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上海市杨浦区2016届高三数学上学期期末质量调研试题 理


杨浦区 2015 学年度第一学期期末高三年级 3+1 质量调研 数学学科试卷(理科)
2016.1.

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空

格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
? 1 0? ?2 4 ? 1. 已知矩阵 A ? ? ?,B?? ? ,则 A ? B ? _____________. ? ?1 2 ? ? 1 ?3 ?

2. 已知全集 U=R,集合 A ? ? x

?

? x ?1 ? 0? ,则集合 ? U A ? _____________. ? ? x?2

3. 已知函数 f ? x ? ? log3 ?

?4 ? ? 2 ? ,则方程 f ?1 ? x ? ? 4 的解 x = _____________. ?x ?
开始

4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为 4 米的球作为道具, 该球表面 用白布包裹,则至少需要白布_________平方米. 5. 无穷等比数列 ?an ? ( n ? N )的前 n 项的和是 Sn ,
*

S=0

k=1 是

且 lim S n ?
n ??

1 ,则首项 a1 的取值范围是_____________. 2

k>2016 否 S=S+ 1 k(k+2)

6. 已知虚数 z 满足 2z ? z ? 1 ? 6i ,则 z ? __________. 7.执行如右图所示的流程图,则输出的 S 的值为________. 8.学校有两个食堂,现有 3 名学生前往就餐,则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. 1 ? 3 x

输出S

结束 k=k+2

?

? 展开式的二项式系数之和为 256 ,则展开式中 x 的系数为______________.
n

10. 若数 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的标准差为 2 ,则数 3a1 ? 2,3a2 ? 2,3a3 ? 2,3a4 ? 2,3a5 ? 2 的 方差为____________. 11. 如图,在矩形 OABC 中,点 E、F 分别在线段 AB、BC 上,

C

F

B E A
1

??? ? ??? ? ??? ? 且满足 AB=3AE,BC=3CF,若 OB ? ? OE ? ? OF (? , ? ? R ) ,

O

则 ? ? ? ? ____________.

? x 2 ? 4 x ? 3, x ≤ 0 ? 12. 已知 f ? x ? ? ? 2 ,当 x ? ?a, a ? 1? 时不等式 f ? x ? a ? ≥ f ? 2a ? x ? 恒成立,则实 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0
数 a 的最大值是____________. 13. 抛物线 C 的顶点为原点 O ,焦点 F 在 x 轴正半轴,过焦点且倾斜角为

? 的直线 l 交抛物线于点 4

A, B ,若 AB 中点的横坐标为 3,则抛物线 C 的方程为_______________.
14. 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f

? x? ?

2

x,当 x?0 时,

f ? x ? 1? ? f ? x ? ? f ?1? ,若直线 y ? kx 与函数 y ? f ? x ? 的图象恰有 11 个不同的公共点,则实
数 k 的取值范围为____________.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 下列四个命题中,为真命题的是
2 2 A. 若 a ? b ,则 ac ? bc 2 2 C. 若 a ? b ,则 a ? b

( B. 若 a ? b , c ? d 则 a ? c ? b ? d D. 若 a ? b ,则



16. 设a, b 是两个单位向量,其夹角为 ? ,则“ ? ? ? A.充分不必要条件 C.充要条件

? ?

? 6

? ”是“| a ? b |? 1 ”的 3

1 1 ? a b





B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

17.对于两个平面 ? , ? 和两条直线 m, n , 下列命题中真命题是 A.若 m ? ? , m ? n , 则 n‖? B.若 m‖ ? , ? ? ? , 则 m ? ? C. 若 m‖ ? , n‖ ? , ? ? ? ,则 m ? n D. 若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? ,则 m ? n 18. 下列函数中,既是偶函数,又在 ?0, ? ? 上递增的函数的个数是 ① y ? tan x A. 1个 ② y ? cos?? x ? B. 2 个 ( ④ y ? cot



