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2013走向高考数学详细答案1-4函数的奇偶性与周期性


1.(文)(2010· 北京西城区抽检)下列各函数中,( 函数( ) B.y=2x 1 D.y= |x|-1

)是 R 上的偶

A.y=x2-2x C.y=cos2x [答案] [解析] 选 C. C

A、B 不是偶函数,D 的定义域{x∈R|x≠± 1}不是 R,故

(理)下列函数中既是奇函

数,又在区间[-1,1]上单调递减的是 ( ) A.f(x)=sinx 1 C.f(x)= (ax+a-x) 2 [答案] [解析] D 2-x 1 y=sinx 与 y=ln 为奇函数,而 y= (ax+a-x)为偶函 2 2+x B.f(x)=-|x+1| 2-x D.f(x)=ln 2+x

数,y=-|x+1|是非奇非偶函数.y=sinx 在[-1,1]上为增函数.故 选 D. 2.已知 g(x)是定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内有 1005 个零点,则 f(x)的零点共有( A.1005 个 C.2009 个 [答案] D ) B.1006 个 D.2011 个

[解析]

∵奇函数的图象关于原点对称,g(x)在(0,+∞)上与 x

轴有 1005 个交点,故在(-∞,0)上也有 1005 个交点,又 f(0)=0, ∴共有零点 2011 个. 3. (文)(2011· 全国理)设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 0≤x≤1 时, 当 5 f(x)=2x(1-x),则 f(- )=( 2 A.- 1 C. 4 [答案] [解析] A 5 1 1 1 f(- )=f(- )=-f( )=- . 2 2 2 2 1 2 ) B.- 1 D. 2 1 4

(理)(2011· 兰州诊断)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 并满足 f(x +2)=- 1 ,当 1≤x≤2 时,f(x)=x-2,则 f(6.5)=( f?x? B.-4.5 D.-0.5 D ∵f(x+2)=- 1 1 ,∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=- f?x? f?x+2? )

A.4.5 C.0.5 [答案] [解析]

=f(x),∴f(x)周期为 4,∴f(6.5)=f(6.5-8)=f(-1.5)=f(1.5)=1.5-2 =-0.5. 4.(2010· 山东)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x) =2x+2x+b(b 为常数),则 f(-1)=( A.3 C.-1 [答案] D ) B.1 D.-3

[解析] 由条件知 f(0)=0,∴b=-1, ∴f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3. 2-x 5.函数 y=log2 的图象( 2+x A.关于原点对称 B.关于直线 y=-x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 [答案] A 2-x 2-x >0 得,-2<x<2,其次令 f(x)=log2 ,则 2+x 2+x )

[解析] 首先由

2-x 2+x f(x)+f(-x)=log2 +log2 =log21=0.故 f(x)为奇函数,其图象 2+x 2-x 关于原点对称,故选 A. 6.奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 f?x?-f?-x? <0 的解集为( x A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) [答案] D ) B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1)

[解析] ∵f(x)为奇函数, ∴不等式 f?x?-f?-x? <0 化为 xf(x)<0, x

∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0, ∴当 0<x<1 时,f(x)<0,当 x>1 时,f(x)>0, 又 f(x)为奇函数,∴当-1<x<0 时,f(x)>0, 当 x<-1 时,f(x)<0.

∴不等式 xf(x)<0 的解集为 0<x<1 或-1<x<0. 7. (2010· 深圳中学)已知函数 y=f(x)是偶函数, y=g(x)是奇函数, 它们的定义域都是[-π,π],且它们在 x∈[0,π]上的图象如图所示, 则不等式 f?x? <0 的解集是________. g?x?

? π ? ?π ? [答案] ?-3,0?∪?3,π? ? ? ? ?

[解析] 依据偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原 点对称,先补全 f(x)、g(x)的图象, ∵
?f?x?<0 ?f?x?>0 f?x? <0,∴? ,或? ,观察两函数的图象,其中 g?x? ?g?x?>0 ?g?x?<0

π π 一个在 x 轴上方,一个在 x 轴下方的,即满足要求,∴- <x<0 或 3 3 <x<π.

?x-1 x>0 ? 8.(文)函数 f(x)=?a x=0 ?x+b x<0 ?
[答案] 1

是奇函数,则 a+b=________.

[解析] ∵f(x)是奇函数,且 x∈R,∴f(0)=0,即 a=0.又 f(-1) =-f(1),∴b-1=-(1-1)=0,即 b=1,因此 a+b=1.

a-ex (理)若函数 f(x)= (a 为常数)在定义域上为奇函数,则实数 1+aex a 的值为________. [答案] [解析] 1 或-1 a-e-x aex-1 f(-x)= = 1+ae-x ex+a

f(x)+f(-x) ?a-ex??a+ex?+?1+aex??aex-1? = ?1+aex??ex+a? a2-e2x+a2e2x-1 = =0 恒成立, ?1+aex??ex+a? 所以 a=1 或-1.

