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【全国百强校】吉林省东北师范大学附属中学2013届高考数学第二轮复习导学案:第22讲++空间角与距离(一)


第 22 讲
【复习目标】

空间角与距离(1)

1、理解各种空间角及空间距离的概念; 2、掌握求空间角与距离的基本方法。

【课前热身】
?、? 为两个确定的相交平面, 1. 下列条件: ① a∥?,b ? ? a , b 为一对异面直线,


a ? ? , b∥

? ; ③ a ? ? , b ? ? ④ a∥? , b∥? 且 a与? 的距离等于 b与? 的距离。其中
能使 a , b 所成的角为定值的有 ( )

A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、4 个 2.在正三棱锥 P-ABC 中,M、N 分别是侧棱 PB、PC 的中点,若截面 AMN⊥侧面 PBC, 则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是 ( ) A 、

3 2

B、 2

C 、

5 2

D 、

6 2

3.若二面角 ? ? l ? ? 为

2? ,直线 m ? ? ,则 ? 所在平面内的直线与 m 所成角的取值范 3

围是________________; 4.已知正四棱锥的所有棱长均相等,则侧面与底面所成二面角的余弦值为_____________

【例题探究】
例 1 在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 2BB 1 ? 2,

P 为 B1C1 的中点.
(1)求直线 AC 与平面 ABP 所成的角; (2)求异面直线 AC 与 BP 所成的角; (3)求点 B 到平面 APC 的距离. P

例 2 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,四边形 A1ABB1 是菱形,四边形 BCC1B1 是矩形,AB ⊥BC,CB=3,AB=4,∠A1AB=60°。 A1 B1 (1)求证:平面 CA1B⊥平面 A1ABB1; (2)求直线 A1C 与平面 BCC1B 所成角的正切值; (3)求点 C1 到平面 A1CB 的距离。 C1

A

C

B

例 3.如图,已知长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , AB ? 2, AA 1 ? 1,

30 ? , AE 垂直 BD 于 直线 BD 与平面 AA 1B 1B 所成的角为
E , F 为 A1B1 的中点. (1) 求异面直线 AE 与 BF 所成的角; (2)求平面 BDF 与平面 AA1B 所成的二面角; (3)求点 A 到平面 BDF 的距离.
F

A 1

D1

B1

A

C1
E

D

B

C

【方法点拨】 1、求角与距离的关键是化归:空间角化为平面角,空间距离化为两点间距离,最终化为求 三角形中边角; 2、求线面角关键是找、作线与面垂直,通常是先寻找面面垂直,得到线面垂直; 3、二面角的平面角的基本作法有:定义法,三垂线定理法,垂面法。点到面的距离通常在 面面垂直背景下向线作垂线得到线面垂直得射影。 另空间距离和角的求解应遵循: 一作二证 三计算。

冲刺强化训练(22)
班级 姓名 学号 成绩 日期 月 日 1、空间四边形 PABC 中,若 ?PAB ? ?PAC ? 60 , AB ? AC ? 5, BC ? 6 ,则 PA 与平面 ABC 所成角的余弦值 ( ) 5 5 3 4 A. B. C. D. 5 13 8 5 2、在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为() A.60° B.90° C.105° D.75° 3.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB=2,A A1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离为( )

A、

3 4

B、

3 2

C、

3 3 4

D、 3

C

4、将正方体的纸盒展开(如图) ,直线 AB、CD 在原正方体中的位置 关系是( ) A、平行 B 、垂直 C、且成 60 角 D 、 异面且成 60 角 5、锐二面角α -l-β 的棱 l 上一点 A,射线 AB ? α ,且与棱成 45°角, 与β 成 30°角,则二面角α -l-β 的大小是( ) A、30° B、45° C、60° D、90° A B D

6、在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥ 底面 ABCD。 (1)证明 AB⊥ 平面 VAD; (2)求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小。