?? ? ③ y ? sin? x ? ? 2? ? C. 3 个 D. 4 个

x 2

2

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤 . 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分 . 如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充。已知 金字塔的每一条棱和边都相等 (1) 求证:直线 AC 垂直于直线 SD . (2) 若搭边框共使用木料 24 米,则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?
S

C

D

B

A

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分 . 某农场规划将果树种在正方形的场地内。 为了保护果树不被风吹, 决定在果树的周围种松树。 在 下图里,你可以看到规划种植果树的列数(n),果树数量及松树数量的规律:

n=1

n=2

n=3

n=4

= 果树 = 松树
(1)按此规律,n = 5 时果树数量及松树数量分别为多少;并写出果树数量 a n ,及松树数量 b n 关 于 n 的表达式. (2)定义: f (n ? 1) ? f (n )

?n ? N ?为 f (n) 增加的速度;现农场想扩大种植面积,问:哪种树增
*

加的速度会更快?并说明理由.

3

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分. 如图,在一条景观道的一端有一个半径为 50 米的圆形摩天轮 O,逆时针 15 分钟转一圈,从 A 处 进入摩天轮的座舱, OA 垂直于地面 AM ,在距离 A 处 150 米处设置了一个望远镜 B (1)同学甲 打算独自乘坐摩天轮,但是其母亲不放心,于是约定在登上摩天轮座舱 5 分钟后, 在座舱内向其母亲挥手致意,而其母亲则在望远镜 B 中仔细观看。问望远镜 B 的仰角 ? 应调 整为多少度?(精确到 1 度) (2) 在同学甲向其母亲挥手致意的同时, 同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带 BD , 发现取景的视角 ? 恰为 45 ? ,求绿化带 BD 的长度(精确到 1 米). 解: .
O C ?

? M A D B

4

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分

x2 y 2 y 2 x2 如图,曲线 ? 由两个椭圆 T1 : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 和椭圆 T2 : 2 ? 2 ? 1? b ? c ? 0 ? 组成, a b b c
当 a, b, c 成等比数列时,称曲线 ? 为“猫眼曲线”. (1) 若猫眼曲线 ? 过点 M 0, ? 2 ,且 a, b, c 的公比为

?

?

2 ,求猫眼曲线 ? 的方程; 2

(2) 对于题(1)中的求猫眼曲线 ? ,任作斜率为 k ? k ? 0? 且不过原点的直线与该曲线相交,交 椭圆 T1 所得弦的中点为 M ,交椭圆 T2 所得弦的中点为 N ,求证:

k OM 为与 k 无关的定值; k ON

(3) 若斜率为 2 的直线 l 为椭圆 T2 的切线, 且交椭圆 T1 于点 A, B ,N 为椭圆 T1 上的任意一点 (点

N 与点 A, B 不重合),求 ?ABN 面积的最大值.

y

o

x

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分. 已知函数 f ?x ? (x ? D) ,若存在常数 T(T>0),对任意 x ? D 都有 f ?x ? T ? ? T ? f ?x ? ,则称 函数 f ?x ? 为 T 倍周期函数

5

(1)判断 h ?x ? ? x 是否是 T 倍周期函数,并说明理由. (2)证明 g?x ? ? ? ? 是 T 倍周期函数,且 T 的值是唯一的. ( 3 )若 f ?n ? (n ? N* ) 是 2 倍周期函数, f ?1? ? 1 , f ?2? ? ?4 , Sn 表示 f ?n ? 的前 n 项和,

?1? ?4?

x

Cn ?

S2n ,若 C n ? loga (a ? 1) ? 10恒成立,求 a 的取值范围. S2 n ?1

理科评分参考 一、 1. ? ? 填空题 2.

?3 4 ? ? ? ? 0 - 1?

? ??, ?1? ? ?2, ???
6.

3.1

4. 16?

5. ? 0, ? ? ? ,1? 10. 36 11.