1.f(x)是定义在 R 上的奇函数且满足 f(x+2)=f(x),当 x∈(0,1) 时,f(x)=2x-1,则 f(log1 6)=(
2

) B.- D.6 1 2

1 A. 2 1 C. 6 [答案] B
2

[解析] ∵log1 6=-log26<0, 且 f(x)为奇函数, ∴f(log1 6)=-f(log26).
2

又∵f(x+2)=f(x), 3 ∴f(log26)=f(log26-2)=f(log2 ), 2

3 而 log2 ∈(0,1). 2 3 ∴f(log2 )=2log2 2
3 2

3 1 -1= -1= . 2 2

1 ∴f(log1 6)=- . 2 2 2.(2011· 开封调研)已知 f(x)(x∈R)为奇函数,f(2)=1,f(x+2) =f(x)+f(2),则 f(3)等于( 1 A. 2 3 C. 2 [答案] C ) B.1 D.2

[分析] 为求 f(3)先求 f(1),为求 f(1)先在 f(x+2)=f(x)+f(2)中, 令 x=-1,利用 f(x)为奇函数,可解出 f(1). [解析] 令 x=-1 得 f(1)=f(-1)+f(2)=f(2)-f(1), 1 1 3 ∴f(1)= f(2)= ,∴f(3)=f(1)+f(2)= . 2 2 2 [点评] 解答此类题目,一般先看给出的值和待求值之间可以通 过条件式怎样赋值才能产生联系, 赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的 运用,请再练习下题:
?3? 若奇函数 f(x)(x∈R)满足 f(3)=1,f(x+3)=f(x)+f(3),则 f?2?等 ? ?

于(

) A.0 1 C. 2 [答案] C B.1 1 D.- 2

?3? ? 3? 3 [解析] 在 f(x+3)=f(x)+f(3)中取 x=- 得,?2?=f?-2?+f(3), f 2 ? ? ? ?

∴f(x)是奇函数,且 f(3)=1,
?3? 1 ∴f?2?= . ? ? 2

3.(2011· 泰安模拟)f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, 且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数至少是( A.1 C.3 [答案] B B.4 D.2 )

[解析] 由 f(2)=0,得 f(5)=0, ∴f(-2)=0,f(-5)=0. ∴f(-2)=f(-2+3)=f(1)=0, f(-5)=f(-5+9)=f(4)=0, 故 f(x)=0 在区间(0,6)内的解至少有 1,2,4,5 四个. 4.(文)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),若 g(1)=2,则 f(2012)的值为( A.2 C.-2 [答案] A B.0 D.± 2 )

[解析] 由已知:g(-x)=f(-x-1), 又 g(x)、f(x)分别为 R 上的奇、偶函数, ∴-g(x)=f(x+1),∴f(x-1)=-f(x+1),∴f(x)=-f(x+2), ∴f(x)=f(x+4),即 f(x)的周期 T=4, ∴f(2012)=f(0)=g(1)=2,故选 A. (理)已知函数 f(x)满足:f(1)=2,f(x+1)= 1+f?x? ,则 f(2011)等 1-f?x?

于(

) A.2 C.- [答案] 1 2 C B.-3 1 D. 3

1 1 [解析] 由条件知,f(2)=-3,f(3)=- ,f(4)= ,f(5)=f(1)= 2 3 2,故 f(x+4)=f(x) (x∈N*).

∴f(x)的周期为 4, 1 故 f(2011)=f(3)=- . 2 [点评] 严格推证如下: f(x+2)= 1+f?x+1? 1 =- , f?x? 1-f?x+1?

∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=f(x).即 f(x)周期为 4. 故 f(4k+x)=f(x),(x∈N*,k∈N*), 5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x 1 = 对称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________. 2 [答案] 0 1 [解析] ∵f(x)的图象关于直线 x= 对称, 2
?1 ? ?1 ? ∴f?2+x?=f?2-x?,对任意 x∈R 都成立, ? ? ? ?

∴f(x)=f(1-x),又 f(x)为奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-f(1+x) =f(-1-x)=f(2+x), ∴周期 T=2 ∴f(0)=f(2)=f(4)=0

1 又 f(1)与 f(0)关于 x= 对称 2 ∴f(1)=0 ∴f(3)=f(5)=0. 6.已知函数 f(x)=x|x-a|+2x-3. (1)若 a=4,求当 x∈[2,5]时函数 f(x)的最大值; (2)若函数 f(x)在 R 上是增函数,求 a 的取值范围. [解析] (1)当 a=4 时,f(x)=x|x-4|+2x-3.