7、如图,正四棱锥 P-ABCD 中,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角的正切值为

6 。 2

(1)求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小 ; (2)若 E 是 PB 中点,求异面直线 PD 与 AE 所成的角的正切值 ; (3)在侧面 PAD 上寻找一点 F 使 EF⊥侧面 PBC,试确定 F 的位置并证明。 P

E D A B C

8.已知 PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,PA=AD=a,M、N 分别是 AB、PC 的中点。 (1)求平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的大小; (2)求证平面 MND⊥平面 PCD; (3)求当 AB 的长度变化时异面直线 PC 与 AD 所成角的取值范围。

第 22 讲 空间角与距离(1) 【课前热身】1 B 2C 3?

?? ? ? , ?6 2? ?

4

3 3

【例题探究】 例 1. (1)∵AB⊥平面 BC1,PC ? 平面 BC1,∴AB⊥PC 在矩形 BCC1B1 中,BC=2,BB1=1,P 为 B1C1 的中点,∴PC⊥PB ∴PC⊥平面 ABP,∴∠CAP 为直线 AC 与平面 ABP 所成的角 ∵PC= 2 ,AC= 2 2 ,∴在 Rt△APC 中,∠CAP=300 ∴直线 AC 与平面 ABP 所成的角为 300 (2)取 A1D1 中点 Q,连结 AQ、CQ,在正四棱柱中,有 AQ∥BP, ∴∠CAQ 为异面直线 AC 与 BP 所成的角 在△ACQ 中, AQ ?

2, AC ? 2 2, CQ ? CC12 ? C1Q 2 ? 6.

∴∠CAQ=600 ∴异面直线 AC 与 BP 所成的角为 600 (也可用向量法) (3)过点 B 作 BH⊥AP 于 H, 由题(1) PC⊥平面 ABP,∴PC⊥BH ∴BH⊥平面 APC ∴BH 的长即为点 B 到平面 APC 的距离 在 Rt△ABP 中,AB=2, BP ?

2,? BH ?

2 3 . 3

例 2: (1) 证: 因为四边形 BCC1B1 是矩形, ∴BC⊥BB1, 又∵AB⊥BC, ∴BC⊥平面 A1ABB1。 ∵BC ? 平面 CA1B,∴平面 CA1B⊥平面 A1ABB1。 (2)解:过 A1 作 A1D⊥B1B 于 D,连接 DC,∵BC⊥平面 A1ABB1, ∴BC⊥A1D,∴A1D⊥平面 BCC1B1,故∠A1CD 为直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成的角。 在矩形 BCC1B1 中,DC= 13 ,因为四边形 A1ABB1 是菱形,∠A1AB=60°,CB=3,AB=4, ∴A1D= 2 3 ,∴tan∠A1CD=
A1 D 2 3 2 39 ? ? 。 CD 13 13

(3)∵B1C1∥BC1,∴B1C1∥平面 A1BC,∴C1 到平面 A1BC 的距离即为 B1 到平面 A1BC 的距离。 连结 AB1, AB1 与 A1B 交于点 O, ∵四边形 A1ABB1 是菱形, ∴B1O⊥A1B, ∵CA1B ⊥平面 A1ABB1,∴B1O⊥平面 A1BC,∴B1O 即为 C1 到平面 A1BC 的距离。∵B1O= 2 3 , ∴C1 到平面 A1BC 的距离为 2 3 。 例 3. : 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 以 AB 所在的直线为 x 轴, 以 AD 所在的直线为 y 轴,

AA1 所在的直线为 z 轴建立如图示空间直角坐标系 由已知 AB ? 2, AA 1 ? 1, 可得 A(0,0,0), B(2,0,0) , F (1,0,1) BD 与平面 AA1B1B 所成的角为 ?DBA ? 30? ,又 AB ? 2 , 又 AD ? 平面 AA 1B 1B ,从而
AE ? BD , AE ? 1, AD ?

