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江苏省南通市通州区石港中学2014届高一上学期期末复习(1)阶段


南通市通州区石港中学期末复习高一数学试卷一
班级 姓名 学号

时间:120分钟 总分:160分 时间:120分钟 总分:160分

填空题:本大题共14小题 每小题5 本大题共14小题, 70分 一 填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。请把答案填写在横线上

1.设全集

U

= {0,1, 2,3, 4}
x ?2

,集合

A = {0,1, 2,3}



B = {2,3, 4}

,则

(CU A) B = U

2. 函数 y = a

(a > 0且a ≠ 1) 过定点
.

2 3.. 若函数 f ( x ) = kx + ( k ? 1) x + 3 是偶函数,则函数 f ( x ) 的单调递减区间是

4.

函数

y = 2 x + log 2 ( x + 1)

在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为___________

5. 用二分法求函数 f ( x ) = lg x + x ? 3 的一个零点,其参考数据如下: f(2)≈-0.699 f(2.625) ≈0.044 f(3) ≈0.477 f(2.5625)≈-0.029 f(2.5) ≈-0.102 f(2.59375)≈0.008 f(2.75) ≈0.189 f(2.57813≈-0.011

根据此数据,可得方程 lg x = 3 ? x 的一个近似解(精确到0.1)为

.

, x≤0 ?cos(πx) 4 4 f ( x) = ? f ( ) + f (? ) f ( x ? 1) + 1 , x > 0 ,则 3 ? 3 的值是________ 6. 已知

tan(?150°) cos(?210°) cos 420° tan(?600°) = sin(?330°) 7.计算
8.在 (2π ,4π ) 内,与角

?

7π 6 的终边垂直的角为

y = sin
9、 函数

πx
3 在区间 [0, n] 上至少取得2个最大值,

则正整数 n 的最小值是____. 10. 函 数 y = A sin(ω x + ? ) ( A, ω , ? 为 常 数 ,

A > 0, ω > 0 )在闭区间 [?π , 0] 上的图象如图所示,则

ω=

.

4π ,0 ) 11.如果函数 y = 3 cos(2 x + ? ) 的图像关于点 3 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 (

3π 12.已知扇形的面积为 8 ,半径为1,则扇形的圆心角为
( 13. 已知 sin α + sin β + sin 91° = 0 , cos α + cos β + cos 91° = 0 ,则 cos α ? β) =
14、下列几种说法正确的是 (将你认为正确的序号全部填在横线上) 。

y = cos(
①函数

π
4

? 3x)
的递增区间是

[?

π
4

+

2kπ π 2kπ , + ], k ∈ Z 3 12 3 ;
f (a +

②函数 f ( x ) = 5 sin( 2 x + ? ) ,若 f ( a ) = 5 ,则

π
12

) < f (a +

5π ) 6 ;

f ( x) = 3 tan(2 x ?
③函数

π

5π ,0 ) 3 的图象关于点 12 对称; ) (

x=
④直线

π
8 是函数

y = sin(2 x +

π

) 4 图象的一条对称轴;

⑤函数 y = cos x 的图象可由函数

y = sin( x + ) 4 的图象向右平移 4 个单位得到;

π

π

解答题:本大题共6小题,共计90 90分 解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 二 解答题:本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

x π f ( x) = 3 sin( + ) + 3 2 6 15. (本题满分14分)已知函数
(Ⅰ)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象; (Ⅱ)指出 f (x ) 的周期、振幅、初相、对称轴; (Ⅲ)说明此函数图象可由 y = sin x在[0,2π ] 上的图象经怎样的变换得到.

16. (本小题满分14分).已知角 θ 的终边经过点 (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)若

p

(

5, 2 5

)

sin(θ ? ? ) =

10 π ,0 < ? < 10 2 ,求 cos ? 的值.

2 17. (本小题满分15分)已知函数 f ( x ) = ax ? 2ax + 2 + b(a > 0 ) 在区间 [2,3] 上

的值域为 [2,5] (1)求 a, b 的值 (2)若关于 x 的函数 g ( x ) = f ( x ) ? (m + 1)x 在 [2,4]上为单调函数,求 m 的取值范围

0 18.(本小题满分15分)已知函数 f ( x ) = A sin( x + ? )( A > 0, < ? < π) , x ∈ R 的最大值是

?π 1? M? ,? 1,其图像经过点 ? 3 2 ? .