? ?

1? ?1 ? 2? ?2 ?
3 2

5

7.

1008 2017
2

8.

3 4

9. ? 56

12. ?2

13. y ? 4x

14.( 2 6 ? 4 , 4 3 ? 6 )

二、选择题 15.C 16.A 17.D 18.A 三、解答题 19.(本题 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 解:(1)如图,连接 AC , BD 交于点 O ,则 O 为线段 BD 中点,
S

在正方形 ABCD 中,对角线 AC ? BD 在 ?ASC 中,? SA ? SC ,? SO ? AC

(2 分)
C D

? SO ? BD ? O ,? AC ? 平面 SBD

(2 分)
B A

? AC ? SD

(2 分)

6

(2)边长为 3 米

(2 分)
2 2

? 2? 3 2 ? 棱锥的高 SO ? 1 ? ? ? 2 ? ?3 ? 2 ? ?
? V? 1 2 3 2 9 2 立方米 ?3 ? ? 3 2 2 9 2 立方米填充材料. 2

(2 分)

(2 分)

答:需要

20.(本题 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 解:(1)n = 5 时果树 25 棵,松树 40 棵 (2 分) (2 分) (2 分)
2

an ? n2

b n ? 8n
(2) a n ?1 ? a n ? ?n ? 1? ? n 2 ? 2n ? 1

(2 分) (2 分) (2 分) (2 分)

b n ?1 ? b n ? 8?n ? 1? ? 8n ? 8
当 n ? 3 时,2n+1 < 8 松树增加的速度快 当 n ? 4 时,2n+1 > 8 果树增加的速度快

21.(本题 14 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分) (1)? 逆时针 15 分钟转一圈,

? 5 分钟转过 120?
过点 C 作 CH ? AB 于点 H , 则 CH ? 50 ? 50 ? sin ?120? ? 90?? ? 75

(2 分)

(2 分) (2 分)

BH ? 150 ? 50 ? cos ?120? ? 90?? ? 150 ? 25 3

? tan ? ?

CH 75 3 6? 3 6? 3 ,?? ? arctan ? 35? ? ? ? 11 BH 150 ? 25 3 2 3 ? 1 11

(2 分)

答:望远镜的仰角 ? 设置为 35 ? (2)在 ?BCD 中, ? ? 35?, ? ? 45? ,??CDH ? 80? (2 分)

? CD ?

CH 75 ? sin 80? sin 80?
7

BD CD ? sin ? sin ? CD ? sin ? 75 ? sin 45? ? BD ? ? ? 94 sin ? sin 80? ? sin 35?
由正弦定理得: 答:绿化带的长度为 94 米.

(2 分) (2 分)

22.(本题 16 分,第 1 小题 4 分,第二小题 6 分,第三小题 6 分) (1) b ?

2 ,? a ? 2, c ? 1,

(2 分)

x2 y 2 y2 ?T1 : ? ? 1 ,?T2 : ? x 2 ? 1 ; 4 2 2

(2 分)

(2)设斜率为 k 的直线交椭圆 T1 于点 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,线段 CD 中点 M ? x0 , y0 ?

? x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

? x12 y12 ? ?1 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ?4 2 由? 2 ,得 2 4 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 2 ? 4
? k 存在且 k ? 0 ,? x1 ? x2 ,且 x 0 ? 0 ?
1 y1 ? y2 y0 1 ? ? ? ,即 k ? k OM ? ? 2 x1 ? x2 x0 2

(2 分)

(2 分)

同理, k ? k ON ? ?2

?

k OM 1 ? 得证 k ON 4
2x ? m

(2 分)

(3)设直线 l 的方程为 y ?

? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,? b ? 2c x ? 2 2mc x ? m c ? b c ? 0 ?y x2 ? 2 ? 2 ?1 c ?b

?

?