若 2≤x<4,则 f(x)=-x2+6x-3=-(x-3)2+6, ∴当 x=3 时,f(x)有最大值是 f(3)=6. 若 4≤x≤5,则 f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴当 x=5 时,f(x)有最大值 f(5)=12. 故当 x∈[2,5)时,f(x)的最大值是 12.
?x2-?a-2?x-3 ? (2)由于 f(x)=? 2 ? ?-x +?a+2?x-3

x≥a x<a

?a-2≤a 2 依题意,f(x)是 R 上的增函数?? a+2 ? 2 ≥a
数 a 的取值范围是-2≤a≤2.

?-2≤a≤2,∴实

1-mx 7.(文)(2010· 泉州模拟)已知函数 f(x)=loga (a>0 且 a≠1) x-1 是奇函数. (1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明; (3)当 a>1,x∈(1, 3)时,f(x)的值域是(1,+∞),求 a 的值. [解析] (1)∵f(x)是奇函数,x=1 不在 f(x)的定义域内,∴x=-

1 也不在函数定义域内,

令 1-m· (-1)=0 得 m=-1. (也可以由 f(-x)=-f(x)恒成立求 m) x+1 (2)由(1)得 f(x)=loga (a>0 且 a≠1), x-1 任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2, 令 t(x)= x+1 x1+1 x2+1 ,则 t(x1)= ,t(x2)= , x-1 x1-1 x2-1

x1+1 x2-1 2?x2-x1? ∴t(x1)-t(x2)= - = , x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? ∵x1>1,x2>1,x1<x2, ∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0. ∴t(x1)>t(x2),即 x1+1 x2+1 > , x1-1 x2-1

x1+1 x2+1 ∴当 a>1 时,loga >loga , x1-1 x2-1 即 f(x1)>f(x2); x1+1 x2+1 当 0<a<1 时,loga <loga , x1-1 x2-1 即 f(x1)<f(x2), ∴当 a>1 时,f(x)在(1,+∞)上是减函数,当 0<a<1 时,f(x)在 (1,+∞)上是增函数. (3)∵a>1,∴f(x)在(1, 3)上是减函数, ∴当 x∈(1, 3)时,f(x)>f( 3)=loga(2+ 3), 由条件知,loga(2+ 3)=1,∴a=2+ 3. (理)已知函数 f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m. (1)求 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值 h(t); (2)是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只

有三个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明 理由. [解析] (1)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,

当 t+1<4,即 t<3 时,f(x)在[t,t+1]上单调递增, h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1) =-t2+6t+7; 当 t≤4≤t+1,即 3≤t≤4 时,h(t)=f(4)=16; 当 t>4 时,f(x)在[t,t+1]上单调递减, h(t)=f(t)=-t2+8t.

?-t +6t+7,t<3 ? 3≤t≤4 综上,h(t)=?16 ?-t2+8t, t>4 ?
2

.

(2)函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交 点,即函数 φ(x)=g(x)-f(x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不 同的交点. ∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m,
2 6 2x -8x+6 ∴φ′(x)=2x-8+x= x



2?x-1??x-3? x

(x>0).

当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数; 当 x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; 当 x=1 或 x=3 时,φ′(x)=0. ∴φ(x)极大值=φ(1)=m-7, φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln3-15.

∵当 x 充分接近 0 时,φ(x)<0; 当 x 充分大时,φ(x)>0. ∴要使 φ(x)的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点, 必须且只需
? ?φ?x?极大值=m-7>0 ? ,即 7<m<15-6ln3. ?φ?x?极小值=m+6ln3-15<0 ?

所以存在实数 m,使得函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有且只有三 个不同的交点,m 的取值范围为(7,15-6ln3).

1.函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则 ( ) A.f(x)是偶函数 C.f(x)=f(x+2) [答案] D B.f(x)是奇函数 D.f(x+3)是奇函数

[解析] 由于 f(x+1)是奇函数,则函数 f(x)的对称中心为(1,0), ∴f(1+x)=-f(1-x),即 f(x)=-f(2-x).又 f(x-1)是奇函数,则函 数 f(x)的对称中心为(-1,0), ∴f(-1+x)=-f(-x-1),即 f(x)=-f(-2-x), ∴f(2-x)=f(-2-x),∴f(4-x)=f(x).可知 4 为函数 f(x)的周 期,则 f(x+3)是奇函数,故选 D. 2.已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0] 上是增函数,设 a=f(log47),b=f(log1 3),c=f(0.20.6),则 a,b,c
2