(1) f ( x ) 的解析式; 已知 求 (2) 的值.

α,β ∈ ? 0, ?

? ?

π? 3 12 f (α ) = f (β ) = 2 ?, 5, 13 , f (α ? β ) 且 求

19. (本小题满分16分) 已知函数f(x)= 3 sin(ωx + ? ) ? cos(ωx + ? )(0 < ? < π , ω > 0) 为偶

π . 函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 2 π (Ⅰ)求f( 8 )的值; π (Ⅱ) 将函数y=f(x)的图象向右平移 6 个单位后, 再将得到的图象上各点的横坐标延长到原
来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.

f ( x) = a ?
20. (本小题满分16分) 已知函数 (Ⅰ)求实数 a 的值;

2 2 + 1 是奇函数 (a ∈ R ) .
x

(Ⅱ)试判断函数 f ( x ) 在( ?∞ , +∞ )上的单调性,并证明你的结论; (Ⅲ)若对任意的 t ∈ R ,不等式 f (t 2 ? ( m ? 2)t ) + f (t 2 ? m + 2) > 0 恒成立,求实数 m 的 取值范围.

高一数学试卷一答案 高一数学试卷一答案
1.{2,3,4} 2. (2,1) 3.(—∞,0) 4. 4 5. 2.6 13. ? 6.1 7.

3 2

8.

7π 10π , 3 3

9. 8

10. 3

11.

π
6

12.

3π 4

.

1 2

14、①③④

15.(本题满分14分,第(Ⅰ)问6分,第(Ⅱ)问4分, 第(Ⅲ)问4分) 本题满分14分 本题满分14 (1)列表 解:

描点、连线

(2)周期T= 4π ,振幅A=3,初相

?=

π
6,

x π π 2π + = kπ + x = 2kπ + (k ∈ Z ) 2 ,得 3 由2 6 即为对称轴;
(3)①由 y = sin x 的图象上各点向左平移

?=

π
6 个长度单位,得

y = sin( x +

π

) 6 的图象;

y = sin( x +
②由

π

) 6 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变) ,

x π y = sin( + ) 2 6 的图象; 得

x π y = sin( + ) 2 6 的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变) ③由 , x π y = 3 sin( + ) 2 6 的图象; 得 x π x π y = 3 sin( + ) y = 3 sin( + ) 2 6 的图象上各点向上平移3个长度单位,得 2 6 +3 ④由
的图象。

sin θ =
16. (本小题满分14分)解: (1)

2 5 5 , cos θ = 5 5 .

0<? <
(2)∵

π
2,

0 <θ <

π
2 ,∴

?

π
2

< θ ?? <

π
2,

cos(θ ? ? ) = 1 ? sin 2 (θ ? ? ) =


3 10 10 , 2 2 .

∴ cos ?

= cos[θ ? (θ ? ? )] = cos θ cos(θ ? ? ) + sin θ sin(θ ? ? ) =

17.解: (1)∵a>0,∴所以抛物线开口向上且对称轴为x=1. ∴函数f(x)在[2,3]上单调递增.

? f (2) = 2 ?2 + b = 2 ? ? f (3) = 3 ,即 ? 3a + 2 + b = 3 , 由条件得 ?
解得a=1,b=0. ………………………………………………………………………6分 (2)由(1)知a=1,b=0. ∴f(x)=x2?2x+2,从而g(x)=x2?(m+3)x+2.

x=
若g(x)在[2,4]上递增,则对称轴

m+3 ≤2 2 ,解得m≤1;……………………10分 m+3 ≥4 2 ,解得m≥5,……………………13分

x=
若g(x)在[2,4]上递减,则对称轴

故所求m的取值范围是m≥5或m≤1. ………………………………………………15分 18. (本题满分15分,第(Ⅰ)问7分,第(Ⅱ)问8分) 本题满分15 本题满分15分