? ? ? 0 ,? m2 ? b2 ? 2c 2
l1 : y ? 2 x ? b 2 ? 2c 2
(2 分)

8

? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ? b ? 2a x ? 2 2ma x ? m a ? b a ? 0 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

?

?

? ? ? 0 ,? m2 ? b2 ? 2a 2
l2 : y ? 2 x ? b 2 ? 2a 2
两平行线间距离: d ? (1 分)

b2 ? 2c2 ? b2 ? 2a 2 3

(1 分)

2 3ab 2a 2 ? 2c 2 ? AB ? b2 ? 2a 2
ab 2a 2 ? 2c 2 b2 ? 2c 2 ? b2 ? 2a 2 1 ? ?ABN 的面积最大值为 S ? AB ? d ? 2 b 2 ? 2a 2
注:若用第一小题结论,算得:

(1 分)

?

?

(1 分)

AB ?

?8 2 ?
2

2

? 4?5? 4

5

?

4 3 5

d?

10 ? 2

? 2?

? ? ?1?

?
2

10 ? 2 3

1 4 3 10 ? 2 2 10 ? 4 ?ABN 的面积最大值为 S ? ? ? ? 2 5 5 3
23.(本题 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) (1) 设: h?x ? T ? ? T ? h?x ? 则 x ?T ? T?x 对任意 x 恒成立

得3分

(2 分)

? T 无解

? h ?x ? ? x 不是 T 倍周期函数
(2) 设: g?x ? T ? ? T ? g?x ? 则 ? ?

(2 分)

?1? ? 4?

x ?T

?1? ? T?? ? ? 4?

x

对任意 x 恒成立

(2 分)

9

?1? ? ? ?T ? 4?
T?
下证唯一性:

T

1 2
1

(2 分)

1 若T ? 2 , 1 若T ? 2 ,

?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4? ?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4?
T 1

T

矛盾

矛盾

? T?

1 是唯一的 2

(2 分)

(3) f ?3? ? f ?1 ? 2? ? 2f ?1? ? 2

f ?5? ? f ?3 ? 2? ? 2f ?3? ? 2 2 f ?7? ? f ?5 ? 2? ? 2f ?5? ? 23
??

f ?2n ? 1? ? f ?2n - 3 ? 2? ? 2f ?2n - 3? ? 2 n-1 f ?1? ? f ?3? ? f ?5? ? ? ? f ?2n - 1? ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 1
同理: f ?2? ? f ?4? ? f ?6? ? ? ? f ?2n? ? ?4 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

(2 分)
n

?

n ?1

? ? ?4?2

?1

?

? S2n ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2n ? ? ?3 2 n ? 1

?

?
n

同理: S2n ?1 ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2n ? 1? ? ?2 ? 3

Cn ?

S2 n 3 2n ? 1 ? n S2 n ?1 2 ?3

?

?

(2 分)

C1 ? ?3

C2 ? 9
C n ?1 Cn 3 2 n ?1 ? 1 n ?1 2 2n ? 2 n ?3 ? 3 2 ?1 2 2n n 2 ?3

?

?

显然: n ? 2

Cn ? 0



?

?

? ? ? ?

2 2

? 7 ? 2n ? 3
n

? ? ? 5 ? ?2 ? ? 3

? 2 2n

? ?

2

? 7 ? 2 n ? 3 ? 2 2n ? 5 ? 2n ? 3

? ?

? ?

2

? ?

10

? ?

C n ?1 ? 1 即单调递减 Cn

?Cn ?max ? C2 ? 9

(2 分)

? C n ? loga (a ? 1) ? 10恒成立, ? loga (a ? 1) ? 10 ? ?C n ?max ? 9 ? loga (a ? 1) ? ?1


a ?1 时

a ?1 ?

1 a 1 a


解得 : a ? 1 解得 : 0 ? a ?



0 ? a ?1 时

a ?1 ?

?1? 5 2
(2 分)

?

0?a?

?1? 5 2

a ?1

11


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