?1 3 ? ? 2 3 ? 2 3 从而易得 E ? , ? 2 2 ,0 ? ?, D? ? 0, 3 ,0 ? ? 3 ? ? ? ?

1 ? ?1 3 ? 2 AE ? BF ,0 , BF ? ? 1,0,1 (1)因为 AE ? ? , 所以 cos AE , BF ? = 2 ?? ? ? ? ?2 2 ? 4 2 AE BF ? ?

?

?

2 4 (2)易知平面 AA1B 的一个法向量 m ? (0,1,0) 设 n ? ( x, y, z) 是平面 BDF 的一个法向量,
易知异面直线 AE、BF 所成的角为 arccos

?? x ? z ? 0 ? ? ? 2 3 ?x ? z ?n ? BF ?n ? BF ? 0 ? ?? ?? BD ? (?2, ,0) 由 ? ?? 2 3 3 y?0 ? ? ? 3x ? y ?2 x ? ?n ? BD ? ?n ? BD ? 0 3 ? m?n 15 即 n ? 1, 3,1 所以 cos m, n ? 即平面 BDF 与平面 AA ? 1 B 所成的二面角的 5 m n

?

?

大小(锐角)为 arccos

15 5

(3)点 A 到平面 BDF 的距离,即 AB 在平面 BDF 的法向量 n 上的投影的绝对值, 所以距离 d ? AB ? cos AB, n = 冲刺强化训练(22) 1 、 B 2 、 B 3、 B 4 、 D 5、 B 6、 2

AB ? n n

?

2 5 2 5 所以点 A 到平面 BDF 的距离为 5 5

7、方法一: (Ⅰ)证明:

? ? ? ? ? AB ? 平面VAD AB ? 平面ABCD ? AD ? 平面VAD ? 平面ABCD ? ?
(Ⅱ)解:取 VD 的中点 E,连结 AE,BE ∵VAD 是正三角形 ∴AE⊥VD,AF=

平面VAD ? 平面ABCD AB ? AD

3 AD∵AB⊥平面 VAD 2

∴AB⊥AE

又由三垂线定理知 BE⊥VD 因此, ?AEB 是所求二面角的平面角 于是, tan ?AEB ?

AB 2 3 ? AE 3

即得所求二面角的大小为 arctan

2 3 3

方法二:以 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标系。 1 3? (Ⅰ)证明:不妨设 A ?1 , 0, 0? ,则 B ?11 , , 0? , V ? , 0 , ? ? ?2 2 ? ? ?

?1 3? AB ? ? 0, 1, 0 ?, VA ? ? , 0 , ? ? ?2 2 ? ? ?
由 AB ?VA ? 0 ,得 AB ? VA 又 AB ? AD ,因而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线 VA,VD 都垂直。 ∴ AB ? 平面 VAD (Ⅱ)解:设 E 为 DV 中点,则 E ? , ? 0, ? ?

?1

?4

3? 4 ?

?3 ?3 ?1 3? 3? 3? EA ? ? 0, ? , EB ? ? , 1, ? , DV ? ? , 0, ? ? ? ? 4, ? ? ? ? 4 ? 4 ? 2 ? ? ?4 ?2 ?

由 EB ? DV ? 0 ,得 EB ? DV ,又 EA ? DV 因此, ?AEB 是所求二面角的平面角。 ∵ cos EA , EB ?

EA ? EB EA ? EB

?

21 7

∴解得所求二面角的大小为 arc cos

21 7

8.(1)二面角大小为

? 2 10 (2) (3)M 是 AD 中点,N 是 BC 中点,BC 与平面 PMN 3 5

垂直,平面 PMN 与平面 PBC 垂直,取 AM 中点为 F,则 EF 垂直平面 PBC 9.(1) 45 ? (2)证 MN 与平面 PCD 垂直,得面面垂直。(3) [45?,90?)


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