾斜角为 的直线 n,交直线 l 于点 A,交圆 M 于不同的两点 O、B, 3 且|AO|=|BO|=2.

(1)求圆 M 和抛物线 C 的方程; (2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ? PF 的最小值; (3)过直线 l 上的动点 Q 向圆 M 作切线,切点分别为 S、T,求证:直线 ST 恒过一个定点,并 求该定点的坐标.

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第三讲 圆锥曲线的综合问题 类型一 圆锥曲线中的定点定值问题 常见的类型 (1)直线恒过定点问题; (2)动圆恒过定点问题; (3)探求定值问题; (4)证明定值问题. x2 y2 [例 1] (2012 年高考福建卷)如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1,右焦点为 a b 1 F2,离心率 e= .过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8. 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l: y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P, 且与直线 x=4 相交于点 Q.试探究: 在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由.20.(本小题满分 12 分)

例 2.已知直线 l1:4x:-3y+6=0 和直线 l2:x=-

p 2 ,.若拋物线 C:y =2px 上的点到直线 l1 和 2

直线 l2 的距离之和的最小值为 2. (I )求抛物线 C 的方程; (II)直线 l 过抛物线 C 的焦点 F 与抛物线交于 A,B 两点,且 AA1,BB1 都垂直于直线 l2,垂足 为 A1,B1,直线 l2 与 y 轴的交点为 Q,求证: 为定值。

9

跟踪训练 已知抛物线 y2=4x,圆 F:(x-1)2+y2=1,过点 F 作直线 l,自上而下顺次与上述两曲线交 于点 A,B,C,D(如图所示),则|AB|· |CD|的值正确的是( )

A.等于 1 C.等于 4

B.最小值是 1 D.最大值是 4

类型二 最值与范围问题 1.求参数范围的方法 据已知条件建立等式或不等式的函数关系,再求参数范围. 2.求最值问题的方法 (1)几何法 题目中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用图象来解决; (2)代数法 题目中给出的条件和结论几何特征不明显则可以建立目标函数, 再求这个函数的最值, 求最值 的常见方法是判别式法、基本不等式法,单调性法等.
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x2 y2 [例 2] (2012 年高考广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) a b 的离心率 e= 2 ,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3. 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不 同的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积; 若不存在,请说明理由.

跟踪训练 已知抛物线 y2=2px(p≠0)上存在关于直线 x+y=1 对称的相异两点,则实数 p 的取值范围为 ( ) 2 A.(- ,0) 3 2 B.(0, ) 3 3 C.(- ,0) 2 3 D.(0, ) 2

类型三 轨迹问题 求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系; (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x,y); (3)列式——列出动点 P 所满足的关系式; (4)代换——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x,y 的方程式,并化简; (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. x2 [例 3] (2012 年高考辽宁卷)如图,动圆 C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆 C2: +y2=1 相 9 交于 A,B,C,D 四点,点 A1,A2 分别为 C2 的左,右顶点.
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(1)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (2)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程.

跟踪训练 1.已知定点 F1(-2,0),F2(2,0),N 是圆 O:x2+y2=1 上任意一点,点 F1 关于点 N 的对称 点为 M,线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P,则点 P 的轨迹是( A.椭圆 C.抛物线 2. B.双曲线 D.圆 )

1 (2012 年高考浙江卷)如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1, )到抛物线 C:y2=2px(p>0) 2

5 的准线的距离为 . 点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 4
12

平分.

(1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值.

3.已知点 A(-1,0),B(1,0),动点 M 的轨迹曲线 C 满足∠AMB=2θ, | AM | ? | BM | cos 2θ =3,过点 B 的直线交曲线 C 于 P、Q 两点. (1)求 | AM | ? | BM | 的值,并写出曲线 C 的方程; (2)求△APQ 的面积的最大值.

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第四讲 思想方法与规范解答 思想方法 1.数形结合思想 解析几何中数形结合思想的应用主要体现在: (1)直线与圆的位置关系的应用; (2)与圆有关的最值范围问题; (3)与椭圆、双曲线、抛物线定义有关的范围、最值等问题. [例 1] (1)(2012 年高考江西卷)过直线 x+y-2 2=0 上的点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线, 若两条切线的夹角是 60° ,则点 P 的坐标是________. x2 y2 (2)(2012 年温州八校联考)设点 P 在椭圆 + =1 上运动,Q、R 分别在圆(x+1)2+y2=1 4 3 和(x-1)2+y2=1 上运动,则|PQ|+|PR|的取值范围为________.

跟踪训练 已知等边三角形 ABC 的边长为 4,点 P 在其内部及边界上运动,若 P 到顶点 A 的距离与 其到边 BC 的距离相等,则△PBC 面积的最大值是( )

A.2 3 C.3 3

B.16 3-24 D.8 3-12

2.分类讨论思想 分类讨论思想在解析几何中的应用主要体现在: (1)含参数的曲线方程讨论曲线类型; (2)过定点的动直线方程的设法,斜率是否存在; (3)直线与圆锥曲线的位置关系的讨论问题; (4)由参数变化引起的圆锥曲线的关系不定问题.

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[例 2] (2012 年高考课标全国卷)设抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上 一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90° ,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值.

x2 y2 3 例 3.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 a b 2 为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B.已知点 A 的坐标为(-a,0). (i)若|AB|= 4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5

→ → (ii)若点 Q(0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且QA· QB=4.求 y0 的值.

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p 例 4.已知点 P 是直角坐标平面内的动点, 点 P 到直线 x=- -1(p 是正常数)的距离为 d1, 2 p 到点 F( ,0)的距离为 d2,且 d1-d2=1. 2 (1)求动点 P 所在的曲线 C 的方程; p (2)直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、B,分别过 A、B 两点作直线 l1:x=- 的 2 → → 垂线,对应的垂足分别为 M、N,求证:FM· FN=0; (3)在(2)的条件下,记 S1=S△FAM,S2=S△FMN,S3=S△FBN,λ= S2 2 ,求 λ 的值. S1S3

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