π 1 π 1 M( , ) sin( + ? ) = 3 2 代入得 3 2, 解: (1)依题意有 A = 1 ,则 f ( x ) = sin( x + ? ) ,将点 π 5 π π ∴ + ? = π ∴? = f ( x) = sin( x + ) = cos x 0 <? <π , 3 6 , 2 ,故 2 ; 而



2











3 12 cos α = , cos β = 5 13

π α , β ∈ (0, )
, 而

2



3 4 12 5 ∴sinα = 1? ( )2 = ,sin β = 1? ( )2 = 5 5 13 13 ,
3 12 4 5 56 f (α ? β ) = cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β = × + × = 5 13 5 13 65 。
19解:解: (Ⅰ)f(x)= 3 sin(ωx + ? ) ? cos(ωx + ? )

? 3 ? 1 2 ? sin(ωx + ? ) ? cos(ωx + ? )? 2 2 ? = ?
π ωx + ? - 6 ) =2sin(
因为 f(x)为偶函数, 所以 对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,

π π 因此 sin(- ωx + ? - 6 )=sin( ωx + ? - 6 ). π π π π
即-sin ωx cos( ? - 6 )+cos ωx sin( ? - 6 )=sin ωx cos( ? - 6 )+cos ωx sin( ? - 6 ),

π π 整理得 sin ωx cos( ? - 6 )=0.因为 ω >0,且x∈R,所以 cos( ? - 6 )=0. π π π 又因为 0< ? <π,故 ? - 6 = 2 .所以 f(x)=2sin( ωx + 2 )=2cos ωx .


ω
由题意得 故

= 2?

π
2

,   所以  ω =2.

f(x)=2cos2x.

因为

f ( ) = 2 cos = 2 . 8 4
(注:本题有更简洁解法)

π

π

f (x ? ) 6 的图象,再将所得图象横坐标 (Ⅱ)将f(x)的图象向右平移个 6 个单位后,得到 f(
伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到

π

π

π

? ) 4 6 的图象.

π

所以    g ( x) = f (

π

π π π ? π π ? ? ) = 2 cos ?2( ? )? = 2 cos f ( ? ). 4 6 2 3 ? 4 6 ?

π
当 2kπ≤ 2

?

π
3 ≤2 kπ+ π (k∈Z),



2π 8π 4kπ+≤ 3 ≤x≤4kπ+ 3 (k∈Z)时,g(x)单调递减.

因此g(x)的单调递减区间为

2π 8π ? ? ?4kπ + 3 ,4kπ + 3 ? ? ?

(k∈Z)

a2x + a ? 2 2x + 1 20. 解:(Ⅰ)由题意可得: f ( x ) =
∵ f ( x ) 是奇函数 ∴ f ( ? x ) = ? f ( x)

a2x + a ? 2 a 2? x + a ? 2 =? 2x +1 2? x + 1 即

a2x + a ? 2 a + (a ? 2)2 x =? 2x + 1 2x + 1
∴ a ? 2 = a ,即 a = 1 ……………………………………4分

f ( x) = 1 ?


2 2 +1
x

(Ⅱ)设

x1 , x2

为区间
x x

( ?∞, +∞ ) 内的任意两个值,且 x1 < x2 ,
x x2

1 2 1 则0 < 2 < 2 ,2 ?2

< 0,

2(2 x1 ? 2 x2 ) 2 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 x2 + 1 2 x1 + 1 (2 x1 + 1)(2 x2 + 1) < 0 ∵ = =


f ( x1 ) < f ( x2 )

( ?∞, +∞ ) 上的增函数. ………………………10分 ∴ f ( x) 是

( ?∞, +∞ ) 上的增函数,且是奇函数. (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知, f ( x ) 是 、
∵ f (t 2 ? ( m ? 2)t ) + f (t 2 ? m + 2) > 0 ∴ f (t 2 ? ( m ? 2)t ) > f ( ?t 2 + m ? 2)

∴ t ? ( m ? 2)t > ?t + m ? 2
2 2 2 即 2t ? ( m ? 2)t ? m + 2 > 0 对任意 t ∈ R 恒成立.

…………………………13分

只需 = ( m ? 2) ? 8( ? m + 2) < 0 ,
2

解之得 ?6 < m < 2

……………………………………………………16分


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