的大小关系是( A.c<b<a C.b<a<c

) B.b<c<a D.a<b<c

[答案]

C

[解析] 由题意知 f(x)=f(|x|). ∵log47=log2 7>1,|log1 3|=log23>log2 7,0<0.20.6<1,
2

∴|log1 3|>|log47|>|0.20.6|.
2

又∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,且 f(x)为偶函数, ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数. ∴b<a<c.故选 C. 3.若 f(x)是偶函数,且当 x∈[0,+∞]时,f(x)=x-1,则不等 式 f(x-1)<0 的解集是( A.{x|-1<x<0} C.{x|0<x<2} [答案] [解析] C ∵f(x)为偶函数,x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,∴当 x ) B.{x|x<0 或 1<x<2} D.{x|1<x<2}

∈(-∞,0]时,f(x)=f(-x)=-x-1,
?x-1≥0, ?x-1<0, ? ? ? ∴f(x-1)<0? 或? ? ? ?x-1-1<0 ?-?x-1?-1<0,

解之得 0<x<2. 4.若函数 f(x),g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x) -g(x)=ex,则有( A.f(2)<f(3)<g(0) C.f(2)<g(0)<f(3) [答案] D ) B.g(0)<f(3)<f(2) D.g(0)<f(2)<f(3)

[解析] 由已知, f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=e-x, ∴f(x)+g(x) =e-x,又 f(x)-g(x)=ex,

ex-e-x ex+e-x 故 f(x)= ,g(x)=- . 2 2 ex+e-x ∵f ′(x)= >0,故 f(x)单调递增, 2 e2-e-2 ∴f(3)>f(2)= >0>g(0),故选 D. 2 5.给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y),f(x+y)=f(x)f(y),f(x +y)= f?x?+f?y? .下列函数中不满足其中任何一个等式的是( 1-f?x?f?y? B.f(x)=sinx D.f(x)=tanx )

A.f(x)=3x C.f(x)=log2x [答案] B

[解析] 选项 A,满足 f(x+y)=f(x)f(y); 选项 C 满足 f(xy)=f(x)+f(y); 选项 D,满足 f(x+y)= f?x?+f?y? . 1-f?x?f?y?

6.定义两种运算:a?b= a2-b2,a⊕b=|a-b|,则函数 f(x)= 2?x ( ?x⊕2?-2 )

A.是偶函数 B.是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 [答案] [解析] B 4-x2 f(x)= , |x-2|-2

∵x2≤4,∴-2≤x≤2, 又∵x≠0,∴x∈[-2,0)∪(0,2].

4-x2 则 f(x)= ,f(x)+f(-x)=0,故选 B. -x 7.函数 f(x)的图象是如图所示的折线段 OAB, A 的坐标为(1,2), 点 点 B 的坐标为(3,0).定义函数 g(x)=f(x)· (x-1),则函数 g(x)的最大 值为( )

A.0 C.1 [答案] [解析] C

B.2 D.4

?2x ? 由图象可知 f(x)=? ? ?-x+3

0≤x≤1 1<x≤3 ,



? ?2x?x-1? 所以 g(x)=? ??-x+3??x-1? ?

0≤x≤1 1<x≤3

当 x∈[0,1]时, g(x)的最大值为 g(0)=g(1)=0; x∈(1,3]时, 当 g(x) 的最大值为 g(2)=1.综上可知,函数 g(x)的最大值为 1. 8.对于函数 f(x)定义域内任意的 x1,x2(x1≠x2), f?x1?-f?x2? ①f(x1+x2)=f(x1)f(x2);②f(x1·2)=f(x1)+f(x2); x ③ >0; x1-x2
?x1+x2? f?x1?+f?x2? ?< ④f? . 2 ? 2 ?

当 f(x)=2x 时,上述结论中正确结论的序号是______. [答案] ①③④

[解析] 由于 2x1+x2=2x1·x2,所以①正确;由于 f(x)在 R 上为 2 f?x1?-f?x2? 增函数,即当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),所以有 >0,因此③正 x1-x2 确;又 f(x)=2x 的图象向下凸出,所以④正确.而 20×1≠20+21,所 以②不正确,故填①③④. 1 9. 定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0, +∞)上单调递减, f( )=0, 且 2 则满足 f(log1 x)<0 的集合为________.
4

[答案]

1 (0, )∪(2,+∞) 2

1 1 [解析] 由题意知 f(x)<0 的解为 x> 或 x<- , 2 2 1 1 ∴由 f(log1 x)<0 得 log1 x> 或 log1 x<- , 2 2 4 4 4 1 ∴0<x< 或 x>2. 2


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